Teoria miary

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot wybieralny kierunkowy 1
Przedmiot: TEORIA MIARY
Rok studiów:
Semestr:
II
3
ECTS: 5
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
30
30
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Wstęp do matematyki
Założenia i cele przedmiotu
Zapoznanie z podstawowymi pojęciami teorii miary ze szczególnym naciskiem na teorię miary
Lebesgue’a. Przedstawione będą metody konstrukcji miar, przykłady i podstawowe własności miar.
Metody dydaktyczne
Wykład teoretyczny z wykorzystaniem środków technicznych do prezentacji omawianych zagadnień
oraz ćwiczenia audytoryjne z aktywnym udziałem studentów.
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Kolokwia w ramach ćwiczeń, egzamin pisemny i ustny.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Klasy podzbiorów danego niepustego zbioru
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Półpierścień, pierścień,  -pierścień, ciało,  -ciało, rodziny monotoniczne, klasy generowane
przez rodziny zbiorów.
Funkcje zbiorów
Funkcja monotoniczna, póładdytywna,  -póładdytywna, addytywna,  -addytywna, własności.
Miary zewnętrzne, miary
Przestrzenie z J-miarą zewnętrzną, J-miarą, miarą zewnętrzną, miarą, generowanie J-miar i miar
zewnętrznych, generowanie J-miar i miar.
Zbiory miary zero
Operacje nad przestrzeniami z funkcją zbiorów
Iloczyny J-miar, iloczyny miar, odwzorowania przestrzeni z funkcją zbiorów, przenoszenie miary,
zawężenie miary.
n
Miary Jordana i Lebesgue’a w R
Zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a
Zbiory borelowskie, translacja jako odwzorowanie niezmiennicze w przetrzeni z miarą
Lebesgue’a, izometria jako odwzorowanie niezmiennicze, odwzorowania afiniczne przestrzeni z
miarą Lebesgue’a.
8. Miara i całka Stieltiesa
Ćwiczenia audytoryjne
1. Klasy podzbiorów danego niepustego zbioru
Przypomnienie pojęć z topologii: pokrycie otwarte, zbiory przeliczalnie zwarte, Sprawdzanie
własności rodzin podzbiorów danego zbioru.
2. Funkcje zbiorów
Przykłady funkcji zbiorów i sprawdzanie ich własności.
3. Miary zewnętrzne, miary
Przykłady J-miar i miar zewnętrznych, J-miar i miar, generowanie z danej przestrzeni z funkcją
zbioru przestrzeni z miarą zewnętrzną oraz przestrzeni z miarą
4. Zbiory miary zero
Własności zbiorów miary zero, przykład zbioru miary zero dla którego funkcja zbiory przyjmuje
wartość dodatnią, sprawdzanie własności zbiorów miary zero w przestrzeniach z miarami
zewnętrznymi, miarami.
5. Operacje nad przestrzeniami z funkcją zbiorów
n
Konstruowanie iloczynu J-miar, miar, budowanie J-miary i miary w przestrzeni R , przykłady
przenoszenia miar.
n
6. Miary Jordana i Lebesgue’a w R
Przybliżenie pojęć przedstawionych na wykładzie takich jak przedział, przedział domknięty,
zdegenerowany, odległość zbiorów, średnica zbioru, domknięcie i brzeg zbioru na przykładzie
zbioru liczb wymiernych w przedziale <0,1> oraz konstrukcji miar.
7. Zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a
Rodziny G oraz F , omówienie własności zbiorów: Vitaliego oraz Cantora, przykłady zbiorów
jednowymiarowej miary dodatniej nie zawierających żadnego przedziału niezdegenerowanego,
n
rozszerzenie miary Lebesgue’a w R do miary, która nie jest niezmiennicza względem translacji,
badanie wpływu odwzorowań na miary.
8. Miara i całka Stieltiesa
Przybliżenie pojęć z wykładu, sprawdzanie mierzalności zbiorów w sensie Lebesgue’a i
Lebesgue’a-Stieltiesa.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1983
[2] J. Muszyński, Teoria całki, miara i całka, PWN, Warszawa 1990
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973,
[2] J. Myjak, funkcje rzeczywiste, miara i całka Lebesgue’a, AGH, Kraków 2006,
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
dr Mariusz JUŻYNIEC
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK