K M = x

Przybliżona teoria żyroskopu
Żyroskopem nazywamy ciało materialne o postaci bryły obrotowej (wirnika), osadzone na osi pokrywającej się z osią
geometryczną tego ciała zwanej osią żyroskopową.
z
ζ
η
KO
ωz
θ
ωζ
y
O
ξ
ψ
x
MO
ϕ
Żyroskop
W uproszczonej teorii żyroskopowej zakładamy, że:
ωζ >> ω z ,
(4.122)
ωζ = const .
(4.123)
Siły działające na żyroskop muszą spełniać warunek
K& O = M O .
(4. 124)
Prof. Edmund Wittbrodt
Ruch żyroskopu jest chwilowym ruchem obrotowym wokół punktu O. Prędkości kątowe żyroskopu są równe ωζ i ω z .
Ze względu na założenie (4.122) mamy
KO ≅ Jζ ωζ ,
(4. 125)
zaś ze względu na założenie (4.123) mamy
K& O = ω z × KO = Jζ ω z × ωζ ,
(4. 126)
co prowadzi do równania
M O = Jζ ω z × ωζ .
(4. 127)
Wartość momentu (4.127) jest równa
M O = Jζ ω zωζ sin θ .
(4. 128)
Moment MO musi być przyłożony do żyroskopu, aby posiadał on założony ruch. Można też powiedzieć, że żyroskop działa
na łożyska momentem przeciwnym, równym
M ż = − M O = Jζ ωζ × ω z ,
(4. 129)
zwanym momentem żyroskopowym.
Prof. Edmund Wittbrodt
Zderzenia
Zderzenia środkowe. Zderzenie ma miejsce, gdy dwa ciała działają na siebie siłą o skończonej wartości w bardzo krótkim
czasie. Zderzenia środkowe (linia łącząca środki mas jest prostopadła do płaszczyzny styku przy zderzeniu) dzielimy na:
proste i ukośne.
Zderzenie proste jest to takie zderzenie, przy którym wektory prędkości ciał są prostopadłe do płaszczyzny styku.
a)
m1
m2
C1
v1
C2
v2
b)
n
m1
m2
C1
w1
C2
w2
n
Zderzenie proste środkowe: a) w chwili t1 przed zderzeniem, b) w chwili t2 = t1+dt po zderzeniu
Prędkości ciał po zderzeniu obliczamy korzystając z zasady zachowania pędu
m1v1 + m2 v2 = m1w1 + m2 w2
(4.134)
oraz wprowadzając tzw. współczynnik restytucji (hipoteza Newtona)
k=
w2 − w1
v1 − v2 ,
(4. 135)
gdzie 0 ≤ k ≤ 1 .
Prof. Edmund Wittbrodt
Wartości współczynnika restytucji dla zderzeń plastycznych wynosi k = 0, zaś dla zderzeń idealnie sprężystych k = 1. Dla
innych przypadków należą one do przedziału 0< k <1, co przedstawiono w tabeli.
Współczynniki restytucji k
współczynnik
restytucji k
8/9
5/9
1/2
materiały zderzających się ciał
kość słoniowa – kość słoniowa
stal – stal
drewno – drewno
Z równań (4.134) i (4.135) otrzymujemy:
w1 =
m1v1 + m2 v2 − m2 (v1 − v2 )k
,
m1 + m2
(4. 136)
w2 =
m1v1 + m2 v2 − m1 (v2 − v1 )k
.
m1 + m2
(4. 137)
Podczas zderzenia ma miejsce strata energii kinetycznej, która wynosi
E = E1 − E2 =
1 m1m2
(v1 − v2 )2 (1 − k 2 ) .
2 m1 + m2
(4. 138)
Prof. Edmund Wittbrodt
Zderzenie ukośne jest to takie zderzenie, przy którym kierunki wektorów prędkości nie są prostopadłe do płaszczyzny styku.
t
v2
v1n
v1t
α1
α2
v2t
v1
n
v2 n
Zderzenie ukośne środkowe
W tym przypadku zachodzą następujące związki:
v1n = v1 cos α1 ,
v1t = v1 sin α1 ,
v2n = v2 cos α 2 ,
v2t = v2 sin α 2 .
Przy pominięciu tarcia podczas zderzenia i możliwości obrotu zmianie ulegną tylko składowe normalne prędkości v1n i v2n .
Zmieniają się one, zgodnie z (4.136) ÷ (4.137), na prędkości w1n i w2n . Prędkości całkowite będą zaś równe:
w1 = v1t + w1n ,
w2 = v2t + w2n .
(4. 139)
Prof. Edmund Wittbrodt
Środek uderzenia. Przez środek uderzenia rozumiemy taki punkt, w którym uderzająca w ciało siła
punkcie podparcia ciała.
P
nie wywoła reakcji w
∆t
SO = ∫ Rdt
x
0
O
ω
yC
e
C
P
środek uderzenia
Określenie środka uderzenia
y
Dla określenia odległości e środka uderzenia zakładamy:
1)
ciało może się obracać wokół punktu O,
2)
siła udarowa P jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty O i C.
Prof. Edmund Wittbrodt
Korzystając z zasady krętu i pokrętu mamy
∆t
J zω ′ − J zω = e Pdt
∫
0
,
czyli
J z ∆ω = Se
lub
∆ω =
gdzie:
S=
Se
Jz ,
(4. 140)
∆t
∫ Pdt
0
− impuls siły ,
∆ω = ω ′ − ω
− przyrost prędkości kątowej.
Prof. Edmund Wittbrodt
Z kolei z zasady pędu i popędu otrzymujemy
mvC′ − mvC = S − SO ,
(4.141)
co dla kierunku x możemy zapisać w postaci skalarnej
m(vC′ − vC ) = S − SO .
(4.142)
Ponieważ zachodzą także związki:
vC′ = yCω ′ ,
vC = yCω ,
(4.143)
z równań (4.140), (4.142) i (4.143) możemy określić wartość impulsu w podporze O
SO = S (1 −
myC
e) .
Jz
Jeżeli reakcja w podporze O ma być zerowa
e=
Jz
myC
.
(4.144)
SO = 0 ,
to należy siłę P przyłożyć w odległości e od podpory, która wynosi
(4.145)
Prof. Edmund Wittbrodt