Zadania na rozkłady dwuwymiarowe. 1. Dana jest funkcja: xy xy ey x

Zadania na rozkłady dwuwymiarowe.
1. Dana jest funkcja:
1 2
( x − y 2 )e − x , | y |≤ x
f ( x, y ) = 8
0
| y |> x
Czy jest to funkcja gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej? Jeśli tak, to proszę
wyznaczyć gęstość f(x), f(y|x), f(y|X=1) oraz E(Y|X).
*2. Zmienna (X, Y) podlega rozkładowi:
1
, 0 < x ≤ y ≤1
f ( x, y ) = 2 xy
0
wp. p.
Proszę znaleźć jej dystrybuantę.
3. Dana jest funkcja:
f ( x, y ) =
Cxy 1 ≤ x ≤ 2;2 ≤ y ≤ 4
0
wp. p.
a) Proszę wyznaczyć stałą C tak, aby funkcja określała rozkład.
b) Proszę wyznaczyć rozkłady brzegowe
c) Proszę wyznaczyć dystrybuanty brzegowe.
4. Dana jest funkcja:
f ( x, y ) =
1 0 ≤ x ≤ 1; x ≤ y ≤ 2 − x
wp. p.
0
Proszę wyznaczyć gęstości brzegowe.
5. Zmienna losowa (X,Y) ma gęstość określoną wzorem:
f ( x, y ) =
24 x(1 − y ) 0 ≤ x ≤ 1; x ≤ y ≤ 1
wp. p.
0
Czy X i Y są niezaleŜne?
6. Zmienna losowa (X,Y) ma rozkład o gęstości:
4
, 1< x < y < ∞
f ( x, y ) = xy
0
wp. p.
a) Proszę sprawdzić, czy funkcja f jest gęstością
b) Proszę wyznaczyć rozkłady brzegowe i wartości oczekiwane.
7. Zmienna losowa dwuwymiarowa ciągła ma gęstość:
f ( x, y ) =
3(1 − x − 0,5 y ), ( x, y ) ∈ A
0
wp. p.
Zbiór A przedstawia rysunek:
Znaleźć gęstość brzegową Y.
2
A
1
8. Dany jest dwuwymiarowy rozkład równomierny (X, Y) określony na obwodzie i wewnątrz
równoległoboku P, ograniczonego prostymi y = x-1, y = x + 1, y = 1/3 x – 1, y = 1/3 x + 1.
Proszę wykazać, Ŝe linia regresji X względem Y jest prostą, natomiast linia regresji X
względem Y łamana złoŜoną z 3 odcinków prostej.
9. Rzucamy monetą. Gdy wypadnie orzeł losujemy zgodnie z rozkładem jednostajnym punkt
z odcinka (0;1>, a gdy reszka – punkt z odcinka <0;2>. Znaleźć prawdopodobieństwo, Ŝe
wylosowany punkt będzie naleŜał do przedziału <1/2;3/2>.
10. Odległość celu od obserwatora jest zmienną losową X o gęstości:
1
, x ∈ (100,200)
f X ( x) = 100
0,
wp. p.
Zmienna losowa Y przyjmuje wartość y1=1, gdy obserwator dostrzeŜe cel lub wartość y2=0,
gdy nie dostrzeŜe celu. Znany jest rozkład warunkowy Y pod warunkiem, Ŝe X = x, tj. dla
x∈(100,200):
P(Y=1|X=x) = 3000/x2 (dostrzeŜenie celu)
P(Y=0|X=x) = 1 – 3000/x2 (niedostrzeŜenie celu)
Znaleźć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y.