Ćwiczenia 3.Kombinatoryka

Repetytorium z matematyki, kierunek informatyka,
I rok, studia niestacjonarne I stopnia
Semestr zimowy 2015/2016
KOMBINATORYKA.
Zasada mnożenia, dodawania.
1. Mamy do wyboru 2 mieszkania i 3 auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli
(a) mamy wybrać mieszkanie i samochód,
(b) mamy wybrać mieszkanie lub samochód ?
[2 · 3], [2 + 3]
2. Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych ? Ile jest liczb czterocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych?
[9 · 103 , 9 · 9 · 8 · 7]
3. Zakładamy, że numer rejestracyjny samochodu składa się z trzech dowolnych dużych liter alfabetu łacińskiego, po których następują cztery dowolne cyfry. Ile jest takich numerów, przyjmując że alfabet łaciński
składa się z 26 liter ?
[263 · 104 ]
Permutacje
4. Wypisać wszystkie permutacje liczb 1, 2 i 3.
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). 3!=6.
5. Na ile sposobów drużyna piłkarska (11 graczy) może wyjść z szatni pojedynczo na boisko. N = 11! =
39916800.
6. Obliczyć liczbę różnych słów (sensownych lub nie), które można uzyskać w wyniku przestawiania liter w
słowie SASANKA.
7!
= 420
3! · 2!
7. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w szeregu 4 chłopców i 3 dziewczynki tak, aby:
(a) najpierw stały dziewczynki, a następnie chłopcy,
(b) pierwszy stał chłopiec,
(c) pierwszy i ostatni stał chłopiec,
(d) żadnych dwóch chłopców nie stało obok siebie.
a) N = 3! · 4! = 144., b) N = 4 · 6! = 2.880, c) N = 4 · 3 · 5! = 1.440, d) N = 4! · 3! = 144.
8. Obliczyć liczbę takich permutacji liter a, b, c, d, e i f , których pierwszym wyrazem permutacji jest c.
120 = 5!
9. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w szeregu siedem kobiet i siedmiu mężczyzn tak, aby
żadne dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie ?
N = 7! · 7! · 2 = 50.803.200.
10. Wśród 6 osób są Adam i Ewa. Na ile sposobów można posadzić te osoby na podłużnej ławce tak, aby
(a) Adam siedział obok Ewy,
(b) Adam nie siedział obok Ewy ?
[5! · 2!], [6! − 5! · 2!]
11. Na ile różnych sposobów można posadzić przy okrągłym stole
(a) 4 osoby,
(b) 5 osób,
(c) 10 osób,
1
(d) n osób?
Jeśli każde dwa sposoby rozsadzenia uważamy za jednakowe wtedy i tylko wtedy,
A) gdy każda osoba ma tego samego sżsiada z prawej strony i tego samego z lewej strony,
B) gdy każda osoba ma jednakowych sąsiadów (nie ważne czy z prawej czy z lewej strony).
]
[A)(n − 1)!, B) (n−1)!
2
12. Ile wszystkich różnych liczb pięciocyfrowych
(a) dowolnych,
(b) podzielnych przez 5
(c) parzystych
(d) podzielnych przez 4.
można utworzyc z cyfr 0, 1, 3, 4, 5, jeżeli każda może wystąpić dokładnie raz.
[N = 4 · 4! = 96.], [N = 4! + 3 · 3! = 42.],[N = 4! + 3 · 3! = 42.],[2 · 3! = 12]
13. Do przedziału kolejowego drugiej klasy (dwa rzędy po cztery miejsca) wchodzi osiem osób. Na ile wszystkich
różnych sposobów mogą one zająć miejsca tak, aby ustalone dwie osoby A oraz B siedziały:
(a) obok siebie,
(b) naprzeciwko ?
N = 6 · 6! · 2 = 8.640, N = 4 · 6! · 2 = 5.760.
Kombinacje
1. Obliczyć liczbę możliwych rozdań przy grze w brydża.
52 39 26
13 13 13 .
2. W klasie jest 15 dziewcząt i 13 chłopców. Obliczyć, na ile sposobów można skompletowć liczącą dwie
dziewczynki i jednego chłopca delegację tej klasy.
15 13
2
1 tj. 105 · 13 = 1365.
3. Obliczyć, na ile sposobów można z dziesięciu pań i dziesięciu panów utworzyć 10 nienumerowanych par
tanecznych.
10! (= 3 628 800).
4. Obliczyć, na ile sposobów można z dziesięciu pań i dziesięciu panów utworzyć 10 ponumerowanych par
tanecznych. (10!)2 (= 13 168 189 440 000).
5. Obliczyć, na ile sposobów można z dziesięciu pań i trzynastu panów utworzyć 10 nienumerowanych par
tanecznych.
13
3 10! (= 13 · 12 · . . . · 5 · 4 = 1 037 836 800).
6. Ile nastąpi wszystkich uścisków dłoni, gdy 5 (n) osób wita się uściskiem dłoni, ”każdy z każdym”. [ 52 ,
n
2 ]
7. W turnieju startuje 7 zawodników. Każdy
zawodnik rozgrywa jeden mecz z każdym ze swoich przeciwników.
Ile meczy zostanie rozegranych? [ 72 ]
8. Z klasy, w której jest 17 dziewcząt i 14 chłopców wybieramy dwuosobową delegację. Na ile różnych
sposobów możemy to zrobić, aby skład delegacji był następujący:
(a) 2 chłopców, [ 14
2 ],
(b) 2 dziewczyny, [ 17
2 ],
17
(c) chłopiec i dziewczyna, [ 14
1 · 1 ],
14
(d) co najmniej 1 dziewczyna? [ 31
2 − 2 ].
2
9. Na ile sposobów można wybraćprzewodniczącego, jego zastępcę i skarbnika z grupy 5 osób? Zakładamy,
że funkcji nie można łączyć. [ 53 · 3!]
10. Na ile sposobów można podzielić 10 różnych znaczków pomiędzy Adama i Bartka, tak aby każdy z nich
dostał po 5.
5
[ 10
5 · 5 ]
11. Na ile sposobów z grupy 6 dziewcząt i 6 chłopców można wybrać delegację
(a) złożoną z 3 dziewcząt i 2 chłopców,
[ 63 · 62 ]
(b) złożoną z 3 dziewcząt albo 2 chłopców?
[ 63 + 62 ]
12. Na ile sposobów
26 można rozdać 52 karty pomiędzy czterech graczy tak, aby każdy z nich dostał 13 kart?
39
[ 52
·
13
13 · 13 ]
13. Na ile sposobów z talii 52 kart można wybrać 13 kart tak, aby były wśród nich
(a) dokładnie 4 asy,
(b) dokładnie 2 asy,
(c) dokładnie 2 asy i dokładnie 2 króle?
4 48
4 44
4
[ 48
9 ],[ 2 · 11 ], [ 2 · 2 · 9 ]
14. Ile wszystkich różnych przekątnych ma n-kąt wypukły? [
n(n − 3)
]
2
15. Na ile sposobów można
podzielić 9 różnych przedmiotów pomiędzy 3 osoby tak, aby każda z nich dostała
3 przedmioty. [ 93 · 63 ]
16. Na ile sposobów można rozmieścić
9 studentów w trzech istotnie różnych pokojach, z których dwa są
4-osobowe a jeden 1-osobowy? [ 94 · 54 ]
17. Tysiąc osób uczestniczących w festiwalu teatralnym, odpowiedziało na pytania: 1) Którą z dziesięciu sztuk
uważasz za najlepszą, 2) którą stawiasz
na drugim miejscu, 3) którą na trzecim? Czy może się zdarzyć, że
wszyscy odpowiedzieli różnie? [ 10
·
3!
<
1000, zatem NIE]
3
18. Jeden bar oferuje 5 zup i 10 drugich dań, drugi natomiast 6 zup i 8 drugich dań. Ile różnych
obiadów
8
6
dwudaniowych masz do wyboru, jeśli się zdecydujesz zjeść obiad w jednym z tych barów? [ 51 · 10
1 + 1 · 1 ]
19. W jednym pojemniku znajdują się 4 kule białe i 5 czarnych. Na ile różnych sposobów można wyjąć z
pojemnika 3 kule (wyciągamy jednocześnie) tak, aby otrzymać
(a) 3 kule białe,
(b) 3 kule czerwone,
(c) 2 kule białe i 1 czerwoną,
(d) co najmniej jedną kulę białą ?
[ 43 ], [ 53 ], [ 42 · 51 ], [ 93 − 53 ].
20. Na ile sposobów można ułożyć harmonogram klasówek na 15 tygodni, przy założeniu, że w tygodniu mogą
15
30
być co najwyżej 2 klasówki, a tydzień składa się z 30 godzin lekcyjnych? [ 30
]
2 + 1 +1
21. Na ile sposobów można zestawić pociąg z 4 wagonów I klasy, 6 wagonów II klasy, 1 wagonu restauracyjnego?
Zakładamy, że wagony ustalonej klasy nie sż rozróżnialne. Na ile sposobów można zestawić wagony, gdy
wszystkie różnią się między sobą?
7
[ 11
4 · 6 , 11!]
22. Deseń składa się z 12 kafelków, ułożonych obok siebie ”gęsiego”. Ile takich deseni można ułożyć mając 4
kafelki białe, 4 błękitne i 4 granatowe.
8
[ 12
4 · 4 ]
3
23. Na okręgu zaznaczono 6 różnych punktów. Ile wszystkich różnych wielokoątów o wszystkich wierzchołkach
w tych punktach, można narysować?
[ 63 + 64 + 65 + 1]
Wariacje (bez powtórzeń, z powtórzeniami)
1. Obliczyć liczbę różnych flag utworzonych przez trzy poziome różnokolorowe pasy, których kolory można
wybrać spośród 6-ciu kolorów. V63 = 6 · 5 · 4 = 120
2. Obliczyć liczbę sposobów takiego posadzenia pięciu pań i trzech panów na ośmiu ponumerowanych miejscach przy okrągłym stole, by żadnych dwóch panów nie siedziało obok siebie. Ponumerujmy oddzielnie
panie i panów. Każdy ze sposobów posadzenia pięciu pań i trzech panów tak, aby były spełnione warunki
zadania, można osiągnąć postępując wg następującej procedury:
1o . Wybieramy miejsce dla pani nr 1 (8 sposobów);
2o . Wybieramy kolejność, w jakiej na prawo od pani nr 1 będą siedziały pozostałe cztery panie, czyli
tworzymy permutację liczb 2, 3, 4 i 5 (4! sposobów);
3o . Tworzymy ciąg (p1 , p2 , p3 ) numerów pań, które bezpośrednio na prawo od siebie bedą miały panów nr
1, nr 2 i nr 3 odpowiednio (5 · 4 · 3 sposobów).
8 · 4! · 5 · 4 · 3 = 11 520 sposobów.
3. Obliczyć, ile jest liczb pięciocyfrowych o wszyskich cyfrach różnych. [9 · 9 · 8 · 7 · 6]
4. Obliczyć liczbę sposobów rozdzielenia trzech medali (złotego, srebrnego i brązowego) pomiędzy sześciu
zawodników. [V63 = 6 · 5 · 4 = 120,
C63 · 3!]
5. Na ile sposobów można rozmieścić 9 kul ponumerowanych od 1 do 9, w trzech komórkach ponumerowanych
od I do III? [39 ]
6. Na ile sposobów można rozmieścić 9 kul ponumerowanych od 1 do 9, w trzech komórkach ponumerowanych
od I do III tak, aby
(a) w komórce o numerze I była kula o numerze 1 (mogą w tej komórce być jeszcze inne kule),
(b) w komórce o numerze I była dokładnie jedna kula,
(c) w komórce o numerze I była co najmniej jedna kula,
(d) w komórce o numerze I była co najwyżej jedna kula.
[38 ],[9 · 28 ],[39 − 29 ],[9 · 28 + 29 ].
7. Na ile sposobów można rozmieścić 7 kul ponumerowanych od 1 do 7, w pięciu komórkach ponumerowanych
od I do V? [57 ]
8. Na ile sposobów można rozmieścić 7 kul ponumerowanych od 1 do 7, w pięciu komórkach ponumerowanych
od I do V tak, aby
(a) dokładnie jedna komórka była zajęta,
(b) dokładnie dwie komórki były zajęte,
(c) dokładnie trzy komórki były zajęte?
[5], [ 52 27 − 2 ], [ 53 37 − 3 · 27 + 3 ]
9. Test składa się z 8 pytań. Na każde pytanie można udzielić jednej z 4 odpowiedzi a, b, c, d. Ile jest różnych
sposobów wypełnienia testu, takich, aby odpowiedzi na każde dwa kolejne pytania były różne? [4 · 37 ]
10. Ile wszystkich różnych wyników można otrzymać, gdy rzucamy 2 razy kostką i trzy razy monetą?[62 · 23 ]
11. Na parterze dziesięciopiętrowego domu do windy wsiadło 8 osób. Obliczyć liczbę sposobów, na jakie
osoby te mogą wysiąść z windy (pod uwagę bierzemy tu jedynie numery pięter, na których wysiadają
poszczególne osoby). Ponumerujmy te osoby liczbami od 1 do 8. Szukana liczba sposobów jest równa
liczbie 8-elementowych ciągów (p1 , . . . , p8 ), gdzie dla każdego k ∈ {1, . . . , 8} wyraz pk jest numerem
piętra, na którym wysiada k-ta osoba. Ciągów takich jest 108
4
12. Obliczyć liczbę takich numerów tablic rejestracyjnych, które na początku mają dowolne trzy duże litery
alfabetu łacińskiego (alfabet ten ma 26 liter) a następnie dowolne cztery cyfry. [175 760 000].
13. Obliczyć liczbę sposobób takiego rozmieszczenia dziewięciu kul ponumerowanych liczbami od 1 do 9 w
trzech pudełkach ponumerowanych liczbami od 1 do 3, by spełniony był warunek:
(a) pudełko nr 1 jest puste;
(b) kula nr 1 jest w pudełku nr 1;
(c) w pudełku nr 1 jest dokładnie jedna kula;
(d) w pudełku nr 1 jest przynajmniej jedna kula;
(e) w pudełku nr 1 jest co najwyżej jedna kula.
Każde z rozważanych rozmieszczeń można utożsamiać z 9-cio wyrazowym ciągiem numerów pudełek, w
których znajdują się kolejne kule.
a) 29 (= 512); b) 1 · 38 (= 6561); c) 9 · 28 (= 2304); d) 39 − 29 (= 19 171); e) 9 · 28 + 29 (= 2816).
14. Obliczyć liczbę sposobów takiego rozmieszczenia ośmiu ponumerowanych kul w pięciu ponumerowanych
pudełkach, by liczba pustych pudełek była równa: a) 4;
b) 3;
c) 2;
8
8
5
5
5
8
a) 1 (= 5); b) 2 (2 − 2) (= 2540); c) 3 [3 − 3(2 − 2) − 3] (= 57 960).
5