Budownictwo, sem. II Przykładowe zadania na egzamin z

Zagadnienia na egzamin – przykładowe zadania
Budownictwo, sem. II
Przykładowe zadania na egzamin z Matematyki
rok akademicki 2008/09
Umiejętność obliczania całek oznaczonych i ich zastosowania (patrz lista nr 2), np.
√
1. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y = 3 x − 3, x = 0 i y = 0.
Umiejętność rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych (patrz listy nr 3, 4 i 5), np.
2. Podaj postać rozwiązania ogólnego równania y 0 =
x cos x
.
y2
3. Podaj postać rozwiązania ogólnego równania y 00 − 6y 0 + 10y = 0.
4. Podaj postać rozwiązania szczególnego równania y 00 − y 0 = 2x2 + x cos x. (bez wyznaczania
współczynników)
Umiejętność szkicowania wykresów, poziomic funkcji wielu zmiennych oraz obliczania ich pochodnych cząstkowych; zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych (patrz lista nr 6), np.
5. Narysować plan poziomicowy wykresu funkcji funkcji f (x, y) = −y + x2 − 1.
6. Oblicz gradient funkcji f (x, y) = x2 y + y 3 + exy w punkcie (x, y) = (0, 0).
7. Boki trójkątnego kawałka ziemi zmierzone z dokładnością 1 m wynoszą a = 250m, b =400m.
Kąt miedzy tymi bokami zmierzony z dokładnością 0.01 rad wynosi α = π3 rad. Z jaka w
przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole P tego kawałka ziemi?
Umiejętność obliczania całek podwójnych i potrójnych, np.
8. Znaleźć współrzędne środka ciężkości cienkich płytek o stałej gęstości ρ 0 .
4
3
2
1
-2
y
-1
y = 4−x
1
2
x
4
3
2
1
2
-2
y
y = 4 − |x| 1
y
y = sin x
π
2
-1
1
2
x
π
x
-1
9. Oblicz objętość obszaru ograniczonego powierzchniami z = 1 − x2 − y 2 i z = 0.
y
10. Niech V = h−1, 1i × h−1, 1i × h−1, 1i. Oblicz
(xy + 3z 2 )dxdydz.
V
11. Niech V = h0, 1i × h0, 3i × h0, 3i. Oblicz średnią wartość funkcji f (x, y, z) = xy 2 z 3 .
12. Oblicz masę prostopadłościanu V = h−2, 1i × h0, 2i × h−1, 1i o gęstości ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 .
13. Wyznacz środek ciężkości jednorodnej (przyjąć ρ(x, y, z) = 1) bryły ograniczonej powierzchniami z = 9 − x2 − y 2 i z = 0.
y
14. Oblicz
xydxdydz, gdy V jest obszarem ograniczonym płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0
V
6x + 3y + 4z = 12.
Umiejętność obliczania całek krzywoliniowych i powierzchniowych, np.
15. Oblicz długość krzywej o opisie parametrycznym x = cos t, y = sin t, z = t, 0 6 t 6 2.
16. Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego łuku okręgu x2 + y 2 = 1 położonego powyżej
prostej y = x.
17. Oblicz moment bezwładności względem osi OZ jednego zwoju linii śrubowej
L : x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 2t,
gdzie t ∈ h0, 2πi, jeżeli liniowa gęstość masy tego łuku wyraża się wzorem ρ(x, y, z) = z.
ˆ
18. Oblicz
xy 2 dx + yz 2 dy − (z + 2)dz, gdy L jest trójkątem 4ABC o wierzchołkach A(1, 0, 0),
L
B(0,2,0) C(0, 0, 3) (kierunek krzywej L jest zadany przez kolejność wierzchołków).
19. Oblicz cyrkulacje pola wektorowego F~ = [x, z, y] wzdłuż łuku L powstałego z przecięcia
powierzchni z = x2 + y 2 − 10 i z = −1.
20. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywa o opisie parametrycznym x = 2 cos t, y = sin t,
0 6 t 6 2.
21. Wykorzystując twierdzenie Greena obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną
‰
2(x2 + y 2 )dx + (x + y)2 dy,
L
gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(1, 1), B(2, 2), C(1, 3).
√
22. Obliczyć pole płata powierzchniowego o równaniu z = x2 + y 2 ograniczonego płaszczyznami
z = 2 i z = 3.
23. Niech F~ = [x2 + yz, y 2 + xz, z 2 + xy]. Oblicz rot F~ . Czy pole F~ jest potencjalne?
y
24. Oblicz dywergencję pola F~ = xz 3 , −xy 4 sin z, 5 . W jakich punktach przestrzeni pole F~ jest
z
polem bezźródłowym (solenoidalnym)?
√
25. Oblicz strumień pola F~ = [x, y, 2z] przez powierzchnię będącą dolną stroną stożka z = x2 + y 2
odciętą płaszczyznami z = 1 i z = 2.
26. Oblicz strumień pola F~ = [5x + z, x − 3y, 4y − 2z] przez górną część płaszczyzny x+2y+3z = 6
odciętą płaszczyznami układu współrzędnych.
itp.
,