Rachunek Prawdopodobieństwa, lista 1

Rachunek Prawdopodobieństwa, lista 1
Zad.1. Na ile sposobów można wyciągnąć dwie karty z talii 52 kart, jeśli:
a) wylosowaną kartę wkładamy z powrotem do talii; b) losujemy bez zwracania?
Zad.2. Mamy n elementów I rodzaju (np. jednakowych kostek pamięci 4 GB) i k elementów II
rodzaju (pamięci 1 GB). Na ile sposobów możemy wybrać spośród nich 7 elementów tak, aby:
a) 4 były I rodzaju i 3 były II rodzaju? b) m było I rodzaju i l było II rodzaju? Oczywiście
zakładamy tu, że m ¬ n oraz l ¬ k.
Zad.3. Ile podzbiorów ma zbiór n-elementowy?
Zad.4. Zapisz za pomocą zbiorów: spośród A, B, C:
a) zajdzie co najmniej jedno, ODP. A ∪ B ∪ C;
b) zajdzie dokładnie jedno, ODP. (A ∩ B 0 ∩ C 0 ) ∪ (A0 ∩ B ∩ C 0 ) ∪ (A0 ∩ B 0 ∩ C);
c) żadne nie zajdzie, .............................
d) zajdą dokładnie dwa, ............................
e) zajdą wszystkie trzy, ............................
f) zajdą co najmniej dwa, .........................
Zad.5. Korzystając z trzech podanych na wykładzie aksjomatów prawdopodobieństwa, wyprowadź poniższe własności:
a) P (A0 ) = 1 − P (A), b) P (∅) = 0, c) jeśli A ⊂ B, to P (A) ¬ P (B), d) P (A ∪ B) =
P (A) + P (B) − P (A ∩ B), e)* podaj wzór na P (A ∪ B ∪ C).
Zad.6. Niech P (A) = 3/4, a P (B) = 1/2. Czy zdarzenia A i B mogą się wykluczać?
Zad.7. Niech P (A0 ) = 1/3, P (A ∩ B) = 1/4 i P (A ∪ B) = 2/3. Oblicz P (B 0 ), P (A ∩ B 0 ) oraz
P (B \ A).
Zad.8. Rzucamy dwa razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania za każdym razem
innej liczby oczek? To samo pytanie dla trzech rzutów kostką.
Zad.9. Mamy cztery karty: dwie czerwone i dwie czarne. Wyciągamy losowo (bez zwracania)
dwie. Co jest bardziej prawdopodobne: to, że obie będą w tym samym kolorze, czy to, że będą
w różnych kolorach?
Zad.10. Z 52 kart wybrano losowo 13. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania:
a) samych pików, b) dokładnie 7 kart jednego koloru?
Zad.11. a) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w grupie 3 losowo wybranych osób NIE MA
takich dwóch osób, które obchodzą urodziny w tym samym dniu? Zakładamy dla uproszczenia,
że każdy rok ma 365 dni.
b) To samo pytanie dla 20 osób. c)* Ile osób powinno być w grupie, aby to prawdopodobieństwo
było równe mniej więcej 1/2?
Zad.12. Odcinek długości l łamiemy w dwóch losowo wybranych punktach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że z tak otrzymanych trzech odcinków można zbudować trójkąt. ODP. 1/4.
n
Odpowiedzi: 1. a) 2704, b) 2652; 2. a) n4 · k3 , b) m
· kl ; 3. 2n ; 6. Nie; 7. P (B 0 ) = 43 ,
20
5
P (A ∩ B 0 ) = 12
, P (B \ A) = 0; 8. a) 56 , b) 36
; 9. P(obie w tym samym kolorze)= 13 ; 10. a)
635 013 559 600, b) 22 394 644 272; 11. a) i b) Porównaj z zadaniem 8 dla „kostki o 365 ścianach”,
c) 22 osoby; 12. 41 .