SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a1,a2,... utwórzmy nowy ciąg sn

SZEREGI LICZBOWE
Z ciągu liczb a1 , a2 , . . . utwórzmy nowy ciąg
sn = a1 + a2 + . . . an =
n
X
ak .
k=1
Przyjmijmy oznaczenia
∞
X
k=1
ak = a1 + a2 + . . . = n→∞
lim sn .
P
P
∞
Gdy granica ∞
k=1 ak jest liczbą, to mówimy, że szereg
k=1 ak jest sumowalny
(innymi słowy jest zbieżny). Gdy ciąg s1 , s2 , . . . jest rozbieżny, to mówimy, że
P
szereg ∞
k=1 ak jest niesumowalny (lub nie jest sumowalny lub jest rozbieżny).
P
n
Szereg geometryczny ∞
k=0 q jest sumowalny gdy |q| < 1; zaś jest rozbieżny
dla |q| ≥ 1: bo dla |q| 6= 1 zachodzi
n
X
aq n =
k=0
P∞
oraz szeregi k=0 1n oraz
definicji granicy.
P∞
n
k=0 (−1)
1 − q n+1
1−q
są rozbieżne co sprawdzamy przy pomocy
Ciag s1 , s2 , . . . nazywamy ciągiem sum częściowych. Gdy położymy
rn = an+1 + an+2 + . . . =
∞
X
ak ,
k=n+1
to ciąg r1 , r2 , . . . nazywamy ciągiem reszt.
Twierdzenie. Jeśli szereg
Uzasadnienie. Skoro
rn =
P∞
k=1
∞
X
ak jest sumowalny, to limn→∞ rn = 0.
ak = −sn +
k=n+1
to
lim rn =
n→∞
Szereg
P∞
1
n=1 n
k=1
ak ,
k=1
ak − n→∞
lim sn = 0.
( tzw. szereg harmoniczny) jest niesumowalny bo
n
2
X
k=1
∞
X
∞
X
2n
1
1
1
1
1
= n
+ n
+ ... + n
> .
n
+k
2 +1 2 +2
2 +2
2
1
P
Warunek Cauchye’go. Szereg ∞
n=1 jest sumowalny gdy dla dowolnej liczby
ε > 0 można dobrać liczbę naturalną k tak, aby nierówności m > n > k pociągały
|an + an+1 + . . . + am | < ε.
Szeregi harmoniczne: Szereg harmoniczny
∞
X
1
nα
n→1
jest sumowalny gdy α > 1 oraz jest rozbieżny gdy α ≤ 1.
Twierdzenie. Jeśli szeregi
∞
X
P∞
n=1
an oraz
(an + bm ) =
n=1
n=1 bn
∞
X
an +
n=1
∞
X
can = c
n=1
∞
X
∞
X
P∞
(an − bn ) =
n=1
2
są sumowalne, to
bn ;
n=1
∞
X
an ;
n=1
∞
X
∞
X
n=1
n=1
an −
bn .
Szereg naprzemienny to szereg postaci a1 − a2 + a3 − . . . (−1)n an + . . ., gdzie
liczby an są nieujemne.
Twierdzenie. Gdy a1 ≥ a2 ≥ . . . oraz limn→∞ an = 0 , to szereg
jest sumowalny.
P∞
n+1
an
n=1 (−1)
2
Przykładowo
1−
∞
X
(−1)n+1
1 1 1
+ − + ... =
= ln2.
2 3 4
n
n=1
Twierdzenie Abela. (N. H. Abel 1802 -1929). Jeśli a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . oraz
limn→∞ an = 0 przy czym ciąg {b1 + b2 + . . . + bn : n = 1, 2, . . .} jest ograniczony,
P
n
2
to szereg ∞
n=1 (−1) (an · bn ) jest sumowalny.
Kryterium porównawcze. Gdy stale zachodzi 0 ≤ bn ≤ an , to sumowalność
P
P
an pociąga sumowalność szeregu ∞
szeregu ∞
n=1 bn ; zaś rozbieżnośc szeregu
n=1
P∞
P∞
2
n=1 an .
n=1 bn pociąga rozbieżność szeregu
Szereg
P∞
1
n=1 n(n+1)
jest sumowalny, bo
1
1
1
1 1
1
1
1
1
+
+...+
= (1 − ) + ( − ) + . . . + (
− ) = 1− .
1·2 2·3
n · (n + 1)
2
2 3
n−1 n
n
2
Skoro stale mamy
1
1
<
,
2
n
n(n − 1)
∞
X
1
to szereg
n=1
π2
6
jest sumowalny – można pokazać, że
sumowalny, bo stale zachodzi
=
P∞
1
n=1 n2 .
n2
Szereg
P∞
n=1
sin n1 tg n1 jest
1 1
1
0 ≤ sin tg ≤ 2 .
n n
n
Kryterium d’Alemberta (1717 -1783 encyklopedysta). Niech a1 , a2 , . . . będzie ciągiem liczb. Gdy
an+1 < 1,
lim
n→∞ a
n
P∞
to szereg n=1 an jest sumowalny; zaś gdy
an+1 > 1,
lim
n→∞ an
to szereg
P∞
n=1
|an | jest niesumowalny.
2
Kryterium Cauche’go. Niech a1 , a2 , . . . będzie ciągiem liczb. Gdy
q
lim
n
n→∞
to szereg
P∞
n=1
|an | < 1,
an jest sumowalny; zaś gdy
q
lim
n
n→∞
to szereg
P∞
n=1
|an | > 1,
|an | jest niesumowalny.
2
Uwaga: Kryteria d’Alemberta lub Cauchye’go niczego nie mówią gdy liczne w
nich granice wynoszą 1.
Szereg
P∞
cn
n=1 n!
jest sumowalny, bo
cn+1 n!
c
=
lim
= 0.
n→∞ (n + 1)! cn
n→∞ n + 1
lim
Zaś szereg
bo
P∞
n!
n=1 100n
jest niesumowalny. Także szereg
(n + 1)! nn
n
lim
=
lim
n+1
n→∞ (n + 1)
n→∞ n + 1
n!
3
P∞
n
n!
n=1 nn
1
= .
e
jest sumowalny,
Dla szeregu
P∞
np
n=1 cn
mamy
1
(n + 1)p cn
= .
n+1
p
n→∞
c
n
c
lim
Wnioskujemy, że gdy p jest liczbą całkowitą, to dla c > 1 szereg jest sumowalny;
zaś dla 0 < c < 1 jest niesumowalny.
Zbadajmy sumowalność szeregu
∞
X
x2n−1
n=1
Mamy
(−1)n−1
.
2n − 1
x2n+1 (−1)n+1 (2n − 1)
lim
= x2 .
n→∞ x2n−1 (−1)n−1 (2n + 1)
Wnioskujemy stąd, że jest to szereg sumowalny, o ile |x| < 1; gdy |x| > 1, to szereg
ten jest niesumowalny. Gdy |x| = 1, to dostajemy dwa szeregi naprzemienne
∞
X
(−1)n−1
n=1
∞
X
(−1)n+1
2n − 1
n=1
które są sumowalne. Gdy rozważymy szereg
lim
n→∞
P∞
n=1
2n − 1
(x−1)n+1
,
n2
,
to mamy
(x − 1)n+1 n2
= x − 1,
(n + 1)2 (x − 1)n
Wnioskujemy, że dla −1 < x < 1 jest to szereg sumowalny. Jednocześnie sprawdzamy, że dla |x| = 1 dostajemy szereg porównywalny z szeregiem harmonicznym
P∞ 1
n=1 n2 , a więc szereg ten jest sumowalny dla −1 ≤ x ≤ 1.
Kryterium Kummera. Szereg
dodatnich b1 , b2 , . . . taki, że
lim (bn
n→∞
P∞
n=1
an jest sumowalny gdy istnieje ciąg liczb
|an |
− bn+1 ) > 0.
|an+1 |
Kryterium Raabego. Gdy
lim n(
n→∞
to szereg
P∞
n=1
|an |
− 1) > 1,
|an+1 |
an jest sumowalny. Gdy
lim n(
n→∞
|an |
− 1) < 1,
|an+1 |
4
to szereg
P∞
Szereg
n=1
an jest niesumowalny.
P∞
n=1
2n+1
3n+1
n
2
jest sumowalny, bo limn→∞
v
!n
u
u
n100 99n
99
n
t
lim
=
,
n
100
n→∞
r
n
2n+1
3n+1
= 23 . Skoro
∞
X
n100 99n
to szereg
100
n
100n
n=1
P
(arctg n)n
jest sumowalny. Podobnie sprawdzamy, że szereg ∞
jest sumowalny:
n=1
2n
zachodzi
s
n
π
n (arctg n)
lim
= < 1.
n
n→∞
2
4
P
Szereg ∞
bezwzglednie zbieżnym gdy sumowalny jest szereg
n=1 an nazywamy
P
o wyrazach nieujemnych ∞
n=1 |an |.
P∞
Twierdzenie. Jeśli szereg
sumowalny oraz
n=1
an jest bezwzglednie zbieżny, to jest on także
∞
∞
X
X
an ≤
|an |.
n=1
n=1
P∞
Twierdzenie. Jeśli szereg n=1 an jest bezwzglednie zbieżny, to granica
nie zależy od kolejności wyrazów an .
P∞
an
2
n=1
P
Twierdzenie (Riemanna 1826 -1866). Jeśli szereg ∞
n=1 an jest sumowalny
P
|a
|
jest
rozbieżny,
to
zmieniając
kolejność
wyrazów a1 , a2 , . . .
oraz szereg ∞
n=1 n
możemy dostać szereg zbieżny do dowolnej z góry ustalonej liczby.
2
P∞
Mnożenie szeregów. Jeśli szeregi
zbieżne, to
∞
X
an ·
n=1
∞
X
∞
X
bn =
n=1
n=1
an oraz
(a1 bn + a2 bn−1 + . . . an b1 ) =
n=1
P∞
n=1 bn
∞ X
n
X
są bezwzglednie
ak bn−k+1 .
n=1 k=1
Policzmy
∞
∞
X
yn
xn X
n=0
n!
·
n=0
n!
=
∞
X
n
X
xk
n=0
k=0
y n−k
k! (n − k)!
Skoro zawsze zachodzi ex =
!
P∞
xn
n=0 n! ,
∞
n
X
1 X
xk
=
n=0
n! k=0
∞
X
1
y n−k
n! =
(x+y)n .
k! (n − k)!
n!
n=0
to udowodniliśmy wzór
ex · ey = ex+y .
Iloczyny nieskończone. Kładziemy
lim (a1 · a2 · . . . · an ) =
n→∞
∞
Y
n=1
5
an .
Q
Gdy granica ∞
n=1 an jest liczbą różną od zera, to mówimy, że iloczyn nieskońQ
czony ∞
a
jest
zbieżny: w przeciwnym przypadku jest on rozbieżny. Uwaga:
n=1 n
Q∞
Q∞
n=1 an = 0 znaczy iloczyn nieskończony
n=1 an jest rozbieżny.
Twierdzenie. Gdy iloczyn
Q∞
n=1
an jest zbieżny, to limn→∞ an = 1.
P
Twierdzenie. Szereg ∞
n=1 |an | jest sumowalny gdy iloczyn
Q∞
zbieżny (gdy iloczyn n=1 (1 − |bn |) jest zbieżny).
Iloczyny
∞
Y
(1 +
n=1
1
)
n
∞
Y
oraz
(1 −
n=2
Q∞
n=1 (1+|bn |)
2
jest
2
1
)
n
są rozbieżne, bo
∞
Y
1
1
1
34
k+1
1
...
= lim (k+1) = +∞;
(1+ ) = lim 2(1+ )(1+ ) . . . (1+ ) = lim 2
k→∞
k→∞ 2 3
k→∞
n
2
3
k
k
n=1
∞
Y
(1 −
n=2
1
1
1
1
123
k−1
1
) = lim (1 − )(1 − ) . . . (1 − ) = lim
...
= lim = 0.
k→∞
k→∞ 2 3 4
k→∞ k
n
2
3
k
k
Iloczyny
gdy s ≤ 1.
Q∞
1
n=1 (1 + ns )
oraz
Q∞
1
n=2 (1 − ns )
są zbieżne, o ile 1 < s oraz rozbieżne
Szereg postaci
2
n
a0 + a1 x + a2 x + . . . + an x + . . . =
∞
X
an xn
n=0
nazywamy szeregiem potęgowym. Kres górny zbioru wszystkich wartości x-ów,
P
n
promieniem zbieżności
dla których szereg ∞
n=0 an x jest sumowalny nazywamyP
n
tego szeregu. Jeśli r jest promieniem zbieżności szeregu ∞
n=0 an x , to przedział
(−r, r) nazywamy przedziałem zbieżności tego szeregu.
P
n
Twierdzenie. Jeśli (−r, r) jest przedziałem zbieżności szeregu ∞
n=0 an x ,
P∞
to dla dowolnej liczby c ∈ (−r, r) szereg n=0 an cn jest bezwzględnie zbieżny.
P
n
Uzasadnienie. Przyjmijmy, że szereg ∞
n=0 an b jest sumowalny oraz, że |c| < |b|.
Wtedy ciąg a1 b1 , a2 b2 , . . . jest ograniczony: np. przez liczbę M . Mamy
n
n
c
c
|an c | = |an b | ≤ M
.
n
n
b
P
n
c
Skoro szereg geometryczny ∞
n=1 M
P∞
n
n=0 an c jest bezwzględnie zbieżny.
b
6
b
jest sumowalny: bo | cb | < 1, to szereg
2
Z kryteriów d’Alemberta lub Cauchye’go wnioskujemy, że Jeśli
an+1 =g
lim
n→∞ q
albo
an
lim
n→∞
n
|an | = g,
1
an xn wynosi r = . Uwaga: szereg potęgowy
g
na krańcach swego przedziału zbieżności może być sumowalny lub nie. Szereg
potęgowy
∞
X
xn
ln(1 + x) =
(−1)n−1
n
n=1
to promień zbieżności szereg u
P∞
n=0
ma przedział zbieżności [−1, 1): dla x = 1 przedstawia on ln 2; zaś dla x = −1
P
1
szereg rozbieżny ∞
n=1 n .
Wzory wykorzystujące szeregi potęgowe:
∞
X
x
x2
xn
xn
e =1+ +
+ ... +
+ ... =
;
1!
2!
n!
n=0 n!
x
cos x = 1 −
∞
X
x2 x4
x2n
x2n
+
− ... +
(−1)n + . . . =
(−1)n ;
2!
4!
(2n)!
(2n)!
n=0
sin x =
∞
X
x
x3
x5
x2n+1
−
+
− ... =
(−1)n ;
1!
3!
(5)!
(2n
+
1)!
n=0
∞
X
1
=
xn ,
1 − x n=0
o ile |x| < 1.
Z ostatniego wzoru wniosku
∞
∞
∞ X
n
∞
X
X
X
X
1
1
1
n
n
k n−k
=
=
x
x
=
x
x
=
(n + 1)xn .
(1 − x)2
1 − x 1 − x n=0 n=0
n=0 k=0
n=0
Mamy także, zawsze przy założeniu |x| < 1:
arctg x =
∞
X
(−1)n
n=0
arcsin x =
∞
X
n=0
√
x2n+1
x2n+1
;
2n + 1
1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1)
;
2 · 4 · . . . · (2n)(2n + 1)
∞
X
1
2n 1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1)
=
x
.
2 · 4 · . . . · (2n)
1 − x2 n=0
Przy pomocy szeregów potęgowych można uzasadnić wzór
ei x = cos x + i sin x.
7
Zapisany szeregami potęgowymi wyraża się on tak
∞ n
X
i
n=0
n!
xn =
∞
∞
X
X
(−1)n 2n
x +i
n=0
(−1)n 2n+1
x
.
n=0 (2n + 1)!
(2n)!
Dla jego uzasadnienia wystarczy zauważyć, że i0 = 1, i1 = i, i2 = −1 oraz i3 = −i
itd. Czyli
x2
x3 x4
x5
ix
e = 1 + ix −
−i +
+ i + ....
2!
3!
4!
5!
Co drugi składnik tej sumy zaczynając od 1 daje
∞
X
x2 x4
x2n
x2n
n
cos x = 1 −
+
− ... +
(−1) + . . . =
(−1)n ;
2!
4!
(2n)!
n=0 (2n)!
pozostałe składniki dają
i sin x = i
Skoro ln(1 + x) =
niemy
∞
X
x
x3
x5
x2n+1
−i +i
− ... = i
(−1)n .
1!
3!
(5)!
(2n
+
1)!
n=0
P∞
n=1 (−1)
n−1 xn
,
n
to podstawiając za x wartość −x dosta-
∞
X
x x2 x3
xn
ln(1 − x) = − −
−
− ... = −
;
1
2
3
n=1 n
dodatkowo ze wzoru na mnożenie iloczynów nieskończonych dostaniemy
ln(1 + x) − ln(1 − x) = ln
∞
X
1+x
x x3 x 5
x2n+1
= 2( +
+
+ . . .) = 2(
).
1−x
1
3
5
n=1 2n + 1
8