Pobierz artykuł

OGRANICZONE ZAGADNIENIE 3 CIAŁ
Aleksander Samoluk
Akademia Podlaska
Wydział Nauk Ścisłych
Instytut Informatyki
ul. Sienkiewicza 51, 08-110 Siedlce
Streszczenie
Poniższy artykuł prezentuje wzajemne oddziaływanie grawitacyjne ruchu trzech
ciał jak również model ograniczonego zagadnienia trzech ciał.
Abstarct
The undermentioned article is presenting the mutual gravitational force of the
move of three bodies as well as the model of the limited problem of three bodies.
1. Wstęp
Zagadnienie n ciał było i jest przedmiotem badań wielu uczonych. I o ile
obliczenie ruchu dwóch ciał, wzajemnie oddziaływujących grawitacyjnie, jest
stosunkowo prostym zadaniem, to już przez ponad trzysta lat nie zdołano znaleźć
ogólnego rozwiązania ruchu trzech ciał. Ścisłe rozwiązanie tego zadania
otrzymano tylko w niektórych szczególnych wypadkach (ciała poruszają się w
jednej płaszczyźnie i masę jednego z nich można pominąć w porównaniu
z masami pozostałych dwóch – ograniczone zagadnienie trzech ciał) [1].
Duży wkład do badania ograniczonego zagadnienia trzech wniósł L. Euler.
W 1760 roku znalazł rozwiązanie dynamicznego układu opisującego ruch ciała
w polu grawitacji utworzonym przez dwie nieruchome masy. Oczywiście, układ
ten jest bardzo uproszczonym przypadkiem ograniczonego zagadnienia trzech
ciał, ale jego rozwiązanie znalazło również swoje zastosowanie [2].
L. Euler w 1767 roku znalazł również trzy rozwiązania L1 , L2 , L3
w ograniczonym zagadnieniu trzech ciał dla ciał położonych wzdłuż jednej
prostej. Jego osiągnięciem było także wprowadzenie obracającego się układu
współrzędnych, co pozwoliło później na znalezienie całki Jacobiego [2].
Pięć lat później, w 1772 roku, J. Lagrange pokazał, że istnieją jeszcze,
w ograniczonym zagadnieniu trzech ciał, dwa rozwiązania L4 , L5 dla ciał
znajdujących się początkowo w wierzchołkach trójkąta równobocznego [3].
Pierwsze wyniki badań stabilności punktów równowagi w ograniczonym
zagadnieniu trzech ciał pojawiają się w 1843 roku, w pracy G. Gascheau. W
1875 roku E. J. Routh rozwiązał, w liniowym przybliżeniu, zadanie o stabilności
trójkątnych położeń równowagi (przy pewnych warunkach początkowych).
Natomiast w 1889 roku A. M. Lapunow rozwiązał ten sam problem w przypadku
trójwymiarowym [4].
Dopiero w 1962 roku A. M. Leontowicz zbadał stabilność w sensie
Lapunowa położeń równowagi L4 , L5 w przedziale liniowej stabilności
z wyjątkiem zbioru miary zero. W 1967 roku A. Deprit wykazał, że zbiór ten
składa się z trzech elementów. Rozwiązanie problemu dla tych trzech wartości
parametru m można znaleźć w pracach A. Sokolskiego i A. Markiejewa [4].
Ostatnio A. Chenciner i R. Montgomery znaleźli nieznane wcześniej
początkowe konfiguracje wielu ciał, prowadzące do idealnie okresowego ruchu.
Najprostsza z tych konfiguracji to trzy planety o równych masach, krążące po
krzywej płaskiej w kształcie ósemki i mijające nieruchomego obserwatora
w równych odstępach czasu, co jedną trzecią okresu obiegu całej ósemkowej
orbity. Istnienie takiej orbity w kształcie ósemki sugerowały wcześniejsze,
przeprowadzone w 1993 roku, komputerowe eksperymenty [2].
To w pracach E. Grebienikowa i B. Elmabsouta wykazano istnienie
nowych modeli kosmicznej dynamiki nazwanych przez autorów ograniczonymi
zagadnieniami n (n > 3) ciał [5].
190
2. Ograniczone zagadnienie trzech ciał
Rozpatrzmy ruch trzech punktów materialnych S, J i P z masami
m1 , m2 i m3 , odbywający się pod wpływem działania siły grawitacji. Załóżmy,
że m1 i m2 ( m1 ³ m2 ) są to masy skończone, a masa m3 jest bardzo mała
w porównaniu z m1 i m2. Wpływ ciała P na ruch ciał S i J można, zatem pominąć.
Model taki nazywamy ograniczonym zagadnieniem trzech ciał [7].
Niech:
r – odległość pomiędzy ciałami S i J,
p i e – parametr i mimośród ich keplerowskiej orbity,
v – rzeczywista anomalia,
c – stała całki płaszczyzn,
f – stała grawitacyjna.
Wtedy zachodzą następujące związki [4]:
r=
p
, c 2 = f ( m1 + m2 ) p,
1 + e cos v
dv c
= .
dt r 2
(1.1)
W zależności od wielkości mimośrodu można rozróżnić następujące
warianty zagadnienia trzech ciał [4]:
·
·
·
·
·
hiperboliczne - kiedy orbita ciała J jest hiperbolą (e > 1);
eliptyczne - kiedy orbita ciała J jest elipsą (0 < e < 1);
kołowe - kiedy orbita ciała J jest okręgiem (e = 0);
paraboliczne - kiedy orbita ciała J jest parabolą (e = 1);
prostoliniowe - kiedy ciało J porusza się po prostej, przechodzącej przez
ciało S.
Jeżeli ciało P w każdym momencie ruchu znajduje się w płaszczyźnie
ruchu ciał S i J, to mówimy, że jest to ograniczone zagadnienie „płaskie”.
Natomiast, jeśli ciało P podczas ruchu wychodzi spoza płaszczyzny orbity ciał S
i J to wówczas mówi się o „przestrzennym” ograniczonym zagadnieniu trzech
ciał [4].
Wyprowadzimy teraz równania różniczkowe, opisujące ruch ciała P
w ograniczonym zagadnieniu trzech ciał.
Weźmy pod uwagę ruchomy kartezjański układ współrzędnych
0xyz, który obraca się wraz z masami m1 i m2 (oś 0x przechodzi przez
punkty S i J) z początkiem w centrum mas m1 i m2 . Współrzędne punktu P
są w tym układzie oznaczone przez x, y, z (rys. 1).
191
Rysunek 1
Energię kinetyczną T i potencjalną U ciała P wyliczamy ze wzorów [4]:
T=
1 é
2
2
m3 ( x¢ - v¢y ) + ( y ¢ - v¢x ) + z ¢2 ù ,
ë
û
2
æm m ö
U = fm3 ç 1 + 2 ÷ ,
r2 ø
è r1
(1.2)
(1.3)
gdzie - odpowiednio odległości ciała P od ciał S i J:
2
æ
ö
m2
r1 = ç x +
r ÷ + y2 + z2 ,
m1 + m2 ø
è
2
æ
ö
m1
r2 = ç x r ÷ + y2 + z2 .
m1 + m2 ø
è
(1.4)
Korzystając z funkcji Lagrange’a
L = T + U,
(1.5)
można zapisać równania różniczkowe ruchu ciała P w postaci [4]:
¶W
,
¶x
¶W
y ¢¢ + 2v¢x¢ + v¢¢x - v¢2 y =
,
¶y
¶W
z ¢¢ =
.
¶z
x¢¢ - 2v¢y ¢ - v¢¢y - v¢2 x =
(1.6)
192
U
gdzie W = m .
3
Dokonamy teraz zamiany zmiennych, wprowadzonej przez Nechvil’a, według
następujących wzorów [4]:
x = rx ,
y = rh , z = rz ,
(1.7)
gdzie r wyraża się zależnościami (1.1).
Oprócz tego, przejdziemy do nowej niezależnej zmiennej - anomalii v (pochodną
po v oznaczymy przez -¢¢ , natomiast pozostałe pochodne - kropkami).
Otrzymamy w ten sposób w miejsce układu (1.6) układ [4]:
c2
3
é 1 + e cos v ) x ¢¢ + e cos vx ùû (1 + e cos v ) ,
3 ë(
p
c
y&= éë(1 + e cos v )h ¢ + e sin vh ùû ,
p
c
2
v&= 2 (1 + e cos v ) ,
p
&
x&=
&= v&
(1.8)
2c 2e
3
sin v (1 + e cos v ) ,
4
p
¶W (1 + e cos v ) ¶W
=
,
¶x
¶x
p2
2
gdzie w funkcji W wielkości wyliczamy ze wzorów:
2
æ
m2 ö
2
2
r1 = ç x +
÷ +h +z ,
m1 + m2 ø
è
2
æ
m1 ö
2
2
r2 = ç x ÷ +h + z .
m1 + m2 ø
è
(1.9)
Wprowadzimy oznaczenie:
m=
m2
,
m1 + m2
1ö
æ
ç 0 < m £ ÷.
2ø
è
(1.10)
Podstawiając wyrażenia (1.8) do układu (1.6) otrzymamy:
193
1
1
¶W
x=
,
1 + e cos v
1 + e cos v ¶x
1
1
¶W
h ¢¢ + 2x ¢ h=
,
1 + e cos v
1 + e cos v ¶h
e cos v
¶W
1
x ¢¢ +
z =
,
1 + e cos v
1 + e cos v ¶z
x ¢¢ - 2h ¢ -
(1.11)
gdzie teraz
W=
1- m m
+ ,
r1
r2
r1 =
(x + m )
r2 =
(x + m - 1)
2
+h2 + z 2 ,
2
+h2 + z 2 .
Wprowadzimy funkcję W :
W=
1 2
1
x + h 2 ) - e cos vz 2 + W ,
(
2
2
(1.12)
i równania ruchu (1.11) zapiszemy w postaci:
1
¶W
,
1 + e cos v ¶x
1
¶W
h ¢¢ + 2x ¢ =
,
1 + e cos v ¶h
¶W
1
x ¢¢ =
.
1 + e cos v ¶z
x ¢¢ - 2h ¢ =
(1.13)
Jak wiemy, na ciało P działają siły grawitacyjna, odśrodkowa i Coriolisa. Opis
złożonego ruchu ciała P jest bardziej czytelny, jeżeli się go sformułuje za
pomocą równań Lagrange'a.
Weźmy pod uwagę tak zwane płaskie, kołowe ograniczenie zagadnienia trzech
ciał.
Można wykazać, że równania Lagrange’a przyjmują w układzie 0xy postać [7]:
¶W
ì ¢¢
ïï x - 2 y¢ = ¶x ,
í
ï y ¢¢ + 2 x¢ = ¶W ,
ïî
¶y
(1.14)
194
gdzie
1 2
x + y2 ) -U ,
(
2
æ1- m m ö
U = -ç
+ ÷,
r2 ø
è r1
W=
1
(1.15)
r1 = é( x + m ) + y 2 ù ,
ë
û
2
2
1
r2 = é( x + m - 1) + y 2 ù .
ë
û
2
2
Podstawiając do układu (1.14) obliczone ze wzoru (1.15) pochodne
¶W ¶W
,
,
¶x ¶y
otrzymujemy jawną postać równań Lagrange'a [7]:
¶U
ì ¢¢
ïï x = - ¶x + x + 2 y ¢
í
¶U
+ y - 2 x¢
ï y ¢¢ =
ïî
¶y
(1.16)
Trzy kolejne składniki prawych stron układu (1.16) są składowymi odpowiednio
trzech sił: grawitacyjnej, odśrodkowej i Coriolisa.
Funkcja W(x, y ) definiuje w przestrzeni zmiennych x, y, z powierzchnię:
z = W( x , y )
(1.17)
nazywaną powierzchnią Jacobiego [7].
Jeżeli w punkcie (x0, y0) gradient funkcji jest zerowy, czyli zachodzą równości
¶W ¶W
=
= 0,
¶x ¶y
(1.18)
to punkt (x0,y0) nazywa się punktem osobliwym powierzchni Jacobiego [4].
Warunek (1.18) sprowadza się do układu równań
m
ì 1- m
ï x - r 3 ( x + m ) - r 3 ( x + 1 - m ) = 0,
1
2
ï
í
æ 1- m m ö
ï
y ç1 - 3 - 3 ÷ = 0.
ïî
r1
r2 ø
è
(1.19)
Jeżeli y=0, to układ równań (1.19) redukuje się do równania piątego stopnia
względem zmiennej x. Ma ono trzy rozwiązania rzeczywiste. Istnieją, więc trzy
195
punkty równowagi, które leżą na osi 0x i są tradycyjnie oznaczane przez L1, L2
i L3 (rys.1.2) [4].
Rysunek 2
Jeżeli y ¹ 0, to z drugiego równania układu (1.19) wynika równość
1- m m
+ =1
r1
r2
(1.20)
r1 = r2 = 1
(1.21)
która jest spełniona, gdy
Podstawiając równości (1.21) do wzorów
1
2
r1 = é( x + m ) + y 2 ù ,
ë
û
2
1
r2 = é( x + m - 1) + y 2 ù ,
ë
û
2
2
otrzymujemy układ równań
ì é x + m 2 + y 2 ù 2 = 1,
)
ï ë(
û
í
1
ï é( x + m - 1)2 + y 2 ù 2 = 1,
û
îë
1
(1.22)
który ma następujące dwa rozwiązania (dwa punkty równowagi L4 i L5):
196
ì
æ 1 - 2m 3 ö
,
ï L4 = çç
÷,
2 ÷ø
ï
è 2
í
æ 1 - 2m
3ö
ï
ï L5 = çç 2 , - 2 ÷÷ .
è
ø
î
(1.23)
Zatem istnieją dwa symetryczne względem osi 0y punkty równowagi L4 i L5.
Wraz z ciałami S i J tworzą one dwie konfiguracje nazywane trójkątami
Lagrange'a (rys. 3) [4].
Rysunek 3
W celu badania stabilności położeń równowagi L1, L2, L3, L4 i L5 w sensie
Lapunowa korzystamy z równań różniczkowych w tzw. postaci hamiltonowskiej.
I tak we współrzędnych Nechvil’a wyrażenie dla funkcji Hamiltona ma postać
[4]:
H=
1 2
e cos v
1
px + ph2 + pz2 ) + pxh - phx +
x 2 + h2 + z 2 ) W. (1.24)
(
(
2
2 (1 + e cos v)
1 + e cos v
gdzie
px =
¶L
¶L
¶L
= x ¢ - h , ph =
= h ¢ + x , pz =
=z¢
¶x ¢
¶h ¢
¶z ¢
a funkcja L wyraża się wzorem
L=
1 2
1
x ¢ + h ¢2 + z ¢2 ) + (h ¢x - hx ¢ ) +
W
(
2
1 + e cos v
Badanie stabilności punktów równowagi L4 i L5 , okazało się nadzwyczaj
złożonym zagadnieniem. Pełne rozwiązanie otrzymano tylko w przypadku
płaskiego, kołowego ograniczonego zagadnienia trzech ciał.
197
Wyniki dotyczące badania stabilności punktów równowagi w ograniczonym
zagadnieniu trzech ciał można sformułować w następujących dwóch
twierdzeniach [4]:
Twierdzenie 1.1.
Punkty równowagi L1, L2 i L3 są niestabilne.
Twierdzenie 1.2.
Punkty równowagi L4 i L5 są stabilne w sensie Lapunowa dla wszystkich wartości
z przedziału:
0 < 27 m (1 - m ) < 1 ,
z wyjątkiem dwóch wartości:
m1 =
15 - 213
45 - 1833
= 0,0135160... , m 2 =
= 0,0242938....
90
30
Bibliografia
1.
2.
3.
4.
http://www.republika.pl/jknow/wykresy/wykr.html
Себехей В., Теория орбит, –М.: Наука, 1982.
http://www.wiw.pl/nowinki/matematyka/200108/20010809-001.asp
Маркеев А.П., Точки либрации в небесной механике и космодинамике,
– М.: Наука, 1978.
5. Grebenicov E., Two New Dynamical Models in Celestial Mechanics, –
Bucharest: Rom. Astron. J., vol. 8, № 1, 1998.
6. Wolfram S., The Mathematica – Book, – Cambridge: University Press, 1996.
7. Дубошин Г.Н., Небесная механика. Аналитические и качественные
методы, –М.: Наука, 1964. –460 с.
8. Гребеников Е.А., Козак-Сковородкина Д., Якубяк М., Методы
компьютерной алгебры в проблеме многих тел. Издание иторое,
дополненное и переработанное, - М.: Изд – во РУДН, 2002.
9. Кozak D., Oniszk E., Equilibrium Points in the Restricted Four – Body
Problem. Sufficient Conditions for Linear Stability, Rom. Astron. J., Vol. 8,
№ 1, 1998, p. 27 – 31.
10. Mazurek M, Badanie rezonansów częstotliwości w ograniczonym
zagadnieniu 4 ciał, -Siedlce, Praca magisterska, 2004, 33 str.
11. Grebenikov E.A., Kozak-Skoworodkin D., Jakubiak M., On New
Applications of the Arnold – Moser Theorem in the Many-Body Problem, Kiev: Nonlinear Oscillations, Vol. 4, № 1, 2001.
198