ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
dla studentów I roku kierunku INŻYNIERIA ŚRODOWISKA - studia stacjonarne
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
√
Narysować wykres funkcji: f (x) = √
x + 2.
Narysować wykres funkcji: f (x) = − −x + 1.
Narysować wykres funkcji: f (x) = 1+x
2+x .
x+1
=
Dla jakich wartości A, B zachodzi równość: x2 +5x+6
A
x+2
A
(x+1)2
B
x+3 ?
B
+ x+1
?
+
x+7
Dla jakich wartości A, B zachodzi równość: (x+1)
2 =
3
2
Rozwiązać nierówność: (2x + 5)(3 − x) (x − 5) (5 + 2x) > 0.
3
−2x
Rozwiązać nierówność: x−x+2
> 0.
Dla jakich wartości parametru a funkcja f (x) = ax2 + 2x + 1 przyjmuje wartości dodatnie?
Zaznaczyć na osi liczbowej zbiór: A = {x ∈ R : |x| < 2}.
Zaznaczyć na osi liczbowej zbiór: B = {x ∈ R : |x| ­ 1}.
Zaznaczyć na osi liczbowej zbiór: C = {x ∈ R : x ¬ 2 ∧ x > −1}.
Zaznaczyć na osi liczbowej zbiór: D = {x ∈ R : x < 0 ∨ x ­ π}.
Wypisać wszystkie elementy zbioru A, jeśli: A = {x ∈ N : |x| ¬ 4}. √
Wypisać wszystkie elementy zbioru A, jeśli: A = {x ∈ Z : −3√¬ x < 10}.
Wypisać wszystkie elementy zbioru A, jeśli: A = {x ∈ Z : − 2 < x ¬ 2π}.
√
Wypisać wszystkie elementy zbioru A, jeśli: A = {x ∈ N : |x| ­ 3 ∧ x ¬ 68 ∧ x jest nieparzyste}.
Zaznaczyć na osi liczbowej na osobnych rysunkach zbiory A ∩ B, A ∪ B oraz A \ B, jeśli:
A = {x ∈ R : x ­ −1}, B = {x ∈ R : −2 < x ¬ 25 }.
Do zbioru A należą wszystkie liczby całkowite, równe co najwyżej −3 i większe od −10. Wypisać wszystkie elementy
zbioru A.
Zaznaczyć w układzie współrzędnych zbiór A = {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R ∧ x2 + (y − 1)2 ¬ 4}
Zaznaczyć w układzie współrzędnych na osobnych rysunkach zbiory A ∩ B, A ∪ B oraz A \ B, jeśli
A = {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R ∧ (x + 1)2 + y 2 ¬ 1}, B = {(x, y)√: x ∈ R, y ∈ R ∧ y > x + 1}
Podaj moc (liczbę elementów) zbioru A = {x ∈ Z : −π ¬ x ¬ 2 2}.
22. Obliczyć:
23. Obliczyć:
24. Obliczyć:
25. Obliczyć:
26. Obliczyć:
27. Obliczyć:
28. Obliczyć:
29. Obliczyć:
30. Obliczyć:
3
4
4 − 3 + 2.
3
5
2 − 8 + 0, 125.
√
√
√
3
3
3
4 − 8 + 2 .
1
3 − 1, 75 + 2, 5.
−1, 875 + 43 + 3.
(3, 75 + 1 83 ) : 2.
3
−1, 6 : 3 11
15 + 1 4 .
−2, 4 − 3, 6 · (1 38 :
2 14
4,8
1 − 5,4 .
1 15
2
√
√
32+
√ 2.
2 √
√
3
3
54
√
.
Obliczyć: 4 16−
3
250
√
√
√
250−
160+
40
√
Obliczyć:
1000
√ √
√
34. Obliczyć
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
3, 3 − 95 ).
31. Rozwiąż równanie x + x + 1 = 0.
32. Zbiór rozwiązań równania 2|x| = 0 jest
a. dwuelementowy
b. pusty
c. jednoelementowy
d. nieskończenie wiele elementowy
33. Jeżeli a = 5, 25(25), b = 5 14 , c = 5, 52(52), d = 5, 25(5),
a. c > d > b > a
b. c > d > a > b
c. b > a > d > c
d. a > b > c > d
Obliczyć: √2 ( 8 +
√ 50).
√
Obliczyć: ( 3 24 − 3 3) · 3 9.
√
√
Zapisać w jak najprostszej postaci: 11 − 3 23 11.
√ √
√
Zapisać w jak najprostszej postaci: 21 3 9 ( 3 3 + 5 3 3).
√
√
2
Zapisać w jak najprostszej postaci: 12 2 + 14 2 .
√
√
3
Zapisać w jak najprostszej postaci: 3 3+2
.
5
43. Usunąć niewymierność z mianownika:
44. Usunąć niewymierność z mianownika:
45. Usunąć niewymierność z mianownika:
46. Usunąć niewymierność z mianownika:
47. Usunąć niewymierność z mianownika:
to
48. Usunąć niewymierność z mianownika:
49. Usunąć niewymierność z mianownika:
50. W miejsce wstawić jeden ze znaków: ”<”, ”>”, ”=” (−0, 5)9 0.
51. W miejsce wstawić jeden ze znaków: ”<”, ”>”, ”=” −40 (−4)0 .
52. W miejsce wstawić jeden ze znaków: ”<”, ”>”, ”=” (−2 14 )6 (2 14 )4 .
53.
54.
55.
56.
W
W
W
W
miejsce
miejsce
miejsce
miejsce
wstawić
wstawić
wstawić
wstawić
jeden
jeden
jeden
jeden
ze
ze
ze
ze
znaków:
znaków:
znaków:
znaków:
”<”,
”<”,
”<”,
”<”,
”>”,
”>”,
”>”,
”>”,
”=”
”=”
”=”
”=”
(−7)20 (−7)23 .
0, 27 0, 28 .
(−6)7 (−6)4 .
(−0, 9)5 0.
1
√
2−1
√
.
2
√
2 √
2−4
.
2 6
√
2−4√ 15
.
3 5
√
6
√
.
2+ 3
√
√5 5 .
5−2
√ √
√7+√3 .
3− 7
√
3−√2
.
1+ 2
57. W miejsce wstawić jeden ze znaków: ”<”, ”>”, ”=”
58.
59.
60.
61.
−124 ·(−23)7
(−4,5)0
4
0.
7
·(−5)
W miejsce wstawić jeden ze znaków: ”<”, ”>”, ”=” −(−9)
−114 ·(−10)6 0.
Obliczyć zapisując wynik w postaci dziesiętnej: 24000 · 3, 5 · 10−6 .
Obliczyć zapisując wynik w postaci dziesiętnej: 4, 2 · 10−6 · 5 · 108 .
Obliczyć zapisując wynik w postaci dziesiętnej: 15000 · 0, 004 · 10−6 .
62. Obliczyć: (−1)8 · 0, 23 − 0, 13 .
63. Obliczyć: ( 12 )3 : ( 16 )2 − (−2)3 .
64. Obliczyć: (1 12 )3 : 0, 54 + 7, 40 .
3
65. Obliczyć: (− 23 )2 − ( −2
32 −
23
3 ).
−2
66. Obliczyć: ((−1)−2 − 2−1 + 2) .
67. Obliczyć: ((4 45 )−1 · 2 23 − (1 12 )−2 )−1 .
68. Obliczyć:
69. Obliczyć:
70. Obliczyć:
71. Obliczyć:
72. Obliczyć:
−1 4
7 −1
(7 )
(5 )
7−5 : 5−5
3−6 ·(3−2 :3)−1
34 :(32 ·36 ) .
.
(5−8 ·58 )−3 ·5 −1
.
52 ·5−4
1
−
−1
25
2
.
· 27
49
√
1 34
−1,5
3 27 · 9
· (3)
78.
79.
80.
81.
82.
83.
Wykonać działania: (x−2 + y −3 )(x−2 − y −3 ).
3
1
1
1
Wykonać działania: (a 8 b 8 ) : (a− 2 b 2 ).
1
1
Wykonać działania: (x + 2x 2 + 1) (x 2 − 1).
x
x
Rozwiązać równanie: 3 − 2 = 1.
Rozwiązać równanie: x2 − 56 = 0.
Rozwiązać równanie: 2(x−1)
= x+2
3
5 .
84.
85.
86.
87.
88.
89.
x+3
Rozwiązać równanie: 2x+1
2x = x−1 .
Rozwiązać równanie: 2x(x − 1) + 4 = 2(x − 1)2 .
Rozwiązać równanie: −4( 12 x − 2) = 2(2 − x).
Znaleźć miejsca zerowe funkcji f (x) = − 12 x + 3
Znaleźć miejsca zerowe funkcji f (x) = 8x − 2, 4.
Oblicz dziedzinę funkcji f (x) = xx−1
2 −4 :
90. Skrócić ułamki:
1 −2
) .
· ( 81
73. Zapisać w najprostszej postaci:
74. Zapisać w najprostszej postaci:
√
√
( 5)14 ·( 3 5)6
.
5
2
(5 )
√ 6 6
( 3) ·3
313 :33 .
−2
−2
75. Wykonać działania: (x2 − y 2 )(x + y ).
76. Wykonać działania: (2a−2 − 5b−1 )(a3 + 4b2 ).
77. Wykonać działania: (2x + 3x−1 )(4x3 − 5x−2 ).
91. Skrócić ułamki:
12x2
4xy .
6−3x
2−x .
2
92. Uprościć wyrażenie: x2yy−4xy
2 −xy 2 .
x+1
x
93. Obliczyć: x−2
+ x−2
.
94. Obliczyć:
2x−1
x−5
−
2x−10
x2 −10x+25 .
95. Wykonać działania:
x2 −25 x2 +5x
x2 −3x : x2 −9 .
96. Obliczyć, dla jakich argumentów funkcja f (x) = − 13 x − 1 przyjmuje wartości
a. nieujemne,
b. mniejsze od 11,
c. równe co najmniej 4.
97. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkty A(0, 2) i B(−4, 0)
98. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkty A(−2, −1) i B(5, −1).
99. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(0, 3) i równoległej do prostej y = −3x + 2.
100. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2, −1) i równoległej do osi OX.
2
2
−3x
−4
, G(x) = xx−3
.
101. Przedstaw w najprostszej postaci F (x) + G(x), F (x) · G(x), jeśli: F (x) = xx−2
5
15
4
102. Rozwiązać równanie: x−2 − x+2 = x2 −4 .
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
3
Rozwiązać nierówność: x−1
− x2 < 2.
Wyznaczyć pięć początkowych wyrazów ciągu an = 2n − n2 .
1
Podać wzór na ogólny wyraz ciągu 1, 14 , 19 , 16
,. . .
n−1
Zbadaj monotoniczność ciągu {an } = n+1 .
Podać przykład ciągu rosnącego, który ma wszystkie wyrazy ujemne.
Obliczyć cztery początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego, w którym a1 = 2 i r = −3.
Między liczby 1 i 64 wstawiono takie liczby x i y, by ciąg 1, x, y, 64 był arytmetyczny. Oblicz te liczby.
Jeśli jeden z boków trójkąta wynosi 6, to która z liczba może być jego obwodem:
a. 10,
b. 12,
c. 14,
d. żadna z powyższych.
Obliczyć sumę liczb naturalnych od 1 do 72.
Obliczyć sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym a2 = −7 i a5 = 14.
Wyznaczyć a1 i q w ciągu geometrycznym,w którym a2 = 4, a5 = 4000.
Wykonano 10 m studnię. Za pierwszy metr zapłacono 2 zł, a za każdy następny metr płacono dwukrotnie więcej niż za
poprzedni. Ile kosztowała studnia:
a. 20 zł,
b. 38 zł,
c. 128 zł,
d. 2046 zł?
2
115.
116.
117.
118.
119.
Dla jakiej ujemnej liczby x ciąg 5, x, 80 jest geometryczny?
Obliczyć obwód i pole powierzchni trójkąta równoramiennego o podstawie 4 cm i jednym z kątów
równym 120◦ .
√
Obliczyć pole trapezu prostokątnego o wysokości 3 cm, w którym√przekątne mają długość 3 3 cm i 4 cm.
Obliczyć pole trójkąta równobocznego, w którym bok jest o 2 − 3 cm dłuższy od wysokości.
Iloraz nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym a1 = 3, S = 4, 5 wynosi:
a. 32 ,
b. 23 ,
c. 12 ,
d. 13 .
120. Obliczyć pole zakreskowanej figury:
3 cm
121. Obliczyć pole zakreskowanej figury:
2c
m
S
4 cm
122. Obliczyć pole figury:
2
2
2
13
123. Jak zmieni się pole kwadratu, jeśli jeden z jego boków zwiększymy o 3 cm, a drugi (nierównoległy) zmniejszymy o 3 cm
124. W trójkącie równoramiennym ABC kąt przy wierzchołku C wynosi 120◦ , a bok BC ma długość 4 cm. Obliczyć pole
trójkąta.
125. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC. Obliczyć cos ^ASC.
126. W trapezie prostokątnym jedna z podstaw jest o 2 cm dłuższa od drugiej. Obliczyć obwód tego trapezu wiedząc, że krótsza
podstawa ma 4 cm długości, a jeden z kątów wynosi 45◦ .
√
127. Punkt C leży
√ na okręgu o średnicy AB. Obliczyć sin ^ABC, jeżeli tg ^CAB = 3.
128. Równanie x2 + 1 = x − 1:
a. ma dwa rozwiązania,
b. ma jedno rozwiązanie,
c. nie ma rozwiązań,
d. żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna.
129. Oblicz
1 √
3 3√· 3 9
.
3
130. Oblicz miejsca zerowe funkcji f (x) =
x2 −4
x+2
131. Uporządkuj liczby w kolejności rosnącej:
4
√
.
√ √
11, 3, 2 3, 2√25 .
132. Liczba 692−16
−1 jest równa:
a. 16,
b. 36,
c. 32,
d. żadna z powyższych odpowiedzipnie jest poprawna.
133. Obliczyć dziedzinę funkcji f (x) = |x −
√2|.
134. Zbadaj monotoniczność funkcji f√(x) = x2 − x.
135. Oblicz dziedzinę funkcji f (x) = √4 x −
√1.
136. Które spośród wyrażeń: a2 , a3 , a, 3 a jest największym jeżeli a > 1.
z poniższych funkcji:
137. Dla której √
a. f (x) = √x,
3
b. f (x) = √
x + 1,
3
c. f (x) = √
x,
d. f (x) = x + 1
zachodzi równość f (1) = 2f (0)?
3
√
4
3
a
jest równe:
138. Wyrażenie √
8
a
√
8
5
a. √a ,
5
b. √ a8 ,
c. √a,
8
d. a7 .
√ √
139. Które spośród wyrażeń a2 , a3 , a, 3 a jest najmniejszym jeżeli a ∈ (0, 1).
140. Roczna stopa oprocentowania w pewnym banku wynosi 6%, a kapitalizacja odsetek następuje co pół roku. Wpłacono na
konto 1000 zł. Ile wypłaci bank po roku:
a. 1006 zł,
b. 1060 zł,
c. 1060 zł, 90 gr,
d. 1600 zł?
141. Niech f : R → R dana będzie wzorem f (x) = cos x − √22 . Oblicz f ( π4 ).
142. Przy oznaczeniach przyjętych na rysunku tg α jest równy:
a.
b.
c.
d.
b
a,
a
b,
a
c,
b
c.
c
b
α
a
143. Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji danej wzorem:
y
a. f (x) = | cos x|,
b. f (x) = −| cos x|,
1
0
−π
c. f (x) = | sin x|,
π
2π
x
d. f (x) = −| sin x|.
−1
√
144. Dziedziną funkcji f (x) = sin x + 1 jest:
a. zbiór pusty,
b. zbiór R\{ 32 π + 2kπ : k ∈ Z},
c. zbiór R\{0},
d. zbiór R.
145. Przy oznaczeniach przyjętych na rysunku cos α jest równy:
a.
b.
c.
d.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
c
b,
b
a,
a
c,
c
a.
c
b
α
a
Rozłożyć wyrażenie a3 − b3 na czynniki.
Rozłożyć wyrażenie a3 + b3 na czynniki.
Rozłożyć wyrażenie a4 − b4 na czynniki.
Czy punkty (−3, 1), (1, 3), (7, 6) leżą na jednej prostej?
Wyznaczyć środek i promień okręgu o równaniu x2 + y 2 + 4x − 6y − 14 = 0.
Obliczyć długość odcinka AB, jeśli A = (1, −2), B = (5, 1).
Prosta y = x ma z okręgiem x2 + y 2 − 4y = 0 punktów wspólnych:
a. 0,
b. 1,
c. 2,
d. 3.
Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt (1, 2) i nachylonej do osi OX pod kątem 45◦ .
Napisać równanie okręgu o środku w punkcie (0, 0) i przechodzącego przez punkt (−3, 4).
Narysować na płaszczyźnie zbiór A = {(x, y) ∈ R × R : x2 + y 2 − 2x − 4y − 6 6 0}.
Napisać równanie stycznej do okręgu (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1 w punkcie A = (1, 0).
Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma graniastosłup 5-kątny?
Obliczyć objętość czworościanu foremnego o krawędzi 6 cm.
4
√
159. Obliczyć pole powierzchni walca, którego promień podstawy r i wysokość h są równe promieniowi kuli o objętości 4 3π
cm3 .
160. Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji danej wzorem:
y
2
a. f (x) = 2 sin x,
b. f (x) = sin x2 ,
c. f (x) = −2 sin x,
−π
d. f (x) = − sin x2 .
π
0
2π
x
−2
161. Jeśli podwoimy promień kuli, to jej objętość zwiększy się:
a. 2 razy,
b. 4 razy,
c. 8 razy,
d. 16 razy.
162. Niech f : (− π2 , π2 ) → R dana będzie wzorem f (x) = √33 − tg x. Oblicz f ( π3 ).
163. Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji danej wzorem:
y
a. f (x) = sin x,
1
b. f (x) = − sin x,
c. f (x) = cos x,
0
π
−1
−π
d. f (x) = − cos x.
2π
x
164. Spośród poniższych tożsamości trygonometrycznych prawdziwa jest:
tg x
2
a. ctg
x = ctg x,
tg x
2
b. ctg
x = 1 + ctg x,
tg x
2
c. ctg x = 1 + tg x,
tg x
2
d. ctg
x = tg x.
165. Przy oznaczeniach przyjętych na rysunku sin α jest równy:
a.
b.
c.
d.
c
a,
a
c,
c
b,
b
c.
c
b
α
a
166. Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji danej wzorem:
y
a. f (x) = tg 2x,
b. f (x) = ctg 2x,
c. f (x) = tg x,
−π
0
π
d. f (x) = ctg x.
2π
x
167. Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji danej wzorem:
y
a. f (x) = cos x2 ,
1
b. f (x) = cos x,
c. f (x) = cos 2x,
d. f (x) = cos 4x.
x
−π
0
π
2π
3π
−1
168. Niech f : R → R dana będzie wzorem f (x) = cos(x −
π
12 ).
Oblicz f ( π4 ).
5
169. Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji danej wzorem:
y
a. f (x) = | sin x|,
1
b. f (x) = | sin 2x|,
x
c. f (x) = | cos x|,
−π
π
0
d. f (x) = | cos 2x|.
2π
3π
−1
170. Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji danej wzorem:
y
a. f (x) = | tg x2 |,
b. f (x) = | ctg x2 |,
c. f (x) = | tg x|,
−π
π
0
d. f (x) = | ctg x|.
2π
x
Rozwiązać równanie: sin x = 12 .
Rozwiązać równanie: 2 sin x cos x = 12 .
√
Rozwiązać równanie: 1 − 2 cos2 x = 22 .
Rozwiązać równanie: (sin x + cos x)2 = 32 .
√
Rozwiązać równanie: (sin x − 5)(cos x + 23 ) = 0.
Rozwiązać równanie: cos2 x − 12 = 0.
Rozwiązać równanie: tg x · cos2 x = 1. √
Rozwiązać równanie: sin2 x − cos2 x = 22 .
Rozwiązać równanie: (3 cos x − 3)(cos 3x − 3) = 0.
Rozwiązać równanie: (sin x − 2)(cos x + 3)(2 sin x − 2)(sin 2x − 2) = 0.
Sprawdzić tożsamość (zwrócić uwagę na równość dziedziny): 12 − cos2 x = sin2 x − 12 .
Sprawdzić tożsamość (zwrócić uwagę na równość dziedziny): tg x · ctg x = sin2 x + cos2 x.
Sprawdzić tożsamość (zwrócić uwagę na równość dziedziny): sin(α + β) · cos(α − β) = 12 sin 2α + 21 cos 2β.
Sprawdzić tożsamość (zwrócić uwagę na równość dziedziny): 4 sin(α − β) · cos(α + β) = 2 sin 2α − 2 sin 2β.
Sprawdzić tożsamo?ć (zwrócić uwagę na równo?ć dziedziny): tg x · sin x − cos1 x = − cos x.
Sprawdzić tożsamość (zwrócić uwagę na równo?ć dziedziny): 2 sin(π − α) · cos(π − α) = sin 2α.
Sprawdzić tożsamość (zwrócić uwagę na równość dziedziny): cos 4x = −4 sin2 x cos2 x + 4(cos2 x − sin2 x)2 .
Sprawdzić tożsamość (zwrócić uwagę na równość dziedziny): (1 − sin2 x) · tg x = 1 − cos2 x.
Ile wynosi sin(π + α):
a. cos α,
b. − sin α,
c. − cos α,
d. sin α?
190. Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji danej wzorem:
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
y
a. f (x) = ctg x,
b. f (x) = − ctg x,
c. f (x) = tg x,
−π
0
d. f (x) = − tg x.
π
2π
x
191. Przy oznaczeniach przyjętych na rysunku ctg α jest równy:
a.
b.
c.
d.
c
a,
a
c,
b
c,
a
b.
c
b
α
a
192. Narysować wykres funkcji: f (x) = 2 sin x cos x dla x ∈ (− π2 , 2π].
6
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
Narysować wykres funkcji: f (x) = tg 2x.
Narysować wykres funkcji: f (x) = 2 cos x + 1.
Narysować wykres funkcji: f (x) = 3 cos(π − x) − 1.
Narysować wykres funkcji: f (x) = 2 tg( π4 + x).
Narysować wykres funkcji: f (x) = ctg( π2 − 2x).
Narysować wykres funkcji: f (x) = − 12 cos 2x.
Narysować wykres funkcji: f (x) = −2 cos x2 .
Narysować wykres funkcji: f (x) = sin(−2x).
Narysować wykres funkcji: f (x) = sin(π − 3x).
2
3
Sprawdzić tożsamość: (x+y) −(x−y)
= 3x2 y + y 3 .
2
4
Sprawdzić tożsamość: x − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1).
3
3
+1
−1
Uprościć wyrażenia: xx−1
+ xx+1
.
205. Uprościć wyrażenia:
120
x
100
+x
x20 +1
.
227. Usunąć niewymierność z mianownika:
228. Uprościć wyrażenie:
229. Obliczyć:
230. Obliczyć:
1
√
.
5
8x
x3 −8
x2 +x−6 .
√
√
2−1
√ 3 :
√ .
4−1
1+ 3
q √
2−√2
.
2+ 2
1
231. Usunąć niewymierność z mianownika: √ √
√ .
6+2 5− 5
√
√
1
4
1
4
−4
232. Obliczyć: [9− 4 + (3 3)− 3 ][9√
−√(3 3)− 3 ].
5
233. Zaznaczyć na osi liczbowej: 5, 4 4.
234. Obliczyć:
1
1
1
32
1
·3 3
2 2 ·2 3
.
235. Uprościć wyrażenie:
( 12 )−2 −2−2
.
1−( 21 +1)−2
q
3
3
4 −(81) 4
4 16
√
√
236. Uprościć wyrażenie: (16)
81 + 1 .
16− 81
√
√
√
ab)
1
√ √ , jeżeli a = 2 .
237. Obliczyć: (1 − a)−2 − (1 + a)−2 − 4(a+
4
a+ b
206. Obliczyć f (g(x)), gdzie f (x) = x2 , g(x) = −x3 .
207. Która z równości jest prawdziwa:
a. f (5) = 125, gdzie f (x) = −x3 ,
3
5
1
b. f (5) = 625, gdzie f (x) = −x4 ,
238. Uprościć wyrażenie: 23 2 ·4 25 ·8 2 1 .
2 2 +4 2 +8 2
c. f (−5) = 625, gdzie f (x) = x4 ,
h
i
3
1
1
1
3
239. Wartość wyrażenia ( 2 ) 2 · (2) 2 : ( 23 )2 · ( 43 ) 2 wynosi:
d. f (−5) = 125,
gdzie
f
(x)
=
x
.
p
√
208. Ile wynosi − (a + b)2 :
a. 3 4 3 ,
a. a + b dla a > −b,
9
,
b. 4√
b. a − b dla a > b,
3
√
c. −a − b dla a + b < 0,
c. 93 ,
d. −a + b dla a = b = 0?
d. √93 .
209. Niech f (x) = −x2 , g(x) = −x3 . Wtedy:
240. Która z liczb jest równa cos π4 :
a. (f ◦ g)(x) = x5 ,
√ √
3
a. √2−
,
b. (f ◦ g)(x) = −x5 ,
6+2
6
√
√
c. (f ◦ g)(x) = x ,
3
b. √2+
,
d. (f ◦ g)(x) = −x6 .
6−2
√ √
210. Spośród poniższych tożsamo?ci trygonometrycznych praw- c. √2+ 3 ,
6+2
dziwa jest:
√ √
2− 3
2
−2
√
?
d.
a. cos x = 1 + tg x,
6−2
2
−2
b. cos x = 1 − tg x,
241. Rozwiązać równanie: 2x + 3 = 0.
c. cos−2 x = 1 + ctg2 x,
242. Rozwiązać nierówność: −3x + 7 > 0.
d. cos−2 x = 1 − ctg2 x.
243. Narysować wykres funkcji: f (x) = 3x + 1.
211. Wykonać działania: 9 − 2 31 .
244. Na płaszczyźnie narysować obszar: y > 0, y ¬ −x + 2.
245. Znaleźć pierwiastki równania: x2 + 5x + 6 = 0.
212. Wykonać działania: 13 − 10 54 .
9
8
246. Znaleźć pierwiastki równania: 2x2 + 4x + 1 = 0.
213. Wykonać działania: 7 13 − 6 13 .
7
3
247. Znaleźć pierwiastki równania: 2x2 − 3 = 0.
214. Obliczyć: 15 − 8 .
248. Znaleźć pierwiastki równania: −4x2 + x − 1 = 0.
10
215. Obliczyć: 7 29 − 8 27
.
x+1
249. Znaleźć pierwiastki równania: x−1
− 3 = 0.
7
2x−1
216. Obliczyć: 13 15
− 12 31
.
45
250. Znaleźć pierwiastki równania: x2 −1 = 1.
3
13
217. Obliczyć: 20 − (17 20
+ 1 15
).
251. Rozwiązać nierówność: −x2 + x − 1 6 0.
7
4
1
24
252.
Rozwiązać nierówność: 2x2 − 1 6 0.
218. Obliczyć: (6 25 − 1 20 ) − (8 16 − 7 48 ).
253.
Rozwiązać nierówność: 14 − 2x2 > 0.
3
219. Obliczyć: 14
: 6 + 2 37 : 4.
254. Rozwiązać nierówność: 3x2 − x > 0.
2
220. Obliczyć: (5 16 + 2 58 ) : (7 89 − 3 40
).
45 √
√ √
√ 255. Rozwiązać nierówność: x > 3.
osi liczbowej: 1 + 5, 1 − 5, 3 + 2. 256. Rozwiązać nierówność: 13 < 8.
221. Zaznaczyć√na √
x
2+√3
.
222. Obliczyć: √2−
257. Rozwiązać nierówność: x−3 > x−1 .
3
√
258. Rozwiązać nierówność: 3x−2
9+16
x−4 < 1.
√ .
223. Obliczyć: √9+
2 2
16
259.
Rozwiązać
nierówność:
x
(x − 1) < 0.
1√
.
224. Usunąć niewymierność z mianownika: √3+
260. Narysować wykres funkcji: f (x) = 2 − x1 .
5
a−1
261. Podać resztę z dzielenia wielomianów: (2x3 + x2 − x + 1) :
225. Usunąć niewymierność z mianownika: √
.
3
a−1
(x2 − x).
1
226. Usunąć niewymierność z mianownika: √
.
4
2−1
262. Rozwiązać równanie: x3 − x2 − x + 1 = 0.
263. Rozwiązać równanie: x3 + 5x2 + 3x − 9 = 0.
264. Znaleźć A ∩ B, A ∪ B, gdzie: A = {(x, y) ∈ R × R : 2y + 3x > 1}, B = {(x, y) ∈ R × R : x > 1}.
265. Znaleźć A \ B, A ∩ B, gdzie: A = {(x, y) ∈ R × R : y > |x|}, B = {(x, y) ∈ R × R : y > 0}.
7
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
Znaleźć A ∩ B, A ∪ B, gdzie: A = {(x, y) : x ∈ R+ , y ∈ R− }, B = {(x, y) : x ∈ R, x + y − 1 6 0}.
Podać interpretację geometryczną zbioru liczb spełniających układ nierówności: x > 0, y 6 cos x, y > x − π2 .
Zaznaczyć na płaszczyźnie OXY A ∩ B, gdzie: A = {(x, y) ∈ R × R : x > 2}, B = {(x, y) ∈ R × R : y 6 1}.
Wyznaczyć równanie prostej równoległej do prostej 3x + 2y + 1 = 0 i przechodzącej przez punkt A(−1, 3).
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2, 2) i przecinającej oś OX pod kątem 45◦ .
Wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do prostej 4x − y = 0 i przechodzącej przez punkt A(−1, 1).
Obliczyć pole trapezu równoramiennego o podstawach o długości 10 i 4 oraz kącie przy podstawie 60◦ .
Obliczyć długość odcinka DE, jeśli |AB| = 4 i |AD| = 2.
C
E
A
30
0
B
D
274. Obliczyć długość odcinka EC, jeśli |AB| = 6 i |AD| = 3.
C
E
A
30
0
D
B
275. Dla jakiej wartości parametru b proste 9x − y = 0 oraz bx + 18y = 0 są prostopadłe?
a. b = −2,
b. nie ma takiej wartości b,
c. b = 2,
d. b = 9.
276. Prosta przechodząca przez punkt (1, −1) i równoległa do prostej y = − 43 x − 1 ma równanie
a. y = − 43 x + 13 ,
b. y = 34 x − 74 ,
c. y = x + 5,
d. żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna.
277. Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu y = x2 + 5x + 6.
278. Równanie x + x1 = − 52
284.
a. nie posiada rozwiązania,
285.
b. ma dwa rozwiązania,
c. ma jedno rozwiązanie,
d. ma nieskończenie wiele rozwiązań.
2
279. Uprość wyrażenie (2a + 1)3 · (2a − 1)3 − 2a(4a2 − 1) .
2
3
3
286.
−b2
280. Uprość wyrażenie aa−b
− aa2 −b
−b2
b
a
281. Jeżeli a+x = b , wtedy
a. x = b − a,
b. x = −a,
2
2
c. x = b −a
a ,
287.
a
d. x = b+a
.
282. Miejsca zerowe funkcji y = tg x są postaci
a. x = k · π4 , k ∈ Z,
b. x = k · π2 , k ∈ Z,
c. x = k · π, k ∈ Z,
288.
d. żadna z powyższych odpowiedzi
nie jest poprawna.
√
283. Dziedziną funkcji f (x) = sin x + cos x − 2 jest
a. zbiór R,
b. zbiór R+ ,
c. zbiór pusty,
289.
d. przedział [0, π].
290.
Rozłożyć na czynniki wyrażenie 4x3 + 8x2 y − xy 2 − 2y 3 .
4
3 π radianów to
a. 120◦ ,
b. 240◦ ,
c. 135◦ ,
d. 250◦ .
π
18 radianów to
a. 10◦ ,
b. 20◦ ,
c. 18◦ ,
d. 22◦ .
Niech α ∈ (π, 23 π). Wtedy
a. sin α < 0, cos α < 0, tgα > 0, ctgα > 0
b. sin α > 0, cos α < 0, tgα > 0, ctgα > 0
c. sin α < 0, cos α > 0, tgα > 0, ctgα > 0
d. sin α < 0, cos α < 0, tgα > 0, ctgα < 0.
Niech α ∈ ( π2 , π). Wtedy
a. sin α > 0, cos α > 0, tgα > 0, ctgα > 0
b. sin α > 0, cos α < 0, tgα < 0, ctgα < 0
c. sin α > 0, cos α < 0, tgα > 0, ctgα > 0
d. sin α < 0, cos α > 0, tgα < 0, ctgα < 0.
Naszkicować wykres funkcji y = cos x2 .
Naszkicować wykres funkcji y = 2tg(2x).
291. Dla jakiej wartości współczynników b i c, punkty A(1, 4), B(2, 8) należą do wykresu funkcji y = x2 + bx + c?
292. Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji f (x) = 2(x + 1)2 − 2x − 6.
293. Liczba
a. 9,
b. 3,
c. 13 ,
1
.
d. 27
(32 )6
(35 )2
jest równa
105
104
294. Obliczyć 4 +(−4)
.
4103
295. Obliczyć (−(3−1 + 32 ))17 .
1
6
3
2
1
12 16
(3 )
296. Obliczyć (3 ) 3−1
.
297. Rozwiązać równanie sin x = 1.
8
298. Wykres funkcji f (x) = x2 − x − 1 otrzymujemy poprzez przesunięcie wykresu funkcji g(x) = x2 o wektor
a. [ 12 , 54 ],
b. [ 12 , − 54 ],
c. [− 12 , − 54 ],
d. żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna.
299. sin √
120◦ wynosi:
a. √ 3,
b. 23 ,
√
c. 33 ,
d. 1.
300. Naszkicować wykres funkcji y = cos(x − π2 ).
√ 1
3
301. Uprościć wyrażenie ( 32 4 + 2 4 )2 .
302. Obliczyć ( 43 − 2 13 ) 12 .
307. Ile wynosi 20% z liczby 54 .
303. Obliczyć
310. Obliczyć
+ 2ab). √
√
√
√
311. Wykonać mnożenie i uprość ( 5 + 3 7)(2 5 − 5 7).
√
1+ √2
312. Usunąć niewymierność w mianowniku wyrażenia 2−2
.
2
308.
309. Obliczyć
1
1
2−4
1
1
+
2
4
15
.
400
229 1028 .
1
1
1
3 − 9 + 27
304. Obliczyć
1
305. Obliczyć
− . . . + 243
.
306. Obliczyć średnią z liczb 1, 2, 3, . . . , 10.
313. Usunąć niewymierność z mianownika w wyrażeniu
( 23 −1 31 )2 25
1− 51
a. 29 ,
b. 23 ,
4
c. 36
,
2
d. − 3 .
wynosi
q
8a12 b6
27 .
9(a2 + b2
p
√
2(1− 3)
√ √ √
.
( 2− 5)( 3+1)
√
√
√
314. Wyłączyć czynnik przed pierwiastek i przeprowadź redukcję w wyrażeniu 3√18 − 7√ 8 + 12.
√
√
315. Wyłączyć czynnik przed pierwiastek i przeprowadź redukcję w wyrażeniu 2 √6 +√3 12 − (3 27 + 48).
√ 6+√ 27 .
316. Wyłączyć czynnik przed pierwiastek i przeprowadź redukcję w wyrażeniu −
12− 48
√ 3
√ 3 √ 3
√ 3
317. Wykonać mnożenie i uprość (( 2) + ( 3) )(( 2) − ( 3) ).
318. Rozwiązać nierówność x2 + 3x − 4 > 0.
x+2
319. Rozwiązać nierówność (x−2)
2 6 0.
2x−1
320. Rozwiązać nierówność x+1 6 1.
321. Rozwiązać układ nierówności 0 < 3x+2
< 21 .
22x+2
x + 3x + 2 6 0,
322. Rozwiązać układ nierówności
2
−x
2 − 3x > 0.
x + 2x + 1 6 0,
323. Rozwiązać układ nierówności
2
x
+ 1 > 0.
2x − y = 0,
324. Rozwiązać układ równań
x − 3y = −x.
325. W
prostokątnym
układzie
współrzędnych
zaznaczyć ogół punktów (x, y), których współrzędne spełniają układ nierówności
|x + 2| < 1,
y + x > 0.
326.
327.
328.
329.
330.
331.
332.
333.
334.
335.
Rozwiązać
Rozwiązać
Rozwiązać
Rozwiązać
Rozwiązać
Rozwiązać
Rozwiązać
Rozwiązać
Rozwiązać
Rozwiązać
x+2
x
nierówność 2x+1
6 x+2
.
nierówność −2x + 2(1 − 5x) 6 −7(1 + 12 x).
nierówność (x + 7)(x − 3)(x + 2) > 0.
nierówność (x2 + 7x + 12)(x2 + 1) < 0.
równanie x4 − x2 − 2 = 0.
równanie 3x + 4 = 2x − 7.
równanie 3x2 − 2x = 5x2 + 2x + 1.
x+1
x
równanie x−2
+ xx−1
2 −4 = x+2 .
3
2x
x
równanie x+1
− 2x+2
x−1 = x2 −1 + 1−x2 .
równanie 2|x| − |x + 2| = 4.
336.
337.
338.
339.
340.
341.
342.
Rozwiązać równanie x3 + 5x2 + 6x = 0.
Rozwiązać równanie 2x3 + 12x2 + 22x + 12 = 0.
Wykonać mnożenie (x2 + 3x − 7)(x + 2)2 .
Wykonać mnożenie (x3 − 6x + 4)(x2 − 5).
Wykonać dzielenie (x3 + 5x2 + x − 3) : (x + 1).
Wykonać dzielenie (x3 − 3x2 + 5x − 15) : (x2 + 5).
Wykonać dzielenie (x4 +q
5x3 + x2 + 6x) : (x2 + 1).
(x+1)(x−1)
.
x+2
p
2
funkcji (x − 3)(x
343. Oblicz dziedzinę funkcji
344. Wyznaczyć dziedzinę
345. Oblicz dziedzinę funkcji
− 4).
x3 +6x2 +3x−10
(x−1)(x+2) .
346. Uzasadnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x2 + y 2 > 2xy.
347. Znaleźć trójmian kwadratowy wiedząc, że suma jego pierwiastków wynosi −1, iloczyn pierwiastków wynosi 2, oraz wartość
w punkcie x = 0 jest równa 2.
348. Znaleźć trójmian kwadratowy,którego pierwiastki x1 , x2 spełniają zależności x1 + x2 = 2, x11 + x12 = −2 oraz wartość w
punkcie x = 0 jest równa 2.
349. Podać wszystkie elementy zbioru A, jeżeli A = {x : x jest wielokrotnością liczby 4, x < 15}.
350. Podać wszystkie elementy zbioru A, jeżeli A = {x ∈ Z : −3 < x 6 2}.
351. Podać wszystkie elementy zbioru A, jeżeli A = {x ∈ N : −2 6 x 6 2, x jest podzielne przez 2}.
352. Wyznaczyć zbiór A ∪ B, jeżeli A = {x ∈ N : x 6 5}, B = {x ∈ Z : |x| 6 5}.
9
353.
354.
355.
356.
357.
358.
359.
360.
361.
362.
363.
364.
365.
366.
367.
368.
369.
370.
371.
372.
373.
374.
375.
376.
377.
378.
379.
380.
381.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
389.
390.
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.
401.
402.
403.
404.
405.
406.
407.
408.
409.
Wyznaczyć zbiór A ∩ B, jeżeli A = {x ∈ R : x jest wielokrotnością liczby 3}, B = {x ∈ N : x jest podzielne przez 3}.
Wyznaczyć zbiór A \ B, jeżeli A = Z, B = N \ {0}.
Znaleźć sumę 71 kolejnych liczb parzystych dodatnich zaczynając od 2.
Kąty trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Obwód tego trójkąta wynosi 36 cm. Oblicz jego boki.
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 3, różnica ciągu wynosi 4. Znajdź największą z możliwych wartości n, dla
której spełniona jest nierówność Sn < 1000.
Wyznaczyć piąty wyraz ciągu geometrycznego mając dane: a1 = 2, q√= 3. √
Wyznacz dziewiąty wyraz ciągu geometrycznego mając dane: a1 = 6 3 3, q = 3 3.
Oblicz sumę ciągu 3 + 32 + 33 + . . . + 36 .
1
Oblicz sumę ciągu 12 + 14 + 18 + . . . + 128
.
W ciągu geometrycznym dane są: a1 = − 12 , q = 2. Suma ilu początkowych wyrazów wynosi − 127
2 ?
Znaleźć iloraz q ciągu geometrycznego, jeśli: a1 = 12, a5 = 48.
Czy trójkąt można zbudować z dowolnych trzech odcinków? Odpowiedź uzasadnić.
Podstawa trójkąta równoramiennego wynosi 10 cm, a obwód trójkąta 40 cm. Obliczyć długości ramion trójkąta.
Obwód trójkąta równoramiennego ABC wynosi 50 cm. Wysokość CD tego trójkąta podzieliła trójkąt na dwie równe
części. Obwód trójkąta ADC wynosi 40 cm. Ile wynosi wysokość CD?
Boki trójkąta prostokątnego wynoszą 10 cm, 24 cm, 26 cm. Który z tych boków jest przeciwprostokątną? Odpowiedź
uzasadnić.
W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie jest równy 72◦ . Oblicz kąt przy wierzchołku.
Przyległe boki równoległoboku są równe 18 cm i 24 cm, a kąt rozwarty równoległoboku jest równy 150◦ . Obliczyć pole
równoległoboku.
Oblicz współrzędne środka odcinka o końcach w punktach (2, −3), (−2, 5).
→
Napisać równanie prostej prostopadłej do wektora −
v = [2, −3] i przechodzącej przez punkt P (5, 3).
Napisać równanie prostej równoległej do prostej x + 2y − 1 = 0 i przechodzącej przez punkt P (2, −3).
Napisać równanie prostej prostopadłej do prostej 2x − y − 3 = 0 i przechodzącej przez punkt P (2, −3).
−−→
Oblicz długość wektora AB, gdzie A(4, −3), B(1, 1).
Znaleźć współrzędne środka okręgu oraz promień okręgu danego równaniem: x2 + y 2 + 3x − 4y + 1 = 0.
Ile wynosi promień okręgu o równaniu x2 + y 2 = 12?
Obliczyć bok kwadratu, którego przekątna jest dłuższa od boku o 3 cm.
Znaleźć boki prostokąta, gdy stosunek tych boków wynosi 3 : 4, a pole prostokąta wynosi 48 cm2 .
Obliczyć pole trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu 5 cm, jeżeli stosunek przyprostokątnych wynosi 3 : 4.
Jaka jest długość przekątnej sześcianu o krawędzi a?
Obliczyć objętość graniastosłupa trójkątnego prawidłowego, którego wszystkie krawędzie są równe a.
Jak zmieni się pole powierzchni kuli i objętość kuli, gdy promień kuli powiększymy 5 razy?
Wyznaczyć pole powierzchni kuli, której objętość jest równa V .
Znaleźć objętość kuli, której pole powierzchni jest równe S.
Rozwiązać nierówność: (x + 1)2 ¬ x2 .
Rozwiązać nierówność: (2x + 1) · 2x ¬ 4( 12 x − 1)2 + 3x2 .
2
2
Rozwiązać nierówność: (2x+5)
− 2(x−4)
­ 2x(3x+16)
.
4
5
10
Sprawdzić, czy prawdziwe jest zdanie: dla każdego x ∈ R : x2 − 2x + 1 ­ 0.
Sprawdzić, czy prawdziwe jest zdanie: dla każdego x ∈ R : x2 − 4x + 6 ­ 2.
Sprawdzić, czy prawdziwe jest zdanie: dla każdego x ∈ R : (x + 1)2 ¬ 4x.
Sprawdzić, czy prawdziwe jest zdanie: istnieje x ∈ R : (x + 1)2 ¬ 4x.
Rozwiązać nierówność: x2 − 5x + 6 ­ 0.
Rozwiązać nierówność: x2 − 4x + 4 ¬ 0.
Rozwiązać nierówność: x2 > 8x − 16.
Rozwiązać nierówność: 15 − 2x − x2 ¬ 0.
Rozwiązać nierówność: x2 − 2x − 3 > 0.
Rozwiązać nierówność: 4x2 − 1 ¬ (2x − 1)(x + 3).
Rozwiązać nierówność x2 − 2x − 3 ¬ 0.
Ile punktów wspólnych mają wykresy funkcji y = −x2 + 1 oraz y = 1?
Ile punktów wspólnych mają wykresy funkcji y = x2 + 2x oraz y = 3x + 6.
Wykonać dzielenie wielomianów (x5 + 3x3 + 2x) : (x2 + 1).
Wykonać dzielenie wielomianów (2x4 − 15x3 + 24x2 − 5x − 6) : (2x − 3).
Wykonać dzielenie wielomianów (x4 − 16) : (x − 2).
Rozwiązać nierówności stosując rozkład wielomianu na czynniki 4x2 − 9 < 0.
Rozwiązać nierówności stosując rozkład wielomianu na czynniki 125x3 − 8 > 0
Rozwiązać nierówności stosując rozkład wielomianu na czynniki x5 + 3x4 − 4x3 − 12x2 ¬ 0
Rozwiązać nierówności stosując rozkład wielomianu na czynniki x6 − x5 − x2 + x > 0
Rozwiązać nierówności stosując rozkład wielomianu na czynniki (x2 − 3x)2 − 9x2 ¬ 0
Rozwiązać nierówności stosując rozkład wielomianu na czynniki (x2 + 1)2 − 4 ­ 0
10
nierówności (x2 − 4)(x2 − 4x + 4)(x2 − 6x + 8)(x2 + 4x + 4) < 0
nierówności: (x2 + 3x + 2)(x2 − 9)(x2 − 3x) ­ 0
nierówności: (x2 + 1)(x − x2 − 5)(x2 + 2x + 8) > 0
nierówności: (x − 1)2 (x + 2)3 (x2 + 5)(x2 + 2x + 6)2 (16 − x2 ) ¬ 0
nierówności: (x + 2)5 (x − 3)(x + 1)3 (x2 − 2x + 7) > 0
410.
411.
412.
413.
414.
Rozwiązać
Rozwiązać
Rozwiązać
Rozwiązać
Rozwiązać
415.
416.
417.
418.
419.
420.
Rozwiązać równanie: x7 − 5x5 + 4x3 = 0.
Rozwiązać równanie: x8 + x4 − 2 = 0.
Rozwiązać równanie: |x2 − 1| = x − 1.
Rozwiązać równanie: x2 = |x|.
Rozwiązać równanie: x3 = 4|x|.
2
−9
Skrócić ułamki: 4x
3−2x .
421. Skrócić ułamki:
2x2 −4x
2−x .
422. Skrócić ułamki:
x3 −x
1−x .
423.
424.
425.
426.
431. Rozwiązać równanie: x −
432. Rozwiązać równanie:
433. Rozwiązać
434. Rozwiązać
435. Rozwiązać
436. Rozwiązać
437. Rozwiązać
3x3 +3x
x2 +x−6
·
430. Rozwiązać
1
nierówność: x+1
4x < x−1 .
nierówność: x2 − x2 ­ 0
2
−1
nierówność: xx+1
< 0.
1
1
nierówność: x < 3 .
nierówność: x3 − x4 < 43 .
Obliczyć iloczyn pierwiastków równania x2 − x − 6 = 0.
Obliczyć iloczyn pierwiastków równania x2 − 2x − 7 = 0.
Rozwiązać nierówność x − x2 < 1.
1
Rozwiązaniem nierówności |x|
> 2 jest zbiór
1 1
a. (− 2 , 2 ) \ {0}
b. (−∞, − 12 ) ∪ ( 12 , +∞)
c. (−∞, − 12 )
d. ( 12 , +∞)
442. Obliczyć lim 3 + n12 + n2 .
n→∞
443. Obliczyć wysokość trójkąta równobocznego o boku a = 3.
444. Obliczyć długość przekątnej kwadratu o boku a = 4.
x−1
6x .
27−x3
x
2x · x−3 .
1
równanie: x−1
4x = x+1 .
x
.
równanie: 2 − x1 = x+2
428. Wykonać działania:
429. Rozwiązać
=
= 0.
3
x.
438.
439.
440.
441.
2
.
Skrócić ułamki: x −14x+49
49−x2
1
x+1
Wykonać działania: x − 3 .
x+3
Wykonać działania: x−1
− x+1
x+2 .
1
Wykonać działania: x−2 − x1 .
427. Wykonać działania:
2
x2
4
x
445. Obliczyć długość przekątnej prostokąta o bokach a = 2, b = 3.
446. Dany jest trójkąt równoboczny o boku równym 2 cm. Obliczyć pole zamalowanej figury:
447.
448.
449.
450.
451.
452.
453.
454.
455.
456.
457.
458.
459.
460.
Obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku 2.
Obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt równobocznym o boku 2.
Obliczyć objętość kuli opisanej na sześcianie o boku 1.
Wyznaczyć długość przekątnej sześcianu o boku 3.
Obliczyć pole powierzchni całkowitej kuli opisanej na sześcianie o boku 1.
Obliczyć objętość ostrosłupa prawidłowego o podstawie kwadratu o boku długości a = 1 i wysokości H = 3.
Obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego o podstawie kwadratu o boku długości a = 1 i wysokości
H = 3.
√
Obliczyć objętość stożka o promieniu podstawy r = 1 i wysokości H = 2 2.
Obliczyć pole powierzchni bocznej stożka o promieniu podstawy r = 1 i wysokości H = 3.
Obliczyć pole powierzchni całkowitej walca o wysokości H = 4 wpisanego w kulę o średnicy d = 5.
Obliczyć objętość walca o wysokości H = 4 wpisanego w kulę o średnicy d = 5.
Narysować w układzie współrzędnych zbiór: W = {(x, y) : x2 + 2x + y 2 6 0}.
Narysować w układzie współrzędnych zbiór: W = {(x, y) : x2 − 6x + y 2 + 2y > 6}.
Obliczyć lim n+1
n .
n→∞
2
n +2
461. Obliczyć lim 2n
2 −3 .
n→∞
462. Obliczyć pole figury:
1
1
r
11
(
463. Rozwiązać graficznie układ nierówności:
464. Rozwiązać graficznie układ nierówności:
465.
466.
467.
468.
469.
470.
471.
472.
473.
474.
475.
476.
477.
478.
479.
480.
x2 + y 2 6 4
x + y 6 1.
(
2x − y > 0
x2 + y 2 6 9.
1
Dany jest ciąg geometryczny (an )∞
n=1 o pierwszym wyrazie a1 = 2 oraz ilorazie q = 2 . Obliczyć a3 .
∞
Dany jest ciąg geometryczny (an )n=1 o pierwszym wyrazie a1 = 2 oraz ilorazie q = 12 . Obliczyć a1 + a2 .
1
Dany jest ciąg geometryczny (an )∞
n=1 o pierwszym wyrazie a1 = 2 oraz ilorazie q = 2 . Obliczyć sumę pierwszych czterech
wyrazów tego ciągu.
Czy ciąg 12 , 0.51, 23 , π, 5 jest rosnący?
4
Czy ciąg 14 , 16
, 0.24, 16
64 jest stały?
1
W ciągu arytmetycznym (an )∞
n=1 pierwszy wyraz wynosi a1 = 5, różnica jest równa r = 3 . Obliczyć a4 .
∞
W ciągu arytmetycznym (an )n=1 pierwszy wyraz wynosi a1 = 5, różnica jest równa r = 31 . Obliczyć sumę pierwszych
trzech wyrazów tego ciągu.
1
5
W ciągu arytmetycznym (an )∞
n=1 dane są a1 = 2 oraz a3 = 2 . Obliczyć a2 .
1
∞
W ciągu arytmetycznym (an )n=1 dane są a1 = 2 oraz a3 = 52 . Obliczyć różnicę r.
1
5
W ciągu arytmetycznym (an )∞
n=1 dane są a1 = 2 oraz a3 = 2 . Obliczyć a4
5
1
W ciągu arytmetycznym (an )∞
n=1 dane są a1 = 2 oraz a3 = 2 . Obliczyć sumę pierwszych trzech wyrazów tego ciągu.
1
∞
W ciągu geometrycznym (an )n=1 dane są a1 = 2 oraz a3 = 2. Obliczyć iloraz q.
1
W ciągu geometrycznym (an )∞
n=1 dane są a1 = 2 oraz a3 = 2. Obliczyć sumę pierwszych czterech wyrazów tego ciągu.
∞
W ciągu geometrycznym (an )n=1 dane są a1 = 12 oraz a3 = 2. Obliczyć a2 .
1
W ciągu geometrycznym (an )∞
n=1 dane są a1 = 2 oraz a3 = 2. Obliczyć a5 .
Obliczyć pole zakreskowanej figury:
1
1
481. Obliczyć pole zakreskowanej figury:
3
4
482. Obliczyć pole figury:
2
1
1
2
( 13 )n .
483. Zbadać monotoniczność ciągu an = 2 ·
484. Obliczyć pole mniejszej części koła o promieniu 4 cm odciętej cięciwą o długości 4 cm.
√
485. Objętość prostopadłościanu o podstawie kwadratu jest równa 12 dm3 , a przekątna to 2 2 dm. Znaleźć długości jego
krawędzi.
486. Obliczyć pole walca opisanego na kuli o objętości 43 cm3 .
BC
487. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem odcinka AB, a E jest środkiem odcinka AC. Obliczyć DE
.
488. Pole trójkąta ABC wynosi 4. Punkt D jest środkiem odcinka AB, a E jest środkiem odcinka AC. Obliczyć pole czworokąta
BCED.
489. Obliczyć pole zakreskowanej figury:
0
60
r=1
490. Wyznaczyć dziedzinę funkcji: f (x) = 1−211−|x| .
491. Ile punktów wspólnych mają okręgi x2 + y 2 − 2y = 0 oraz x2 + y 2 − 2x = 0?
12
492. Rozwiązać równanie: x2 + x12 = x + x1 .
√
493. Narysować wykres funkcji: f (x) = x +2.
2x − y > 0
x2 + y 2 6 9.
Podać interpretację geometryczną zbiorów:
A = {(x, y) ∈ R × R : y 2 − 5y + 6 = 0}, B = {(x, y) ∈ R × R : y = 2x + b, −2 < b 6 −1}.
Znaleźć A ∩ B, gdzie: A = {(x, y) ∈ R × R : x2 + y 2 6 4x}, B = {(x, y) ∈ R × R : x2 + y3 > 1}.
Znaleźć A ∩ B, A ∪ B, gdzie: A = {(x, y) ∈ R × R : x2 + 4x + y 2 6 0}, B = {(x, y) ∈ R × R : x + 2y > 1}.
Znaleźć A ∩ B, gdzie: A = {(x, y) ∈ R × R : y 6 |x + 1|}, B = {(x, y) ∈ R × R : y > x2 }.
0
Zaznaczyć na płaszczyźnie OXY
√ zbiory: A∩B, (A∩B) , gdzie: A = {(x, y) ∈ R×R : y > 2}, B = {(x, y) ∈ R×R : y 6 2|x|}.
Znaleźć pierwiastki równania: px − 1 = 1.
Znaleźć pierwiastki równania:
(x − 4)(2 − x) = 0.
√
Rozwiązać nierówność: √x2 − x + 1 6 2.
Rozwiązać nierówność: x − 4 6 −1.
Rozwiązać nierówność: x < x1 .
2
Rozwiązać nierówność: x−1
< x3 .
3
2
Rozwiązać nierówność: |x
√ − 1| < x + x + 1.
2
Rozwiązać nierówność: x − 3x − 10 > x − 2.
Dla jakich parametrów a, b wielomiany W (x) = ax3 + 2x3 + bx2 + x2 − x, Q(x) = 6x3 + 8x2 − x są równe?
Dla jakiej wartości parametru m przy dzieleniu wielomianu 3x3 + mx2 − 4x + 2 przez jednomian x − 2 otrzymamy resztę
równą 6?
Rozłożyć wielomian x3 − 1 na czynniki.
Rozwiązać nierówność: x2 − x−3 > x − x−2 .
Wyznaczyć a, b tak, aby wielomian x4 − 3x3 + 6x2 + ax + b był podzielny przez x2 − 1.
Rozwiązać równanie x2 = 2|x| − 4.
√
3
1
2
1
Wartość wyrażenia [a− 2 b(ab−2 )− 2 (a−1 )− 3 ]3 dla a = 22 , b = √
wynosi
3
2
√
a. 2,
b. 1,
√
c. 3 2,
d. 12 .
√
Rozwiązać równanie sin x = − 23 .
√
√
Wartość wyrażenia (a + 1)−1 + (b + 1)−1 dla a = (2 + 3)−1 , b = (2 − 3)−1 wynosi
a. 0, √
b. 2 + 3,
c. 1,
√
d. 3.
494. Rozwiązać graficznie układ nierówności
495.
496.
497.
498.
499.
500.
501.
502.
503.
504.
505.
506.
507.
508.
509.
510.
511.
512.
513.
514.
515.
516.
2
y(x−y)
x
517. Wartość wyrażenia x2 +y
jest równa
2 − x4 −y 4
1
a. x+y
,
b. x − y,
c. x2 − y 2 ,
d. y1 .
518. cos √
75◦ wynosi
a. 46 ,
√ √
2
b. 6−
,
√ 4√
6+ 2
c.
,
√ 4
d. 42 .
√
519. Rozwiązać równanie ctgx = − 33 .
520. Rozwiązać równanie sin x − cos x = 0.
521. Rozwiązać równanie sin3 x + sin x = 0.
527.
528.
529.
530.
Rozwiązać równanie tg2 x = 1.
Rozwiązać równanie 4 sin2 x − 3 = 0.
Rozwiązać równanie ctg(x − π2 ) = 1.
3
Niech cos α = 12
13 i α ∈ ( 2 π, 2π). Wtedy
2
a. sin α = 13 ,
5
b. sin α = − 13
,
1
c. sin α = − 13
,
1
d. sin α = 13
.
526. tg150√◦ to
a. − 33
√
b. √ 3
c. 33
√
d. 1 + 3.
522.
523.
524.
525.
Obliczyć iloraz ciągu geometrycznego nieskończonego wiedząc, że suma postępu jest dwa razy większa niż pierwszy wyraz.
Naszkicować wykres funkcji y = sin |x|.
Naszkicować wykres funkcji y = 1 − | cos x|.
Równanie sin x = a
a. dla dowolnego a ∈ R ma nieskończenie wiele rozwiązań
b. dla a ∈ ( 14 , 1) ma nieskończenie wiele rozwiązań
c. dla dowolnego a ∈ R ma jedno rozwiązanie
d. dla a = 1 nie posiada rozwiązań.
13
531. Równanie ctgx = a
a. dla dowolnego a ∈ R ma nieskończenie wiele rozwiązań
b. dla dowolnego a ∈ R ma dokładnie dwa rozwiązania
c. dla a = −1 nie posiada rozwiązań
d. dla a ∈ (−1, 1) ma dokładnie cztery rozwiązania.
532. Naszkicować wykres funkcji y = tg(− x2 ).
q
533. Naszkicować wykres funkcji y = sin2 (2x) dla x ∈ [−π, 0].
534. Naszkicować wykres funkcji y = sin x − | sin x| + 1.
535. Naszkicować wykres funkcji y = −1 + tgx.
536. Dane są zbiory A = {x ∈ Z : x2 − 1 6 0}, B = {−2, −1, 0, 1}. Która z poniższych zależności jest prawdziwa?
a. A = B,
b. A ⊂ B,
c. A ⊃ B
d. A ∩ B = ∅.
537. Jaki rodzaj zależności (⊂, ⊃, =) zachodzi pomiędzy zbiorami A = {x ∈ R : x = k2 , k ∈ Z \ {0}},
B = {x ∈ R : x = n−1 , n ∈ N}?
16
8
538. Suma siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego − 32
81 , 27 , − 9 , . . . wynosi:
462
a. 162 ,
b. − 462
162 ,
539.
540.
541.
542.
543.
544.
545.
546.
547.
548.
c. − 463
162
d. 463
162 .
Znaleźć objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego mając dany bok podstawy równy 2 i krawędź boczną 3.
Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy 15 cm, a promień okręgu wpisanego w ten sześciokąt ma
długość 13 cm. Obliczyć pole tego sześciokąta.
Bok podstawy prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego jest równy 1, wysokość ściany bocznej jest równa 2. Objętość
ostrosłupa
wynosi:
√
a. 439 ,
b. 2,√
c. 3 439 ,
√
d. 248 .
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, którego pole jest równe 128 cm2 . Obliczyć pole powierzchni całkowitej stożka.
Ile wynosi pole wielkiego koła kuli, której pole powierzchni jest równe 14 cm2 ?
Kąt między prostymi o równaniach: x + 2y − 1 = 0, x − 3y + 2 = 0 wynosi:
a. 45◦ ,
b. 60◦ ,
c. 30◦
d. 90◦ .
Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2, −3) i nachylonej do prostej 2x − y + 1 = 0 pod kątem 45◦ .
n √
Obliczyć granicę ciągu an = √n−1−
,
n
√
√
Obliczyć granicę ciągu an = n − 1 − n,
3
Obliczyć granicę ciągu an = n n+2n+1
,
2 −1
n2 +1
n4 −2n+3 ,
1√
√
,
n2 −n− n2 −1
n!+(n+1)!
(n+2)! ,
549. Obliczyć granicę ciągu an =
550. Obliczyć granicę ciągu an =
551. Oblicz granicę ciągu an =
p
p
√
√
552. Obliczyć granicę ciągu an = qn + n − n − n,
n−1
,
553. Obliczyć granicę ciągu an = 3 8n+10
554. Obliczyć granicę ciągu an =
555. Obliczyć granicę ciągu an =
556. Obliczyć granicę ciągu an =
557. Obliczyć granicę ciągu an =
√
√
1+2n2 − 1+4n2
,
n
(2n−1)2
,
(4n−1)(3n+2)
√
n
p √ √
,
n+ n+ n+1
√
n2 −1
√
.
3 3
n +1
14