Dynamika ukladow mechatronicznych

Uogólnione współrzędne dla układów
elektromechanicznych
L.p.
Wielkość
Współrz.
Układ mechaniczny
Uogólniona Ruch
postępowy
Ruch
obrotowy
ϕk
Układ elektryczny
Pojemność Indukcyjn.
Ψk
1
Współrzędna
2
Prędkość
3
Pęd
pk
mkvk
JkΩk
Ψk=ΣLkiiki
Qk=Cuk
4
Siła
wewnętrzna
fk
-kkxk
-kkϕk
-uCk
-iCk
5
Wymuszenie
Gk
Fk(t)
Mk(t)
Uk(t)
ik(t)
qk
vk =
dq k
dt
xk
vk =
dx k
dt
Ωk =
dϕ k
dt
Qk
ik =
dQk
dt
uk =
dΨ k
dt
1
Wielkości układów elektrycznych i mechanicznych
2
1
Wielkości układów elektrycznych i mechanicznych
(cd)
3
Równania Eulera-Langrange’a
• Dla układów konserwatywnych liniowych funkcja
Lagrange’a przyjmie postać:
L=T–V
• W tym przypadku równanie Eulera – Lagrange’a
ma postać:
⎛
∂L
d ⎜ ∂L
−
∂q i
dt ⎜⎜ ∂ q•
i
⎝
⎞
⎟
⎟⎟ = 0
⎠
• gdzie (i=1,2,3,...,n).
4
2
Równania Eulera-Langrange’a
• Dla układów dysypatywnych liniowych należy uwzglednić
energię kinetyczna strat oraz energię potencjalną sił
więzów narzuconych przez zewnętrzne źródła energii.
• W tym przypadku funkcja Lagrange’a przyjmie postać:
LFQ = (T + TF) – (V + VQ)
t
qk
0
0
TF = ∫ Fdt oraz VG = − ∫ G k (t)dq'k
• W przypadku
układów dysypatywnych
funkcja Lagrange’a przyjmuje postać:
nieliniowych
LFQ = (T’ + TF’ ) – (V + VQ)
gdzie T’ – koenergia kinetyczna zmagazynowana w
układzie, przy czym dla układów liniowych T’ = T.
5
Po podstawieniu LFG do równania *, po prostych
przekształceniach
(pamiętając, że TF nie zależy od qk i
•
VG – od q k ) otrzymamy równanie Eulera-Lagrange’a
dla układu elekromechanicznego dysypatywnego (łac.
dissipare = rozpraszać), tzn. -dla układu zawierającego
straty mocy i źródła energii:
⎛
⎞
∂L d ⎜ ∂L ⎟ ∂F
− ⎜ • ⎟ − • = −G k
∂q k dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂ q
i
⎝ i⎠
k = 1 ,2, ..., n
6
3
Funkcję stanu Lagrange 'a L dla układów liniowych
określamy jako różnicę energii kinetycznej T i
potencjalnej V
W przypadku układów nieliniowych, należy używać
bardziej ogólnej definicji funkcji Lagrange a:
L=T’-V
przy czym:
•
T' =
∫
•
q 1 ,..., q n
0 ,..., 0
n
∑p
k =1
'
k
•
•
•
( q 1 ,..., q n ; q 1 ,..., q n ; t ) d q ' k
7
Koenergia kinetyczna, której całkowanie przeprowadza się
według najdogodniejszej drogi jest charakterystyką
magnesowania i-tego magazynu energii.
Znakiem "prim" pod całką oznaczono zmienne całkowania,
a wielkości bez "prim" są granicami (p’k -oznacza pęd
uogólniony):
Koenergia k-tego
obwodu nieliniowego
8
4
Energia układu elektromechanicznego
Energię układu elektromechanicznego możemy
wyznaczyć z zależności:
- energia kinetyczna elektryczna układu
T=
Ψ1 ....Ψn n
n
∫ ∑i (t)dΨ
0....0 k =1
k
Ψk = ∑Mkj(x,i)i j
k
j = 1,....,k,.....,n
j=1
- koenergia kinetyczna elektryczna układu
T =
'
i 1 ....i n n
∫ ∑ Ψ ( t ) di
k
0....0 k =1
n
Ψk = ∑ M kj ( x , i) i j
k
j = 1,...., k,....., n
j =1
9
(
3-22)
- energia kinetyczna mechaniczna układu dla ruchu
postępowego:
p
T
=
1
.... p
∫
n
n
∑
k = 1
0 .... 0
v
k
( t ) dp
p
k
=
k
m
v
k
= Jkω
k
k
- energia kinetyczna mechaniczna układu dla ruchu
obrotowego
p
T =
1
.... p
∫
0 .... 0
n
n
∑
k =1
ω
k
( t ) dp
k
p
k
10
5
- koenergia kinetyczna mechaniczna układu dla ruchu
postępowego:
T =
v 1 .... v
n
n
∫ ∑
'
0 .... 0
m
k =1
k
v k ( t ) dv
k
- kinetyczna mechaniczna układu dla ruchu obrotowego:
T =
ω 1 .... ω
n
n
∫ ∑
'
k =1
0 .... 0
J kω k (t) dω k
- energia potencjalna elektryczna (zmagazynowana w
kondensatorach)
V =
Q 1 .... Q
∫
n
n
∑
− (− u
k =1
0 .... 0
Ck
) dQ
k
u Ck =
;
Q k (t)
Ck
11
- energia potencjalna mechaniczna (zmagazynowana
w sprężynach) ruchu postępowego
x
=
V
1
.... x
∫
n
n
∑
− (− k
k = 1
0 .... 0
k
x
k
) dx
k
- energia potencjalna mechaniczna (zmagazynowana
w sprężynach) ruchu obrotowego
ϕ
=
V
1
.... ϕ
∫
n
0 .... 0
n
∑
k =1
− (− k
k
ϕ
k
)d ϕ
k
- energia i koenergia kinetyczna strat (dysypatywna)
elektryczna
t
T
F
= T
'
F
=
∫
.0
F dt
F =
1
2
n
∑
k =1
R
k
(ik )
2
12
6
- energia i koenergia kinetyczna strat (dysypatywna)
mechaniczna ruchu postepowego
t
T F = T F' =
∫
F =
F dt
.0
1
2
n
∑
k =1
D k (v k )2
- energia i koenergia kinetyczna strat (dysypatywna)
mechaniczna ruchu obrotowego
t
TF = T
=
'
F
1
F =
2
∫ F dt
.0
n
∑
k =1
D k (ω k )2
- energia potencjalna elektryczna sił więzów
narzuconych przez zewnętrzne źródła
Q
VQ = −
k
∫
U
k
( t ) dQ
k
VQ =
.0
n
∑
− U
k =1
k
(t) Q
k
13
- energia potencjalna mechaniczna sił zewnętrznych
przy ruchu postępowym
x
k
∫
VQ = −
F k ( t ) dx
k
VQ =
.0
n
∑
k =1
− Fk ( t ) x
k
- energia potencjalna mechaniczna sił zewnętrznych
przy ruchu obrotowym
ϕ
VQ = −
k
∫
.0
M
k
(t) dϕ
k
VQ =
n
∑
k =1
− M
k
(t) ϕ
k
14
7