Transformata Z

Transformata Z
1
Poni»ej podane s¡ tylko podstawowe wªasno±ci transformaty
Z , potrzebne w
dalszej cz¦±ci kursu.
Transformata Z
Niech
(y(n))∞
n=0
b¦dzie ci¡giem o wyrazach zespolonych.
Denicja. Transformat¡ Z
nej zespolonej
z
(y(n)) nazywamy funkcj¦ Z{y(n)} zmien-
ci¡gu
okre±lon¡ wzorem
Z{y(n)}(z) = Y (z) :=
∞
X
y(n)z −n ,
n=0
z ∈ C \ {0} jest takie, »e szereg po prawej stronie jest
1
Transformat¦ Z nazywamy te» transformat¡ Laurenta .
gdzie
Przykªad 0. Dla ustalonego
δk (n) =
k ∈ N ∪ {0}

1
dla
0
dla
rozwa»my ci¡g
n = k,
n ∈ N ∪ {0}, n 6= k
2
(ci¡g taki zwany jest, niezbyt ±ci±le, delt¡ Kroneckera
3
na wyrost, delt¡ Diraca ) skupion¡ w
Zachodzi
Y (z) =
∞
X
y(n) = an ,
δk (n)z −n =
gdzie
(niekiedy, zupeªnie
k ).
n=0
Przykªad 1. Niech
zbie»ny.
a ∈ C
1
.
zk
(zakªadamy tutaj, »e
00 = 1).
Mamy
Y (z) =
∞
X
n=0
n −n
a z
=
∞ n
X
a
n=0
z
,
co jest szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie
1
i ilorazie
a/z .
Podobnie jak dla szeregów geometrycznych o wyrazach rzeczywistych dowodzi si¦, »e w przypadku zespolonym szereg geometryczny (o niezerowym
pierwszym wyrazie) jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy moduª jego ilorazu
jest mniejszy ni» jeden.
1 Pierre
Alphonse Laurent (1813 1854), matematyk francuski
Kronecker (1823 1891), matematyk niemiecki
3 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 1984), angielski matematyk i zyk-teoretyk
2 Leopold
Skompilowaª Janusz Mierczy«ski
2
W naszym przypadku oznacza to, »e szereg deniuj¡cy transformat¦ Laurenta
n ∞
ci¡gu (a )n=0 jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy |z| > |a|. Suma takiego
szeregu jest równa
1
1−
Ostatecznie
Z{an }(z) =
z
.
z−a
=
a
z
z
z−a
dla
|z| > |a|.
W szczególno±ci, pami¦taj¡c o naszej konwencji, »e
formata
Z
1
ci¡gu przyjmuj¡cego warto±¢
1.
zera, to funkcja stale równa
00 = 1, widzimy, »e trans-
na miejscu zerowym, a poza tym
Odtworzyli±my zatem otrzymany wcze±niej
wzór na transformat¦ Laurenta delty Kroneckera skupionej w
Przykªad 2. Niech
y(n) = nn
(gdzie
∞
X
Y (z) =
00 = 1).
n −n
n z
=
Mamy
∞ n
X
n
z
n=0
n=0
0.
.
Podobnie jak dla szeregów o wyrazach rzeczywistych, warunkiem koniecznym
zbie»no±ci szeregu o wyrazach zespolonych jest, by wyraz ogólny takiego szeregu d¡»yª do zera. Do±¢ ªatwo jest wykaza¢, »e warunek ten nie jest speªniony
n
dla »adnego z ∈ C \ {0}. Zatem transformata Z ci¡gu (n )
.
nie istnieje
U»yteczny warunek dostateczny na to, by istniaªa transformata
Z
danego
ci¡gu, podaje poni»sze twierdzenie.
Twierdzenie 1.
n = 0, 1, 2, 3 . . .
Zaªó»my, »e istniej¡
zachodzi
|y(n)| ¬ Ae
takie, »e szereg
Y (z) =
A­0
δn
∞
X
δ >0
i
takie, »e dla ka»dego
. Wówczas istnieje
R, 0 ¬ R ¬ δ ,
y(n)z −n
n=0
•
jest zbie»ny dla ka»dego
•
jest rozbie»ny dla ka»dego
Liczb¦ nieujemn¡
R
z∈C
takiego, »e
z∈C
|z| > R;
takiego, »e
wyst¦puj¡c¡ w powy»szym twierdzeniu nazywamy pro-
mieniem zbie»no±ci transformaty
Z
ci¡gu
(yn ).
nazywamy pier±cieniem zbie»no±ci transformaty
Fakt 1.
|z| < R.
Zbiór
Z
(i)
lim
R = n→∞
q
n
|y(n)|.
{ z ∈ C : |z| > R }
(yn ).
ci¡gu
Transformata Z
3
(ii)
R = lim
n→∞
q
n
|y(n + 1)|
,
n→∞
|y(n)|
|y(n)|,
R = lim
o ile granice po prawych stronach istniej¡.
W Przykªadzie 1, promie« zbie»no±ci jest równy
Operacj¦ przyporz¡dkowuj¡c¡ ci¡gowi
przeksztaªceniem (lub transformacj¡ )
|a|.
(y(n)) jego transformat¦ Z
Z (lub Laurenta).
nazywamy
Wªasno±ci przeksztaªcenia Z
Liniowo±¢
Fakt 2.
Niech
(y1 (n)), (y2 (n))
Z
b¦d¡ ci¡gami takimi, »e ich transformaty
R1 , R2 . Wówczas dla liczb zespoloα1 , α2 , transformata Z ci¡gu (α1 y1 (n)+α2 y2 (n)) jest równa α1 Z{y1 (n)}+
α2 Z{y2 (n)}, i ma promie« zbie»no±ci nie wi¦kszy ni» max{R1 , R2 }.
maj¡ promienie zbie»no±ci odpowiednio
nych
Powy»sz¡ wªasno±¢ nazywamy liniowo±ci¡ przeksztaªcenia
Przykªad 3. Znajd¹my transformat¦
Z
ci¡gów
(cos(nϕ))
Z.
i
(sin(nϕ)),
gdzie
ϕ ∈ R.
Jako »e
cos(nϕ) =
einϕ + e−inϕ
,
2
sin(nϕ) =
einϕ − e−inϕ
,
2i
otrzymujemy
Z{cos(nϕ)}(z) =
1
1
z
z
+
=
Z{einϕ }(z)+Z{e−inϕ }(z) =
2
2 z − eiϕ z − e−iϕ
z(z − cos ϕ)
= ··· = 2
z − 2z cos ϕ + 1
oraz
Z{sin(nϕ)}(z) =
1
1
z
z
Z{einϕ }(z)−Z{e−inϕ }(z) =
−
=
iϕ
2i
2i z − e
z − e−iϕ
z sin ϕ
= ··· = 2
.
z − 2z cos ϕ + 1
Skompilowaª Janusz Mierczy«ski
4
Transformata Z ci¡gu (an y(n)) (skalowanie)
Fakt 3.
no±ci
R.
Z
ci¡gu
(y(n)),
Wówczas dla ka»dego niezerowego
a∈C
zachodzi
Niech
Y (z)
b¦dzie transformat¡
Z{an y(n)}(z) = Y
i promie« zbie»no±ci transformaty
gdzie
z
,
a
Z{an y(n)}
Przykªad 4. Znajd¹my transformat¦
Z
o promieniu zbie»-
jest równy
ci¡gów
R/|a|.
(an cos(nϕ))
i
(an sin(nϕ)),
a ∈ R, a 6= 0, i ϕ ∈ R:
z(z − a cos ϕ)
− 2az cos ϕ + a2
az sin ϕ
Z{an sin(nϕ)}(z) = 2
.
z − 2az cos ϕ + a2
Z{an cos(nϕ)}(z) =
(1)
z2
Transformata Z ci¡gu (ny(n))
Zró»niczkujmy formalnie
Z
po
z:
d
d
Z{y(n)}(z) =
y(0) + y(1)z −1 + y(2)z −2 + . . .
dz
dz
= (−1)y(1)z −2 + (−2)y(2)z −3 + . . .
∞
1X
1
=−
ny(n)z −n = − Z{ny(n)}(z),
z n=0
z
czyli
Z{ny(n)}(z) = −z
d
Z{y(n)}(z).
dz
Okazuje si¦, »e powy»sze rozwa»ania s¡ uprawnione. Zachodzi nast¦puj¡cy
wynik:
Fakt 4.
no±ci
R.
Niech
Y (z)
b¦dzie transformat¡
Z
ci¡gu
(y(n)),
o promieniu zbie»-
Wówczas
Z{ny(n)}(z) = −zY 0 (z),
i promie« zbie»no±ci transformaty
Ogólniej, dla
k∈N
Z{ny(n)}
jest równy
zachodzi
Z{nk y(n)}(z) = −z
d k
Y (z),
dz
R.
Transformata Z
gdzie symbol
przez
−z
5
d k
(−z dz
)
oznacza, »e operacj¦ ró»niczkowania po
nale»y powtórzy¢
k
z
i mno»enia
razy.
Przykªad 5.
Z{nan }(z) = −z ·
d z
−a
az
= −z
=
,
2
dz z − a
(z − a)
(z − a)2
i dalej
Z{n2 an }(z) = −z ·
az
a(−z − a)
az(z + a)
d
=
−z
=
.
dz (z − a)2
(z − a)3
(z − a)3
Transformata Z ci¡gu przesuni¦tego w lewo (y(n + k))
Zakªadaj¡c, »e znamy transformat¦
na transformat¦
Z
Z
ci¡gu
(y(n)), znajdziemy
(y(n + 1)).
teraz wzór
ci¡gu przesuni¦tego w lewo
∞
X
∞
∞
X
X
y(n + 1)
y(n + 1)
y(n)
Z{y(n + 1)}(z) =
=z
=z
n
n+1
n
z
z
n=0
n=1 z
n=0
= z Z{y(n)}(z) − y(0) .
Za pomoc¡ prostej indukcji mo»na wykaza¢ poni»szy wynik:
Fakt 5.
no±ci
R.
Niech
Y (z)
b¦dzie transformat¡
Z
ci¡gu
Wówczas dla ka»dej liczby naturalnej
k
(y(n)),
o promieniu zbie»-
zachodzi
Z{y(n + k)}(z) = z k Y (z) − z k y(0) − z k−1 y(1) − · · · − zy(k − 1).
Ponadto, promie« zbie»no±ci transformaty
Z{y(n + k)}
jest równy
R.
Transformata Z ci¡gu przesuni¦tego w prawo (y(n − k))
Zakªadaj¡c, »e znamy transformat¦
na transformat¦
Z
Z
(y(n)), znajdziemy teraz wzór
prawo (y(n − 1)), gdzie y(0 − 1)
ci¡gu
ci¡gu przesuni¦tego w
rozumiemy jako zero.
Z{y(n − 1)}(z) =
=
∞
∞
y(n − 1)
1X
y(n − 1)
1X
y(n)
=
=
n
n−1
z
z n=1 z
z n=0 z n
n=1
∞
X
Z{y(n)}(z)
.
z
Za pomoc¡ prostej indukcji mo»na wykaza¢ poni»szy wynik:
Skompilowaª Janusz Mierczy«ski
6
Fakt 6.
no±ci
R.
Niech
Y (z)
b¦dzie transformat¡
Z
(y(n)),
ci¡gu
Wówczas dla ka»dej liczby naturalnej
Z{y(n − k)}(z) =
k
Y (z)
,
zk
y(0 − 1) = . . . = y(0 − k) = 0.
transformaty Z{y(n + k)} jest równy R.
gdzie zakªadamy, »e
zbie»no±ci
o promieniu zbie»-
zachodzi
Ponadto, promie«
Zastosowania transformaty Z do rozwi¡zywania
równa« ró»nicowych
Rozwa»my zagadnienie pocz¡tkowe


y(n + k) + p1 y(n + k






y(0) = y0 ,
(ZP)
gdzie
− 1) + · · · + pk y(n) = g(n),
.

.

.




y(k
pk 6= 0,
− 1) = yk−1
za±
g(n)
jest ci¡giem takim jak w Twierdzeniu 1.
Nakªadaj¡c na obie strony równania transformacj¦ Laurenta i wykorzystuj¡c
Fakt 5 otrzymujemy wzór na transformat¦
Z
nieznanego rozwi¡zania.
Ostrze»enie
Przy rozwi¡zywaniu równa«
ró»niczkowych liniowych o staªych wspóªczyn-
nikach metod¡ przeksztaªcenia Laplace'a otrzyman¡ funkcj¦ wymiern¡
(b¦d¡c¡ transformat¡ Laplace'a nieznanego rozwi¡zania
na uªamki proste.
Natomiast w przypadku rozwi¡zywania równa«
nie
Y (z)
F (z)/z .
otrzyman¡ funkcj¦ wymiern¡
nieznanego rozwi¡zania
y(n)),
lecz
iloraz
Z
(b¦d¡c¡ transformat¡
Przykªad 6. Znale¹¢ rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego
(3)
y(0) = 2,
y(1) = 0.



liniowych o
na uªamki proste roz-
Przykªad



y(n + 2) + 2y(n + 1) + 2y(n)
Y (s)
rozkªadali±my
ró»nicowych
staªych wspóªczynnikach metod¡ przeksztaªcenia
kªadamy
y(t))
= (−1)n ,
Z
Transformata Z
7
Nakªadamy na obie strony równania transformacj¦ Laurenta
Z{y(n + 2) + 2y(n + 1) + 2y(n)} = Z{(−1)n },
i przeksztaªcamy
(z 2 Y (z) − z 2 · 2 − z · 0) + 2(zY (z) − z · 2) + 2Y (z) =
czyli
(z 2 + 2z + 2)Y (z) − 2z 2 − 4z =
z
,
z+1
z
,
z+1
co daje
Y (z) =
Rozkªadamy
Y (z)/z
2z 3 + 6z 2 + 5z
.
(z + 1)(z 2 + 2z + 2)
na uªamki proste
1
z+3
Y (z)
=
+ 2
,
z
z + 1 z + 2z + 2
zatem
Y (z) =
z 2 + 3z
z
+ 2
.
z + 1 z + 2z + 2
Je±li chodzi o pierwszy skªadnik po prawej stronie, jest to transformata Z
n
ci¡gu (−1) . ›eby zbada¢ drugi skªadnik, rozpocznijmy od zapisania mia2
2
nownika w postaci z − 2az cos ϕ + a , gdzie (dla ustalenia uwagi) a > 0.
√
a to 2.
ϕ = 3π/4.
Oczywi±cie, jedyna mo»liwo±¢ na
√
−2 2 cos ϕ = 2,
na przykªad,
Teraz, za
ϕ
bierzemy k¡t taki, »e
Zapisujemy drugi skªadnik jako kombinacj¦ liniow¡ transformat
√ n
√
3nπ
( 2)n cos( 3nπ
)
i ( 2) sin(
), czyli funkcji
4
4
z(z + 1)
,
+ 2z + 2
z2
z2
z
.
+ 2z + 2
Jedyna mo»liwo±¢ to
z 2 + 3z
z(z + 1)
z
= 2
+2 2
.
2
z + 2z + 2
z + 2z + 2
z + 2z + 2
Ostatecznie, rozwi¡zaniem jest
√
√
y(n) = (−1)n + ( 2)n cos( 3nπ
) + 2( 2)n sin( 3nπ
).
4
4
Z
ci¡gów
Skompilowaª Janusz Mierczy«ski
8
Uwagi terminologiczne
Z
Niekiedy wprowadzone powy»ej przeksztaªcenie
nym przeksztaªceniem
Z,
za± nazw¦ przeksztaªcenie
obustronnego przeksztaªcenia
Z:
dla
z
Z
Z
rezerwuje si¦ dla
∞
ci¡gu (y(n))n=−∞ liczb
nazywamy funkcj¦ Z{y(n)}
obustronnego
zespolonych jego obustronn¡ transformat¡
zmiennej zespolonej
nazywane jest jednostron-
okre±lon¡ wzorem
Z{y(n)}(z) = Y (z) :=
∞
X
n=−∞
y(n)z −n .