Kierunek Matematyka

Kierunek Matematyka
Tematy do egzaminu dyplomowego na studiach I stopnia, kierunek Matematyka.
Algebra Liniowa
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Zasadnicze twierdzenie algebry i rozkład wielomianu na czynniki.
Układy równań liniowych i przestrzenie ich rozwiązań.
Przekształcenia liniowe, obraz i jądro.
Wartości i wektory własne przekształceń liniowych i macierzy.
Formy kwadratowe oraz ich sprowadzanie do postaci kanonicznej.
Przestrzenie z iloczynem skalarnym, ortogonalizacja bazy.
Analiza Funkcjonalna
1.
2.
3.
Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha.
Funkcjonały liniowe i przestrzenie dualne.
Operatory liniowe.
Analiza Matematyczna
1.
2.
3.
Indukcja matematyczna
Zbiór liczb rzeczywistych: aksjomatyka i wybrane własności.
Pochodne funkcji jednej zmiennej rzeczywistej: twierdzenia o wartości średniej, twierdzenie Taylora,
zastosowania rachunku różniczkowego.
4. Całka nieoznaczona i nieoznaczona: metody całkowania różnych klas funkcji elementarnych., wzór
Newtona-Leibniza, twierdzenia o wartości średniej dla całek, funkcja górnej granicy całkowania i jej
własności, Całka Riemanna-Stieltjesa.
5. Szeregi liczbowe
6. Ciągi i szeregi funkcyjne. Szeregi Fouriera
7. Równania różniczkowe zwyczajne.
8. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
9. Funkcje wielu zmiennych o wartościach wektorowych.
10. Całka wielokrotna, krzywoliniowa i powierzchniowa.
Topologia
1. Ciągłość funkcji z jednej przestrzeni metrycznej w druga:
a) ciągłość w punkcie, ciągłość globalna - równowazne definicje,
b) ciągłość jednostajna,
c) równoważność i jednostajna równoważność metryk.
2.
Zwartość przestrzeni metrycznych:
a) równoważne definicje zwartości przestrzeni lub zbioru,
b)własności funkcji ciągłych na przestrzeniach zwartych,
c) Zwartość przestrzeni produktowych
Teoria Miary
1. Sigma-ciala:
a) ciała, pierścienie, rodziny monotoniczne,
b) równoważne definicje sigma-ciała,
c) sigma-ciało zbiorów borelowskich.
2. Miary nieujemne przeliczalnie addytywne:
a) definicja, rożne przykłady miar, miary skończone a nieskończone
b) ciągłość z dołu, ciągłość z góry, równoważna definicja
miary z użyciem tych pojęć,
c) konstrukcja miary poprzez miarę zewnętrzną.
3. Miara Lebesgue'a na prostej:
a) definicja miary Lebesgue'a
b) pojecie regularności miary, regularność miary Lebesgue'a
c) niezmienniczość miary na przesunięcia, definicja
miary Lebesgue'a z zastosowaniem pojęcia niezmienniczości
4.
5.
Abstrakcyjna całka - definicja, podstawowe własności
Przestrzenie produktowe
a) Sigma-ciala produktowe
b) Mierzalność produktowa zbioru, a mierzalność cięć
c) Miary produktowe i Twierdzenie Fubiniego
Rachunek Prawdopodobieństwa
1.
2.
3.
4.
5.
Typy rozkładów prawdopodobieństwa i przykłady doświadczeń losowych opisywanych takimi
rozkładami.
Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych i ich rozkładów.
Funkcje charakterystyczne jako przykład wykorzystania metod analizy w rachunku
prawdopodobieństwa.
Prawa Wielkich Liczb i Centralne Twierdzenie Graniczne.
Warunkowa wartość oczekiwana, jej własności i obliczanie E(X | Y).
Statystyka matematyczna
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Statystyki dostateczne rozkładów zupełne.
Metody konstrukcji estymatorów. Własności estymatorów największej wiarogodności.
Estymatory dopuszczalne, estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji, estymatory efektywne.
Estymacja przedziałowa.
Lemat Neymana-Pearsona. Testy jednostajnie najmocniejsze.
Testy oparte na ilorazie wiarogodności.
Testy jednorodności i zgodności.