Lista 1R

Lista 1. KINEMATYKA
Fizyka I – Ćw.
BLiW - niestacjonarne
Prędkość średnia
1. Rowerzyści w czasie wycieczki rejestrowali swoją prędkość.
a) Rowerzysta A godzinę jechał z prędkością v1 = 25 km/h podczas drugiej na skutek
zmęczenia jechał z prędkością v2 = 15 km/h.
b) Rowerzysta B pierwsze 20 km jechał z prędkością v1 = 25 km/h, a kolejne 20 km
z prędkością v2 = 15 km/h.
c) Rowerzysta C godzinę jechał z prędkością v1 = 25 km/h a następne 20 km z prędkością
v2 = 15 km/h.
Oblicz prędkości średnie rowerzystów.
2. Biegacz przebiegł połowę trasy z prędkością v1 = 18km/h, a drugą połowę z inną
prędkością v2. Gdyby biegł cały czas ze stałą prędkością v = 12km/h, to czas potrzebny na
przebycie całej trasy nie zmieniłby się. Oblicz wartość prędkości v2.
Względność ruchu
3. Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością u, prostopadłą do kierunku
prądu. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów, ale wartość jej prędkości V
zaleŜy od odległości y od brzegu i dana jest wzorem: V = v0sin(y/L), gdzie v0 jest stałą, a L
szerokością rzeki. Znaleźć wektor prędkości łódki względem brzegu.
4. Prędkość łódki względem wody wynosi v. Jak naleŜy skierować łódź, aby przepłynąć rzekę
w kierunku prostopadłym do brzegu? Woda w rzece płynie z prędkością u.
5. Dwa samochody poruszają się po dwóch prostoliniowych i wzajemnie prostopadłych
drogach w kierunku ich przecięcia ze stałymi szybkościami v1 = 50 km/h i v2 = 100 km/h.
Przed rozpoczęciem ruchu pierwszy samochód znajdował się w odległości s1=100km od
skrzyŜowania dróg, a drugi w odległości s2 = 50km. od ich przecięcia. Po jakim czasie od
chwili rozpoczęcia ruchu odległość między samochodami będzie najmniejsza?
Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony
6. Ciało swobodnie spadające pokonuje połowę drogi w ciągu ostatniej sekundzie ruchu.
Z jakiej wysokości spada to ciało?
7. Motocyklista rusza ze stałym przyspieszeniem a = 0.5 m/s2. Po 0.6 min od chwili
rozpoczęcia ruchu zatrzymuje go policjant. Czy motocyklista będzie płacił mandat z powodu
przekroczenia dozwolonej prędkości 60 km/h?
8. W chwili, gdy zapala się zielone światło, samochód osobowy rusza z miejsca ze stałym
przyspieszeniem a równym 2.2 m/s2. W tej samej chwili wyprzedza go cięŜarówka, jadąca ze
stałą prędkością 9.5 m/s.
(a) W jakiej odległości od sygnalizatora samochód osobowy dogoni cięŜarówkę?
(b) Ile wynosić będzie wówczas jego prędkość?
1
Lista 1. KINEMATYKA
Fizyka I – Ćw.
BLiW - niestacjonarne
Rzuty
9. Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią ziemi rzucono pionowo do góry
z prędkością v0 = 5 m/s. Prędkość końcowa ciała (tuŜ przed upadkiem) wyniosła |vk| = 5v0.
Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H nad powierzchnię ziemi wzniosło się ciało?
Ile czasu tc trwał ruch ciała?
10. Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H, nadając mu prędkość początkową v0 = 5m/s.
Ciało uderzyło o ziemię z prędkością vk = 35 m/s. Z jakiej wysokości H zostało rzucone? Ile
sekund trwał ruch ciała? Jaką prędkość v1 miało to ciało w chwili, gdy przebyło drogę s1 =
H/6?
11. Ciało spada swobodnie na ziemię z wysokości H. Na jakiej wysokości prędkość tego ciała
będzie n razy mniejsza od jego prędkości końcowej? Obliczenia numeryczne wykonaj dla
H=27 m i n=3.
12. Z wieŜy o wysokości H=10 m wystrzelono z prędkością V = 100m/s pod kątem α = 30°
pocisk. Z jaką prędkością uderzył pocisk o ziemię? Jaki kąt tworzył tor pocisku z płaszczyzną
ziemi? Napisz równanie toru pocisku.
13. Kamień wyrzucono z katapulty z prędkością początkową 20 m/s w górę pod kątem
45°.Wyznaczyć połoŜenie i prędkość kamienia po czasie 1.2 s.
14. W meczu tenisowym Agnieszka Radwańska serwując nadała piłce znajdującej się na
wysokości 2.37m prędkość poziomą 23.6 m/s stojąc w odległości 12 m od siatki. Czy piłka
przejdzie nad siatką?
2
Lista 1. KINEMATYKA
Fizyka I – Ćw.
BLiW - niestacjonarne
ROZWIĄZANIA
Zadanie 1
a)
S
v śr = gdzie: S - cała przebyta droga, t – czas ruchu.
t
W czasie pierwszej godziny rowerzysta przejechał drogę S1 = v1t1 (gdzie t1=1 h), a w czasie drugiej
godziny S 2 = v 2 t 2 (gdzie t2=1 h). Zatem:
S S1 + S 2 v1t1 + v 2 t 2
=
=
t
t1 + t 2
t1 + t 2
v śr =
Uwzględniając, Ŝe t1 = t2 = t otrzymujemy, Ŝe
v śr =
v1 + v 2
= 20km / h
2
Uwaga: Tylko w przypadku t1 = t2 prędkość średnia jest średnią arytmetyczną prędkości.
b)
v śr =
S + S2
S S1 + S 2
=
= 1
S1 S 2
t
t1 + t 2
+
v1 v 2
Uwzględniając, Ŝe S1 = S2 = S otrzymujemy:
v śr =
2v1v 2
= 18.75km / h
v1 + v 2
c)
v śr =
S S1 + S 2 v1t1 + S 2
=
=
= 19.29km / h
S2
t
t1 + t 2
t1 +
v2
Zadanie 2
Przyjmując , Ŝe:
t1 - czas pokonania pierwszej połowy drogi z prędkością v1
t 2 - czas pokonania drugiej połowy drogi z prędkością v 2
t - czas pokonania całej drogi z prędkością v
moŜemy zapisać:
t1 + t 2 = t
czyli:
1 S 1 S
2 + 2 =S
v1
v2
v
stąd:
v2 =
vv1
= 9 km
h
2v1 − v
3
Lista 1. KINEMATYKA
Fizyka I – Ćw.
BLiW - niestacjonarne
Zadanie 3
Ruchy w kierunku x oraz y są niezaleŜne stąd wektor prędkości łódki ma postać:
r
π⋅y 

v = v x ; v y = v0 sin
; u
L


[
]
Jest to wektor o wartości:
π ⋅y

2
v =  v0 sin
 +u
L 

2
Wektor ten nachylony jest do brzegu pod kątem α , którego tangens jest równy:
tgα =
vy
vx
u
=
v0 sin
π⋅y
L
Z analizy tangensa wynika, Ŝe przy brzegach (y = 0 lub y = L) łódka jest skierowana prostopadle do
u
nurtu rzeki bo tgα → ∞ , a na środku rzeki ( y = 1 L ) kąt α jest najmniejszy i tgα =
.
2
v0
Zadanie 4
r
Aby prędkość wypadkowa była skierowana prostopadle do brzegu, prędkość łodzi v względem wody
powinna być skierowana do brzegu pod kątem α takim, Ŝe:
cos α =
u
v
v wyp
v2 − u2
.
u
lub inaczej
tgα =
u
=
Zadanie 5
Wprowadźmy układ współrzędnych taki, Ŝe pierwszy samochód porusza się w kierunku dodatnim osi
x, a drugi w kierunku dodatnim osi y. Niech skrzyŜowanie dróg będzie początkiem tego układu
współrzędnych. W tym układzie równania ruchu obu samochodów przyjmą postać:
x(t ) = − s1 + v1t
y (t ) = − s 2 + v 2 t
Odległość f między samochodami w funkcji czasu moŜna obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
f (t ) =
(− s1 + v1t )2 + (− s 2 + v2 t )2 .
4
Lista 1. KINEMATYKA
Fizyka I – Ćw.
BLiW - niestacjonarne
Czas tmin, po którym funkcja osiąga minimum wartości moŜna obliczyć z warunku zerowania się
pochodnej tej funkcji po czasie:
df
= f ' (t ) = 0
dt
Z tego warunku uzyskujemy wyraŜenie na tmin:
t min =
S1v1 + S 2 v 2 4
= h = 48 min
5
v12 + v 22
Zadanie 6
Z treści zadania wynika, Ŝe mamy do czynienia ze spadkiem swobodnym, czyli:
1 2
gt
2
1
1
h = g (t − 1) 2
2
2
h=
Pierwsze równanie wyraŜa drogę h przebytą przez spadające swobodnie ( v0 = 0 ) ciało w czasie t.
Drugie równie zawiera informację o tym, Ŝe w czasie o 1s krótszym ciało przebędzie drogę o długości
1
1
h , co oznacza, Ŝe w ostatniej sekundzie pokona pozostałą drogę teŜ o długości h .
2
2
Rozwiązanie tego układu równań to:
t=
2
(
)
= 2 + 2 [s]
2 −1
h ≈ 57 m .
Zadanie 7
Z treści zadania wiemy, Ŝe motocyklista porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez
prędkości początkowej, więc:
v(t ) = v 0 + at = at = 18
m
0.001km
km
= 18
≈ 64.8
1
s
h
3600h
Motocyklista zapłaci mandat bo przekroczył dozwoloną prędkość.
Zadanie 8
Wprowadźmy oś X skierowaną w kierunku ruchu obu pojazdów. Przyjmijmy, Ŝe zero tej osi jest w
miejscu występowania świateł, czyli w miejscu gdzie pojazdy spotkały się po raz pierwszy. Zapiszmy
równania ruchu obu pojazdów w tym układzie.
Samochód osobowy porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej, a
samochód cięŜarowy ruchem jednostajnym z prędkością vc , więc połoŜenie samochodu osobowego
x s oraz cięŜarowego xc moŜna zapisać równaniami:
5
Lista 1. KINEMATYKA
Fizyka I – Ćw.
BLiW - niestacjonarne
1 2
at
2
xc = vc t
xs =
Po czasie tsp oba pojazdy spotkają się ponownie, więc ich połoŜenia będą jednakowe:
x s (t sp ) = xc (t sp )
1 2
at sp = vc t sp
2
stąd
2v c
= 8 .6 s
a
t sp =
Aby obliczyć drogę s jaką oba samochody pokonają do miejsca ich spotkania wystarczy podstawić
obliczony czas tsp do xs lub xc. Wykorzystajmy xc:
S = xc (t sp ) = vc t sp
2vc 2v c2
= vc
=
= 82 [m]
a
a
Prędkość samochodu osobowego wyniesie wtedy:
v s (t sp ) = v0 + at sp = at sp = a
2v c
= 2vc = 19 [m ]
s
a
Zadanie 9
Oznaczmy przez t1 czas ruchu ciała w górę aŜ do przebycia drogi h1. Dla tych wielkości mamy
następujący układ równań:
0 = v0 − gt1


1 2
h1 = v0 t1 − 2 gt1
Rozwiązując ten układ otrzymujemy:
v
t1 = 0 ,
g
v02
h1 =
2g
Oznaczmy przez t2 czas ruchu ciała w dół z wysokości H = h+h1. Z warunków zadania mamy:
1 2

h + h1 = gt 2
2

5v 0 = gt 2
stąd
t2 =
5v0
g
⇒
h=
12v02
1 2
gt 2 − h1 =
g
2
1 2 25v 02
gt 2 =
2
2g
6v
t = t1 + t 2 = 0
g
H = h + h1 =
6
Lista 1. KINEMATYKA
Fizyka I – Ćw.
BLiW - niestacjonarne
Zadanie 10
Oznaczając przez t czas ruchu ciała mamy następujący układ równań opisujący rzut pionowy w dół z
prędkością początkową v0:
v k = v0 + gt


1 2
 H = v0 t + 2 gt
Rozwiązując ten układ otrzymujemy:
t=
v k − v0
,
g
H=
v k2 − v02
2g
Dalej, oznaczmy przez t1 czas ruchu na drodze s1. Następujący układ równań opisuje kinematykę
ruchu rzuconego ciała na drodze s1:
v1 = v0 + gt1

H
1 2
 6 = v0 t1 + 2 gt1
Po obliczeniu t1 =
v1 − v0
i wykorzystaniu wyraŜenia dla H (patrz wyŜej) drugie równanie z tego
g
układu otrzymuje postać:
v −v
1 v k2 − v02
1 v −v 
⋅
= v0 ⋅ 1 0 + g  1 0 
6
2g
g
2  g 
2
stąd po przekształceniach obliczamy
v1 =
v k2 + 5v02
.
6
Zadanie 11
Spadając z wysokości H w czasie t w momencie zetknięcia z ziemią ciało ma prędkość vk , przy czym
wielkości te związane są układem równań opisujących kinematykę spadku swobodnego:
v k = gt


1 2
 H = 2 gt
Stąd obliczamy:
v k = 2 gH
Podobny układ równań z czasem ruchu t1 układamy dla ruchu na drodze H-h:
1
 n v k = gt1

 H − h = 1 gt 2
1

2
Z pierwszego równania mamy:
t1 =
1 vk
1
=
2 gH
n g ng
Po wstawieniu do drugiego równania tak obliczonego t1 dostajemy wynik końcowy:
1

h = 1 − 2
 n

H .

7
Lista 1. KINEMATYKA
Fizyka I – Ćw.
BLiW - niestacjonarne
Zadanie 12
Składowe wektora prędkości poruszającego się ciała jako funkcje czasu wyraŜają się następującymi
równaniami:
v x (t ) = v0 cos α

v y (t ) = v0 sin α − gt
Dla składowych wektora połoŜenia jako funkcji czasu mamy:
 x(t ) = v0 t cos α


1 2
 y (t ) = v0 t sin α − 2 gt + H
Do wypisania składowych uŜyto standardowego układu współrzędnych tzn. oś X kierunek poziomy,
oś Y kierunek pionowy. Równanie toru otrzymamy wyraŜając czas t przez x z pierwszego równania i
podstawiając do drugiego:
y = H + tgα ⋅ x −
9
⋅ x2
2
2v0 cos α
Obliczymy następnie czas trwania rzutu T rozwiązując równanie y(T)=0. Po uporządkowaniu
równanie to przyjmuje postać równania kwadratowego:
T2 −
2v0 sin α
2H
T−
=0
g
g
Dodatni pierwiastek tego równania jest równy:
T=

v0
2 gH
sin α 1 + 1 + 2

g
v0 sin 2 α


.


Zasięg rzutu:

v02
2 gH
z = x(T ) =
cos α sin α 1 + 1 + 2

g
v0 sin 2 α


.


Obliczymy teraz prędkość vk w momencie upadku i kąt β jaki wektor prędkości tworzy z powierzchnią
ziemi, wykorzystując formuły:
v k = v x2 (T ) + v y2 (T)
i
tgβ =
− v y (T )
v x (T )
.
Wyniki końcowe są następujące:
v k = v02 + 2 gH
tgβ = 1 +
2 gH
tgα
v sin 2 α
2
0
8
Lista 1. KINEMATYKA
Fizyka I – Ćw.
BLiW - niestacjonarne
Zadanie 13
Oznaczając v0 = 20m/s, α = 45o, t = 1,2s wykorzystujemy do rozwiązania znane wyraŜenia dla
składowych wektora prędkości i wektora połoŜenia jako funkcji czasu t:
v x (t ) = v0 cos α

v y (t ) = v0 sin α − gt
oraz
 x(t ) = v0 t cos α


1 2
 y (t ) = v0 t sin α − 2 gt
Podano składowe przy standardowym wyborze układu odniesienia: oś X równoległa do powierzchni
ziemi, oś Y prostopadła do powierzchni ziemi, początek układu to punkt wyrzucenia kamienia.
Zadanie 14
Piłka tenisowa poruszając się wykonuje rzut poziomy z wysokości h = 2,37m z prędkością
początkową v0 = 23,6m/s. Odległość d = 12m piłka przebędzie w czasie t =
będzie na wysokości h −
d
. W tej chwili piłka
v0
1 2
gt . Jeśli ta wysokość będzie większa od wysokości siatki s, to piłka
2
przejdzie nad nią, stąd otrzymujemy warunek:
1 d
h ≥ s + g 
2  v0
2

 .

9