STATYSTYKA STOSOWANA

STATYSTYKA STOSOWANA
LISTA 3
1. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla następujących zmiennych
losowych:
a) zmienna losowa X każdą z wartości 2,-3,4,5 przyjmuje z takim samym
prawdopodobieństwem;
b) P( Y = -2)= P( Y = 0)= 0.1; P( Y = 2)= 0.8;
c) gęstość
( zmiennej losowej X jest postaci:
3x2 , gdy 0 < x < 1
f (x) =
0, gdy x ≤ 0 lub x ≥ 1
d) zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na przedziale [3,9].
3.Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b]. Wyznaczyć
stałe A, B takie, że zmienna losowa Y = AX + B ma rozkład jednostajny na
przedziale [0,1].
4.Zmienna losowa X ma rozkład B(n,p). Dla jakich p wariancja X jest
największa?
5.Wiedząc,że: EX= -1, EX 2 = 3 wyznaczyć:
varX , E(4X-1), var(4X-1), E(-2X-2), var(-2X-2).
6.Wiedząc,że: EX= 2, EX 2 = 3, oraz zmienna losowa Y ma rozklad
normalny N (−3, 2 wyznaczyć:
a) E(X+Y), E(2X-4Y), E(-X+2Y+3)
b) zakładając ponadto,że X,Y są niezależne obliczyć: var(X+Y), var(X-Y),
var(-2X+3Y). var(-X+2Y+3), E(XY).
7.Prawdopodobieństwo,że obroty firmy jednego dnia przekroczą 1 mln zł
wynosi 0.2.Jaka jest oczekiwana, a jaka jest najbardziej prawdopodobna
liczba dni z obrotami większymi niż 1 mln w ciągu 20 dni pracy firmy?
8.Zmienne losowe X1 , X2 , . . . , Xn są niezależne i każda ma rozkład N(0,1).Jaki
P
rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Yn = √1n nk=1 Xk .
9.Prawdopodobieństwo,że wyprodukowany element jest dobry wynosi 0.95.
Obliczyć, wykorzystując centralne twierdzenie graniczne, prawdopodobieństwo,że
wśród 400 takich elementów, dobrych jest więcej niż 320 i mniej niż 380.
1
10.Prawdopodobieństwo,że wyprodukowany detal okaże się dobry wynosi
0.9. Ile elementów należy wyprodukować,aby prawdopodobieństwo, że będzie
wśród nich co najmniej 50 dobrych było większe niż 95%.
11. Długość belek pewnego typu (w metrach) jest zmienną losową o
rozkładzie jednostajnym na przedziale [1.995, 2,005]. Jakie jest prawdopodobieństwo,że
suma długości 100 takich belek jest;
a) mniejsza niż 198m,
b) wieksza niż 202m,
c) jest między 195m a 205m,
d) jest między 199.5m a 200.5m.
12.Czas pracy diody (w godz.) jest wykładniczy z α = 0.001.Jakie jest
prawdopodobieństwo,że zapas 100 diod wystarczy na co najmniej 80000 godzin
pracy?
13. Prawdopodobieństwo że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji
wynosi 0.02.Wykorzystując centralne twierdzenie graniczne obliczyć prawdopodobieństwo,
że w trakcie konserwacji 150 aparatów zepsuje się:
a) nie mniej niż 10 aparatów,
b) mniej niż 2 aparaty,
¸) więcej niż 5 i mniej niż 10 aparatów ?
2