docOblicza racjonalności
download 
Reklamacja Transkrypt
Oblicza racjonalności
1 Oblicza racjonalności 2 3 Oblicza racjonalności Wokół myśli Michała Hellera pod redakcją Bartosza Brożka, Janusza Mączki, Wojciecha P. Grygiela, Mateusza L. Hohola KRAKÓW 2011 4 ISBN 978-83-62259-23-6 © Copyright by Copernicus Center Foundation Kraków 2011 Grafika na obwolucie: Kacper Bożek Opracowanie wydawnicze: Bernadeta Lekacz Barbara Pawlikowska Agata Mościcka Piotr Urbańczyk Wydawca: Konsorcjum Akademickie Wydawnictwo WSE w Krakowie, WSIiZ w Rzeszowie i WSZiA w Zamościu ul. mjr H. Sucharskiego 2; 35-225 Rzeszów tel. (017) 86 61 144 e-mail: [email protected] 5 Michałowi Hellerowi 6 7 Spis treści Dum Deus calculat..................................................................................................9 Jan Woleński Pętle semantyczne.............................................................................................15 Bartosz Brożek, Adam Olszewski Logika zapętleń..................................................................................................33 Wojciech P. Grygiel Metodologiczne aspekty uprawiania filozofii umysłu w kontekście nauk kognitywnych...........................................................................................51 Łukasz Kurek Neurofilozofia jako filozofia w kontekście nauki.........................................63 Wojciech Załuski Pojęcie osoby w świetle osiągnięć nauk biologicznych...............................83 Magdalena Senderecka O świadomości wzrokowej z perspektywy neuroscience.................................99 Jacek Rodzeń Ewolucja dokładności przyrządów naukowych – w świetle obserwacji spektroskopowych Josepha Fraunhofera (1787-1826)..............................117 Mateusz L. Hohol Matematyczność ucieleśniona.......................................................................143 8 Spis treści Krzysztof Wójtowicz Uwagi o filozofii matematyki Michała Hellera...........................................167 Marcin Gorazda Świat lokalnie racjonalny................................................................................181 Wiesław M. Macek Teologia nauki......................................................................................203 Tadeusz Pabjan Wszechświat jako ślad Boga..........................................................................239 Michał Pospiszyl Fundacjonizm i problem zła.........................................................................255 9 Dum Deus calculat... W przemówieniu Rzeczy najważniejsze1 Michał Heller cytuje słynne powiedzenie Leibniza: „Gdy Pan Bóg liczy i zamyśla, świat się staje”. Przywołanie tego właśnie stwierdzenia jest symptomatyczne, łączy ono bowiem cztery pasje Hellera: matematykę, kosmologię, filozofię i teologię: Nauka jest zbiorowym wysiłkiem ludzkich umysłów odczytania Zamysłu Boga ze znaków zapytania, z jakich utkany jest wszechświat i my sami. Umieścić siebie w tym podwójnym spleceniu to inaczej – doświadczyć, że się jest częścią Wielkiej Tajemnicy2. Jak jednak odczytywać tę Tajemnicę? Michał Heller w wielu swoich pismach nie tylko oswaja nas z nią, ale i podpowiada rozmaite metody oraz formułuje inspirujące hipotezy odnoszące się do „sensu Wszechświata”. Wydaje się, że cztery spośród nich są szczególnie reprezentatywne. Heller jest zagorzałym przeciwnikiem fundacjonizmu. Nie wierzy w to, że argumentacja filozoficzna wychodzić może od niepodważalnych, pewnych przesłanek. Zauważa natomiast, że argumentacje występujące w filozofii, a także w naukach, dałoby się w zasadzie ułożyć w taki ciąg, że na jego [...] lewym końcu znalazłyby się argumentacje bez składowej hermeneutycznej, a na jego prawym końcu – argumentacje bez składowej logiczno-dedukcyjnej. […] Argumentacje racjonalistyczne znajdowałyby się stosunkowo blisko lewego końca ciągu; argumentacje wizjonerskie odpowiednio M. Heller, Rzeczy najważniejsze, [w:] Czy nauka zastąpi religię?, red. B. Brożek. J. Mączka, Copernicus Center Press, Kraków 2011, s. 11-14. 2 Ibidem, s. 14. 1 10 Dum Deus calculat... blisko prawego końca. Istotną rzeczą jest, że żadna argumentacja filozoficzna, o ile tylko dotyczy nietrywialnego twierdzenia filozoficznego, nie jest pozbawiona składowej hermeneutycznej3. Istnienie „składowej hermeneutycznej” w każdej próbie zrozumienia świata świadczy o utopijnym charakterze wszelkich projektów fundacjonistycznych. Kartezjańskie marzenie o wiedzy pewnej, zestawie idei, które widzimy „jasno i wyraźnie”, a które stanowić by miały podstawę dla wszelkich konstrukcji poznawczych, musi pozostać w sferze pobożnych życzeń; nie oznacza to jednak katastrofy, nie musi skończyć się popadnięciem w sceptycyzm lub jakąś inną formę filozoficznego minimalizmu. Heller kreśli metodę filozoficzną zwaną „metodą zapętleń”, która – choć wychodzi od rewidowalnych hipotez stanowiących pewne „hermeneutyczne wizje” – zmierzać może do konstrukcji spójnego, dobrze uzasadnionego (choć nigdy nie ostatecznego) obrazu świata: W zdrowej sytuacji ustala się rodzaj sprzężenia zwrotnego między wizją a logiczną argumentacją. Nawet jeśli ciąg rozumowań jest inspirowany wizją, to racjonalna argumentacja może wpływać na wizję, powodując jej korekcje, a w krytycznej sytuacji – nawet jej odrzucenie4. Inna idea Michała Hellera, którą trzeba tu przywołać, to koncepcja „filozofii w nauce”. Przedmiotem filozofii nauki jest metodologiczna refleksja nad strukturą teorii naukowych i kryteriami uzasadniania twierdzeń; filozof nauki patrzy więc na przedmiot swych badań niejako z lotu ptaka. Tymczasem „filozofia w nauce” to taki typ refleksji, który wyrasta z praktyki naukowej. W programowym eseju Jak możliwa jest „filozofia w nauce”? Heller wskazuje trzy obszary tematyczne stanowiące przedmiot refleksji tej nowej dyscypliny filozoficznej: wpływ idei filozoficznych na powstawanie i ewolucję teorii naukowych, tradycyjne problemy filozoficzne uwikłane w teorie empiryczne oraz filozoficzną refleksję nad niektórymi założeniami nauk empirycznych5. Trzeba podkreślić, że Heller nie traktuje tego katalogu jako zamkniętego, nie chce projektować ani dekretować nowej metody. Uważa raczej, że „filozofia w nauce” obejdzie się bez strzelistych aktów założycielskich – obroni się swoimi wynikami, Idem, Przeciw fundacjonizmowi, [w:] idem, Filozofia i wszechświat, Universitas, Kraków 2006, s. 93. Ibidem, s. 94. 5 Por. idem, Jak możliwa jest „filozofia w nauce”?, [w:] idem, Filozofia i wszechświat, op.cit., s. 5 i n. 3 4 Dum Deus calculat... 11 choć ostrożny namysł metodologiczny na pewno w tym nie przeszkodzi. Warto też zauważyć, że fakt obecności treści filozoficznych w nauce dobrze współgra z antyfundacjonistycznym stanowiskiem bronionym przez Hellera: skoro filozof nie może traktować „danych naukowych” jako niepodważalnych tez, pozostaje mu jedynie refleksja ze znaczącym udziałem „składowej hermeneutycznej”. Jednym z owoców zastosowania metod „filozofii w nauce” jest Hellerowska teza o matematyczności świata. Może być ona rozumiana na różne sposoby. Niezwykłe sukcesy metody matematyczno-eksperymentalnej w badaniu świata skłaniają do wniosku, że świat jest niewątpliwie matematyzowalny. Ale dlaczego? Heller odpowiada, że światu należy przypisać cechę, dzięki której szczególnie skutecznie można go badać za pomocą metody matematycznej. Świat posiada więc racjonalność szczególnego typu – typu matematycznego6. Matematyczność świata jest jednak zaskakująca, skoro człowiek dysponujący ograniczonymi zdolnościami poznawczymi jest w stanie skutecznie go badać. Z jakiegoś powodu nasza matematyka (przez małe „m”, jak mówi Heller), jest zdolna wychwytywać aspekty Matematyczności świata (przez duże „M”). A łatwo wyobrazić sobie, że Wszechświat mógłby być matematyczny, ale (dla nas) niematematyzowalny: Stosowność języka matematyki do formułowania praw fizyki – pisze Eugene Wigner – jest cudownym darem, którego ani nie rozumiemy, ani nań nie zasługujemy7. Powyższe uwagi pokazują, że poszukiwanie treści filozoficznych w nauce – np. namysł nad założeniami nauk empirycznych prowadzący do tezy o matematyczności Wszechświata – stawia nas przed pytaniami, na które metoda naukowa nie może odpowiedzieć (np. jak to się dzieje, że nasza matematyka wystarcza do badania świata); wiedzie nas także do sfery wartości i Tajemnicy. Sprawia to, że fenomen nauki powinien stać się nie tylko przedmiotem badań filozoficznych, ale i refleksji teologicznej. Stąd postulat Hellera stworzenia teologii nauki: Idem, Czy świat jest matematyczny? [w:] idem, Filozofia i Wszechświat, op.cit., s. 48. E.P. Wigner, Niepojęta skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych, [w:] Refleksje na rozdrożu. Wybór tekstów z pogranicza wiedzy i wiary, red. S. Wszołek, Biblos – OBI, Tarnów – Kraków 2000, s. 180. 6 7 12 Dum Deus calculat... Cel teologii nauki jest taki sam jak całej teologii, tyle że jest on skierowany do specyficznego przedmiotu zainteresowań tej dyscypliny teologicznej. Celem teologii nauki jest krytyczna refleksja nad tymi danymi Objawienia, które pozwalają nam spojrzeć na naukę jako na specyficzną ludzką wartość8. Jest to dodatkowa perspektywa, pozwalająca „doświadczyć, że się jest częścią Wielkiej Tajemnicy”. Niniejsza książka składa się z trzynastu artykułów, które odnoszą się do zarysowanych powyżej czterech głównych idei Michała Hellera. Kwestie związane z antyfundacjonizmem rozwijane są przez Jana Woleńskiego w eseju Pętle semantyczne oraz przez Bartosza Brożka i Adama Olszewskiego w artykule zatytułowanym Logika zapętleń. Kolejnych pięć artykułów związanych jest z ideą filozofii w nauce. Wojciech P. Grygiel pisze o Metodologicznych aspektach uprawiania filozofii umysłu w kontekście nauk kognitywnych, zaś Łukasz Kurek poświęca swój tekst Neurofilozofii jako filozofii w kontekście nauki. Tematyka związana z neuroscience rozwijana jest również w esejach Wojciecha Załuskiego Pojęcie osoby w świetle osiągnięć nauk biologicznych oraz Magdaleny Sendereckiej O świadomości wzrokowej z perspektywy neuroscience. Artykuł Jacka Rodzenia Ewolucja dokładności przyrządów naukowych – w świetle obserwacji spektroskopowych Josepha Fraunhofera (1787-1826) poświęcony jest natomiast problematyce pomiaru w naukach empirycznych. Kolejne trzy teksty odnoszą się do koncepcji matematyczności świata, która stanowi odpowiedź Michała Hellera na fakt stosowalności matematyki w naukach przyrodniczych. Tematyka ta – widziana przez pryzmat kognitywistyki – stanowi przedmiot refleksji Mateusza L. Hohola w Matematyczności ucieleśnionej. Krzysztof Wójtowicz przedstawia Uwagi na temat filozofii matematyki Michała Hellera, zaś Marcin Gorazda pisze o Świecie lokalnie racjonalnym. Ostatnie trzy artykuły, Wiesława M. Macka Teologia nauk, Tadeusza Pabjana Wszechświat jako ślad Boga i Michała Pospiszyla Fundacjonizm i problem zła – poświęcone są relacjom między nauką i teologią. Idee filozoficzne, by dojrzeć, potrzebują odpowiedniej gleby. Dla filozofii jest nią dyskusja. Michał Heller pisze, z aprobatą przywołując Poppera, że dyskutowalność uznać należy za warunek konieczny racjonalnej argumentacji filozoficznej: 8 M. Heller, Nowa fizyka i nowa teologia, Biblos, Tarnów 1992, s. 118. 13 Dum Deus calculat... Mówiąc o dyskusji jako o części […] metody filozoficznej – zauważa – mam na myśli dyskusję krytyczną i to nie tylko w sensie krytykowania poglądów innych […], lecz również w sensie otwartości na krytykę własnych poglądów9. Idee Michała Hellera niewątpliwie spełniają warunek dyskutowalności, a celem tego tomu – ofiarowanego Mu z okazji 75. urodzin – jest sprawić, by były nie tylko dyskutowalne, ale i dyskutowane. Bartosz Brożek Janusz Mączka Wojciech P. Grygiel Mateusz L. Hohol 9 Idem, Przeciw fundacjonizmowi, op.cit., s. 100. 14 Dum Deus calculat... Pętle semantyczne 15 Jan Woleński Uniwersytet Jagielloński Pętle semantyczne Idea pętli semantycznych została wprowadzona przez Michała Hellera . Zasadniczo są one uwikłane w oddziaływania pomiędzy językami a ich metajęzykami (będę używał litery J jako odnoszącej się do języka, natomiast symbolu MJ na oznaczenie metajęzyka J). Jak powszechnie wiadomo, takie oddziaływania prowadzą do antynomii semantycznych związanych z samozwrotnym użyciem wyrażeń2. Słynna antynomia kłamcy (w skrócie: AK) jest prawdopodobnie najbardziej wzorcowym przykładem. Rozważmy zdanie: (λ) zdanie oznaczone przez (λ) jest fałszywe. Nietrudno spostrzec, że (λ) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest fałszywe (będzie to wykazane poniżej). Sytuację zilustrowaną przez (λ) można metaforycznie określić jako zamkniętą pętlę semantyczną, ponieważ przechodzimy od prawdy do fałszu i z powrotem bez żadnej możliwości opuszczenia pętli (lub koła, używając tej bardziej popularnej metafory; zob. także dygresję historyczno-terminologiczną poniżej). Z drugiej 1 M. Heller, Przeciw fundacjonizmowi, [w:] Sensy i nonsensy w nauce i filozofii, red. M. Heller, J. Mączka, J. Urbaniec, OBI – Biblos, Kraków – Tarnów 1999, s. 81-101; przedruk w: idem, Filozofia i wszechświat. Wybór pism, Universitas, Kraków 2006, s. 82-101. 2 Z. Tworak, Kłamstwo kłamcy i zbiór zbiorów. O problemie antynomii, Wyd. UAM, Poznań 2004; P. Łukowski, Paradoksy, Wyd. UŁ, Łódź 2006; E. Żabski, Prawdziwe, czyli fałszywe. Nowe „rozwiązanie” paradoksów i antynomii, Oficyna Wydawnicza ATUT, Wrocław 2010. 1 16 J a n Wo l e ń s k i strony, podział na język i metajęzyk nie może zostać zlikwidowany, ponieważ potrzebujemy mówić o językach i ich różnych własnościach. Mimo że MJ może być efektywnie sprowadzony do J w przypadku syntaktyki (np. poprzez metodę numeracji Gödlowskiej), w przypadku semantyki jest to niemożliwe. Tarski pokazał, że budowanie semantyki J w MJ wymaga, by ten ostatni był istotnie bogatszy niż pierwszy. A zatem zamknięte pętle semantyczne działają „między” J i MJ. Jak Heller pośrednio (bo mówi o pętlach w fizyce) sugeruje, rozwiązanie paradoksów semantycznych zakłada, że pętle związane z takimi antynomiami nie są całkiem zamknięte (ze względów stylistycznych używam etykiet „antynomia” i „paradoks” jako synonimów). Aby mieć wygodny façon de parler, przeciwstawię sobie powodujące paradoksy pętle zamknięte oraz pętle otwarte, które zachowują nas przed antynomiami jako sprzecznościami. Gödlowskie zdanie (G) (G) nie jest dowodliwe, stanowi przykład pętli otwartej, ponieważ nie jest paradoksalne, lecz generuje zdania nierozstrzygalne bądź pokazuje, że arytmetyka jest niezupełna (oczywiście, po odpowiednim sformułowaniu w terminach teorii liczb i zakładając jej niesprzeczność). W rzeczywistości (G) jest czysto syntaktyczne i nie zawiera pojęć semantycznych. Moim głównym zadaniem jest nakreślenie formalnego podejścia do problemu pętli semantycznych, jednak podam kilka ogólnych i szczegółowych sugestii filozoficznych na końcu niniejszego opracowania. Zacznę od diagnozy paradoksu AK zarysowanej przez Leśniewskiego i Tarskiego3. Twierdzili oni (Leśniewski nigdy nie opublikował swoich wyników), że AK jest generowana przez następujące fakty (moje sformułowanie różni się nieznacznie od sformułowania Tarskiego): (A)Dopuszczalne jest samozwrotne stosowanie predykatów „prawdziwy” i „fałszywy”; (B)Równoważność typu (T) ‘A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy A’ (schemat T; w tym miejscu używam jego potocznej formy) jest akceptowana jako najbardziej podstawowa formuła wyjaśniająca pojęcie prawdy; (C)W argumentacji stosuje się klasyczną (dwuwartościową) logikę. A. Tarski, Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych, Towarzystwo Naukowe Warszawskie, Warszawa 1933; idem, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, „Studia Philosophica” 1936, no. I, s. 152-278; przedruk w: idem, Collected Papers, red. S.R. Givant, R.N. McKenzie, Birkhäuser, Basel 1986, vol. 2, s. 51-198 (jest to rozszerzona wersja pracy z 1933); idem, The Semantics Definition of Truth and the Foundations of Semantics, „Philosophy and Phenomenological Research” 1944, no. 4, s. 341-375; tłum. polskie w: idem, Pisma logiczno-filozoficzne, t. I: Prawda, tłum. J. Zygmunt, PWN, Warszawa 1995, s. 228-282, zob. zwłaszcza s. 242-244. 3 Pętle semantyczne 17 Powyższa diagnoza otwiera trzy drogi wyjścia. Po pierwsze, możemy wykluczyć samozwrotność z semantyki. Po drugie, odrzucamy schemat T. Po trzecie, podejmujemy decyzję, by zmienić logikę. W każdym razie rozwiązanie AK coś kosztuje w tym sensie, że musimy poświęcić albo samozwrotność, albo schemat T, albo logikę klasyczną. W tym wypadku nic nie jest za darmo – eliminacja antynomii semantycznych wymaga poświęcania czegoś dla czegoś. Dla Tarskiego (to samo dotyczy Leśniewskiego) odrzucenie (A) było najbardziej naturalnym wyjściem (lub kosztowało mniej niż odrzucanie schematu T czy zmiana logiki). Nie znam rozwiązań polegających na odrzuceniu schematu T, jednak ta uwaga musi być właściwie zrozumiana. Jeśli wykluczymy samozwrotność, niektóre T-równoważności wynikające ze schematu T nie będą dopuszczalne, np. ‘λ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy λ’, ponieważ prowadzi to do AK4. Na tej samej zasadzie blokujemy także podobne zdania mające formę równoważności i związane z innymi paradoksami semantycznymi, np. antynomią Grellinga przymiotników heterologicznych (zob. poniżej). Ważne jest, by dostrzec rolę schematu T w tworzeniu AK. Nie każdy przypadek samozwrotności jest szkodliwy (= prowadzi do antynomii). Rzeczywiście, istnieją niewinne samozwrotne zdania, w których pojawia się samozwrotność5. Rozważmy wyrażenie: (*) To zdanie składa się z 8 słów. Oczywiście (*) jest samozwrotne i fałszywe, jednak nie powoduje ono żadnych antynomii. (T) służy jako narzędzie skracania. Rozważmy AK po raz kolejny. Główny krok polega na obserwacji, że (a) λ = ‘λ jest fałszywe’. Stąd, mając (b) ‘λ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy λ’ i korzystając z (a), otrzymujemy ‘λ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy λ jest fałszywe’. Podobnie, zdefiniujmy przymiotnik autologiczny jako taki, który posiada wyrażoną przez niego własność; w przeciwnym wypadku przymiotnik jest heterologiczny. Na przykład przymiotnik ‘krótki’ jest krótki, a tym samym autologiczny, ‘długi’ jest tylko heterologiczny. Zapytajmy R. Thomason, Paradoxes and Semantic Representation, [w:] Reasoning about Knowledge. Proceeding of the 1986 Conference, red. J.Y. Halpern, Morgan Kaufmann, Los Altos 1986, s. 225-239. 5 Dla ogólnego zwięzłego podejścia do przypadków tego fenomenu, nie tylko lingwistycznego, zob. B. Smith, Varietes of Self-Reference, [w:] Reasoning about Knowledge..., op.cit., s. 19-43; przydatnymi antologiami są Self-Reference. Reflections on Reflexivity, red. S.J. Bartlett, P. Suber, Martinus Nijhoff, The Hague 1987 oraz Reflexivity. A Source-Book in Self-Reference, red. S.J. Bartlett, North-Holland, Amsterdam 1992. 4 18 J a n Wo l e ń s k i teraz: czy ‘heterologiczny’ jest heterologiczny czy autologiczny? Oznaczymy ‘heterologiczny’ symbolem Ht, a ‘autologiczny’ literą At. Załóżmy, że Ht jest Ht, tj. zachodzi Ht(Ht). Skoro tak, to Ht jest nie-Ht, tj. At. Innymi słowy, jeśli Ht(Ht), to At(Ht). Załóżmy zatem, że At(Ht). Jeśli tak ‘heterologiczny’ posiada własność bycia heterologicznym, co znaczy, że zachodzi Ht(Ht). Tak więc, Ht(Ht) wtedy i tylko wtedy, gdy At(Ht). Ogólnie rzecz biorąc, mamy równoważność (**) ‘At(E) wtedy i tylko wtedy, gdy E(E)’, które odgrywa rolę podobną do T-równoważności. Z grubsza mówiąc, semantyczne równoważności jak przypadki (T) czy (**) pomijają terminy wyrażające własności semantyczne jak prawda czy denotacja. Używając wprowadzonej terminologii, semantyczne równoważności zamykają pętle. Zmienianie logiki jest popularną strategią w walce przeciwko antynomiom semantycznym. Istnieje kilka prób tego rodzaju6. Bez wchodzenia w szczegóły można wspomnieć przejście od logiki klasycznej do logiki wielowartościowej (zdania paradoksalne mają wartość logiczną inną niż prawda czy fałsz; najbardziej popularna wersja zakłada logikę trójwartościową), semantyki luk prawdziwościowych (zdania paradoksalne nie mają logicznej wartości) czy logiki parakonsystentnej (zdania paradoksalne to tzw. dialetheias, tj. zdania jednocześnie prawdziwe i fałszywe; przykładem jest tutaj λ). Inne rozwiązanie proponuje użycie cząstkowych definicji prawdy (jest to odpowiedź na twierdzenie o niedefiniowalności prawdy) lub tzw. pojęć kolistych, tj. pojęć, które są regulowane przez specjalne procesy rewizji7. Wszystkie wymienione rozwiązania otwierają pętle semantyczne. Pozostawiam te propozycje bez dalszej analizy, ponieważ chciałbym wykazać, że standardowa recepta Tarskiego na antynomie czy też zamknięte pętle semantyczne jest najprostsza i najbardziej elegancka. W tym miejscu należy dodać jedną dodatkową uwagę. Jak już wspomniałem, rozwiązanie AK i podobnych paradoksów wymaga poniesienia kosztów. Trudno jest oszacować kwotę, którą należy lub powinno się zapłacić. Zwolennicy zmiany logiki, cząstkowych Zob. artykuły w The Paradox of the Liar, red. R.L. Martin, Ridgeview, Reseda 1978; Recent Essays on Truth and the Liar Paradox, red. R.J. Martin, Clarendon Press, Oxford 1984; M. Sheard, A Guide to Truth Predicates in the Modern Era, „Journal of Symbolic Logic” 1994, no. 59, s. 1032-1054; G.A. Antonelli, Virtuous Circles: From Fixed, Points to Revision Rules, [w:] Circularity, Definition and Truth, red. A. Chapuis, A. Gupta, Indian Council of Philosophical Research, New Delhi 2000, s. 1-27; J. Bromand, Philosophie der semantichen Paradoxien, Mentis, Paderborborn 2001; Self-Reference, red. T. Bollander, V.T. Hendricks, S. Pedersen, CSLI Publications, Stanford 2006; to tylko próbka bardzo bogatej literatury. 7 A. Gupta, On Circular Concepts, [w:] Circularity, Definition and Truth, op.cit., s. 123-153. 6 Pętle semantyczne 19 definicji prawdy czy używania pojęć kolistych twierdzą, że możemy zdefiniować prawdę dla J w samym J. Zwracają także uwagę, że rozwiązanie Tarskiego poprzez hierarchię języków jest sztuczne i sprzeczne z duchem języka naturalnego, jednak trudno jest zrozumieć, co stoi za takimi stwierdzeniami. Dlaczego powinniśmy przedkładać zmianę logiki ponad rozwarstwienie naszego języka na poziomy? Choć jednoznaczna i ostateczna odpowiedź nie jest osiągalna, język potoczny sugeruje np. w tworzeniu cytatów, że wyraźnie rozróżniamy język o przedmiotach i język o słowach. Dygresja historyczno-terminologiczna. Problem kolistości pochodzi od Arystotelesa. Zauważył on, że koliste argumenty i koliste (lub idem per idem) definicje są niepoprawne i powinny zostać wyeliminowane. Kwestie te przez długi czas wchodziły w skład elementarnego nauczania logiki. Nowy i ważny impuls wyszedł od logiki matematycznej. Kiedy Russell odkrył swój słynny paradoks zbiorów, które nie są własnymi elementami, logicy zaczęli proponować rozmaite rozwiązania. Zasada błędnego koła (ZBK) została zaproponowana jako jedno z narzędzi. Mówi ona, że jeśli definiowany jest zbiór X, jego elementy nie mogą być scharakteryzowane poprzez należenie do X. Innymi słowy, powinniśmy odrzucić konstrukcje niepredykatywne. Niestety, ta zasada jest sprzeczna z niektórymi przyjętymi definicjami w arytmetyce liczb rzeczywistych. Russell próbował pogodzić ZBK z praktyką matematyczną poprzez rozgałęzioną teorię typów logicznych, jednak to rozwiązanie było kwestionowane jako niezwykle skomplikowane. Z drugiej strony, rola kolistości w sensie ZBK sugerowała, że nie każda kolista konstrukcja jest zła. Być może wolno nam powiedzieć, że otwarte pętle semantyczne tolerują dobrą kolistość, natomiast zamknięte pętle semantyczne generują paradoksy i muszą zostać rozbite. O ile mi wiadomo, terminy „pętla” i „zamknięta pętla” zostały zaproponowane przez Haima Gaifmana8. Według niego pętle to zbiory wskaźników o nieokreślonych wartościach, tj. elementów, które wskazują zdania i determinują ich semantykę. Tak więc pętle w sensie Gaifmana są czymś innym niż pętle w naszym rozumieniu, choć te pierwsze są ściśle związane z samozwrotnymi zdaniami, które generują AK i inne paradoksy. Pętle w znaczeniu Hellera (i moim) są porównywalne z Gaifmana ideą czarnych dziur, tj. zdań z luką prawdziwościową. Być może jest to niezwykłe, że H. Gaifman, Pointers to Truth, „The Journal of Philosophy” 1992, no. 89, s. 230-231; idem, Pointers to Propositions, [w:] Circularity, Definition and Truth, op.cit., s. 88, 109; zob. także R. Koons, Circularity and Hierarchy, [w:] Circularity, Definition and Truth, op.cit., s. 192. 8 20 J a n Wo l e ń s k i różne fizyczne metafory (pętle, dziury) stały się całkiem popularne w rozważaniach na temat semantycznych trudności wynikających z samoodniesienia. Dodam, że sam Heller proponuje logikę zapętleń jako broń przeciwko zamkniętym pętlom i antynomiom9. Według niego taka logika powinna być nieliniowa, gdzie nieliniowość jest rozumiana w sposób analogiczny do nieliniowości w fizyce. Jak Heller sam podkreśla, jest to tylko projekt. Nazwa „logika nieliniowa” może być nieco myląca, ponieważ etykieta „logika liniowa” (linear logic) odnosi się w żargonie współczesnych logików do teorii logicznej łączącej logikę klasyczną i intuicjonistyczną w teorii dowodu. Pozwolę sobie powtórzyć, że moje dalsze rozważania pozostają zdecydowanie w ramach logiki klasycznej i jej metateorii. Koniec dygresji. Jak można wywnioskować z moich poprzednich uwag, w tym artykule paradygmat semantyczny Tarskiego odgrywa kluczową rolę. Najbardziej spektakularnym przykładem tego paradygmatu jest jego definicja prawdy10. Pomysł był wykorzystywany wcześniej, lecz raczej nieformalnie z powodu AK i innych paradoksów, które nękały logikę w pierwszych dziesięcioleciach XX w. Tarski zdefiniował prawdę formalnie. We współczesnym ujęciu (będę go używać zamiast oryginalnej konstrukcji Tarskiego z wyjątkiem uwag o całej hierarchii języków) prawda jest podwójnie zrelatywizowana, a mianowicie do języka i do modelu. A zatem, w pełni określony kontekst to ‘prawdziwy w języku J i modelu M’. Niech A będzie zdaniem języka J. Powiemy, że A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest spełnione przez wszystkie ciągi obiektów wziętych z uniwersum modelu M (równoważnie: jest spełnione przez jeden ciąg, jest spełnione przez puste zdanie). Definicja ta przestrzega konwencji T, tj. warunku: (KT) Materialnie poprawna definicja prawdy pociąga za sobą wszystkie przypadki o postaci: (T) n(A) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy A*, gdzie ‘n(A)’ jest nazwą zdania A, natomiast ‘A*’ odnosi się do jego przekładu na metajęzyk (faktycznie wystarcza to, by J zawrzeć w MJ). Mamy tutaj nowe sformułowanie schematu T. Jako przykład konkretnej T-równoważności mamy zdanie ‘n(śnieg jest biały) jest prawdzi- M. Heller, op.cit., s. 99. A. Tarski, Pojęcie prawdy..., op.cit.; idem, Der Wahrheitsbegriff..., op.cit., s. 152-278; przedruk w: idem, Collected Papers, op.cit., s. 51-198; idem, The Semantics Definition..., op.cit., s. 341-375; tłum. polskie w: idem, Pisma logiczno-filozoficzne, t. I, op.cit., s. 228-282, zob. zwłaszcza s. 242-244. 9 10 Pętle semantyczne 21 we wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg jest biały’ dla zdania ‘śnieg jest biały’. Zakładamy, że wyrażenie ‘n(śnieg jest biały)’ jest nazwą zdania ‘śnieg jest biały’ oraz że ostatnie wyrażenie jest autoprzekładem na język polski jako na metajęzyk. Zamiast pisać ‘n(śnieg jest biały)’, możemy użyć cudzysłowów i powiedzieć, że wyrażenie ‘śnieg jest biały’ jest nazwą zdania występującego wewnątrz znaków cudzysłowu. Ponadto, zamiast używać języka polskiego równocześnie jako naszego języka i metajęzyka, moglibyśmy powiedzieć np. ‘n(Schnee ist weiss) jest prawdziwe w języku niemieckim wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg jest biały’, gdzie niemiecki jest naszym językiem przedmiotowym, natomiast polski służy jako metajęzyk, w którym wspomniana równoważność jest formułowana. Uwagi na temat używania ‘n(...)’ i cudzysłowów pokazują, że nie jest łatwo odróżnić pomiędzy nazywaniem zdań a ich użyciem (cudzysłowy mogą wskazywać na oba przypadki). Ogólnie rzecz biorąc, cudzysłowy (pojedyncze ‘...’, podwójne „...” lub jakiekolwiek inne, np. ‹...›) są tylko umownymi narzędziami i mogą zostać zastąpione inną notacją. Zazwyczaj etykiety dla formuł są tworzone w metamatematyce poprzez przypisywanie im numerów (liczebników) gödlowskich; przykład zostanie podany poniżej. Być może najważniejszą cechą Tarskiego (lub semantycznej) definicji prawdy jest jej wyraźnie metajęzykowy charakter. Tarski początkowo pracował nad wersją teorii typów Russella. Ta struktura wymuszała nieskończoną hierarchię języków H = J0, J1, J2... takich, że Jn+1 (n = 0, 1, 2., ...) jest MJn, tj. metajęzykiem języka Jn. Z tego powodu potrzebujemy oddzielnego predykatu prawdziwościowego na każdym z poziomów. W rzeczywistości ta wersja jest znacznie ograniczona, gdyż jest kumulatywna: każdy następny poziom zawiera poprzednie. Współczesne ujęcie związane z rozróżnieniem między językiem pierwszego rzędu a językami wyższych rzędów zakłada, że wystarczy podać definicję prawdy dla zadań pierwszego rzędu. Jeśli J jest językiem pierwszego rzędu, definicja prawdy dla jego zdań jest formułowana w języku drugiego rzędu jako jego metajęzyku MJ; oczywiście, możemy rozszerzyć konstrukcję na języki wyższego rzędu. Tarski wykazał, że MJ musi być istotnie bogatszy od J w tym sensie, że musi zawierać wyższe kategorie semantyczne i ponadto metajęzyk posiada tłumaczenia wszystkich wyrażeń języka przedmiotowego. Załóżmy, że J i MJ należą do tego samego porządku. Możemy wtedy zbudować zdanie, które należy do J i MJ jednocześnie i prowadzi do AK. Sugeruje to, że zbiór zdań prawdziwych w J nie może być definiowany w samym J. To ostatnie zdanie jest przybliżonym sformułowaniem twierdzenia o niedefiniowalności prawdy Tarskiego, jednego z najważniejszych wyników metalogicznych. 22 J a n Wo l e ń s k i O ile rzecz dotyczy całej H, nie jest możliwe, by podać dla niej prawidłową definicję prawdy. Twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności prawdy należy do rodziny twierdzeń limitacyjnych nazwanych w ten sposób, ponieważ mówią nam coś o ograniczeniach systemów formalnych. Twierdzenie o niezupełności Gödla, twierdzenie Löwenheima-Skolema o mocy modeli teorii pierwszego rzędu oraz twierdzenie Churcha o nierozstrzygalności logiki pierwszego rzędu to inni członkowie tej rodziny. Pierwsze twierdzenie Gödla o niezupełności posiada dwie wersje: syntaktyczną i semantyczną. Pierwsza z nich stwierdza, że jeśli arytmetyka Peano (PA) jest niesprzeczna, to jest niezupełna, ponieważ istnieją zdania arytmetyki A i ¬A takie, że oba nie są dowodliwe w PA, aczkolwiek druga wersja głosi, że jeśli PA jest niesprzeczna, istnieją prawdziwe, lecz niedowodliwe zdania arytmetyki. Semantyczna wersja pierwszego twierdzenia Gödla natychmiast sugeruje, że istnieje bardzo głęboki związek między niezupełnością i niedowodliwością prawdy w arytmetyce formalnej. W moich dalszych uwagach będę ściśle podążał11 za ujęciem zaprezentowanym w pracy Tarskiego, Mostowskiego i Robinsona z 1953 r. (powtórzę także kilka dowodów po to, by zademonstrować, jak działają narzędzia formalne)12. Niech TH będzie niesprzeczną formalną teorią pierwszego rzędu z nieskończonym ciągiem termów stałych (tj. bez zmiennych wolnych) t1, t2 , t3, …. Powiemy, że zbiór liczb naturalnych K ⊆ N jest definiowalny w TH (względem t1, t2 , t3, …) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje formuła A ∈ TH taka, że A(tn) jest tezą TH, o ile n ∈ K, natomiast ¬A(tn) jest tezą TH pod warunkiem, że n ∉ K. Tę definicję da się bardzo łatwo uogólnić na dowolne funkcje i relacje. W szczególności funkcja F jest definiowalna w TH wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n ∈N, zdanie "v(A(tn, v) ⇔ v = tFn) jest tezą TH, a dla dowolnych m, n ∈ N takich, że Fm ≠ n, zdanie ¬A(tm, tn) jest tezą TH. Załóżmy, że mamy dowolne ustalone odwzorowanie jednojednoznaczne pomiędzy liczbami naturalnymi a wyrażeniami TH; strategia ta daje nam numerały jako nazwy formuł. Bez żadnej straty na ogólności możemy skoncentrować się na formułach kategorii zdaniowej, czyli zdaniach lub otwartych formułach zdaniowych. Tak więc An jest formułą odpowiadającą liczbie n, natomiast Nr(A) odnosi się do liczby skojarzonej z A. Zde- Tak jak robiłem to w: Gödel, Tarski and Truth, „Revue Internationale de Philosophie” 2004, no. 59, s. 459-490; por. także idem, Epistemologia. Poznanie, prawda, wiedza, realizm, PWN, Warszawa 2005, s. 243-256. 12 A. Tarski, A. Mostowski, R. Robinson, Undecidable Theories, North-Holland Publishing Company, Amsterdam 1953, s. 44-48. 11 Pętle semantyczne 23 finiujmy teraz d (czyli funkcję diagonalną) przez równość dn = Nr(An(tn)). Załóżmy, że v jest jedyną wolną zmienną w An. Zgodnie z definicją funkcji diagonalnej DFn jest liczbą skojarzoną z formułą powstająca z formuły An(v) przez podstawienie za zmienną v termu tn. Niech V będzie zbiorem wszystkich liczb naturalnych n takich, że An jest zdaniem prawdziwym w TH. Zachodzi następujące twierdzenie: (UT) Jeśli TH jest niesprzeczna, to DG i V nie są jednocześnie definiowalne w TH. Dowód. Załóżmy, że DF i V są obie definiowalne w TH. Wynika z tego, że istnieją formuły B i C takie, że dla dowolnej liczby naturalnej n (i) zdanie "v(B(tn, v) ⇔ v = tDFn) jest tezą TH (definiowalność d); (ii) n ∈ V wtedy i tylko wtedy, gdy C(tn) (dzięki definiowalności V). Skoro zmienna v nie ma wolnych wystąpień w C, możemy założyć, że nie ma żadnych wystąpień w C. Niech m = Nr("v(B(v, w) ⇒ ¬C(v)). Wynika z tego, że Am = "v(B(w, v) ⇒ ¬C(v)), a ponadto (iii) Am (tm) = "v(B(v, w) ⇒ ¬C(v)). Jeśli An(tn) jest prawdziwe, to jest także prawdziwe (dzięki (i)) dla przypadku n = m. Znaczy to, że prawdziwe jest także zdanie ¬C(tdm). Z drugiej strony, o ile zdanie Am(tdm) nie jest prawdziwe, to Nr(Am(tDFm) ∉ V. Z definicji funkcji diagonalnej otrzymujemy (iv) dm = Nr(Am(tdm). Wynika z tego (przez kontrapozycję (ii)), że ¬C(tm) jest prawdziwe w TH. W konsekwencji (v) zdanie ¬C(tdm) jest prawdziwe w TH. Ostatni wynik wraz z (i) dają (vi) "v(B(tm, v) ⇒ ¬C(v)) jest prawdziwe w TH. W końcu, korzystając z (i) i (vi), otrzymujemy (vii) C(tdm) jest prawdziwe w TH. Zatem pojawiła się sprzeczność, ponieważ C(tdm) i ¬C(tdm) są prawdziwe w TH. Skoro zakładaliśmy niesprzeczność TH, dowód jest zakończony. Wynik ten jest opatrzony następującym komentarzem: [To] twierdzenie i jego dowód stanowi metamatematyczną rekonstrukcję i generalizację argumentacji uwikłanych w przeróżne semantyczne antynomie, a szczególnie w antynomię kłamcy. Pomysł na tę rekonstrukcję i spostrzeżenie jej daleko idących konsekwencji pochodzi od Gödla. Niniejszą wersję tej rekonstrukcji wyróżnia jej ogólność i prostota13. Rzeczywiście, zbiór V ma w zamierzeniu pokrywać się z prawdami arytmetyki, dlatego też wyrażenie ‘∈ V’ można odczytywać jako ‘jest prawdziwy’; co uzasadnia nazywanie V „predykatem prawdziwościowym”. Jednakże w celu uniknięcia zamieszania niech ten predykat oznacza symbol 13 Ibidem, s. 47. 24 J a n Wo l e ń s k i Tr. Ponadto, wyrażenie ‘n ∈ V’ jako stosowane do zdań i ze względu na odwzorowanie pomiędzy liczbami naturalnymi a zdaniami może zostać odczytane jako ‘zdanie nazwane liczbą n jest prawdziwe’. Tak więc metoda arytmetyzacji dostarcza wygodnego systemu nazywania zdań. Jeśli popatrzymy na (i) jako zastosowane do V, otrzymamy, że (KT’) Tr(An) ⇔ ADFn zachodzi dla każdego zdania J. Jest to wersja schematu T. Jeśli mamy (FPL) TH ├ Tr(An) ⇔ ADFn, dla dowolnego A ∈ J(TH), znaczy to, że TH (zakładając, że jest to zarytmetyzowana teoria) spełnia lemat o punkcie stałym (albo lemat o diagonalizacji; zob. poniżej) w stosunku do predykatu Tr; wyrażenie ADFn jest stałym punktem Tr(An). Rozważmy teraz zdanie Tm = ¬Tr(Tm). Dzięki (KT’) jest to stały punkt Tr(Tm). Zatem Tm jest prawdziwe, ale z drugiej strony – jest fałszywe przez założenie. To rozumowanie pokazuje, że paradoks kłamcy jest szczególnym przypadkiem ogólnego dowodu (UT). By to zobaczyć, zaobserwujmy, że (i) implikuje (KT’), a z tego ostatniego wynika, że mamy odpowiedni stały punkt w zależności od tego, czy jakaś liczba, powiedzmy k, skojarzona z formułą ¬Tr(Tm) należy do V, czy nie. Rozważmy zatem przypadek, gdy k = m. Tak więc formuła (KT’) ⇒ ¬Tr(Tm) (z Tm zdefiniowanym jak wyżej) staje się szczególnym przypadkiem formuły "v(B(v, w) ⇒ ¬C(v)). Podam również dwa inne ujęcia (UT). Pierwsze z nich pochodzi z pracy Bella z 1999 r.14. Załóżmy, że Am(v) jest formułą o kodzie (wartości funkcji diagonalnej) m. Zatem dla dowolnego n możliwe jest, by obliczyć kod zdania Am(n), gdzie n jest numerem odpowiadającym n; zdanie Am(n) otrzymuje się przez podstawienie liczebnika n za wolną zmienną v. Ten fakt oznacza, że omawiane obliczanie jest reprezentowalne arytmetycznie i że jesteśmy w stanie efektywnie zdefiniować arytmetyczny term s(u, v) taki, że dla dowolnych liczb naturalnych m, n, p zdanie s(m, n) = p jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy p jest kodem zdania Am(n). W ramach tych wstępnych założeń mamy: (UT’) Jeśli V jest zbiorem zdań arytmetyki spełniającym następujące warunki: (a) Każdy element V jest prawdziwy; (b)Własność ‘kod elementu zbioru V’ jest arytmetycznie definiowalna; to istnieje prawdziwe zdanie G arytmetyki takie, że G, ¬G ∉ V. J.L. Bell, The Art of Intelligible. An Elementary Survey of Mathematics and its Conceptual Development, Kluwer Academic Publishers, Dodrecht 1999, s. 219-222. 14 Pętle semantyczne 25 Dowód. Dzięki (b) istnieje formuła V(v) języka J taka, że (c) V(n) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy n jest kodem zdania z V wtedy i tylko wtedy, gdy An ∈ V, dla każdego n. Rozważmy formułę ¬T(v). Podstawmy wyrażenie s(v, v) za każde wolne wystąpienie zmiennej v w ¬T(v). Otrzymamy formułę ¬T(s(v, v)). Oznaczmy ją symbolem B(v). Załóżmy, że m jest jej kodem. Zatem B stało się zdaniem Am. Niech p będzie taką liczbą naturalną, że zdanie p = s(m, m) jest prawdziwe; w ten sposób p jest kodem zdania Am(m). Oznaczmy je przez G. A więc p jest kodem G, czyli G to Ap. Zaobserwujmy, że otrzymaliśmy ciąg równoważności: (E) G jest prawdziwe wtw Am(m) jest prawdziwe wtw B(m) jest prawdziwe wtw ¬T(s(m, m)) jest prawdziwe wtw T(p) jest fałszywe wtw Ap ∉ V wtw G ∉ V. (E) prowadzi do konkluzji, że G orzeka o sobie, że nie należy do V. Należy również stwierdzić, że G jest prawdziwe, ponieważ w przeciwnym razie byłoby prawdziwe jako element V. Tak więc G jest prawdziwe i G ∉ V. Oznacza to, że ¬G jest fałszywe i nie należy do V, ponieważ ten zbiór składa się tylko ze zdań prawdziwych. To kończy dowód (UT’). Jeśli V jest traktowany jako zbiór wszystkich prawd arytmetyki, otrzymujemy: (AUT) Własność bycia prawdziwym zdaniem arytmetycznym nie jest arytmetycznie definiowalna. W tym miejscu należy poczynić uwagę terminologiczną. Bell nazywa (UT’) twierdzeniem o prawdziwości arytmetycznej, natomiast (AUT) nazywa twierdzeniem Tarskiego o niedefiniowalności prawdy. Wydaje się to nie do końca właściwe, ponieważ (UT) zostało udowodnione przez Tarskiego i jego współpracowników dla wszystkich arytmetyzowalnych teorii. Zatem (UT’) jest tylko odpowiednikiem (UT) w języku Bella, zaś (AUT) jest twierdzeniem o niedefiniowalności prawdy dla arytmetyki. Drugie ujęcie jest najprostsze15. Po pierwsze, zaobserwujmy, że lemat o punkcie stałym zachodzi dla PA (symbol PA oznacza arytmetykę Peano), tzn. że mamy: (FPLPA) PA├ Tr(An) ⇔ Adn, dla dowolnego A ∈ J(PA). Załóżmy, że istnieje formuła A(v) taka, że dla dowolnego zdania S języka J(PA) PA├ S ⇔ A(Sdn). Dzięki (FPLPA) istnieje zdanie S’ takie, że R.M. Smullyan, Gödel’s Incompleteness Theorems, Oxford University Press, Oxford 1992, s. 104; R. Murawski, Recursive Fuctions and Metamathematics. Problems of Completeness and Decidabilit, Gödel’s Theorems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1999, s. 204. 15 26 J a n Wo l e ń s k i PA├ S’ ⇔ ¬A(S’dn). To natychmiast prowadzi do sprzeczności, ponieważ otrzymujemy PA├ A(S’dn) ⇔ ¬A(S’dn). Dlatego nie istnieje taka formuła języka J(PA), która byłaby definicją prawdy dla PA. Jest to oczywiście twierdzenie o niedefiniowalności prawdy dla PA. Może zostać ono uogólnione dla każdej teorii zawierającej PA jako swoją podteorię. Załóżmy, że pojęcie dowodu jest sformalizowane i mamy (*), jeśli każdy element zbioru zdań X jest prawdziwy, to każde zdanie dowodliwe z X jest prawdziwe; (**) jeśli własność bycia elementem zbioru X jest arytmetycznie definiowalna, to własność bycia zdaniem dowiodliwym z X jest arytmetycznie definiowalna. Niech X* będzie zbiorem wszystkich zdań dowodliwych z X pod warunkiem, że ten ostatni składa się ze zdań prawdziwych. Zatem X* poprzez (*) i (**) składa się ze zdań prawdziwych i własność bycia jego elementem jest definiowalna arytmetycznie. Pozwala nam to zastosować (UT’) i stwierdzić, że istnieje prawdziwe zdanie G takie, że ani ono, ani jego negacja nie należą do X*. Inaczej mówiąc, mamy pierwsze twierdzenie Gödla o niezupełności: (GT1) Istnieją prawdziwe i niedowodliwe zdania arytmetyki w semantycznym ujęciu (Bell nazywa je „słabym twierdzeniem Gödla o niezupełności”). Jego syntaktyczne (lub mocne) sformułowanie wymaga dużo bardziej zaawansowanych metod. W szczególności założenie o prawdziwości X jest zastąpione założeniem, że ten zbiór jest ω-niesprzeczny (lub tylko niesprzeczny za Rosserem). Mocna wersja twierdzenia posiada tę zaletę, że jej dowód dostarcza przykładu niedowodliwego zdania, natomiast wersja słaba stwierdza jedynie, że zdania takie istnieją. Jednakże zdanie G orzeka o swej niedowodliwości w obu wersjach twierdzenia, mimo że G używane w dowodzie (UT’) orzeka o sobie, że nie należy do zbioru V. Ograniczenia stwierdzone przez (UT) i (GT1) nie są przypadkowe. Wprawdzie mogą być one ostatecznie usunięte poprzez dodanie reguły ω jako nowej reguły wnioskowania lub przez przyjęcie, że rozważane teorie mają nierekurencyjną aksjomatyzację, aczkolwiek takie posunięcia rujnują skończonościowy charakter środków dedukcyjnych. Wrócę teraz do lematu o punkcie stałym. W matematyce, np. w topologii, często spotykamy się z sytuacją, że fx = x, gdzie f jest funkcją. W takim przypadku mówimy, że x stanowi stały punkt fx. Znak równości w formule fx = x dopuszcza różnorodne interpretacje łącznie z odczytywaniem go jako ⇔. W rzeczywistości (FPL) i (FPLPA) używają jedynie tej interpretacji. Z grubsza rzez biorąc, (FPL) (jako ogólne twierdzenie matematyczne) mówi, że dla dowolnej formuły FA orzekającej, że A spełnia warunek F, FA posiada stały punkt A, tj. zachodzi równoważność FA ⇔ A, Pętle semantyczne 27 o ile w danej teorii definiowalna jest funkcja diagonalna16. Jeśli d jest definiowalna w TH będącej teorią formalną17, oznacza to, że TH├ d(A) ⇔ A. W szczególności TH├ d(λ) ⇔ λ, co prowadzi do AK. To interesujące, że nie musimy bezpośrednio odwoływać się do samozwrotności. Lematy o punkcie stałym i o diagonalizacji zachowują się podobnie do samozwrotności w języku naturalnym, przynajmniej gdy idzie o ogólne skutki. Zamiast eliminować kontekst samoodniesienia, musimy zdecydować, czy tworzyć wszystkie możliwe T-równoważności (definiować funkcję d jako całość), czy też definiować zbiór zdań prawdziwych V. Połączenie obu tych zadań prowadzi do antynomii. Inaczej mówiąc, albo do danego języka J należą cząstkowe definicje prawdy dla J wraz z predykatem prawdziwościowym, albo pełna definicja prawdy, ale sformułowana w MJ. Jeśli (KT) jest warunkiem poprawności definicji prawdy, blokuje ona maksymalizm polegający na jednoczesnym definiowaniu V i d [por. treść (UT)]. Oczywiście, wprowadzone narzędzia formalne ulepszają analizę języków naturalnych dokonaną przez Tarskiego. Stephen Yablo uważa, że oryginalne podejście Tarskiego nie blokuje wszystkich wersji AK18. Zanim przedstawię jego argumentację, przypomnę inną wersję AK generowaną przez parę zdań: A1: A2 jest prawdziwe, A2: A1 jest fałszywe. Załóżmy, że A1 jest prawdziwe. Zatem prawdziwe jest także A2, co powoduje, że A1 jest fałszywe, sprzecznie z założeniem. Załóżmy zatem, że A1 jest fałszywe. Oznacza to, że A2 jest fałszywe, co pociąga za sobą, że A1 jest prawdziwe, ponownie sprzecznie z założeniem. Krąg kłamców (lub pętla kłamców) wskazuje, że samoodniesienie nie musi być bezpośrednie. W rzeczywistości żadne z {A1, A2} nie jest samozwrotne, lecz tę własność posiada już ich połączenie. Yablo proponuje, by rozważyć nieskończony ciąg S zdań: A0 , A1, A2 , ..., Ai , ..., gdzie A0 = ‘Ak jest fałszywe dla dowolnego k > 0’, A1 = ‘Ak jest fałszywe dla dowolnego k > 1’, A2 = ‘Ak jest fałszywe dla dowolnego k > 2’, ..., Ai = ‘Ak jest fałszywe dla dowolnego k > i’, .... Ustalmy dowolne i. Z założenia Ak jest fałszywe dla dowolnego k > i. Zastosujmy schemat T. Otrzymamy wtedy (α) Ak jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy Ai jest fałszywe dla dowolnego k > i. R.M. Smullyan, op.cit., s. 102-103. Dla przeglądu konstrukcji logicznych z użyciem punktów stałych zob. G. Sommaruga-Rosolemos, Fixed Point Constructions in Various Theories of Mathematical Logic, Bibliopolis, Napoli 1991. 18 S. Yablo, Paradox without Self-Reference, „Analysis” 1993, no. 54(4), s. 251-252. 16 17 28 J a n Wo l e ń s k i Załóżmy, że Ai jest prawdziwe. Wynika z tego, że Ai+1 jest fałszywe, Ai+2 jest fałszywe itd. Teraz, jeśli Ai+1 jest fałszywe, to Ai+2 jest prawdziwe, sprzecznie z prawą stroną (α). Z ostatniego stwierdzenia wynika, że Ai jest fałszywe dla dowolnego k > i. W konsekwencji lewa strona (α) także jest fałszywa, sprzecznie z założeniem. Założenie, że formuła ‘Ai jest prawdziwe’ jest fałszywa, prowadzi natychmiast do sprzeczności, ponieważ wynika z niej, że co najmniej jedno Ak jest prawdziwe. Paradoks tworzony przez S Yablo nazywa ω-Kłamcą i twierdzi, że nie ma on nic wspólnego z samozwrotnością i hierarchią językową, nawet pośrednio. Dokładniej, twierdzi on, że typowa strategia przeciw kolistości zalecana przez podejście w stylu Tarskiego nie ma zastosowania do ω-Kłamcy19. Pomijając jego własne rozwiązania, krytyczne uwagi Yablo przeciwko Tarskiemu nie są zupełnie poprawne. Rozważmy ponownie ciąg S. Mamy ciąg zdań A0 , A1, A2 , ..., Ai , ... oraz warunek, że dla dowolnego k > i (k = 0, 1, 2, ... , i, ...) Ai orzeka, że Ak jest fałszywe. Niesprzeczny opis S wymaga, by A0 było prawdziwe, ponieważ w przeciwnym wypadku istnieje co najmniej jedno Ak, które jest prawdziwe. Możemy zatem stwierdzić, że A0 pośrednio orzeka swoją prawdziwość. Podobnie, twierdzimy, że skoro żadne zdanie Ai (i > 0) nie może być prawdziwe, każde z tych zdań odnosi się pośrednio do swojej fałszywości. Ważniejszą obserwacją jest, że skoro ω-Kłamca tak mocno korzysta ze schematu T, to zależy od (FPL). W konsekwencji ω-Kłamca pokazuje, że zbiór zdań prawdziwych jest niedefiniowalny w języku, w którym ta antynomia jest sformułowana. Tak więc diagonalizacja i (FPL) wydają się bardziej fundamentalnymi zjawiskami niż samoodniesienie. A jak się ma samoodniesienie do prawdy? Zdanie (τ) zdanie oznaczone przez (τ) jest prawdziwe nazywane jest Prawdomównym (Truth-Teller). Jest ono samozwrotne i informuje o swojej prawdziwości. Co wyraża zdanie (τ)? Czy (τ) jest paradoksalne? Zdrowy rozsądek odpowiada: nie. Z (FPL) uzyskamy formułę (β) jako dowodliwą w arytmetyce. Ponadto, jeśli (τ) jest dowodliwe, to jest prawdziwe20. Fakt ten nie prowadzi do antynomii i jest niesprzeczny z (UT). Równoważność (β) wyraża jedną z tzw. zasad refleksji, odbija ona S. Yablo, Circularity and Paradox, [w:] Self-Reference, red. T. Bollander, V.T. Hendricks, S. Pedersen, CSLI Publications, Stanford 2006, s. 165–183. 20 M. Löb, Solution of the Problem of Leon Henkin, „Journal of Symbolic Logic” 1955, no. 20, s. 115-118. 19 Pętle semantyczne 29 siebie, w tym przypadku swoją prawdziwość. Jednakże możemy sformułować paradoks Prawdomównego (paradox of Truth-Teller), gdy jako naszą ramę formalną przyjmiemy logikę odrzucania lub logikę dualną21. Ogólnie rzecz biorąc, logika klasyczna, tak jak rozumiana jest w (C), wyróżnia prawdę jako wartość logiczną. Oznacza to, że operacja konsekwencji związana z logiką zachowuje prawdę i formalizuje proces uznawania zdań na bazie innych zdań już uznanych. Jednak nic, przynajmniej z czysto formalnego punktu widzenia, nie stoi na przeszkodzie, by używać logiki, która zachowuje fałsz i działa na odrzuconych zdaniach. Jeśli A lub B jest odrzucone, to odrzucone jest A ∧ B; jeśli A ∨ B jest odrzucone, odrzucone jest A i odrzucone jest B. Obie reguły są sformułowane w metajęzyku logiki asercji zdaniowej. Jednak możemy budować logikę odrzucania bez odwoływania się do języka asercji. W tym nowym formalnym szkielecie, który posiada odpowiedniki wszystkich wyników metamatematycznych, (λ) jest nieszkodliwe, natomiast (τ) prowadzi do paradoksu. Jest to ważny wniosek. Nie mamy żadnych ogólnych kryteriów, by a priori decydować, który przypadek samoodniesienia jest niewinny, a który nie. Dostępne dowody empiryczne wskazują, że niebezpieczne przypadki samoodniesienia są semantyczne w swojej istocie (zawierają takie kategorie, jak prawda czy denotacja) i występują razem ze schematami redukcji jak schemat T umożliwiający kompresję samozwrotnych zdań. Po raz kolejny funkcja d oraz (FPL) odgrywają kluczową rolę. W rzeczywistości uwalniają nas one od odwoływania się do samoodniesienia przynajmniej w dobrze zachowujących się (formalnie) systemach. Samoodniesienie staje się istotne, gdy przechodzimy do języków naturalnych. Powyższe rozważania sugerują, że stwierdzenie „pętle semantyczne tworzone są przez samoodniesienie” powinno być wzięte cum grano salis i tylko w przybliżeniu. Bliższa analiza za pomocą narzędzi metamatematycznych wskazuje, że diagonalizacja i (FPL) tworzą takie pętle (także syntaktyczne) w dobrze zdefiniowanych teoriach formalnych. Samoodniesienie pojawia się, gdy działamy w językach naturalnych, w których takie pojęcia, jak prawda, funkcja dowodliwości czy definiowalności, nie są do końca określonymi kategoriami. Z drugiej strony, istnieje dość ścisły związek pomiędzy oboma źródłami pętli, tj. między precyzyjną konstrukcją J. Woleński, Logika i fałsz [w:] Filozofia/Logika: Filozofia logiczna, red. J. Perzanowski, A. Pietruszczak, C. Gorzka, Wyd. UMK, Toruń 1995, s. 161-176; przedruk w: idem, W stronę logiki, Aureus, Kraków 1996, s. 222-235. 21 30 J a n Wo l e ń s k i matematyczną a kontekstami samoodniesieniowymi, ponieważ oba te źródła produkują sprzeczności, dopóki na tworzoną konstrukcję nie zostaną nałożone pewne ograniczenia. Wracając do początku tego artykułu, niektóre pętle są otwarte, a inne zamknięte. Z definicji otwarte pętle są niewinne, natomiast zamknięte powodują antynomie. Dlatego, by uchronić nasze systemy przed sprzecznościami, potrzebujemy znaleźć sposób na otwarcie zamkniętych pętli. Pomysł Tarskiego polegał na wprowadzeniu hierarchii językowej i wyeliminowaniu samozwrotnych zdań. Twierdzenie, że takie pojęcia, jak spełnianie, prawda czy denotacja, powinny być definiowane w metajęzykach, stało się produktem ubocznym tej strategii. Niektórzy ludzie uważają to narzędzie za sztuczne i proponują różne alternatywne metody (zob. powyżej), w tym także strategie wykorzystujące konstrukcje z punktami stałymi, choć w połączeniu ze zmianą logiki lub teorii mnogości22. Chciałbym zaproponować inne spojrzenie na otwieranie zamkniętych pętli, które – przynajmniej moim zdaniem – jest bezpośrednim zastosowaniem sposobu myślenia Tarskiego. Spójrzmy po raz kolejny na (UT). Mówi ono, że funkcja diagonalizacji i zbiór prawd nie są jednocześnie definiowalne w niesprzecznym bogatym (zawierającym arytmetykę) systemie formalnym. Można powiedzieć, że diagonalizacja tworzy pętlę semantyczną zamkniętą przez każdą definicję prawdy spełniającą (KT). Wyjście z tej sytuacji jest proste: zrezygnujmy z definiowania prawdy dla języka J w J i przejdźmy do MJ. Innymi słowy, zamknięte pętle, o których mowa, otwiera (UT). Podobnie, twierdzenie o niezupełności otwiera zamkniętą pętlę produkowaną przez twierdzenie, że arytmetyka jest zupełna (lub skończenie aksjomatyzowalna). Oba wyniki limitacyjne pozwalają zachować niesprzeczność. Różnica pomiędzy „pętlą Tarskiego” a „pętlą Gödla” polega na tym, że ta ostatnia może zostać otwarta w J, pierwsza nie. Mówiąc najprościej, fakt ten odzwierciedla głęboką różnicę pomiędzy syntaktyką a semantyką. Niezwykły wynik, który formalnie ukazuje tę sytuację, stwierdza, że pojęcie prawdy nie należy do hierarchii arytmetycznej, lecz do analitycznej, chociaż pojęcie dowodliwości może zostać włączone do tej pierwszej23. Z powodu znanych cech języków naturalnych nie możemy do nich zastosować DG czy też (FPL), Zob. np. S. Kripke, Outline of an Theory of Truth, „The Journal of Philosophy” 1975, no. 72, s. 690-712; J. Barwise, J. Etchementy, The Liar: An Essays in Truth and Circularity, Clarendon Press, Oxford 1987; J. Barwise, L. Moss, Vicious Circle, CSLI Publications, Stanford 1996. 23 R. Murawski, op.cit. 22 Pętle semantyczne 31 nawet pośrednio. Jednakże można powiedzieć, że (KT) determinuje nasze użycie predykatu ‘jest prawdziwy’ w mowie potocznej, a każda poprawna definicja prawdy powinna implikować wszystkie przypadki schematu T. Skoro jest wykazywalne, że niektóre poprawnie zbudowane zdania potoczne prowadzą do antynomii, należy coś zrobić, by uniknąć sprzeczności. Twierdzimy, że prawda jest niedefiniowalna i trzeba wprowadzić hierarchię języka. Zalety tej propozycji są następujące. Po pierwsze, strategia jest bardzo prosta, prostsza niż jej wersje alternatywne. Po drugie, samoodniesienie zostaje zdemistyfikowane24. Po trzecie, samozwrotne stwierdzenia nie muszą być traktowane jako źle sformułowane lub niegramatyczne. Pozostaje jeszcze poruszyć pewne filozoficzne kwestie zasugerowane przez powyższe wywody. Rozmyślnie powstrzymuję się od stwierdzenia, że formalne konstrukcje logiczne pociągają za sobą (w ściśle logicznym sensie) określone filozoficzne konsekwencje, ponieważ według mojej opinii relacja wewnątrz nauki (włączając logikę i matematykę) jest bardzo skomplikowana i wymaga wiele hermeneutyki. Jednakże pozwolę sobie, do pewnego stopnia, na spekulacje. Załóżmy, że mamy język J właściwy, by wyrazić w nim całą wiedzę. Oznacza to, że MJ jest częścią J. Ze względu na (UT) zbiór zdań prawdziwych języka J nie posiada definicji w tym języku. Skoro żaden inny język nie jest dostępny, rozszerzenie ‘jest prawdziwy w J’ nie może zostać uchwycone przez żadną J-formułę. Wydaje się naturalne, że pojęcie bytu odpowiada zbiorowi zdań prawdziwych w J. Jednakże niedefiniowalność prawdy implikuje niedefiniowalność bytu. Stwierdzenie to zgadza się z teorią transcendentaliów rozwijaną przez średniowiecznych filozofów25. Następna obserwacja filozoficzna odnosi się do natury narzędzi dedukcyjnych używanych w metamatematyce. Chociaż nasze faktyczne zdolności dedukcyjne mają charakter finitystyczny, arytmetykę można uczynić zupełną poprzez dodanie reguły ω, która jest nieskończona, o ile idzie o liczność zbioru jej przesłanek. Oczywiście, ze względu na naszą dedukcyjną naturę nie znaczy to od razu, że jesteśmy w stanie używać reguły ω efektywnie, jednakże możemy mówić o jej skutkach. Z drugiej strony, (UT) nie może zostać przezwyciężone poprzez uzupełnienie naszych środków dedukcyjnych przez narzędzia nieskończonościowe. C. Smorynski, Self-Reference and Modal Logic, Springer, Berlin 1985, zob. rozdz. 0. Zob. J. Woleński, Dwie koncepcje transcendentaliów, [w:] Wartość bycia. Władysławowi Stróżewskiemu w darze, red. D. Karłowicz, J. Lipiec, B. Szymańska, Polskie Towarzystwo Filozoficzne, Kraków, Warszawa 1993, s. 274-288. 24 25
