Def. 1. Szeregiem • rozbie»ny do ±∞ gdy lim Sn = ±∞ Tw. 1. Je»eli
Transkrypt
Def. 1. Szeregiem • rozbie»ny do ±∞ gdy lim Sn = ±∞ Tw. 1. Je»eli
Def. 1. Szeregiem nazywamy wyra»enie ∞ X an = a1 + a2 + a3 + ..., n=1 an liczb¦ nazywamy n-tym Sn := wyrazem szeregu, a sum¦ n X ak = a1 + a2 + a3 + ... + an k=1 n-t¡ • sum¡ cz¦±ciow¡. Mówimy, »e szereg jest (Sn ) zbie»ny gdy ci¡g jego sum cz¦±ciowych jest zbie»ny do granicy wªa±- ciwej, • rozbie»ny do ±∞ • rozbie»ny gdy lim Sn = ±∞, gdy (Sn ) nie ma granicy (ani wªa±ciwej ani niewªa±ciwej). Je±li szereg jet zbie»ny, to granic¦ ci¡gu sum cz¦±ciowych nazywamy jego sum¡ i oznaczamy ∞ X an (tak samo jak szereg!), czyli n=1 ∞ X an := lim Sn . n=1 Przykªad: 1. Wyznaczy¢ sumy cz¦±ciowe danych szeregów i zbada¢ ich zbie»no±¢: a) ∞ X qn , dla |q| < 1, ∞ X 2n + 3n , 5n n=1 b) n=1 e) ∞ X (−1) n+1 c) ∞ X ln n=1 n , n+1 d) ∞ X 1 , n(n + 1) n=1 . n=1 Tw. 1. Je»eli szeregi ∞ X an i 1. (an + bn ) = n=1 Uwaga 1. Je»eli szereg ∞ X an + n=1 ∞ X bn s¡ zbie»ne, to n=1 n=1 ∞ X ∞ X an ∞ X bn ; 2. n=1 ∞ X can = c n=1 jest zbie»ny, to ∞ X an . n=1 lim an = 0. n=1 fn b¦dzie ∞ X f (n) i Tw. 2 (Kryterium caªkowe zbie»no±ci szeregów). Niech funkcja jemna i nierosn¡ca na przedziale Z [n0 , ∞). Wówczas szereg n=n0 ∞ f (x)dx s¡ jednocze±nie zbie»ne albo rozbie»ne do n0 1 +∞. nieucaªka Wn. 1 (Kryterium zbie»no±ci szeregów harmonicznych rz¦du jest zbie»ny dla p>1 a rozbie»ny dla ∞ X ∞ X 1 , 2n +3 n=1 5 n− 3 , b) n=1 ∞ X n . e n2 n=1 Tw. 3 (Kryterium porównawcze zbie»no±ci szeregów). Niech n ≥ n0 . c) ∞ X 1 , n ln n n=2 0 ≤ an ≤ bn dla Wówczas: 1. Je»eli ∞ X bn ∞ X jest zbie»ny, to szereg n=1 2. Je»eli ∞ X an jest zbie»ny. n=1 an jest rozbie»ny do +∞, to szereg n=1 ∞ X bn √ ∞ X n , n+1 n=1 Wówczas szeregi ∞ X n=1 +∞. bn i ∞ X an n sin n=1 1 , n3 c) an , bn > 0 i lim ∞ X ln n . n2 n=1 an = bn s¡ jednocze±nie zbie»ne lub rozbie»ne do n=1 Przykªad: 4. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a) a rozbie»ny gdy ∞ X n2 + 3n , n4 − n3 n=1 an+1 | = q. an 1 < q ≤ ∞. Tw. 5 (Kryterium d'Alemberta). Niech q<1 ∞ X b) Tw. 4 (Kryterium ilorazowe zbie»no±ci szeregów). Niech jest zbie»ny gdy +∞. jest rozbie»ny do n=1 Przykªad: 3. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a) k > 0. ∞ X 1 np n=1 Szereg p ≤ 1. Przykªad: 2. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a) d) p). lim | ∞ X 2n , n! n=1 Przykªad: 5. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a) Tw. 6 (Kryterium Cauchy'ego). Niech lim p n b) Wówczas szereg c) ∞ X ∞ X nn . (n + 1)n+1 n=1 an n=1 b) |an | = q . ∞ X 1 + 3n , 2n + 4n n=1 ∞ X n! . n n n=1 Wówczas szereg ∞ X an n=1 jest zbie»ny gdy q<1 a rozbie»ny gdy 1 < q ≤ ∞. ∞ 2 X n + 3n n Przykªad: 6. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a) n=1 Tw. lim an = 0 i ci¡g an ∞ X naprzemienny (−1)n+1 an jest 7 (Kryterium Leibniza). Je»eli pewnego n 0 ∈ N, to szereg 2n2 − n n=1 2 , b) ∞ X n10 . en n=1 jest nierosn¡cy od zbie»ny. Def. szereg 2. Mówimy, »e szereg ∞ X ∞ X an jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, gdy zbie»ny jest n=1 |an |. Szereg, który jest zbie»ny ale nie jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, n=1 nazywamy zbie»nym warunkowo. Tw. 8. Je»eli szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, to jest zbie»ny. Przykªad: 7. Zbada¢ zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ i warunkow¡ szeregów: a) ∞ X (−1)n n=1 3 n , n2 + 1 b) ∞ X (−1)n n=1 n . 2n