2. Elektrony i dziury w półprzewodnikach

2. Elektrony i dziury w półprzewodnikach
1
BIIICVI2
Związki półprzewodnikowe: 8 walencyjnych elektronów na walencyjnym orbitalu cząsteczkowym
2
Krzem i german
1s22s22p63s23p2
14 elektronów
1s22s22p63s23p63d104s24p2
32 elektrony
3
Pasma energetyczne w ciałach stałych
Poziomy energetyczne
w pojedynczym atomie
oddziaływanie z elektronami na
sąsiednich atomach (zakaz Pauliego)
rozszczepienie poziomów w pasma
liczba poziomów w paśmie: (2l+1)*Natomów
4
Rozszczepienie poziomów energetycznych w ciele stałym cd
energia
puste
poziomy energetyczne w atomie
wypełnione
pasmo przewodnictwa
pasmo walencyjne
wypełnione
pasma w ciele stałym
5
Związki półprzewodnikowe
III-V
GaN
GaP
GaAs
GaSb
Małe atomy
Eg [eV]
3.4
2.25
1.52
0.81
mniejsza stała sieci
II-VI
ZnS
ZnSe
ZnTe
CdTe
HgTe
Eg [eV]
3.54
2.7
2.25
1.56
-0.01
2+6=3+5=8
Zamknieta powłoka walencyjna
silniejsze oddziaływanie
większa przerwa energetyczna
6
Rodzaje struktury ciał stałych
7
Symetria translacyjna
R =n1 a1 + n2 a2 + n3 a3
Komórka elementarna
podstawowa cegiełka, może
zawierać więcej niż jeden atom
Komórka prosta
wyznaczona przez wektory a1, a2, a3
Np. sieć regularna przestrzennie centrowana
8
Opis kwantowy elektronu w sieci periodycznej
Elektron w pustej przestrzeni
− h2 2
Δ Ψ = EΨ
2m
Ψ k = Ae
rr
ik r
2π
λ
h hk
p= =
= hk
λ 2π
k≡
relacja de Broghlie’a
Elektron w potencjale periodycznym
r r
r
− h2 2
Δ Ψ + UΨ = EΨ
U(r ) = U(R + r )
2m
rr
r
r
ik r
uk(r) = uk(r+R)
Ψ(r ) = Ψ(R + r)
⇒ Ψ k = uk(r)e
Funkcja Blocha – funkcja falowa
opisująca elektron w polu periodycznym, k - wektor quasi-falowy
odpowiada quasi-pędowi elektronu
wektor k określa stan elektronu
p=ħk
W idealnej sieci bez zewnętrznych zaburzeń elektron ma stały quasi-pęd: k=const
9
Zależność E(k) to ekwiwalent zależności E(p)!
E(k) dla elektronu w periodycznej
sieci
Periodyczność w przestrzeni:
x=x+a:
Ψ= uk(x)eikx = uk(x+a)eik(x+a)
periodyczność quasi-pędu:
k=k+2π
π/a
Ψ= uk(x)eikx = uk+2π/a(x)ei(k+2π/a)x
E(k) dla swobodnego
elektronu
E(k)=E(k+2π
π/a)
Energia elektronu w periodycznej sieci
jest periodyczną funkcją pędu (czyli k)
Ograniczony zakres quasi-pędu
(-π/a, π/a)
wystarczy żeby w pełni opisać elektron
I strefa Brillouine’a
-π/a
0
π/a
-π/a
π/a
k
10
Struktura elektronowa półprzewodników
swobodny elektron w próżni:
elektron w sieci
periodycznej w pobliżu
ekstremów
p2
E(p) =
2m
p2
h 2k 2
E(p) =
=
2m * 2m *
m* - masa efektywna elektronu w pasmie
r
r
Prędkość translacyjna elektronu v =
hk
m*
E(k)
Pasmo
przew
k
Pasmo
walenc
Dynamika elektronu:
r
r
r
r
dp
dk
dv
= h
= m *
= F zew
dt
dt
dt
m* ≠ me- uwzględnia odziaływanie elektronu
z siecią
11
Model Kroniga-Penneya (słabo związany elektron)
− h2
ΔΨ = EΨ
0<r<a
2m
− h2
ΔΨ + U oΨ = E Ψ − b < r < 0
2m
Ψ1 = Ae ikx + Be − ikx , k =
2 mE
h2
Ψ1 = Ae κx + Be − κx , κ =
2 m( U o − E )
h2
Ψ ( x ) = U ( x )e iKx
Uo→∞ i b → 0 tak, że Uob → const
12
Model Kroniga-Penney’a - rozwiązania
jeśli Uo→∞ i b → 0 tak, że Uob → const
warunek na dozwolone poziomy energetyczne
sin ka
+ cos ka = cos Ka
ka
ma
P = 2 bU o
h
P
P=3
ka
Elektrony i dziury
generacja termiczna pary elektron-dziura
-
pasmo przewodnictwa
EF
+
pasmo walencyjne
CB
CB
VB
VB
CB
VB
CB
VB
14
Dziura w pasmie walencyjnym
Ee
h 2k 2
= Ec +
2m e *
Eh
h 2k 2
= Ev +
2mh *
ładunek dziury = -(ładunek elektronu)
kh = -kev
Eh = -Eev
15
Przerwa prosta i przerwa skośna
przerwa prosta
GaAs, CdS, CdSe, ZnS,
InSb, HgTe, GaN
przerwa skośna
Si, Ge, GaP, AlAs
16
Struktura pasmowa - przykłady
Si
K
Przerwa prosta
GaAs
k
wave vector k
k
Przerwa skośna
17
Półprzewodniki mieszane (roztwory stałe)– Hg1-xCdxTe
Zastąpienie części atomów związku atomami o tej samej liczbie
elektronów walencyjnych – regulacja szerokości przerwy energetycznej
18
Półprzewodniki mieszane – AlxGa1-xAs
GaAs
Al0.5Ga0.5As
AlAs
19
Koncentracja swobodnych elektronów w paśmie przewodnictwa
i dziur w pasmie walencyjnym
Zależy od tego
ile jest stanów w paśmie - gęstość stanów - g(E)
jakie jest prawdopodobieństwo że elektron ma energię E - f(E)
20
Prawdopodobieństwo - rozkład Fermiego-Diraca
prawdopodobienstwo f(E)
kBT
T =0K :
fe (E) = 1 dla E < EF
1.0
T=0
T1>0
0.5
T2>T1
0.0
EF
energia E
EF- poziom Fermiego, f(EF) = ½
fe (E) = 0 dla E >EF
T > 0K
fe (E) =
1
 E −EF 
1+ exp 

 kBT 
21
Koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa
n(E)dE = f e(E)g e(E)dE
∞
n = ∫ n( E )dE
Ec
22
Koncentracja swobodnych elektronów i dziur
w równowadze termodynamicznej, półprzewodnik samoistny
Pasmo
Walencyjne
T=0 K
brak elektronów w paśmie
przewodnictwa i dziur w p.
walencyjnym
 - (Ec − EF ) 
n = Nc exp

 k BT 
Pasmo
Walencyjne
Pasmo
Walencyjn
T>0
Im wyższa temperatura, tym większe
prawdopodobieństwo pojawienia się swobodnego
elektronu w pasmie przew. i dziury w pasmie
walencyjnym
 - (EF − E v ) 
p = Nv exp

 kBT

Nc, Nv – efektywne gęstości stanów w pasmach ~1019 cm-3
23
Półprzewodnik samoistny
Poziom Fermiego w półprzewodniku samoistnym:
n=p
m * 
EF = ½E g + ¾k B Tln  h  ≈ ½E g
m *e 
 E 
np = ni2 = Nc Nv exp− g 
 k BT 
ni - koncentracja nośników samoistnych
np = ni2 zawsze w warunkach równowagi termodynamicznej!
Eg
ni (300 K)
~0.25 eV
1016 cm-3
InSb,PbSe
~1 eV
1010 cm-3
Ge, Si, GaAs
~4 eV
<1010 cm-3
ZnS, SiC, GaN
24
Swobodne elektrony i dziury
Półprzewodnik samoistny
T=0K
T>0K
n=p: poziom EF w srodku przerwy energetycznej
Samoistna koncentracja swobodnych nosników zalezy od T i Eg
 − Eg 
 − Eg 
n = p = ni = N c N v exp 
 ≈ N c ,v exp 

2
k
T
k
T
 B 
 B 
Eg ≅ 1 eV :
ni ≅ 1010 cm-3 ( j = nev=10−7- 10-9 Α/mm2)
25
Domieszkowanie – typ p i n
Przykład - krzem
Sb – donor (5 elektronów walencyjnych)
B – akceptor (3 elektrony walencyjne)
26
Donory i akceptory
poziom donorowy
Ea
poziom akceptorowy
Żeby zjonizować atom domieszki i stworzyc elektron swobodny wystarczy
znacznie mniejsza energia w stosunku do energii potrzebnej do uwolnienia
elektronów tworzących wiazania kowalencyjne.
Energia jonizacji donora lub akceptora = płytki poziom energetyczny
Ed , Ea < 100 meV, zwykle 10-50 meV
27
Typ n
Typ p
Temperatura pokojowa
Ed
EF
++++++++++
swobodne elektrony
zjonizowane donory
EF
Ea
n=Nd
n=Ncexp{-(Ec-EF)/kBT}
Nośniki większościowe
EF blisko krawedzi p. przew
p=ni2/Nd << n
Nośniki mniejszościowe
zjon. akceptory
+ + + + + + + + + swobodne dziury
p=Na
p=NVexp{-(EF-EV)/kBT}
EF blisko krawedzi p. walenc.
n=ni2/Na << p
1 atom na milion zastapiony przez domieszkę
koncentracja nośników wiekszościowych 1016 cm-3 >> ni
koncentracja nośników mniejszościowych 104 cm-3 << ni
28
Koncentracja elektronów w pasmie przewodnictwa
w funkcji temperatury (półprzewodnik domieszkowany)
niskie T – stopniowa
jonizacja domieszek
NcNd
n=
exp( −Ed /2k BT)
2
tgα1 =
tgα 2 =
pośrednie T –
wszystkie domieszki
zjonizowane
Ed
2k B
Eg
2k B
n=Nd
wysokie T – dominuje
uwalnianie elektronów z
wiązań kowalencyjnych
Nd<<n, EF ≅ Eg/2
nośniki mniejszościowe:
p=ni2/n<<ni
29
Kryształ idealny a kryształ realny
Kryształ idealny:
quasi-pęd elektronu hk
k=const
F = 0 v=hk
k/m* = const dla małych k (prędkość translacyjna)
Vsr=(3kBT/m*)1/2
Zaburzenia idealnej sieci:
•drgania sieci (fonony optyczne i akustyczne)
•defekty punktowe
a) samoistne (luki, atomy międzywęzłowe
defekty przestawieniowe np. GaAs)
b) domieszki intencjonalne i zanieczyszczenia
•defekty liniowe - dyslokacje
30
Swobodne elektrony i dziury w polu elektrycznym
r
r
r
r
r d( h k )
dk
dv
F = eΕ =
=h
= m*
dt
dt
dt
Zderzenia z niedoskonałościami sieci
•średnia droga swobodna l
•średni czas pomiędzy zderzeniami τ
vav
F = eE
τ
v(t) = eEt/m*
prędkość dryfu vd = <v>=eE τ /m* = µE
µ = vd/E = e τ /m* ruchliwość
Vd<<VT
31
Gęstość prądu
j =e nvd
mikroskopowe prawo Ohma:
j=σE
(porównaj I=U/R)
Przewodnictwo: σ = enµe
µe=vd /E stała materiałowa
przewodnictwo bipolarne:
σ=e(nµe+pµh)
32
Prąd unoszenia i prąd dyfuzji
j = ne μ E + eD ∇ n
k T
wzór Einsteina
D= B μ
e
Stała dyfuzji
to
to
t > to
n(x)
n(x)
E
t > to
x
dyfuzja
x
dryf (unoszenie) -elektrony
33
Generacja i rekombinacja
G - szybkość generacji nośników (termiczna, optyczna)
R - szybkość rekombinacji (promienista, niepromienista)
wzrost i zanik nierównowagowej koncentracji elektronów i dziur pod wpływem np. oświetlenia:
n = n0 + ∆n
p = p0 + ∆p
∆n = ∆p
dn dp
=
=G−R
dt dt
∆n ∆p
R=
=
τ
Δn(t) = Gτ [1 − exp ( − t/τ )]
Δn(t) = Gτ exp ( − t/τ )
τ
τ= tu czas życia nierównowagowych nośników
(a nie czas pomiedzy zderzeniami jak w µ)
34
Droga dyfuzji
 x
E = 0 : Δn = no exp− 
 Ln 
droga dyfuzji L n = Dn τ n
LD – odległość na jaką może przemieścić się nierównowagowy nośnik swobodny
w nieobecności pola elektrycznego zanim ulegnie rekombinacji
35
Ważne
•atomowe (cząsteczkowe) poziomy energetyczne rozszczepiają się w pasma w ciele stałym
• najwyższe obsadzone pasmo w półprzewodnikach – pasmo walencyjne, najniższe puste pasmo
przewodnictwa
• półprzewodnikowe roztwory stałe – sposób na regulację Eg
• wektor falowy k jest wprost proporcjonalny do quasi-pędu elektronu (dziury); w idealnym krysztale
wektor falowy elektronu i jego energia jest funkcją periodyczną. Okres periodyczności wektora k to 2π/a
(I strefa Brillouine’a)
• nośniki prądu – swobodne elektrony w pasmie przewodnictwa i dziury w pasmie walencyjnym
• w okolicach ekstremów E(k) –energia kinetyczne w funkcji pędu - jest parabolą jak dla elektronu
swobodnego, ale masa różna od masy elektronu swobodnego – masa efektywna, ta masa
charakteryzuje elektron (dziurę) pod działaniem siły zewnętrznej
• przerwa prosta ((GaAs, InP) max pasma walenc i minimum przew dla k=0; skośna (Si, Ge) –
minimum p .przew dla k≠0
• koncentracja swobodnych dziur i elektronów w warunkach równowagi termodynamicznej jest określona
funkcją Fermiego-Diraca
- w półprzew. samoistnym zalezy od Eg i temperatury i jest b mała
- w półprzew domieszkowanym powyżej 100-200 K jest równa konc. donorów (akceptorów)
• przewodnictwo elektryczne zależy od koncentracji swobodnych nośników i ich ruchliwosci; ruchliwość
elektronu (dziury) zależy od średniego czasu między zderzeniami z niedoskonałościami sieci (defekty,
fonony)
• nierównowagowa koncentracja nośników zależy od szybkości generacji (np. optycznej) i rekombinacji
(zależnej od czasu życia nierównowagowych nośników)
•prąd dyfuzji i unoszenia – jeden związany z nierównomiernym rozkładem koncentracji n i p, drugi z
polem elektrycznym