Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego

Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
1. Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy, skoncentrowany w punkcie x0 (oznaczany przez δ(x0 )),
jeżeli
P (X = x0 ) = 1.
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = x0 ,
V arX = 0.
Funkcja charakterystyczna:
ϕX (t) = eitx0 .
2. Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny jednostajny na zbiorze {x1 , x2 , . . . , xn }, jeżeli:
1
,
n
P (X = xi ) =
i = 1, 2, . . . , n.
Wartość oczekiwana i wariancja:
n
EX =
1X
xi ,
n i=1
n
V arX =
n
1X
1X 2
(xi − EX)2 =
x − (EX)2 .
n i=1
n i=1 i
3. Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p, 0 < p < 1, jeśli:
P (X = x1 ) = p,
P (X = x2 ) = q = 1 − p,
x1 6= x2 .
Wartość oczekiwana i wariancja:
V arX = pq(x1 − x2 )2 .
EX = px1 + qx2 ,
4. W przypadku gdy x1 = 1 i x2 = 0 rozkład dwupunktowy nazywamy rozkładem zerojedynkowym lub
rozkładem Bernoulliego (oznaczany przez Be(p)).
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = p, V arX = pq.
Funkcja charakterystyczna:
ϕX (t) = q + peit .
5. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n, p, (n ∈ N, 0 < p < 1), oznaczany B(n, p),
jeżeli:
n k n−k
P (X = k) =
p q
, k = 0, 1, . . . , n, q = 1 − p.
k
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = np,
V arX = npq.
Funkcja charakterystyczna:
ϕX (t) = (q + peit )n .
Ponadto, jeżeli Xi , i = 1, . . . , n są niezależnymi zmiennymi
Pnlosowymi o rozkładzie zerojedynkowym:
P (Xi = 1) = p, P (Xi = 0) = 1 − p, to zmienna losowa X = i=1 Xi ma rozkład B(n, p).
6. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ, (λ > 0), oznaczany P o(λ), jeżeli:
P (X = k) =
λk −λ
e ,
k!
k = 0, 1, 2, . . .
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = λ,
V arX = λ.
Funkcja charakterystyczna:
ϕX (t) = eλ(e
1
it
−1)
.
7. Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p, 0 < p < 1, oznaczany przez Ge(p), jeżeli
P (X = k) = pq k ,
Wartość oczekiwana i wariancja:
k = 0, 1, 2, . . . ,
q
,
p
V arX =
ϕX (t) =
p
.
1 − qeit
EX =
Funkcja charakterystyczna:
q = 1 − p.
p
.
q2
8. Zmienna losowa X ma rozkład pierwszego sukcesu z parametrem p, 0 < p < 1, oznaczany przez F s(p),
jeżeli
P (X = k) = pq k−1 , k = 1, 2, . . . , q = 1 − p.
Wartość oczekiwana i wariancja:
1
,
p
V arX =
ϕX (t) =
peit
.
1 − qeit
EX =
p
.
q2
Funkcja charakterystyczna:
Jeżeli X ma rozkład Ge(p), to Y = X + 1 ma rozkład F s(p).
9. Zmienna losowa X ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami n, p, (n ∈ N, 0 < p < 1), oznaczany N Bin(n, p), jeżeli:
n+k−1 n k
P (X = k) =
p q , k = 0, 1, . . . , n, q = 1 − p.
k
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX =
nq
,
p
V arX =
Funkcja charakterystyczna:
ϕX (t) =
p
1 − qeit
nq
.
p2
n
.
Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu absolutnie ciągłego
10. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny (prostokątny) na odcinku (a, b), oznaczany U (a, b), jeżeli
jej gęstość ma postać:
1
I(a,b) (x)
f (x) =
b−a
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX =
(b − a)2
.
12
b−a
,
2
V arX =
ϕX (t) =
eitb − eita
.
it(b − a)
Funkcja charakterystyczna:
Dla zmiennej losowej X o rozkładzie U (0, 1) mamy EX = 12 , V arX =
X ma rozkład U (−1, 1), to EX = 0, V arX = 13 , ϕX (t) = sint t
1
12 ,
ϕX (t) =
eit −1
it ,
natomiast gdy
11. Zmienna losowa X ma rozkład gamma z parametrami p, λ (p > 0, λ > 0), oznaczany Γ(p, λ), jeśli jej
gęstość wyraża się wzorem:
x
1
f (x) = p
xp−1 e− λ I(0,∞) (x).
λ Γ(p)
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = pλ,
2
V arX = pλ2 .
Funkcja charakterystyczna:
1
.
(1 − itλ)p
ϕX (t) =
Szczególnym ale bardzo istotnym przypadkiem rozkładu gamma jest rozkład Γ(1, λ) czyli rozkład wykładniczy z parametrem λ, oznaczany Exp(λ), którego funkcja gęstości ma postać:
f (x) =
1 −x
e λ I(0,∞) (x).
λ
Wartość oczekiwana i wariancja tego rozkładu:
V arX = λ2 .
EX = λ,
Funkcja charakterystyczna:
ϕX (t) =
1
.
1 − itλ
Innym, szczególnym przypadkiem rozkładu gamma jest rozkład Γ( n2 , 2), nazywany rozkładem chi-kwadrat z n stopniami swobody i oznaczany χ2 (n).
12. Zmienna losowa X ma rozkład Laplace’a (obustronny wykładniczy) z parametrem λ oznaczany
L(λ), jeżeli jej gęstość określa wzór:
f (x) =
1 − |x|
e λ , x ∈ R.
2λ
Wartość oczekiwana i wariancja tego rozkładu:
V arX = 2λ2 .
EX = 0,
Funkcja charakterystyczna:
ϕX (t) =
1
.
1 + λ 2 t2
13. Zmienna losowa X ma rozkład beta z parametrami a, b, (a > 0, b > 0), oznaczany β(a, b), jeżeli jej
gęstość ma postać:
1
f (x) =
xa−1 (1 − x)b−1 I(0,1) (x).
β(a, b)
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX =
a
,
a+b
V arX =
ab
.
(a + b)2 (a + b + 1)
14. Zmienna losowa X ma rozkład rozkład Cauchy’ego z parametrami m ∈ R i λ > 0, oznaczany C(m, λ),
jeżeli jej gęstość wyraża się wzorem:
f (x) =
λ2
1
, x ∈ R.
2
π λ + (x − m)2
Wartość oczekiwana i wariancja tego rozkładu nie istnieją. Funkcja charakterystyczna ma postać:
ϕX (t) = eitm−λ|t| .
Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozkład Cauchy’ego C(0, 1), którego gęstość wyraża wzór
1
−|t|
f (x) = π1 1+x
.
2 , natomiast funkcja charakterystyczna ma postać ϕX (t) = e
15. Zmienna losowa X ma rozkład rozkład Pareto z parametrami k > 0 i α > 0, oznaczany P a(k, α), jeżeli
jej gęstość ma postać:
αk α
f (x) = α+1 I(k,∞) (x).
x
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX =
αk 2
αk
, określona dla α > 1, V arX =
, określona dla α > 2.
α−1
(α − 2)(α − 1)2
3
16. Zmienna losowa X ma rozkład rozkład Weilbulla z parametrami α, β > 0, oznaczany W (α, β), jeżeli
jej gęstość ma postać:
1 (1/β)−1 −x1/β /α
x
e
I(0,∞) (x),
αβ
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = αβ Γ(β + 1),
V arX = α2β Γ(2β + 1) − Γ(β + 1)2 .
17. Zmienna losowa X ma rozkład rozkład Rayleigh’a z parametrem α > 0, oznaczany Ra(α), jeżeli jej
gęstość ma postać:
2
2
f (x) = xe−x /α I(0,∞) (x).
α
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX =
1√
πα,
2
1
V arX = α(1 − π).
4
18. Zmienna losowa X ma rozkład rozkład normalny z parametrami µ, σ (µ ∈ R, σ > 0), oznaczany N (µ, σ)
lub N (µ, σ 2 ), jeżeli jej gęstość wyraża się następująco:
(x − µ)2
1
, x ∈ R.
exp −
f (x) = √
2σ 2
2πσ
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = µ,
V arX = σ 2 .
Funkcja charakterystyczna:
t2
ϕX (t) = eitµ− 2σ2 .
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład N (µ, σ), to zmienna losowa T =
dystrybuancie:
Z x
2
1
Φ(x) = √
e−u /2 du,
2π −∞
X −µ
ma rozkład N (0, 1), o
σ
której wartości są stablicowane. Ponadto: Φ(−x) = 1 − Φ(x). Zmienna losowa o standardowym rozkładzie
t2
normalnym ma funkcję charakterystyczną ϕX (t) = e− 2 .
19. Zmienna losowa X ma rozkład rozkład logarytmiczno-normalny z parametrami µ, σ (µ ∈ R, σ > 0),
oznaczany LN (µ, σ), jeżeli jej gęstość określa wzór
f (x) =
2
2
1
1
√ e− 2 (log x−µ) /σ , x ∈ R.
σx 2π
Wartość oczekiwana i wariancja:
1
2
EX = eµ+ 2 σ ,
2
2
V arX = e2µ e2σ − eσ .
20. Zmienna losowa X ma rozkład rozkład t-Studenta z n stopniami swobody oznaczany t(n), jeżeli jej
gęstość ma postać:
Γ n+1
1
2
f (x) = √
, x ∈ R.
πnΓ n2 1 + x2 (n+1)/2
n
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = 0, określona dla n > 1,
V arX =
4
n
, określona dla n > 2.
n−2
Oznaczenia
• Indykator zdarzenia (zbioru) A
IA (x) =
• Funkcja gamma:
Z
Γ(p) =
1, gdy
0, gdy
x ∈ A,
x∈
/ A.
∞
xp−1 e−x dx,
p > 0;
0
Γ(p + 1) = pΓ(p),
Γ(n + 1) = n!,
n ∈ N,
Γ
√
1
= π.
2
• Funkcja beta:
Z
β(a, b) =
1
xa−1 (1 − x)b−1 dx,
0
β(a, b) =
5
Γ(a)Γ(b)
.
Γ(a + b)
a > 0,
b > 0;