spis treści

5
SPIS TREŚCI
Wykaz najważniejszych symboli i skrótów ................................................
9
Wstęp ............................................................................................................. 11
Rozdział 1. Metodologiczna teoria pomiaru ................................................
1.1. Wprowadzenie ....................................................................................
1.2. Nierozróżnialność ...............................................................................
1.3. Przejawy wielkości .............................................................................
1.4. Uporządkowanie cech ........................................................................
1.4.1. Określalność ilościowa .............................................................
1.4.2. Uporządkowanie zbioru przejawów .........................................
1.5. Poziomy standardowe .........................................................................
1.5.1. Struktury poziomów standardowych ........................................
1.5.2. Wymiary struktur poziomów standardowych ...........................
1.5.3. Funkcja skali i funkcja miary ...................................................
1.6. Modele ................................................................................................
1.6.1. Modelowanie systemu ..............................................................
1.6.2. Zachowywanie działań .............................................................
1.6.3. Transformacje ...........................................................................
1.6.4. Twierdzenie o reprezentacji ......................................................
1.6.5. Model standardowy wielkości z użyciem funkcji abstrakcji ....
18
18
19
20
23
23
24
26
27
28
28
29
29
30
30
31
32
Rozdział 2. Elementy matematycznej teorii miary (MTM) .......................
2.1. Wprowadzenie ....................................................................................
2.2. σ-ciała .................................................................................................
2.3. O zbiorach borelowskich ....................................................................
2.3.1. Pojęcie topologii .......................................................................
2.3.1.1. Definicja topologii .......................................................
2.3.1.2. Definicja przestrzeni topologicznej .............................
2.3.2. Pojęcie przestrzeni metrycznej .................................................
2.3.3. Prezentacja zbiorów borelowskich ...........................................
2.3.3.1. σ-systemy i δ-systemy oraz rodziny σ-addytywne
i δ-multiplikatywne .....................................................
2.3.3.2. Zbiory borelowskie na prostej .....................................
2.3.3.3. Zbiory borelowskie w przestrzeni Rn ..........................
2.4. Funkcja miary .....................................................................................
2.4.1. Funkcja miary w ogólnej teorii miary i całki ............................
35
35
38
41
42
43
43
45
46
46
54
56
56
56
6
2.4.2. Przykłady miar .........................................................................
2.4.3. Własności miary ......................................................................
2.4.4. Miara Jordana i miara Lebesgue’a ...........................................
2.4.4.1. Miara Jordana .............................................................
2.4.4.2. Miara Lebesgue’a .......................................................
2.4.4.3. Miara Lebesgue’a zbiorów liniowych, miara
Lebesgue’a na prostej .................................................
2.4.4.4. Miara Lebesgue’a w Rn ..............................................
2.4.5. Generowanie miary (uzupełnienie miary niezupełnej) ............
2.4.6. Całka i historia jej konstrukcji .................................................
2.4.6.1. Uwagi o pojęciu całki .................................................
2.4.6.2. Całka Lebesgue’a .......................................................
2.5. Cecha mierzalności ............................................................................
2.5.1. Zbiory mierzalne .....................................................................
2.5.2. Zbiory niemierzalne .................................................................
2.5.2.1. Zbiory niemierzalne na prostej - zbiór Vitaliego ........
2.5.2.2. O zbiorach niemierzalnych polowo i wyższych
wymiarów ...................................................................
2.5.3. Klasa funkcji mierzalnych a klasa funkcji ciągłych ................
2.5.3.1. Klasa funkcji ciągłych ................................................
2.5.3.2. Własności topologiczne przestrzeni ...........................
2.5.3.2.1. Zwartość .....................................................
2.5.3.2.2. Spójność .....................................................
2.5.3.2.3. Continua .....................................................
2.5.3.2.4. Hausdorffowość .........................................
2.5.3.2.5. Zwartość na usługach ciągłości
- odwracalność odwzorowań ciągłych ........
2.5.3.2.6. Topologia ilorazowa ...................................
2.5.3.3. Klasa funkcji mierzalnych ..........................................
2.5.3.4. Klasa funkcji mierzalnych a klasa funkcji ciągłych
i ich szczegółowy związek .........................................
2.6. Homeomorfizmy jako kategorie przekształceń .................................
2.6.1. Przekształcenia ........................................................................
2.6.2. Homeomorfizmy ......................................................................
2.6.3. Przykłady homeomorfizmów ..................................................
2.6.4. Niezmienniki topologiczne zbiorów ........................................
2.6.5. Izometryczność a homeomorficzność, niezmienniki
geometryczne a topologiczne ..................................................
2.6.6. Homeomorficzność w stosunku do miary ...............................
2.6.7. Transport mas przykładem transformacji ................................
2.6.8. Zmienne losowe jako przykład transformacji ..........................
2.7. Rozmaitości topologiczne .................................................................
59
63
63
63
65
66
71
74
74
75
77
79
79
81
82
84
85
85
86
86
88
89
90
91
91
92
94
95
96
97
98
100
101
102
102
103
104
7
Rozdział 3. Procedury pomiarowe i dziedziny operacji metrycznych .....
3.1. Empiryczne procedury pomiarowe i ich prezentacja .........................
3.1.1. Sumy fizyczne między wielkościami i wielkości addytywne ..
3.1.2. Funkcja pomiarowa .................................................................
3.1.3. Pomiar właściwy .....................................................................
3.1.4. Pomiar relatywny i interwałowy ..............................................
3.1.5. Procedury pomiarowe w ujęciu innych autorów ......................
3.2. Własności metodologiczne procedur pomiarowych ..........................
3.2.1. Struktura uniwersum pomiaru .................................................
3.2.1.1. Uniwersum metrologiczne a uniwersum
matematyczne .............................................................
3.2.1.2. Inne propozycje określenia uniwersum pomiarowego
3.2.1.2.1. Mereologia .................................................
3.2.1.2.2. Czasoprzestrzeń i jej ontologia, ewentyzm
a punktyzm .................................................
3.3. Prezentacja partykularnych procedur pomiarowych ..........................
3.3.1. Długość jako jednowymiarowa wielkość empiryczna .............
3.3.1.1. Analityczny model długości oparty
na geometrii absolutnej ..............................................
3.3.1.2. Definicje długości .......................................................
3.3.1.3. Empiryczny model długości .......................................
3.3.2. Masa jako dwuwymiarowa wielkość fizyczna ........................
3.3.3. Prawdopodobieństwo i jego empiryczność jako cecha miary .
3.4. Dziedziny operacji metrycznych w procedurach pomiarowych
a wstępna ocena mierzalności ............................................................
3.4.1. Dziedziny operacji metrycznych w ujęciu K. Ajdukiewicza
i innych autorów ......................................................................
3.4.2. Niektóre problemy powstające przy określaniu dziedziny
operacji pomiarowych .............................................................
3.4.3. „Wzgląd”, czyli klasyfikacja jako istota pomiaru
na poziomie nominalnym ........................................................
3.4.4. Pomiar jako system, procedura i układ ....................................
3.4.5. Co możemy mierzyć, czyli zakres dziedziny
operacji pomiaru, próba podsumowania ..................................
107
107
110
112
115
117
120
128
128
130
131
131
131
134
134
134
139
140
143
153
154
155
159
162
164
167
Rozdział 4. Zbudowanie modelu pomiaru (wielkości fizycznych)
na podstawie matematycznej teorii miary ............................................ 168
4.1. Stany fizyczny i matematyczny i relacje je łączące,
czyli od świata matematycznego do fizycznego ................................ 168
4.1.1. Przeniesienie własności fizycznych na matematyczne
za pomocą homeomorfizmu, ustalone na rozmaitości
topologicznej ........................................................................... 168
8
4.1.2. Metrologiczna funkcja przetwarzania - funkcja stanu
w pośrednictwie relacji świata fizycznego i matematycznego
4.1.3. Topologizacja przestrzeni fizycznej ........................................
4.1.4. Definicje pomostowe, wyrażające założenia teoretyczno-empiryczne przy odwzorowaniu homeomorficznym
między przestrzeniami fizyczną i matematyczną ....................
4.1.5. Założenia teoretyczno-empiryczne przy zastosowaniu
rozmaitości topologicznej; relacja między światem
fizycznym a matematycznym ..................................................
4.2. Cecha mierzalności ............................................................................
4.2.1. Klasa zbiorów (przedmiotów) mierzalnych określona
przez procedury pomiarowe ....................................................
4.2.2. Niemierzalność w sensie fizyczno-empirycznym ....................
4.2.3. Przykład zbioru niemierzalnego w świecie wielkości
fizycznych (przeniesienie zbioru Vitaliego na przestrzeń
przejawów) ..............................................................................
4.2.4. Mierzalność i niemierzalność na przykładzie długości ...........
4.2.4.1. Zbiory borelowskie dla długości ................................
4.2.4.2. σ-ciało zbiorów mierzalnych dla długości .................
4.2.4.3. Miara długości w stosunku do miary Lebesgue’a ......
4.2.4.4. Wnioski o założeniach pomostowych otrzymane
z analizy długości .......................................................
4.2.5. Mierzalność i niemierzalność na przykładzie masy ................
4.2.5.1. Zbiory borelowskie dla masy .....................................
4.2.5.2. σ-ciało zbiorów mierzalnych dla masy ......................
4.2.5.3. Wnioski o założeniach pomostowych otrzymane
z analizy masy ............................................................
4.2.6. Wnioski ogólne istnienia pomostu między światem
fizycznym a matematycznym ..................................................
169
172
173
178
179
179
182
183
184
184
185
185
188
189
190
191
192
193
Rozdział 5. Metodologiczno-filozoficzne aspekty problematyki
pomiaru ................................................................................................... 195
5.1. Filozofia teoretycznego - standardowego modelu wielkości ............. 195
5.2. Wnioski poznawcze z relacji między światem teoretycznym
i fizyczno-empirycznym .................................................................... 201
Zakończenie ..................................................................................................
Bibliografia ...................................................................................................
Summary ......................................................................................................
Zusammenfassung .......................................................................................
Skorowidz nazwisk ......................................................................................
Skorowidz rzeczowy ....................................................................................
206
211
225
229
233
237