Algebra z geometrią, grupa 2

Matematyczne metody fizyki, kurs mały
Zestaw zadań nr 1
Zadanie nr 1:
Pewna kwota kapitału u0 deponowana jest na koncie bankowym. Roczna stopa
oprocentowania wynosi r, kapitalizacji odsetek dokonuje się k razy w ciągu roku.
Wyznaczyć wzór na wartość kapitału un po n latach oszczędzania.
Zakładając małe r (np. 0.05) oraz duże k (np. 12), znaleźć przybliżony wzór na un .
Na tej podstawie wypisać wzór na wartość kapitału u(t) w chwili czasu t,
gdzie t liczone jest w latach. Ułożyć równanie różniczkowe opisujące problem.
Zadanie nr 2:
Ze 100 gramów próbki radioaktywnego izotopu toru 234 po tygodniu czasu zostają
82 gramy. Zakładając (prawo rozpadu promieniotwórczego), że szybkość rozpadu
jest proporcjonalna do masy próbki ułożyć odpowiednie równanie różniczkowe opisujące
proces. Rozwiązać je, po czym wyznaczyć czas połowicznego rozpadu toru 234.
Zadanie nr 3:
Ciało denata w chwili odnalezienia miało temperaturę 29.4 °C, nattomiast po dwóch
godzinach temperatura spadła do 23.3 °C. Ustalić przybliżony czas śmierci, jeśli
wiadomo, że temperatura panująca w pomieszczeniu wynosiła cały czas 20 °C.
Odpowiednie równanie różniczkowe ułożyć w oparciu o prawo chłodzenia ciał Newtona,
stwierdzające, że szybkość chłodzenia ciała jest proporcjonalna do różnicy temperatur
tegoż ciała i otoczenia.
Zadanie nr 4:
W celu szacowania wieku przedmiotów zawierających szczątki organicznego bada się
zawartość radioaktywnego izotopu węgla 14, którego czas rozpadu jest bardzo długi
i wynosi 5 730 ± 40 lat. Żyjący organizm wymienia materię z otoczeniem i proporcje węgla
radioaktywnego do stabilnego w materii żywej są podobne jak w atmosferze.
Gdy organizm umrze, wymiana z otoczeniem przestaje zachodzić i izotop 14C rozpada się.
Zakładając, że współczesne urządzenia pomiarowe pozwalają wykryć około 0,000005
pierwotnej zawartości izotopu, oszacować maksymalny czas datowania.
Zadanie nr 5:
Rozważamy jezioro, którego pojemność wynosi V w km3. W ciągu roku do jeziora wpływa
i wypływa rzekami i kanałami r km3 wód. Stopień zanieczyszczenia (ilość zanieczyszczeń
na km3 wód) rzek wpływających do jeziora wynosi k. Ponadto, wokół jeziora znajdują się
osiedla ludzkie i zakłady przemysłowe, które w ciągu roku wprowadzają P zanieczyszczeń.
Ułożyć równanie różniczkowe opisujące jak zmienia się w czasie t (liczonym w latach)
stopień zanieczyszczenia jeziora u. Rozwiązać to równanie.
Na podstawie danych dla Wielkich Jezior w Ameryce Północnej, obliczyć czas jaki musi
upłynąć, aby stopień zanieczyszczenia stał się dziesięciokrotnie mniejszy niż obecnie
mierzony. Zakładamy hipotetycznie, że od dzisiaj przestajemy zanieczyszczać te zbiorniki
(P=0) oraz instalujemy doskonałe oczyszczalnie na rzekach wpływających (k=0).
Jezioro
Objętość V w km3
Przepływ wód r w km3
Górne
12 200
65
Michigan
4 900
158
Erie
460
175
Ontario
1 600
209