wykład 6

1
WYKŁAD 6
8. TRYGONOMETRIA.
8.1. FUNKCJE
TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do
przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym :
= .
COSINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do
przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym :
= .
TANGENSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do
przyprostokątnej leżącej przy kącie w trójkącie prostokątnym :
= .
COTANGENSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej
przyprostokątnej leżącej naprzeciwkąta w trójkącie prostokątnym :
= 8.2. PODSTAWOWE
TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE .
= =
∙ = −
+ = .
przy kącie do
2
8.3. WARTOŚCI
FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNCH dla kątów charakterystycznych ≤ °
°
0
30
45
60
90
√
1
1
√
√
√
0
√
1
√
√
1
√
0
0
Przykłady :
•
Oblicz funkcje trygonometryczne kąta w trójkącie przedstawionym na rysunku :
= + = = = = . = = . = = . = = .
•
Określ pozostałe funkcje trygonometryczne kąta ostrego , jeśli = :
+ = ⟹ = √ − = − = = ,
= =
•
૞
૚૜
૚૛
૚૜
= =
i
=
૚૛
૚૜
૞
૚૜
=
.
Określ pozostałe funkcje trygonometryczne kąta ostrego , jeśli = :
= = = = ⟹ = + = + = = =
=
√
=
√
.
3
•
Sprawdź, czy podana zależność jest tożsamością trygonometrią. Podaj konieczne założenia.
∙
=
- założenie :
=
+
,
≠ ∝≠ ,
≠ ° + ∙ ° ≠ ° + ∙ °
∙
=
∝
∝
∙
=
∝
∝ ∝
+
∝
∝
∙
=
+
≡ − !""ż!"ść#$%"&"#$'&.
8.4. MIARA
ŁUKOWA KĄTA.
Stosunek długości łuku do promienia, którym ten łuk został zatoczony na kącie, nazywamy MIARĄ
ŁUKOWĄ KĄTA. Stosunek ten jest wielkością stałą, niezależną od wyboru długości promienia.
(= = ᇲ,
łᇲ
ł
Kąt, dla którego długość łuku ł jest równa długości promienia ) nazywamy )*+*,-.
)*+* = )*+ = .. /° = .°.′".
Weźmy pod uwagę kąt pełny /°. Długość łuku dla takiego kąta jest równa 0).
(=
Zatem kąt pełny 1/°2 w mierze łukowej odpowiada Można ułożyć proporcję :
- stąd :
/° ∶ 0
,
(
° ∶ (=
∙ 0° = ∙ /°.
°
°
Przykłady :
•
Zamień na miarę łukową następujące kąty :
(=
∙ 0 = ∙ 0 = ,
1. = /° ∶ °
°
°
(=
2. = ° ∶ ∙ 0 =
°
°
(=
3. = ° ∶ ∙ 0 =
°
°
°
,
,
= 0#3&"..
4
4. =
5. =
•
°
(=
° ∶ ∙ 0 = °
°
(=
° ∶ ∙ 0 = 0
°
.
Zamień na miarę stopniową następujące kąty :
(=
1. 0
∶ ° =
∙ /°
=
૞
૟
∙ /° = °.
૜
૝
( = 0 ∶ ° = ∙ /° = /° ,
2. ( = 0 ∶ ° =
3. ૞
૜
∙ /° = /° ,
૜
૛
( = 0 ∶ ° = ∙ /° = .° ,
4. (=
5. 0
8.5. FUNKCJE
૚૚
∶ ° = ૚૛
∙ /° = ° .
TRYGONOMETRYCZNE KĄTA DOWOLNEGO.
KĄTEM SKIEROWANYM nazywamy kąt, którego ramiona zostały uporządkowane.
Kąt, w którym przechodząc od ramienia początkowego do końcowego poruszamy się w kierunku
przeciwnym do wskazówek zegara, w matematyce, przyjęto jako KĄT DODATNI. W przeciwnym
przypadku jest to KĄT UJEMNY.
Umieśćmy w układzie współrzędnych kąt w taki sposób, że jego początkowe ramię pokrywa się z
dodatnią półosią 45. Na końcowym ramieniu kąta wybieramy dowolny punkt 6 = 17, 82 różny od
punktu 4 = 1, 2.
) = 97 + 8
SINUSEM kąta nazywamy liczbę będącą ilorazem rzędnej 8 punktu 6 przez jego odległość ) od
początku układu współrzędnych :
= =
૛ ૛
.
COSINUSEM kąta nazywamy liczbę będącą ilorazem odciętej 7 punktu 6 przez jego odległość )
5
od początku układu współrzędnych :
= =
૛ ૛
.
TANGENSEM kąta nazywamy liczbę będącą ilorazem rzędnej 8 punktu 6 przez jego odciętą 7,
jeśli wartość tej odciętej jest 7 ≠ . Jeśli wartość odciętej 7 = to tangens nie istnieje :
= .
COTANGENSEM kąta nazywamy liczbę będącą ilorazem odciętej 7 punktu 6 przez jego rzędną
8, jeśli wartość tej rzędnej jest 8 ≠ . Jeśli wartość rzędnej 8 = to cotangens nie istnieje :
= .
Analizując tak zdefiniowane funkcje, mona wyciągnąć następujące wnioski :
- w zależności od wielkości kąta tzn., w której ”ćwiartce” układu współrzędnych leży ramię
końcowe kąta wybrany punkt 6 = 17, 82 ma współrzędne, które mogą być dodatnie lub ujemne,
stąd funkcje mogą przyjmować wartości dodatnie lub ujemne. Można to zapisać ”wierszykiem”,
łatwym do zapamiętania : w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej tylko
sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.
- dodatkowo, dla kątów : + 0 → :!;ół#ę3&8 = &!& <=&>' ?@,
+ 0 → :!;ół#ę3&7 = &!& <=&>' ?@,
Przykłady :
Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta w układzie współrzędnych, jeśli punkt 6 leżący
na ramieniu końcowym tego kąta ma współrzędne :
•
6 = 1−, 2
) = 91−2 + = √ = /,
= , = − , = −
•
) = 912 + 1−.2 = √ = .,
8.6.WARTOŚCI
(
, = − .
6 = 1, −.2
A =
°
120
0
/
√/
−
= −, A = = , A − &!& =
= .
FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNCH dla kątów charakterystycznych > 90°.
135
150
180
0
√
0
/
0
−
√/
√
−
tg B
−√/
−
ctg B
−
√/
/
−
−
√/
/
−√/
−
_
210
.
0
225
0
240
0
/
√/
√
−
√/
√ − −
−
−
√/
/
√/
−
√/
√/
/
270
/
0
−
300
0
/
−
315
.
0
√/
√
−
√
_
−√/
−
−
√/
/
−
330
0
360
0
√/
/
−√/
_
−
√/
−
6
8.7.
WZORY REDUKCYJNE
Często powstaje konieczność określania funkcji trygonometrycznych dla kątów większych od °,
czyli większych niż , za pomocą funkcji trygonometrycznych kątów ostrych. Do tego celu służą
WZORY REDUKCYJNE.
W literaturze spotyka się znaczną liczbę wzorów redukcyjnych (kilkadziesiąt). Zapamiętywanie ich
sprawia wielokrotnie duże obciążenie pamięci. Można jednak wszystkie te wzory zapisać na
podstawie pewnej reguły.
Weźmy kąt A ∈ 〈 , 0〉 i w zależności od jego wartości ustalamy znak szukanej funkcji ( patrz
”wierszyk” ). Następnie kąt A przedstawiamy w postaci :
− E'F ∈ G, , , /, H
,
A = ∙ ± %3
>ą"!#$, '$E ∈ 〈, 〉
Każdą funkcje trygonometryczną kąta A można określić na podstawie poniższej reguły:
I. ?)8@. A = I. ?)8@. J ∙
0
1& − &;#$!2 = I. ?)8@. &>
± K = L
O=
"M,)N8"
1&
− ;#$!2 = I, ?)8@. Przykłady :
Określ funkcje trygonometryczne :
•
•
•
•
8.8.
0
= J0 − K = G'$E& = 4H = − = − ,
° = 1
° − /°2 = − /° = −
° = 1.° − /°2 = + /° = √/ ,
0 = J0 − K = − = −
√
,
√
.
PARZYSTOŚĆ FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH.
Porównując wartości funkcji trygonometrycznych kątów ′ otrzymujemy :
− = − − %&'(#)*+ !
− = !ą", ż# $ − %&'()*+ ! .
− %&'(#)*+ !
− = − − %&'(#)*+ !
− = − 7
8.9.
OKRESOWOŚĆ FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH.
Analizując wzory redukcyjne, dochodzimy do wniosku, że :
I. ?)8@. 10 + 2 = I. ?)8@. Łatwo zauważyć, że kąt 01/°2 jest okresem wszystkich funkcji trygonometrycznych, przy czym
dla funkcji jest to okres podstawowy. Dla funkcji , analizując dodatkowo
wartości tych funkcji w tabelce dla ∈ 〈, 0〉, łatwo zauważyć, że okresem podstawowym tych
funkcji jest 01
°2.
8.9.
WYKRESY FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH.
1. I ∶ 8 = 7+P*7 ∈ ℝ.
Na powyższym rysunku przedstawiono konstrukcję funkcji 8 = 7 dla jednego pełnego okresu –
wykorzystując w tym celu koło trygonometryczne i definicję funkcji .
Cały wykres funkcji 8 = 7, otrzymamy powielając ten odcinek wykresu, gdyż funkcja jest
okresowa, a jej podstawowym okresem jest kąt pełny, czyli /°, oraz wiedząc, że jest funkcją
nieparzystą, możemy narysować wykres dla 7 < 0.
WŁASNOŚCI FUNKCJI
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
33&Q = ℝ,
8
I ∶ 8 = 7+P*7 ∈ ℝ :
Fó#:#"ś'RS = 〈−, 〉,
<=&>' !">#!":"">#!;"3!:":$T = 0,
<=&>' !&;#$!,
I = 3E7 = + 0,%3 ∈ ℂ,
I > 03E7 ∈ 〈 + 0; 0 + 0) ∈ ℂU,
I < 03E7 ∈ 〈0 + 0; 0 + 0) ∈ ℂU,
I ↗ 3E7 ∈ J− + 0; + 0K ∈ ℂ,
I ↘ 3E7 ∈ J + 0; 0 + 0K ∈ ℂ,
<=&>' ;#$ = :#"ść& & !ą#ó:&ą − 3E>ż3%"7 = − + 0,
<=&>' ;#$ = :#"ść& :ę>!ą#ó:&ą3E>ż3%"7 = + 0,
2. I ∶ 8 = 7+P*7 ∈ ℝ.
Wykres funkcji I ∶ 8 = 7+P*7 ∈ ℝ można uzyskać podobnie jak wykres 8 = 7. z koła
trygonometrycznego i wykorzystując definicję. Można też go uzyskać wykorzystując wykres funkcji
8 = 7 i wzór redukcyjny J7 + K = 7. Ze wzoru tego wynika, że wykres funkcji
WX = Y− , 0Z.
8 = 7 można uzyskać rzez przesunięcie wykresu funkcji 8 = 7 o wektor V
WŁASNOŚCI FUNKCJI
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
33&Q = ℝ,
I ∶ 8 = [ 7+P*7 ∈ ℝ :
Fó#:#"ś'RS = 〈−, 〉,
<=&>' !">#!":"">#!;"3!:":$T = 0,
<=&>' !;#$!,
I = 3E7 = + 0,%3 ∈ ℂ,
I > 03E7 ∈ J− + 0, + 0K ,%3 ∈ ℂ,,
I < 03E7 ∈,J + 0, 0 + 0K ,%3 ∈ ℂ,,
I ↗ 3E7 ∈ 10 + 0; 0 + 02 ∈ ℂ,
I ↘ 3E7 ∈ 1 + 0; 0 + 02 ∈ ℂ,
<=&>' ;#$ = :#"ść& & !ą#ó:&ą − 3E>ż3%"7 = 0 + 0,
<=&>' ;#$ = :#"ść& :ę>!ą#ó:&ą3E>ż3%"7 = + 0.
9
3.
I ∶ 8 = ?@ 7+P*7 ∈ ℝ
WŁASNOŚCI FUNKCJI
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
4.
∖ \ + 0] %3
∈ℂ:
I ∶ 8 = ?@ 7+P*7 ∈ ℝ ∖ \ + 0] %3 ∈ ℂ
:
33&Q = ℝ ∖ \ + 0] %3 ∈ ℂ,
Fó#:#"ś'RS = ℝ,
<=&>' !">#!":"">#!;"3!:":$T = 0,
<=&>' !&;#$!,
I = 3E7 = + 0,%3 ∈ ℂ,
I > 03E7 ∈ J + 0, + 0K ,%3 ∈ ℂ,,
I < 03E7 ∈,J− + 0, + 0K ,%3 ∈ ℂ,,
I ↗ 3E7 ∈ J− + 0; + 0K ∈ ℂE& !#"!&ą':'ł 33&,
I ↘ 3E7 ∈ ∅,
<=&>' &;"!3:#"ś'& & ! , && :ę>! .
I ∶ 8 = ?@ 7+P*7 ∈ ℝ ∖ G0H %3 ∈ ℂ.
Wykres funkcji 8 = 7 można uzyskać wykorzystując wzór redukcyjny J7 + K = − 7,
WX = Y− , Z, a następnie przekształcenia
dokonując przesunięcia wykresu funkcji 8 = 7 o wektor ^
symetrycznego względem osi 45.
WŁASNOŚCI FUNKCJI
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
8.10.
:
I ∶ 8 = ?@ 7+P*7 ∈ ℝ ∖ G0H %3 ∈ ℂ
33&Q = ℝ ∖ G0H%3 ∈ ℂ,
Fó#:#"ś'RS = ℝ,
<=&>' !">#!":"">#!;"3!:":$T = 0,
<=&>' !&;#$!,
I = 3E7 = + 0,%3 ∈ ℂ,
I > 03E7 ∈ J + 0, + 0K ,%3 ∈ ℂ,,
I < 03E7 ∈,J + 0, 0 + 0K ,%3 ∈ ℂ,,
I ↗ 3E7 ∈ ∅
I ↘ 3E7 ∈ 1 + 0; 0 + 02 ∈ ℂE& !#"!&ą':'ł 33&
<=&>' &;"!3:#"ś'& & ! , && :ę>! .
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI TRYGONOMETRYCZNE
Wyrażenie postaci :
I1 7 , 7 , 7 , 72 = &$:$_ÓS`a`bcdT_ef4`4dcT_egR`ed
zaś wyrażenie postaci
>0
≥
I1 7 , 7 , 7 , 72 &$:$`bc_ÓS`a`4ŚgbĄT_ef4`4dcT_egR`Ą.
<0
≤
Przykłady :
1. Rozwiąż równania :
•
7 = 7 = + 0 ∨ 7 = 0 + 0.
•
7 = 7 = + 0 .
•
7 = 7 = 0 .
•
7 = −
7 = 0 + 0 .
•
7 =
√
→
= J K = ,
√
7 = + 0 ∨ 7 = − + 0 .
•
7 − 7 = 7 = 7
i
h = J − hK
0
0
7 = − 7 + 0 ∨ 7 = − J − 7K + 0
7 = + 0 ∨ = − + 0 − <ł!7 ∈ ∅ .
10
•
?@7 = −√/
7 = − + 0.
•
?@7 = −
11
7 = 0 + 0.
•
7 + 7 − 7 = 7 + 7 − j − hk = 7 + 7 − = ∆= + = √∆= /
− − /
− + / 1 72 =
= − ∨ 1 72 =
=
h = i + li ∨ h = + li ∨ h = i + li.
2. Rozwiąż nierówność :
•
•
•
7 + > 0
7 > −
7∈ℝ.
?@ 7 ≤ m91 2U
|?@7| ≤ ?@7 ≥ − ∧ ?@7 ≤ 7 ∈ 〈− + 0, + 0〉.
?@7 + ?@7 ≤ Q ∶ 7 ∈ ℝ ∖ \ + 0, + 0] = ℝ ∖ \ ]
≤
?@7
?@ 7 + ≤
?@7
?@7 +
o ?@ 7 + > 0 ⟹ %p < 0
∈!ࢌ
7 ∈ J− + 0, + 0K.
8.11. FUNKCJE
TRYGONOMETRYCZNE SUMY I RÓŻNICY KĄTÓW.
Często w opracowaniach matematycznych występuje potrzeba określenia funkcji trygonometrycznych
sumy i różnicy kątów, jeśli znane są funkcje trygonometryczne kątów składowych. Wyprowadzenie
tych zależności jest dosyć żmudne, stąd zostanie pominięte.
Twierdzenie 1
Jeśli A ∈ ℝ, ":
1 + A2 = ∙ A + A ∙ 1 − A2 = ∙ A − A ∙ 1 + A2 = ∙ A − A
1 − A2 = ∙ A + A
12
Twierdzenie 2 - funkcje trygonometryczne kąta podwojonego
Jeśli = A ∈ ℝ to :
sin = ∙ = − Przykłady :
1. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych :
•
•
"
√#"√$
√ √
√ 0 = 0 = J + K = ∙ + ∙ = ∙ + ∙ =
√
√∙#"√$
√ √
= = J − K = ∙ + = ∙ + ∙ =
.
,
2. Oblicz wartości funkcji ?@17 + 82,?@17 − 82,?@17 + 82"#?@17 − 82, jeśli znasz wartości
funkcji ?@7 = ?@8 = /.
•
?@17 + 82
%"&
= %"&
૚
=
∙ " ∙ ‫࢟ ܛܗ܋∙࢞ ܛܗ܋‬
∙
૚
∙ ∙ '("'(
"
= '(∙'( = ∙ = −,
‫࢟ ܛܗ܋∙࢞ ܛܗ܋‬
૚
∙ ∙ ‫࢟ ܛܗ܋∙࢞ ܛܗ܋‬
૚
∙ " ∙ ‫࢟ ܛܗ܋∙࢞ ܛܗ܋‬
૚
∙ ∙
‫࢟ ܖܑܛ∙࢞ ܖܑܛ‬
૚
∙ " ∙ ‫࢟ ܖܑܛ∙࢞ ܖܑܛ‬
૚
∙ " ∙
‫࢟ ܖܑܛ∙࢞ ܖܑܛ‬
૚
∙ ∙ ‫࢟ ܖܑܛ∙࢞ ܖܑܛ‬
= "'(∙'( = "∙ = − ,
•
?@17 − 82 = %& =
•
?@17 + 82 = =
∙
=
)'(∙'(
)'(")'(
= ૛૚૜
•
?@17 − 82 = %& =
∙
=
)'(∙'("
)'()'(
= ૛૚૜
8.12.
%&
%"&
%"&
%&
∙
'('(
૚૚
∙ ૚
"
૛ ૜
= −,
૚૚
∙ "
૚
૛ ૜
= −..
SUMY I RÓŻNICE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH.
Dobierzmy takie A aby :
+ A = 7U
L
−A=8
- rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy :
=
"
A
=
.
- a następnie można wyprowadzić wzory :
7 + 8 = 1 + A2 + 1 − A2=
= ∙ A + A ∙ + ∙ A − A ∙ = ∙ A =
= "
∙ .
7 − 8 = 1 + A2 − 1 − A2=
= ∙ A + A ∙ − ∙ A + A ∙ = A ∙ =
= "
∙ .
7 + 8 = ( + A) + 1 − A2 =
= ∙ A − ∙ A + ∙ A + ∙ A = ∙ A =
= "
∙ .
7 − 8 = ( + A) − 1 − A2 =
= ∙ A − ∙ A − ∙ A − ∙ A = − ∙ A =
= − "
∙ = "
∙ .
13
Przykłady :
1.Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości :
•
1 + A2 ∙ 1 − A2 = − A
q = 1 + A2 ∙ 1 − A2 = 1 ∙ A + A ∙ 2 ∙ 1 ∙ A − A ∙ 2=
= 1 ∙ A2 − 1 A ∙ 2 = ∙ j − Ak − A ∙ j − k =
− ∙ A − A + ∙ A = − A
q=6
•
,=
- jest to zatem tożsamość.
= q=6
=
ࢻ
૛
ࢻ
૛
=
ࢻ
૛
ࢻ
૛
ࢻ
૛
ࢻ
ࢻ
∙
૛
૛
૛ ૛ ૛ ૛
ࢻ
૛
=
૛
ࢻ
૛
ࢻ
૛
ࢻ
૛
∙
= .
- jest to zatem tożsamość.
2. Przedstaw w postaci iloczynowej następujące wyrażenia :
•
+ √/ − = + √/ − − = √/ − =
= J − K = J ∙ − ∙ K = J − K.
√
•
√ + = J + K = J + K = J + K ∙ J − K.
√
2.Rozwiąż równania trygonometryczne :
•
•
/7 + /7 = √
0
/7 + J − /7K = √
0
0
/7 − + /7
/7 + − /7
∙ = √
0
0
∙ J/7 − K = √
0
√
∙
∙ J/7 − K = √r∶ √U
0
J/7 − K = 0
/7 − = + 0
7 = + 0 .
7 + √/ 7 = |∶ U
√/
7 +
7 =
0
0
∙ 7 + ∙ 7 =
i
Jh − K =
−!ą3 ∶ h − = + liE=Fh − = − + 0
7 = + 0E=F7 = − + 0 .
14
8.13.
TWIERDZENIE SINUSÓW.
W dowolnym trójkącie stosunek dowolnego boku przez sinus kąta, leżącego naprzeciw tego boku,jest
wielkością stałą i równą średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
8.13.
=
=
= -./"+#. − )*01#ń0*ę/&0) #/0!*ó(ą'#.
TWIERDZENIE COSINUSÓW.
W dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku, jest zawsze równy sumie kwadratów
dwóch pozostałych boków tego trójkąta, pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinus
kąta zawartego między nimi.
* = s + − s ∙ s = * + − * ∙ A
= * + s − *s ∙ t
Przykłady :
•
W trójkącie dane są długości dwóch boków * = s = , oraz kąt między nimi t = °.
Obliczyć długość trzeciego boku , oraz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
= * + s − *s ∙ t = + − ∙ ∙ ∙ ° = − ∙ 1
° − /°2 =
= − ∙ 1− /°2 = − √/ ,
= 9 − √/ .
-. = =
√
°
_ = 9 − √/.
√
= !°" =
√
°
=
√
૚
૛
= -23 − -√5 .
15
•
W trójkącie ABC dane są boki |au| = 5', |ag| = √3' oraz kąt = 30°. Oblicz bok
|ug| oraz kąty A.
|ug| = 9|ag| + |au| − ∙ |ag| ∙ |ug| ∙ = + / − ∙ ∙ √/ ∙
√
= √/,
|ag|
√/
√/
∙ =
∙ /° =
≈ . |ug|
√/
!ą3A ≈ /. ° = /°/′""#t = ° − /° − /. ° = /. °
−:#3&!&=!ó: A =
•
Oblicz długości przekątnych równoległoboku, którego boki mają długości '', zaś
kąt = /°.
−:#3&'"!&=!ó::
+ = 9 + − ∙ ∙ ∙ /° = / − √/ =≈ . .'
+ = 9 + − ∙ ∙ ∙ ° = 9/ + √/ =≈ . ' .
•
Długości boków trójkąta są równe , . Oblicz cosinusy kątów trójkąta.
−:#3&'"!&=!ó::
=
૛ "૛ ૛
∙∙
= = ,
A =
૛ "૛ ૛
∙∙
= = ,
t =
૛ "૛ ∙∙
= .