CIĄGI FAREYA

CIĄGI FAREYA
Przygotowała: Anna Biedroń
Źródło:
http://mimuw.edu.pl/delta/artykuly/delta201005/2010-05-ciagi.pdf
Co to są ciągi Fareya?
N-ty ciąg Fareya FN to rosnący ciąg liczb
wymiernych z przedziału [0,1], których
mianowniki są nie większe od N.
Przykłady ciągów Fareya:
F2 to: 0 , 1 , 1
1 2 1
F3 to:
0 1 1 2 1
, , , ,
1 3 2 3 1
I tak dalej…
Jak powstaje ciąg Fareya?
Bazując na informacjach umieszczonych w
artykule, pokażę w jaki sposób szybko wypisać
wszystkie ułamki z przedziału [0,1] o
mianownikach nieprzekraczających 8.
Cała ta technika opiera się bowiem na prostym
schemacie.
Schemat generowania listy
ułamków
1. Zaczynamy od listy zaczynającej się z dwóch
ułamków 10 i 11
2. Następnie między każde dwa kolejne ułamki
wstawiamy ułamek o liczniku będącym sumą
ich liczników oraz mianowniku będącym
sumą ich mianowników.
3. Proces ten powtarzamy w kółko aż nie
będziemy mogli wstawić już żadnego ułamka
o odpowiednio małym mianowniku.
Tworzenie ciągu Fareya – F8
Zaczynamy zatem, zgodnie ze schematem od
1
oraz 1 . Pomiędzy nimi wstawiamy ułamek:
0 1 1
0 1 1
, , .
  . Mamy więc już:
1 1
0
1
1 2 1
2
0
1
2
3
1
2
1
3
Teraz między a wstawiamy , a między
wstawiamy .
Mamy już: 0 , 1 , 1 , 2 , 1 .
1 3 2 3 1
1
2
i
1
1
Tworzenie ciągu Fareya – F8
Dalej, korzystając ze schematu, otrzymujemy:
0 1 1 2 1 3 1
, , , , , , .
1 4 3 5 2 5 1
Następnie znowu korzystając ze schematu
będziemy mieć:
0 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 5 2 5 3 4 1
, , , , , , , , , , , , , , , , .
1 5 4 7 3 8 5 7 2 7 5 8 3 7 4 5 1
Liczymy tak dalej aż do momentu, gdy (zgodnie
ze schematem generowania ciągu) nie będziemy
mogli wstawić już żadnego ułamka o
odpowiednio małym mianowniku (w naszym
przypadku o mianowniku 8).
Tworzenie ciągu Fareya – F8
Stąd też, chcąc wypisać wszystkie ułamki z
przedziału
[0,1]
o
mianownikach
nieprzekraczających 8, otrzymujemy ciąg Fareya,
który wygląda następująco:
0 1 1 1 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 5 2 5 3 4 5 6 7 1
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .
1 8 7 6 5 4 7 3 8 5 7 2 7 5 8 3 7 4 5 6 7 8 1
Interpretacja geometryczna
y
x
Każdy ułamek
(x,y ≥ 0) będziemy
utożsamiać z punktem (x,y) lub z wektorem o
początku w punkcie (0,0), a końcu w punkcie
(x,y). Stąd też, przedstawiając każdy ułamek w
ten sposób, można porównywać ułamki przez
sprawdzenie nachylenia odpowiadających im
wektorów względem osi x.
Interpretacja geometryczna
Stąd też, wektorowi (1,0) będziemy
0
przyporządkowywać ułamek 1 , natomiast
1
wektorowi (1,0) – ułamek 0 odpowiadający
nieskończoności.
Punkt prymitywny
Mówimy, że punkt (x,y) ∈ Z2 jest punktem
prymitywnym jeżeli NWD(x,y) = 1.
Jeśli punkt jest prymitywny, to na odcinku
łączącym punkty (0,0) oraz (x,y) nie znajduje
się żaden inny punkt o współrzędnych
całkowitych.
Ułamkom nieskracalnym odpowiadają punkty
prymitywne.
Interpretacje geometryczna
Geometryczna interpretacja generowania ciagu
Fareya rzędu n wygląda następująco:
1. Na początku rysujemy wektory (1,0) oraz (1,1).
2. Następnie między dwa kolejne wektory
wstawiamy wektor będący ich sumą.
3. Powtarzamy tę czynność do momentu aż
możemy wstawić wektor o współrzędnej x
nieprzekraczającej przyjętego n.
4. W ten sposób jesteśmy w stanie znaleźć
wszystkie punkty prymitywne w trójkącie
ograniczonym osią x oraz prostymi: y=x i x=n.
Jak udowodnić poprawność tej
metody?
Przedstawię zarys dowodu, jaki należy
przeprowadzić.
1. Najpierw musimy wprowadzić dwa pojęcia:
kraty oraz ćwierćkraty.
2. Należy sprawdzić pełność ćwierćkraty, która
sprowadza się do sprawdzenia pełności kraty.
3. Musimy także udowodnić stwierdzenie o
związku kraty pełnej z punktem prymitywnym.
4. W tym momencie można już udowodnić
poprawność metody generowania listy ułamków.
Dziękuję za uwagę!