klasa 1

Liga Zadaniowa - konkurs przedmiotowy z matematyki
Województwo kujawsko - pomorskie
Klasa I gimnazjum - ETAP REJONOWY
I spotkanie konkursowe - 14 listopada 2015 r.
Zadania konkursowe
1. Oblicz
4,45 + 0,55 : (1 92 )
: 0,07
2
+ [(3,1)2 − (2,1)2 ] : 1,3
0,5−0,1(6)
2. Wskaż wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe podzielne przez 4 o tej własności, że iloczyn ich cyfr
jest równy 40.
3. Cenę biletu na koncert obniżono o 20% i po obniżce kosztował on 120 zł. Potem obniżono tę cenę jeszcze
o 15%. Jaka była pierwotna cena biletu i o ile procent cena końcowa była niższa od ceny początkowej?
4. Czy istnieje liczba pierwsza o tej własności, że przy dzieleniu przez 18 daje resztę, która jest liczbą
złożoną?
5. Oblicz
20 · 151515 + 202020 · 15
· 2015
65 · 313131 + 656565 · 31
6. Komplet kartonowych pudełek składa się z pięciu różnych sześciennych pudełek
o krawędziach długości: 10 cm, 15 cm, 20 cm, 25 cm i 30 cm. Jaś ze wszystkich
pudełek jednego kompletu zbudował wieżę, która z góry wyglądała tak, jak
przedstawia rysunek. Przedstaw na jednym rysunku, jak wyglądała wieża oglądana od strony oznaczonej symbolem ∗∗, oraz na drugim rysunku jej wygląd
od strony oznaczonej symbolem ∗ ∗ ∗. Oblicz łączne pole tych części powierzchni
wieży, które mają styczność z otwartą przestrzenią.
Uwaga 1. Wszystkie odpowiedzi do zadań powinny być uzasadnione.
Uwaga 2. Czas trwania konkursu - 90 minut.
Uwaga 3. Nie można używać kalkulatorów.
Zadania przygotowawcze na II spotkanie konkursowe w dniu 9.01.2016 r.
Tematyka:
1. Obliczanie pól wielokątów.
2. Układ współrzędnych.
3. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
4. Kąty wierzchołkowe, naprzemianległe, przyległe, odpowiadające.
5. Kąty wewnętrzne i zewnętrzne różnych wielokątów.
1. Z czworokąta ABCD o wierzchołkach A = (−6, 0), B = (0, −7), C = (6, 0), D = (0, 7) wycięto
czworokąt P RST o wierzchołkach P = (−3, 1), R = (−1, −3), S = (3, −1), T = (1, 3). Ile razy pole
otrzymanej w ten sposób figury jest większe od pola wyciętego czworokąta?
−2x+3y
4x − y
2. Uzupełnij kwadrat magiczny
−x + 5y
3. Trójkąt ABC jest równoramienny, przy czym |AC| = |BC|. Punkt D należy do ramienia BC. Kąt
BAD ma miarę dwa razy mniejszą od miary kąta DAC. Wiadomo także, że odcinki AD i DC są tej
samej długości. Oblicz miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC.
4. Punkty A = (−1, 4) i B = (−1, −2) są wierzchołkami trójkąta ABC, którego pole jest równe 18.
Znajdź współrzędne punktu C wiedząc, że trójkąt ten jest równoramienny. Rozważ wszystkie możliwe
przypadki.
5. Czworokąt ABCD ma kąty wewnętrzne o miarach: |^A| = 90◦ , |^B| = 50◦ , |^C| = 90◦ . Dwusieczne sąsiednich kątów zewnętrznych przecinają się w punktach K, L, M, i N . Oblicz miary kątów
wewnętrznych czworokąta KLM N. Jakim czworokątem jest KLM N ?
1
|AE|
= . Punkt F należy
6. Równoległobok ABCD ma pole równe S. Punkt E należy do boku AB i
|EB|
3
|CF |
1
do boku BC i
= . Oblicz pole trójkąta DEF.
|F B|
4
7. Miary zewnętrznych kątów trójkąta pozostają w proporcji 4:3:2. Znajdź miarę kąta między dwusiecznymi wychodzącymi z wierzchołków mniejszych kątów wewnętrznych tego trójkąta.
8. Dane są punkty o współrzędnych (-4,-2), (3,-2) i (-1,4). Wyznacz wszystkie równoległoboki, których
wierzchołki znajdują się w podanych punktach i podaj współrzędne ich wierzchołków. Który z tych
równoległoboków ma największe pole?
9. Dany jest równoległobok ABCD. Na przekątnej AC wybrano punkt X różny od punktu przecięcia
przekątnych. Przez punkt X poprowadzono prostą m równoległą do boku AB, przecinającą bok AD
w punkcie M i bok BC w punkcie N, oraz prostą n równoległą do boku AD, przecinającą bok AB
w punkcie P i bok DC w punkcie Q. Uzasadnij, że czworokąty M XQD i P BN X mają równe pola.
10. Obwód prostokąta jest równy 220. Dwusieczna jednego z kątów wewnętrznych dzieli dłuższy bok prostokąta w stosunku 3:4. Oblicz długości boków prostokąta oraz iloraz pól figur, na które rozcięła prostokąt
wspomniana dwusieczna. Rozpatrz wszystkie przypadki.
11. W trójkącie ABC punkt A1 jest środkiem odcinka BC, punkt C1 jest środkiem odcinka AB, punkt
A2 jest środkiem odcinka A1 B, punkt C2 jest środkiem odcinka C1 B, punkt A3 jest środkiem odcinka
A2 B. Pole trójkąta C2 BA3 jest równe P. Oblicz pole trójkąta ABC.
12. Wiedząc, że
1
10b
a
=
, oblicz
.
5a + b
2015
19b + 2010a
13. Punkt E należy do boku AB równoległoboku ABCD i nie jest wierzchołkiem tego równoległoboku.
Prosta DE przecina przekątną AC w punkcie X. Uzasadnij, że pola trójkątów AXD i EXC są równe.
14. Oblicz pole czworokąta ABCD mając dane współrzędne punktów A = (−3, −6), B = (7, −4), C = (1, 1),
D = (−1, 7).
15. W czworokącie ABCD kąty przy wierzchołkach A i B są proste. Jaki jest stosunek pól trójkątów ADB
i ACB, jeśli wiadomo, że pole czworokąta ABCD jest trzykrotnie większe niż pole trójkąta ACB?
16. W trapezie równoramiennym ABCD o podstawach AB i CD mamy |BC| = |CD| = |DA| i przekątna
AC jest prostopadła do boku BC. Oblicz miary kątów tego trapezu.
17. Dany jest równoległobok ABCD. Dwusieczne kątów zewnętrznych tego równoległoboku przecinają się
w punktach E, F, G i H. Uzasadnij, że E, F, G i H są wierzchołkami prostokąta.
18. Ile jest różnych trójkątów prostokątnych o polu 2020, których przyprostokątne mają długości będące
liczbami naturalnymi?
Uwaga. Dodatkowe zadania przygotowawcze można znaleźć w książkach:
Liga Zadaniowa, str.69-73 (zad.1-29, 34, 36, 45, 46, 48) i str.76-90; (zad. 84, 101, 107, 125, 126,
128-132, 141, 160, 163, 168,169, 172-178, 182, 183, 186-188);
Koło matematyczne w szkole podstawowej, str.145-166;
Koło matematyczne w gimnazjum, rozdziały: Kąty, Pola i obwody.