1. Wstęp: logika matematyczna, teoria mnogości, iloczyn skalarny

Analityka gospodarcza - algebra/analiza - wstęp 1 - 5 X 2016
Wstęp: logika, teoria mnogości, iloczyn skalarny
Do przypomnienia: materiał szkoły średniej.
Zadanie 1. Udowodnić następujące tautologie posługując się metodą tabelkową.
a) [∼ (∼ 𝑝)] ⇔ 𝑝 (prawo podwójnego zaprzeczenia)
b) [∼ (𝑝 ∧ 𝑞)] ⇔ [(∼ 𝑝) ∨ (∼ 𝑞)] (prawo de Morgana zaprzeczenia koniunkcji)
c) [∼ (𝑝 ∨ 𝑞)] ⇔ [(∼ 𝑝) ∧ (∼ 𝑞)] (prawo de Morgana zaprzeczenia alternatywy)
d) [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟] ⇔ [𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)] (prawo łączności koniunkcji)
e) [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟] ⇔ [𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] (prawo łączności alternatywy)
f) [𝑝 ∧ 𝑞] ⇔ [𝑞 ∧ 𝑝] (prawo przemienności koniunkcji)
g) [𝑝 ∨ 𝑞] ⇔ [𝑞 ∨ 𝑝] (prawo przemienności alternatywy)
h) [𝑝 ⇒ (∼ 𝑝)] ⇒ (∼ 𝑝) (pierwsze prawo Claviusa o dowodzie nie wprost)
i) [(∼ 𝑝) ⇒ 𝑝] ⇒ 𝑝 (drugie prawo Claviusa o dowodzie nie wprost)
j) [(∼ 𝑝) ⇒ 𝑞] ⇒ [𝑝 ∨ 𝑞]
k) [𝑝 ∨ 𝑞] ⇔ [∼ 𝑝 ⇒ 𝑞]
Zadanie 2. Zanegować następujące zdania (bez użycia symbolu (∼)):
a) ∀𝑥∈ℝ ∃𝑦∈ℝ ∀𝜖>0 [(𝑥 + 𝑦 > 𝜖) ∧ (𝜖 = 𝑦)]
b) ∃𝑥∈ℝ ∀𝑦∈ℝ [𝑥2 + 𝑦 2 = 1 ⇒ (𝑥 + 𝑦 < 2 ∨ 𝑥 = 0)].
Zadanie 3. Zapisać symbolicznie poniższe zdania logiczne i rozstrzygnąć, czy są prawdziwe
zawsze, nigdy, czy w szczególnych okolicznościach. Następnie zapisać symbolicznie
i pełnym zdaniem ich zaprzeczenia:
a) Jeśli z faktu, że do Paryża jedzie się przez Moskwę wynika, że do Paryża nie jedzie się
przez Moskwę, to do Paryża nie jedzie się przez Moskwę.
b) Jeżeli z faktu, że nieprawdą jest, że czosnek szkodzi wampirom, wynika, że szkodzi im
cebula, to wampirom szkodzi czosnek i cebula.
c) Archibald ma brodę lub wąsy wtedy i tylko wtedy, gdy jeżeli nie ma wąsów, to ma
brodę.
d) Jeżeli Eufrozyna nie zna logiki, to jeżeli Eufrozyna zna logikę, to Eufrozyna urodziła
się sto lat temu.
e) Każdy smerf boi się Gargamela lub Klakiera wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje
smerf, który nie boi się Gargamela i nie boi się Klakiera.
f) Jeśli dla każdego Romea istnieje Julia, w której się może zakochać, to istnieje Julia,
w której się może zakochać każdy Romeo.
g) Jeśli istnieje Julia, w której może się zakochać każdy Romeo, to dla każdego Romea
istnieje Julia, w której może się zakochać.
Zadanie 4. Niech 𝐴 = {1, 2}, 𝐵 = {2, 3, 4} oraz 𝐶 = {2, 4, 6, 8}. Znaleźć zbiory:
a) 𝐴 ∪ 𝐵; b) 𝐵 ∩ 𝐶; c) 𝐴 ∖ 𝐵; d) 𝐴 × 𝐵; e) (𝐶 ∖ 𝐵) × 𝐴; f) (𝐴 × 𝐴) ∖ (𝐵 × 𝐵)
Zadanie 5. Na płaszczyźnie ℝ2 narysować zbiory 𝑋 × 𝑌 , gdzie:
a) 𝑋 = ℝ ∖ (−3, 3) 𝑌 = [1, 2) ∪ (3, 5] ; b) 𝑋 = (ℝ ∖ (−3, 3))𝑐 , 𝑌 = ℤ ∩ (−5, 2);
c) 𝑋 = ℕ, 𝑌 = {−1, 2, 27 }; d) 𝑋 = (1, 2) ∪ (3, 4), 𝑌 = { 𝑛1 : 𝑛 ∈ ℕ}.
Zadanie 6. Udowodnić (lub podać kontrprzykład, jeśli to nie jest prawda), że:
a) (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵 𝑐 ; b) (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵 𝑐 (prawa de Morgana) c) 𝐵 ∖ 𝐴 = 𝐵 ∩ 𝐴𝑐 ;
d) 𝐴 ∩(𝐵 ∖𝐴) = ∅; e) Jeżeli 𝐴 ⊂ 𝐵, to 𝐴 ∪𝐶 ⊂ 𝐵 ∪𝐶; f) Jeżeli 𝐴 ⊂ 𝐵, to 𝐴 ∩𝐶 ⊂ 𝐵 ∩𝐶;
g) 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴 ⇔ 𝐴 = 𝐵; h) 𝐴 × (𝐵 ∖ 𝐶) = (𝐴 ∖ 𝐵) × (𝐴 ∖ 𝐶);
i) 𝐴 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐶; j) (𝑋 × 𝑌 ) ∖ (𝐴 × 𝐵) = [(𝑋 ∖ 𝐴) × 𝑌 ] ∪ [𝑋 × (𝑌 ∖ 𝐵)].
Zadanie 7. Sprawdzić, czy kanoniczny iloczyn skalarny < ⋅, ⋅ > w ℝ2 spełnia własności:
a) < 𝑥, 𝑦 >=< 𝑦, 𝑥 > dla dowolnych wektorów 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 .
b) < 𝑎𝑥, 𝑦 >= 𝑎 < 𝑥, 𝑦 > dla dowolnych wektorów 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 i liczby 𝑎 ∈ ℝ.
c) < (𝑥 + 𝑦), 𝑧 >=< 𝑥, 𝑧 > + < 𝑦, 𝑧 > dla dowolnych wektorów 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ𝑛 .
d) < 𝑥, 𝑥 >≥ 0 dla dowolnego wektora 𝑥 ∈ ℝ𝑛 . Ponadto, < 𝑥, 𝑥 >= 0 ⇔ 𝑥 = 0.
1
2
Zadanie 8. Sprawdzić ortogonalność (prostopadłość) poniższych wektorów w ℝ𝑛 ze
standardowym iloczynem skalarnym. Jeśli nie są prostopadłe, obliczyć kąty między nimi
(a przynajmniej ich
√ kosinusy).
√
a) (4, −3), (3 + 4 3, 4 − 3 3);
b) (1, 2, 3), (3, 2, 4), (6, 5, −1);
c) (2, 1, 1, 1), (0, −3, 2, 1), (3, −2, −2, −2), (0, −1, −4, 5).
Zadanie 9.
W ℝ4 ze standardowym iloczynem skalarnym dane są wektory:
𝑥 = (1, 2, 0, 3) i 𝑦 = (2, 3, −1, 0). Dobrać 𝑎 i 𝑏 tak, by wektor 𝑧 = (0, 0, 1, 1) + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
był ortogonalny (prostopadły) do 𝑥 i do 𝑦.