RRwE 2011 - E-SGH

Mikroekonomia II
Zastosowanie Rachunku Ró»niczkowego
mgr Šukasz Skrok, mgr Adam Czerniak
12/02/2012
Na zaj¦ciach z mikroekonomii II zajmowa¢ si¦ b¦dziemy, tak jak miaªo
to miejsce podczas kursu z mikroekonomii I, teori¡ konsumenta i teori¡ producenta.
W odró»nieniu jednak od poprzedniego semestru nasze rozwa»ania
b¦d¡ mie¢ charakter formalny. W tym celu niezb¦dna jest znajomo±¢ rachunku
ró»niczkowego (w szczególno±ci umiej¦tno±¢ wyznaczania pochodnych funkcji).
W zwi¡zku z tym, nale»y przypomnie¢ sobie kilka faktów.
O Liczeniu Pochodnych:
1. Pochodna funkcji jednej zmiennej (oznaczmy j¡
x ) opisuje jak zmienia si¦
warto±¢ tej funkcji w wyniku (niesko«czenie) maªej zmiany warto±ci zmiennej
x.
(uwaga: zakªadamy, »e uczestnikom kursu nieobce s¡ podstawowe dziaªania na
pochodnych przykªadowo http://www.math.edu.pl/dzialania-na-pochodnych oraz pochodne funkcji elementarnych przykªadowo http://www.math.edu.pl/pochodnefunkcji-elementarnych)
f(.) ) wzgl¦x obliczana jest analogicznie do pochodnej funkcji
2. Pochodna cz¡stkowa funkcji wielu zmiennych (oznaczmy j¡
dem jednej zmiennej
jednej zmiennej po prostu traktujemy przy jej obliczaniu pozostaªe zmienne jak staªe. Dla przykªadu:
√
f (x, y, z) = x2 y z
√
∂f (x, y, z)
= f 0 x = 2xy z
∂x
√
f 0 y = x2 z
x2 y
f 0z = √
2 z
3. Powy»sze pochodne s¡ nazywane pochodnymi pierwszego rz¦du lub pierwszymi pochodnymi funkcji f. Pochodna drugiego rz¦du liczona jest jako
0
pochodna funkcji pochodnej (f ) po tej samej lub po innej zmiennej.
Pochodne kolejnych rz¦dów liczone s¡ analogicznie. Kontynuuj¡c powy»szy
przykªad mo»emy obliczy¢ takie pochodne drugiego rz¦du:
√
∂f (x, y, z)
= fx00 = 2y z
2
∂ x
lub
√
∂f (x, y, z)
00
= fxy
= 2x z
∂x∂y
4. Pochodnych cz¡stkowych nie nale»y myli¢ z tzw. ró»niczk¡ zupeªn¡. Ró»niczk¦
zupeªn¡ funkcji wielu zmiennych obliczamy, gdy chcemy pozna¢ odpowied¹
na pytanie jak maªa zmiana argumentu
1
x wpªynie na zmian¦ warto±ci
funkcji
f oraz gdy zmienne s¡ od siebie zale»ne (wyst¦puje mi¦dzy nimi
zale»no±¢ funkcyjna np.
y = g(x)).
W takim wypadku musimy zastosowa¢
tzw. reguª¦ ªa«cucha. Odnosz¡c si¦ do poprzedniego przykªadu:
y = 2x
z = x2
√ x3 y
√
d(x, y, z)
∂f (x, y, z) dx ∂f (x, y, z) dy(x) ∂f (x, y, z) dz(x)
=
+
+
= 2y z+2x2 z+ √
dx
∂x
dx
∂y
dx
∂z
dx
z
O Optymalizacji Bezwarunkowej:
1. Rozwi¡zywanie problemu optymalizacji polega na szukaniu warto±ci maksymalnej lub minimalnej funkcji. Pierwszym krokiem do znalezienia maksimum (minimum) lokalnego funkcji jednej zmiennej jest obliczenie jej
pochodnej i przyrównanie jej do zera.
W przypadku funkcji wielu zmi-
ennych obliczamy pochodne cz¡stkowe wzgl¦dem wszystkich zmiennych i
przyrównujemy ka»d¡ z nich do zera.
2. Oczywi±cie, przyrównanie pochodnej pierwszego rz¦du nie jest wystarczaj¡ce do okre±lenia czy w danym punkcie funkcja przyjmuje swoj¡ warto±¢
minimaln¡ czy maksymaln¡.
Musimy jeszcze zbada¢ jej zachowanie w
otoczeniu danego punktu, w którym si¦ zeruje, albo zbada¢ jej pochodn¡
drugiego rz¦du (je±li jest dodatnia, mamy do czynienia z minimum, je±li
ujemna to z maksimum). W przypadku funkcji wielu zmiennych musimy
zbada¢ macierz pochodnych drugiego rz¦du. Co do zasady, nie b¦dziemy
tego robi¢ na ¢wiczeniach, a to czy znaleziony punkt zerowania si¦ pochodnych wyznacza warto±¢ maksymaln¡ czy minimaln¡ danej funkcji b¦dzie
dla nas oczywiste .
O Optymalizacji Warunkowej:
Jedn¡ z metod rozwi¡zywania optymalizacji warunkowej (maksymalizacji
lub minimalizacji funkcji przy zadanych ograniczeniach warto±ci jej argumentów) jest tzw. metoda mno»ników Lagrange'a. Zaprezentujemy sposób jej zastosowania na poni»szym przykªadzie.
Rozpatrujemy problem konsumenta, który konsumuje dwa dobra (nazwijmy
je
iksy oraz igreki ) i osi¡ga dochód w wysoko±ci 100 zª. Dobra s¡ doskonale
podzielne, co oznacza, »e nie liczymy ich na sztuki i (prawie) zawsze mo»emy
konsumowa¢ ich minimalnie wi¦cej lub mniej ni» do tej pory. Konsument nie ma
wpªywu na ceny tych dóbr. S¡ one ustalane s¡ przez rynek i wynosz¡ odpowiednio 1 zª za iksa oraz 2 zª za igreka). Zaªó»my, »e preferencje konsumenta opisane
s¡ nast¦puj¡c¡ funkcj¡ u»yteczno±ci:
U (x, y) = xy
2
Jak wiemy z kursu mikroekonomii I, konsument musi uwzgl¦dnia¢ swoje ograniczenie bud»etowe, które mo»na wyrazi¢ wzorem:
m ≥ px x + py y
gdzie
m to dochód, x i y to wielko±ci konsumpcji iksów i igreków, a
px ipy
to
odpowiednio ceny tych dóbr. Dla przyj¦tych warto±ci mamy zatem:
100 ≥ x + 2y
(warto przy tym zauwa»y¢, »e w przypadku racjonalnego konsumenta i doskonaªej
podzielno±ci dóbr warunek ten b¦dzie speªniony jako równo±¢ to jest konsument
wyda caªy swój dochód na oba te dobra)
Aby znale¹¢ rozwi¡zanie problemu maksymalizacji u»yteczno±ci konsumenta
deniujemy funkcj¦ pomocnicz¡ (funkcj¦ Lagrange'a):
L = U (x, y) − λ(px x + py y − m)
Zmienna
λ
(lambda) jest zmienn¡ pomocnicz¡ mno»nikiem Lagrange'a. Za-
uwa»my, »e skonstruowanie funkcji Lagrange'a polega na odj¦ciu od funkcji optymalizowanej (w tym wypadku funkcji u»yteczno±ci) funkcji opisuj¡cej warunek
(w tym wypadku ograniczenie bud»etowe) przemno»onej przez mno»nik. Nast¦pnym krokiem przy poszukiwaniu warunkowego maksimum (lub minimum) funkcji
u»yteczno±ci jest obliczenie pochodnych cz¡stkowych funkcji Lagrange'a wzgl¦dem wszystkich zmiennych:
∂L
∂U
=
− λpx = M Ux − λpx = y − λ
∂x
∂x
∂L
∂U
=
− λpy = M Uy − λpy = x − 2λ
∂y
∂y
∂L
= m − px x − py y = 100 − x − 2y
∂λ
(MU oznacza funkcj¦ kra«cowej u»yteczno±ci. W zadaniach optymalizacji funkcji
producenta b¦dzie to kra«cowa produktywno±¢ MP)
Nast¦pnie przyrównujemy wszystkie trzy pochodne do zera i rozwi¡zujemy otrzymany w ten sposób ukªad równa«, pami¦taj¡c, »e zmiennymi s¡ x, y i
λ.
Mo»emy
zauwa»y¢, »e ostatnie z nich jest tak naprawd¦ wzorem na ograniczenie bud»etowe konsumenta.


M Ux − λpx = 0
M Uy − λpy = 0


m − px x − py y = 0
Wykorzystuj¡c dwa pierwsze równania znajdujemy optymalny stosunek konsumpcji iksów oraz igreków.
3
M Ux
=λ
px
oraz
M Uy
=λ
py
M Ux
M Uy
=
px
py
Warto przy tym zauwa»y¢, »e w sytuacji gdy optymalizowana funkcja ma posta¢
Cobba-Douglasa (F (x, y)
= xα y β )
rozwi¡zanie powy»szej równo±ci staje si¦
jeszcze prostsze poprzez zastosowanie nast¦puj¡cej zale»no±ci.
αy
Fx
=
Fy
βx
wówczas:
M Ux
αy
px
=
=
M Uy
βx
py
Podstawiaj¡c warto±ci z przykªadowego zadania otrzymujemy nast¦puj¡c¡ optymaln¡ relacj¦ pomi¦dzy konsumpcj¡ dóbr iks i igrek.
1
1y
=
1x
2
czyli
x = 2y
Nast¦pnie wykorzystuj¡c równanie ograniczenia bud»etowego otrzymujemy rozwi¡zanie
zadania.
x = −2y + 100
x = −x + 100 x = 50 y = 25
Co oznacza, »e racjonalny konsument powinien naby¢ 50 iksów oraz 25 igreków.
Jak mo»na zauwa»y¢, powy»sza notatka ma charakter nieformalny i stanowi
absolutne minimum tego, co student drugiego roku powinien na temat zadanego
problemu wiedzie¢. W przypadku problemów z zastosowaniem powy»szych technik matematycznych godne polecenia jest zapoznanie si¦ z dodatkiem matematycznym w podr¦czniku Hala R. Variana Mikroekonomia. Kurs ±redni uj¦cie
nowoczesne , PWN, Warszawa. Podr¦cznik ten jest równie» bardzo dobrym uzupeªnieniem podr¦cznika polecanego na wykªadzie. Szczególnie zainteresowanym
formalnym zapisem powy»szych metod analizy matematycznej mo»na poleci¢
syntetyczne opracowanie dr Šukasza Wo¹nego - http://akson.sgh.waw.pl/lwozny/optymalizacja.pdf,
wszelkie podr¦czniki dotycz¡ce rachunku ró»niczkowego oraz ciekawy artykuª
odnosz¡cy si¦ do interpretacji mno»ników Lagrange'a oraz problemu warunków
wystarczaj¡cych optymalizacji znajduj¡ si¦ pod adresem http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma076.p
4