Neoklasyczny model wzrostu

Neoklasyczny model wzrostu
Krzysztof Makarski
1
Model
1.1
Zalożenia modelu
Wstep
,
• Ma wiele cech wspólnych z modelem Solowa.
• Oszczedności
(oraz praca) sa, endogeniczne.
,
• Oparty jest na mikropodstawach.
• Ponieważ oparty jest na mikropodstawach wprost mierzy dobrobyt konsumentów co daje naturalne
kryterium oceny różnych polityk gospodarczych.
Wlasność kapitalu
• W podstawowej wersji modelu zaklada sie,
, że konsumenci posiadaja, kapital i wynajmuja, go firmom.
• Latwo można pokazać, że jeżeli nie ma frykcji finansowych to nie ma znaczenia czy firmy czy gospodarstwa domowe sa, wlaścicielami kapitalu (pokaż to).
Gospodarstwa domowe
Reprezentatywne gospodarstwo domowe oferuje podaż pracy lts firmom w zamian za place, realna, wt . Gospodarstwa domowe sa, wlaścicielami kapitalu i podejma, decyzje inwestycyjne (wybieraja, oszczedności
- go,
spodarka zamknieta
wi
ec
oszcz
edności
s
a
równe
inwestycjom).
Firmy
przekazuj
a
gospodarstwom
domowym
,
,
,
,
,
zyski w postaci dywidendy Πt (w równowadze doskonale konkurencyjnej zyski sa, zero).
Gospodarstwa domowe żyja, wiecznie i wybieraja, ścieżke, konsumpcji c̃ = (c0 , c1 , c2 , ..., ct , ...) oraz pracy
˜l = (l0 , l1 , l2 , ..., lt , ...). Chwilowa funkcja użyteczności o okresie t, u(ct , lt ) (na poczatku zalożymy dla uprosz,
czenia u(ct , lt ) = log ct ) spelnia uc (t) > 0, ul (t) < 0 oraz ucc (t) < 0, gdzie uc (t) i ul (t) to pochodne funkcji
użyteczności ze wzgledu
na odpowiednio ct i lt , a ucc to druga pochodna funkcji użyteczności po ct . (dodatnia
,
i malejaca
krańcowa
użyteczność
konsumpcji oraz ujemna krańcowa użyteczność z pracy). Gospodarstwa
,
domowe sa, niecierpliwe, zatem z punktu widzenia okresu 0 jednostka użyteczności w okresie t jest warta w
okresie 0 β t . Użyteczność w cyklu życia dana jest za pomoca,
U (c̃, ˜l) = β 0 u(c0 , l0 ) + β 1 u(c1 , l1 ) + ... + β t u(ct , lt ) + ...
lub można to wyrazić krócej
U (c̃, ˜l) =
∞
X
β t u(ct , lt )
t=0
Co okres gospodarstwa domowe uzyskuja, dochody z wynajmu pracy wt lt oraz z wynajmu kapitalu rt kt , gdzie
rt oznacza stope, wynajmu kapitalu (nie jest to stopa procentowa). Dochody te sa, albo skonsumowane albo
przeznaczone na inwestycje xt .
ct + xt = wt lt + rt kt + Πt
(1)
1
Kapital akumulowany jest zgodnie ze standardowym równaniem ruchu
kt+1 = (1 − δ)kt + xt
(2)
gdzie δ− stopa deprecjacji kapitalu. Czasami wygodne jest wyrugowanie xt przez podstawienie z jednego z
(2) do (1), wówczas otrzymujemy
ct + kt+1 = wt lt + (rt + 1 − δ)kt + Πt
Problem gospodarstwa domowego ma postać:
∞
X
max ∞
{ct ,kt ,lt }t=0
β t u(ct , lt )
t=0
p.w.ct + kt+1 = wt lt + (rt + 1 − δ)kt + Πt
lt ∈ [0, 1] , k0 dane
Rozwiazanie
problemu konsumenta.
,
Aby rozwiazać
problem konsumenta skonstruujemy funkcje, Lagranża (oznaczmy przez λt mnożnik Lagranża
,
na ograniczeniu budżetowym z okresu t):
L
=
∞
X
β t u(ct , lt ) −
∞
X
t=0
λt (ct + kt+1 − wt lt − (rt + 1 − δ)kt − Πt )
t=0
co można też zapisać w dluższej, ale bardziej przejrzystej wersji
L
=
(β 0 u(c0 , l0 ) + ...β t u( ct , lt ) + β t+1 u(ct+1 , lt+1 ) + ...)
h
− λ0 (c0 + k1 − w0 l0 − (r0 + 1 − δ)k0 − Π0 ... +
+λt ( ct + kt+1 − wt lt − (rt + 1 − δ)kt − Πt +
i
+λt+1 (ct+1 + kt+2 − wt+1 lt+1 − (rt+1 + (1 − δ)) kt+1 ) − Πt+1 + ...
Nastepnie
liczymy warunki pierwszego rzedu
(czyli pochodne funkcji Lagranża ze wzgledu
na ct i kt+1 ).
,
,
,
Powyżej zaznaczone sa, miejsca gdzie wystepuj
a
te
zmienne:
,
,
Lct
=
β t uc (t) − λt = 0
Llt
=
β t ul (t) + λt wt = 0
Lkt+1
=
−λt + λt+1 (rt+1 + 1 − δ) = 0
oraz warunek transwersalności1
lim λt kt+1 = 0
t→∞
Upraszczajac
,
β t uc (t)
=
λt
−β ul (t)
=
λt wt
λt
=
λt+1 (rt+1 + 1 − δ)
lim λt kt+1
=
0
t
t→∞
t
t+1
Nastepnie
eliminujemy λy. Podstawiajac
uc (t + 1)
,
, z pierwszego równania pod λt = β uc (t) i λt+1 = β
otrzymujemy
−β t ul (t)
β t uc (t)
lim β t uc (t) kt+1
t→∞
=
β t uc (t) wt
= β t+1 uc (t + 1) (rt+1 + 1 − δ)
=
0
1 Warunek transwersalności nie b edzie wyprowadzany. Jest to warunek konieczny i sl uży do wykluczenia pewnych ścieżek
,
(np. takiej prawie nic nie konsumujemy i tylko oszczedzamy
i tak w nieskończoność, co oczywiście jest nieoptymalne). Warunku
,
tego należy po prostu nauczyć sie, na pamieć.
,
2
Upraszczajac
, otrzymujemy
−
ul (t)
= wt
uc (t)
uc (t)
= (rt+1 + 1 − δ)
βuc (t + 1)
lim β t uc (t) kt+1 = 0
t→∞
Podsumowujac
, z problemu konsumenta otrzymujemy
ul (t)
uc (t)
uc (t)
βuc (t + 1)
lim β t uc (t) kt+1
= −wt
t→∞
(3)
=
(rt+1 + 1 − δ)
(4)
=
0
(5)
Z problemu konsumenta otrzymujemy (3)-(5). Zauważ, że jeżeli u(ct , lt ) = log ct to ul (t) = 0 co daje lt = 1
(leży na ograniczeniu).
Interpretacja warunków pierwszego rzedu
,
Zauważ, że warunek (3) to jest identyczny do warunku na optymalny wybór otrzymywanego na kursie
średnio-zaawansowanej mikroekonomii, który mówi, że wartość bezwzgledna
M RS równa jest stosunkowi
,
cen (tutaj wt )
M RS(l ,c ) = ul (t) = wt
(6)
t t
uc (t) Podobna sytuacja wystepuje
w przypadku warunku (4). Wówczas mamy wybór pomiedzy
konsumpcja, dziś
,
,
i jutro, zatem z lewej strony bedziemy
mieli
M
RS
.
Pytanie
co
jest
stosunkiem
cen.
Zauważmy, że
(ct ,ct+1 )
,
cena konsumpcji dziś i jutro musi być wyrażona w tych samych jednostkach, niech to bed
a
jednostki
dobra
, ,
konsumpcyjnego w okresie t. Z definicji cena dobra ct wynosi 1. Jeżeli konsument natomiast zrezygnuje z
konsumpcji jednostki dobra dziś to jutro bedzie
mógl kupić (rt+1 + 1 − δ) jednostek ct+1 . Oznacza to że
,
1
jednostka dobra ct+1 w okresie t kosztuje rt+1 +1−δ
. Zatem otrzymujemy
1
M RS(c ,c ) = uc (t) =
= rt+1 + 1 − δ
(7)
t t+1
1
βuc (t + 1) rt+1 +1−δ
Również warunek transwersalności (5) ma interpretacje, ekonomiczna.,
lim β t uc (t)kt+1 = 0
t→∞
(8)
Zauważ, że β t uc (t) oznacza krańcowa, użytecznościa., Zatem ten warunek oznacza, że w nieskończoności
gospodarstwa domowe trzymaja, kapital tylko wtedy jeżeli nie jest on nic wart.
Firmy
Firmy wynajmuja, kapital i prace, od gospodarstw domowych i wykorzystuja, je do produkcji. Celem firm jest
maksymalizacja zysk. Mamy do czynienia z wieloma malymi firmami, które sa, ceno-biorcami. Celem firm
jest maksymalizacja zysku. W każdym okresie reprezentatywna firma rozwiazuje
nastepuj
acy
problem
,
,
,
max yt − rt kt − wt lt
(yt ,lt ,kt )
p.w. yt = At ktα lt1−α
Rozwiazuj
ac
ace
warunki pierwszego rzedu
,
, za pomoca, metody mnożników Lagranża dostajemy nastepuj
,
,
,
α−1 1−α
rt = At αkt lt
(9)
wt
oraz dodatkowo mamy funkcje, produkcji
=
At (1 − α)ktα lt−α
yt = At ktα lt1−α
3
(10)
(11)
Oczyszczanie sie, rynków
Model domkniety
jest za pomoca, warunków na oczyszczanie sie, rynków. Mamy w modelu trzy rynki do
,
oczyszczenia: rynek dóbr, rynek pracy i rynek wynajmu kapitalu. Warunek na oczyszczanie sie, rynku dóbr
ma nastepuj
ac
,
, a, postać
ct + x t = y t
(12)
Podstawiajac
, z (2)
ct + kt+1 = yt + (1 − δ)kt
(13)
otrzymujemy Natomiast warunek oczyszczania sie, rynku pracy i rynku wynajmu kapitalu wprowadzamy
za pomoca, notacji. Zauważ, że zarówno w problemie gospodarstwa domowego oznaczamy podaż pracy i
kapitalu, odpowiednio lt i kt ta, sama, litera, co popyt na prace, i kapital w problemie firmy.
1.2
Równowaga
Równowaga doskonale konkurencyjna
Definicja 1.1 Równowaga doskonale konkurencyjna sklada sie, z endogenicznej alokacji {ct , lt , kt+1 , yt }∞
t=0
oraz endogenicznych cen {rt , wt }∞
(przy danych k0 , At , β, δ)
t=0 spelniajacych
,
• {ct , lt , kt+1 }∞
problem konsumenta przy danych cenach oraz k0 .
t=0 rozwiazuje
,
max
∞
X
{ct ,kt+1 ,lt }∞
t=0
β t u(ct , lt )
t=0
p.w.ct + kt+1 = wt lt + (rt + 1 − δ)kt + Πt
lt ∈ [0, 1] , k0 dane
• dla każdego t, (lt , kt , yt ) rozwiazuje
problem producenta przy danych cenach
,
max yt − rt kt − wt lt
(yt ,lt ,kt )
p.w.yt = At ktα lt1−α
• rynki sie, oczyszczaja,
ct + kt+1 = yt + (1 − δ)kt
Wlasności modelu
Równania opisujace
gospodarke,
,
• Problem konsumenta.
Z problemu konsumenta otrzymaliśmy (3)-(5).
ul (t)
uc (t)
uc (t)
βuc (t + 1)
lim β t u0 (t) kt+1
t→∞
=
−wt
(14)
=
(rt+1 + 1 − δ)
(15)
=
0
(16)
• Problem producenta
Z problemu producenta otrzymaliśmy (9)-(11)
=
At αktα−1 lt1−α
(17)
wt
=
(18)
yt
=
At (1 − α)ktα lt−α
At ktα lt1−α
rt
4
(19)
• Warunek na oczyszczanie sie, rynków (ograniczenie zasobowe)
ct + kt+1 = At ktα lt1−α + (1 − δ)kt
(20)
Zachowanie gospodarki w warunkach równowagi konkurencyjnej jest w pelni opisane równaniami (14)-(20).
Zauważ, że gdybyśmy dodatkowo chcieli zbadać zachowanie inwestycji to moglibyśmy wykorzystać do tego
równanie na akumulacje, kapitalu (2).
1.3
Wlasności
Efektywna alokacja
Nastepnie
sprawdzimy czy alokacja doskonale konkurencyjna jest efektywna. Najpierw musimy zdefiniować
,
co to znaczy efektywna. Zauważ, że ponieważ mamy do czynienia z modelem z reprezentatywnym konsumentem alokacja efektywna powinna maksymalizować jego użyteczność przy danym ograniczeniu zasobowym.
Definicja 1.2. Alokacja {ct , lt , kt , yt }∞
problem spolecznego planisty
t=0 jest efektywna, jeżeli rozwiazuje
,
∞
X
max ∞
β t u(ct , lt )
{ct ,kt+1 ,lt ,yt }t=0
t=0
p.w. ct + kt+1 = At ktα lt1−α + (1 − δ)kt
yt = At ktα lt1−α
lt ∈ [0, 1] , k0 dane
ponieważ yt nie wystepuje
Zauważ, że funkcja produkcji (yt = At ktα lt1−α ) nie jest ograniczeniem wiaż
, acym,
,
,
ani w żadnym innym ograniczeniu ani w funkcji celu. Zatem konstruujac
Lagranżjan
możemy zignorować to
,
równanie. Problem przybiera postać
max
{ct ,kt+1 ,lt }∞
t=0
β 0 u(c0 ) + ...β t u(ct ) + β t+1 u(ct+1 ) + ...
p.w.
c0 + k1 = A0 k0α l01−α + (1 − δ)k0
c1 + k2 = A1 k1α l11−α + (1 − δ)k1
..
.
ct + kt+1 = At ktα lt1−α + (1 − δ)kt
..
.
Lagranżjan
L = β 0 u(c0 , l0 ) + ...β t u( ct , lt ) + β t+1 u(ct+1 .lt+1 ) + ... −
h
− λ0 (c0 + k1 − A0 k0α l01−α − (1 − δ)k0 ) + ...+
+ λt ( ct + kt+1 − At ktα lt
1−α
− (1 − δ)kt )+
1−α
α
+ λt+1 (ct+1 + kt+2 − At+1 kt+1
lt+1
− (1 − δ) kt+1 ) + ...
i
Skracajac
, zapis otrzymujemy
L=
∞
X
t
β u(ct , lt ) −
t=0
∞
X
λt [ct + kt+1 − At ktα lt1−α − (1 − δ)kt ]
t=0
Nastepnie
policzymy warunki pierwszego rzedu
(pochodne Lagranżjana ze wzgledu
na ct , lt i kt+1 ). Powyżej
,
,
,
zaznaczone sa, miejsca gdzie wystepuj
a
te
zmienne:
,
,
Lct
= β t uc (t) − λt = 0
Llt
= β t ul (t) + λt (1 − α)At ktα lt−α = 0
Lkt+1
α−1 1−α
= −λt + λt+1 (At+1 αkt+1
lt+1 + 1 − δ) = 0
5
oraz warunek transwersalności2
lim λt kt+1 = 0
t→∞
Upraszczajac
,
β t uc (t)
= λt
= λt (1 − α)At ktα lt−α
t
−β ul (t)
α−1 1−α
= λt+1 (At+1 αkt+1
lt+1 + 1 − δ)
λt
lim λt kt+1
=
t→∞
0
t
t+1
Nastepnie
eliminujemy λy. Podstawiajac
uc (t + 1)
,
, z pierwszego równania pod λt = β uc (t) i λt+1 = β
otrzymujemy
−β t ul (t)
=
β t uc (t) (1 − α)At ktα lt−α
β t uc (t)
=
α−1 1−α
β t+1 uc (t + 1) (At+1 αkt+1
lt+1 + 1 − δ)
lim β t u0 (t) kt+1
=
0
t→∞
Upraszczajac
, otrzymujemy
ul (t)
uc (t)
uc (t)
βuc (t + 1)
−
=
(1 − α)At ktα lt−α
α−1 1−α
= At+1 αkt+1
lt+1 + 1 − δ
(21)
(22)
lim β t uc (t) kt+1 = 0
(23)
yt = At ktα lt1−α
(24)
ct + kt+1 = At ktα lt1−α + (1 − δ)kt
(25)
t→∞
Ponadto mamy jeszcze funkcje, produkcji
oraz ograniczenie zasobowe
Optymalna alokacja jest w pelni opisana równaniami (21)-(25).
Interpretacja warunków pierwszego rzedu
,
Warunek optymalności wewnatrzokresowej
wymaga aby krańcowa stopa substytucji (M RS(lt ,ct ) ) jest równa
,
krańcowej stopie technicznej substytucji (M RT S(lt ,ct ) ) po jakiej technologia pozwala wymieniać czas wolny
na konsumpcje,
, czyli krańcowej produktywności pracy.
M RS(l ,c ) = ul (t) = (1 − α)At ktα lt−α = M RT S(l ,c ) (26)
t t
t t
uc (t) Natomiast warunek optymalności miedzyokresowej
mówi, że krańcowa stopa substytucji pomiedzy
konsump,
,
cja, dziś a konsumpcja, jutro musi być równa stopie transformacji po jakiej można wymieniać konsumpcje,
dziś na konsumpcje, jutro (M RT Sct ,ct+1 ). M RT Sct ,ct+1 pokazuje ile jednostek ct+1 możemy uzyskać - przy
danej technologii - za jednostke, ct .
M RS(c ,c ) = M RT S(c ,c ) (27)
t t+1
t t+1
Aby znaleźć M RT S sprawdzimy co sie, stanie jeżeli zrezygnujemy z jednostki konsumpcji dziś. W tym celu
wykorzystamy warunek ct + kt+1 = yt + (1 − δ)kt = At ktα lt1−α + (1 − δ)kt . Zauważmy, że jeżeli tej jednostki
konsumpcji nie skonsumujemy to bedziemy
mogli ja, zainwestować, co da nam jutro jednostke, kapitalu wiecej.
,
,
α−1 1−α
Zatem liczba jednostek konsumpcji jutro zwiekszy
sie, o At+1 αkt+1
lt+1 + (1 − δ)
,
M RT S(c ,c ) = At+1 αk α−1 l1−α + (1 − δ)
t+1 t+1
t t+1
2 Tak
jak poprzednio nie bedziemy
wyprowadzali tego warunku.
,
6
Ponieważ
M RS(c
t ,ct+1 )
=
uc (t)
βuc (t + 1)
otrzymujemy
uc (t)
α−1 1−α
= At+1 αkt+1
lt+1 + (1 − δ).
βuc (t + 1)
Twierdzenia Dobrobytu
Możemy teraz sformulować i udowodnić I i II Tw. Dobrobytu. Zaczniemy od I Twierdzenia.
Twierdzenie 1.1 (I Twierdzenie Dobrobytu, FWT). Każda równowaga doskonale konkurencyjna (przy
pewnych zalożeniach) jest efektywna.
Dowód. Aby udowodnić to twierdzenie wystarczy pokazać, że jeżeli równania (3)-(20) sa, spelnione to spelnione sa, równania (21)-(25). Podstawiajac
, pod wt i rt z (17) i (18) do równań (14) i (15) otrzymujemy
równania (21) i (22)
ul (t)
uc (t)
uc (t)
βuc (t + 1)
−
=
wt = At (1 − α)ktα lt−α
(28)
=
α−1
rt+1 + 1 − δ = At αkt+1
+1−δ
(29)
Ponieważ pozostale równania maja, taka, sama, postać w obydwu wersjach to alokacja doskonale konkurencyjna
jest efektywna.
Teraz II Twierdzenie Dobrobytu.
Twierdzenie 1.2 (II Twierdzenie Dobrobytu, SWT). ]. Dowolna alokacja efektywna może być zdecentralizowana jako alokacja doskonale konkurencyjna.
Dowód. Rozważmy alokacje, efektywna, {ct , lt , kt , yt }∞
t=0 . Wiemy, że spelnia ona warunki (21)-(25). Nastepne
,
możemy skonstruować ceny {wt , rt }∞
wykorzystuj
ac
t=0
, (17)-(18). Wówczas alokacja efektywna oraz te ceny
spelniaja, (14)-(20), wiec
, stanowia, równowage, doskonale konkurencyjna.
,
Obydwa twierdzenia sa, ważne. Pierwsze mówi, że zasoby nie sa, marnowane w równowadze doskonale konkurencyjnej. Drugie daje nam równoważność pomiedzy
alokacja, efektywna, a doskonale konkurencyjna., Dzieki
,
,
temu czesto
możemy
rozwi
azać
zwykle
prostszy
problem
centralnego planisty zamiast szukać równowagi
,
,
bezpośrednio. Potem wystarczy tylko skonstruować ceny wykorzystujac
, równania (17)-(18).
Dodatkowo (równie ważne) wskazuja, one na informacyjna, role, cen w równowadze doskonale konkurencyjnej. Wszelkie zaburzenia systemu cenowego prowadza, do nieefektywności.
Dynamika w modelu Ramsey’a
Zalóżmy u(ct , lt ) = log ct oraz δ = 1. Ten przypadek można rozwiazać
analitycznie. Problem spolecznego
,
planisty
max
∞
X
{ct ,kt+1 ,lt }∞
t=0
β t ln ct
t=0
p.w. ct + kt+1 = At ktα lt1−α + (1 − δ)kt
lt ∈ [0, 1]
Ponieważ lt nie wystepuje
w funkcji użyteczności to
,
lt = 1
Nastepnie
wykorzystamy metode, wyedukowanego zgadniecia.
Zgadujemy, że stopa oszczedności
s jest stala
,
,
,
ct = (1 − s) yt = sAt ktα
7
a nastepnie
sprawdzimy czy warunki (21)-(25) sa, spelnione. Z (25) podstawiajac
,
, δ = 1 otrzymujemy
ct + kt+1
(1 −
s) At ktα
+ kt+1
kt+1
=
yt
= At ktα
= sAt ktα = syt
oraz z (22)
ct+1
βct
α
(1 − s)At+1 kt+1
β(1 − s)At ktα
kt+1
=
α−1
At+1 αkt+1
α−1
= At+1 αkt+1
=
αβAt ktα
co daje
s = αβ
oraz TVC (23)
lim β t
t→∞
1
1
αβ
kt+1 = lim β t
αβAt ktα = lim β t
=0
t→∞
t→∞
ct
(1 − αβ)At ktα
(1 − αβ)
Oznacza to, że nasze zgadniecie
okazalo sie, prawidlowe
,
kt+1 = αβAt ktα
Oznacza to, że stopa oszczedności
jest stala i dla tych parametrów model Ramsey’a zachowuje sie, tak jak
,
model Solowa.
Rysunek
Podstawowa, zaleta, modelu Ramsey’a w stosunku do modelu Solowa sa, mikropodstawy (co pozwala na analize,
skutków polityki) oraz metryke, (dobrobyt konsumenta) pozwalajac
, a, porównywać różne polityki.
Przyklad
• Rozważ model Ramseya o parametrach β = 0, 99, α = 0, 36, A = 1, δ = 0, 07
– warunki pierwszego rzedu
doprowadź do dwóch równań z dwoma niewiadomymi ct oraz kt .
,
– zgadujac
, c0 symuluj gospodarke, na 200 okresów w przód.
– tak dobierz c0 aby przynajmniej przez 150 okresów gospodarka znajdowala sie, na ścieżce do stanu
ustalonego.
Wnioski
• Model Ramsey’a replikuje stylizowane fakty.
• Jest to model egzogenicznego wzrostu (At jest egzogeniczne).
• Ponieważ ma mikropodstawy możemy wykorzystywać go do analizy polityki.
• Ponieważ mamy w modelu użyteczność reprezentatywnego konsumenta to możemy wykorzystać ja, jako
kryterium do porównywania różnych polityk ilościowo.
• Podkreśla informacyjna, role, cen (jako przekaźnika informacji od firm do gospodarstw domowych).
8
1.4
Podsumowanie
Podsumowanie
• Model Ramsey’a to model który jest zbudowany na podstawach mikroekonomicznych. Bardzo wiele
kluczowych modeli makroekonomicznych bazuje na nim.
• Pozwala na ilościowe porównywanie polityk.
• FWT oraz SWT sa, spelnione, zatem nie musimy znajdować równowagi bezpośrednio.
• Jak pokażemy później model można rozwiazać
za pomoca, iteracji funkcji wartości.
,
• Wlasności można analizować za pomoca, narzedzi
matematycznych.
,
• Tylko prosty przyklad można rozwiazać
analitycznie.
,
2
Dodatek 2: Model Ramsey’a w czasie ciag
lym
,
2.1
Hamiltonian
Continuous time Ramsey model.
Continuous time Ramsey model. Consider the standard continuous Ramsey model with the utility function
c1−θ
t
u(ct ) = 1−θ
and the production function yt = At ktα lt1−α .
• Define a social planner allocation.
Answer.
Social planner allocation is an allocation (kt , ct , yt , lt , it ) such that it satisfies the social planner problem
Z ∞
max
e−ρt u (ct ) dt
0
subject to
it + ct = yt = f (kt )
k̇t = it − (n + δ)kt
• Define an equilibrium in this economy.
Answer.
Denote N − population, n− growth rate of population, lt − average hours. The production function in
aggregate form Yt = F (Kt , Nt lt ), using the CRS and dividing both sides by Nt we get yt = F (kt , lt ).
Since in equilibrium lt = 1 (exogenous labor) yt = f (kt ) ≡ F (kt , 1)
A competitive equilibrium is an allocation (kt , ct , yt , lt , it ) and prices (wt , rt ) satisfying
– (kt , it , ct ) solves the consumer problem given prices
Z ∞
max
e−ρt u (ct ) dt
0
subject to
it + ct = wt + rt kt
k̇t = it − (n + δ)kt
– (yt , kt , lt ) solves the firm problem given prices
max yt − wt lt − rt kt
subject to
yt = F (kt , lt )
9
– markets clear
ct + it = yt
• Using Hamiltonian find the dynamic behavior of this economy.
Answer.
– From firms problem
wt
=
λt Fl (kt , lt )
rt
=
λt Fk (kt , lt )
λt
=
1
First notice that since in equilibrium lt = 1 we get
rt = Fk (kt , 1) = f 0 (k)
And using Euler’s theorem for homogeneous functions
F (kt , lt ) = kt Fk (kt , lt ) + lt Fl (kt , lt )
we get
f (kt ) = kt f 0 (kt ) + Fl (kt , lt )
Substituting
wt = Fl (kt , lt ) = f (kt ) − kt f 0 (kt )
– Simplifying the consumers problem we get .
Z ∞
max
e−ρt u (ct ) dt
0
subject to
k̇t + ct = wt + rt kt − (n + δ)kt
– Constructing the present value Hamiltonian
H = e−ρt u(ct ) + λt (wt − ct + rt kt − (n + δ) kt )
FOCs are:
Hc
λ̇t
k̇t + ct
limt→∞ λt kt
=
0
= −Hk
= wt + rt kt − (n + δ)kt
=
0
Solving
e−ρt u0 (ct )
λ̇t
Since u(ct ) =
= λt
= −λt (rt − (n + δ))
ct1−σ
1−σ
λt
−ρt
= c−σ
t e
λ̇t
−ρt
= −σc−σ−1
ċt e−ρt − ρc−σ
t
t e
Substituting and simplifying
λ̇t
−ρt
−σc−σ−1
ċt e−ρt − ρc−σ
t
t e
−σc−1
t ċt − ρ
ċt
ct
10
= −λt (rt − (n + δ))
= −e−ρt c−σ
t (rt − (n + δ))
= −(rt − (n + δ))
1
=
[rt − (n + δ + ρ)]
σ
Substituting for rt from the firm problem
ċt
1
= [f 0 (kt ) − (n + δ + ρ)]
ct
σ
– Or alternatively we can constructing the current value Hamiltonian
H = u(ct ) + λt (wt − ct + rt kt − (n + δ) kt )
FOCs are:
Hc
=
0
= ρλt − Hk
λ̇t
= wt + rt kt − (n + δ)kt
k̇t + ct
limt→∞ λt kt
=
0
Solving
u0 (ct )
= λt
= ρλt − λt (rt − (n + δ)kt )
λ̇t
Since u(ct ) =
ct1−σ
1−σ
λt
= c−σ
t
λ̇t
= −σct−σ−1 ċt
Substituting and simplifying
−σc−σ−1
ċt
t
ċt
ct
= ρc−σ
− c−σ
t
t (rt − (n + δ))
1
[rt − (n + δ + ρ)]
=
σ
Substituting for rt from the firm problem
ċt
1
= [f 0 (kt ) − (n + δ + ρ)]
ct
σ
– Next take k̇t + ct = wt + rt kt − (n + δ)kt and substitute from the firms problem
k̇t
=
f (kt ) − kt f 0 (kt ) + f 0 (kt )kt − ct − (n + δ)kt
k̇t
=
f (kt ) − ct − (n + δ)kt
Thus the dynamics of the economy in competitive equilibrium can be described by the following
equations
ċt
ct
k̇t
=
=
1 0
[f (kt ) − (n + δ + ρ)]
σ
f (kt ) − ct − (n + δ)kt
plus the TVC. Notice that this conditions are exactly the same as for the social planner problem.
Thus the rest of the analysis we made earlier applies here (saddle path stability).
11