6. Ruch jednostajnie zmienny.

Ruch jednostajnie zmienny:
Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony) prostoliniowy to taki ruch, którego torem
ruchu jest linia prosta a prędkość w każdej jednostce czasu rośnie (maleje) o tą samą wartość.
Wielkością charakteryzującą ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony) jest przyspieszenie
(opóźnienie) tego ruchu oznaczone przez a.
Przyspieszeniem (opóźnieniem) nazywamy stosunek przyrostu (ubytku) prędkości do czasu
w którym ten przyrost (ubytek) nastąpił.
Przyspieszenie (opóźnienie) to wielkość wektorowa o kierunku i zwrocie wektora równa
różnicy prędkości końcowej i początkowej.
r
r
V0
Vk
s, t
r r r
ΔV = Vk − V0 - przyrost prędkości,
r r
r
ΔV = V0 − Vk - ubytek prędkości
r
r ΔV
ΔV
[a ] = 1 m2
a=
a=
t
s
t
Przyspieszenie (opóźnienie) mówi o ile m/s wzrośnie (zmaleje) w czasie 1 s prędkość ciała.
Przykład
Autobus ruszając z przystanku osiągnął jadąc ruchem jednostajnie przyspieszonym po czasie
5s prędkość 10m/s. Wyznacz przyspieszenie ruchu autobusu.
Dane:
V0 = 0 m / s
Vk = 10m / s
Szukane:
ΔV Vk − V0 10m / s − 0
m
a=
=
=
=2 2
a=?
t
t
5s
s
t = 5s
m
Odp: Przyspieszenie ruchu autobusu wynosi 2 2 .
s
Prędkość i droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym (opóźnionym):
ΔV
⇒ a ⋅ t = Vk − V0 ⇒ Vk = V0 + a ⋅ t - ruch jednostajnie przyspieszony
t
ΔV
a=
⇒ a ⋅ t = V0 − Vk ⇒ Vk = V0 − a ⋅ t - ruch jednostajnie opóźniony
t
a=
1
Wykres prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym (opóźnionym):
V[m/s]
Wykres dla ruchu jednostajnie przyspieszonego
V (t ) = V0 + a ⋅ t
S1
α
Vo
S0
Wykres dla ruchu jednostajnie opóźnionego
V (t ) = V0 − a ⋅ t
0
t[s]
0
Ponieważ prędkość jest liniowa funkcją czasu wykresem prędkości w ruchu
jednostajnie przyspieszonym (opóźnionym) jest linia prosta nachylona do osi czasu pod
kątem, którego tangens równy jest liczbowo wartości przyspieszenia (opóźnienia).
Droga przebyta w czasie rozpędzania się (hamowania) jest liczbowo równa polu
powierzchni zawartemu pod wykresem zależności prędkości od czasu.
sc = s0 + s1
s0 = V0 ⋅ t
⎫
a ⋅t2
⎪
s
=
V
⋅
t
±
0
t ⋅ (Vk − V0 ) t ⋅ t ⋅ a a ⋅ t ⎬
2
s1 =
=
=
⎪
2
2
2 ⎭
2
Wykresy przyspieszenia i drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym i jednostajnie opóźnionym:
a [m/s2]
s [m]
RJP
RJO
0
0
t [s]
RJP
RJO
0
0
t [s]
2
Przykład
Samochód jedzie ruchem jednostajnym z prędkością 10m/s, w pewnej chwili kierowca naciska
pedał gazu i samochód zaczyna poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym z
przyspieszeniem 1,5m/s2. Jaką prędkość osiągnie po 4s rozpędzania się? Jaka drogę w tym
czasie przebędzie?
Dane:
V0 = 10m / s
Szukane:
Vk = ?
a = 1,5m / s 2
t = 4s
s=?
V k = V0 + a ⋅ t
Vk = 10m / s + 1,5m / s 2 ⋅ 4 s = 16m / s
a ⋅t2
s = V0 ⋅ t +
2
1,5m / s 2 ⋅ (4s )
= 52m
2
Odp: W czasie rozpędzania samochód przebył 52m osiągając prędkość 16m/s.
2
s = 10m / s ⋅ 4s +
Przykład
Ciało porusza się wzdłuż jednej prostej ruchem o zmiennej prędkości. Zależność prędkości od
czasu pokazuje poniższy wykres. Oblicz przyspieszenie na poszczególnych etapach ruchu
oraz całkowita drogę jaka przebędzie to ciało.
m
s2
a2 = 0
⎡m⎤
V⎢ ⎥
⎣s⎦
a1 = 1
3
4
3
m
s2
m
a 4 = −2 2
s
s = 13m
a3 = 2
2
4
1
2
1
1
2
3
4
5
6
t [s ]
7
Droga w n-tej sekundzie w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
a ⋅ n2
a ⋅ (n − 1)
∧ s2 =
∧ s n = s1 − s 2
2
2
2
a ⋅ n 2 a ⋅ (n − 1)
a ⋅ n2 ⎡a 2
a
⎤ 2⋅a⋅n a
sn =
−
=
− ⎢ ⋅ n − 2 ⋅ n +1 ⎥ =
− ⇒ s n = ⋅ (2 ⋅ n − 1)
2
2
2
2
2
2
⎣2
⎦
2
V0 = 0 ∧ s1 =
(
)
3
Przykład
Ciało poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonym w 4-tej s od początku ruchu
przebywa drogę 35m. Wyznacz przyspieszenie ruchu, prędkość ciała w końcu 4s i 10s, drogę
przebytą w 5s, a także drogę przebytą wyłącznie w ciągu 2 i 3s.
Dane:
s = 35m
N =4
N =5
Szukane:
a=?
sn = ?
Vk = a ⋅ t = 10
a
2⋅s
2 ⋅ 35
m
= 10 2
⋅ (2 ⋅ n − 1) ⇒ a =
=
2
2 ⋅ n −1 2 ⋅ 4 −1
s
10
10
s n1 = ⋅ (2 ⋅ 2 − 1) = 15m ∧ s n 2 = ⋅ (2 ⋅ 3 − 1) = 25m
2
2
s n = s n1 + s n 2 = 40m
s=
10
m
m
m
m
⋅ 4 s = 40 ∧ s n = ⋅ (2 ⋅ 5 − 1) = 45m ∧ Vk = a ⋅ t = 10 2 ⋅ 10s = 100
2
2
s
s
s
s
Odp: przyspieszenie ruchu wynosi 10m/s2, prędkość ciała w 4s wynosi 40m/s, w 10s wynosi
100m/s, wyłącznie w ciągu 2 i 3s przebyto drogę 40m.
4