1. W pudełku zmieszano 30 ziaren fasoli, 20 ziaren ciecierzycy i 50

1. W pudełku zmieszano 30 ziaren fasoli, 20 ziaren ciecierzycy i 50 ziaren grochu.
a. Losujemy jedno ziarenko. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania
ziarenka ciecierzycy?
b. Jako pierwsze wylosowano ziarenko fasoli. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
drugim wylosowanym ziarenkiem nie będzie ziarenko fasoli?
c. Z pudełka usunięto po 10% ziarenek każdego rodzaju. Jakie jest
prawdopodobieństwo wylosowania ziarenka fasoli?
Rozwiązanie:
a) Ponieważ jest 20 ziaren ciecierzycy, prawdopodobieństwo wynosi
b) Losując drugie ziarenko, mamy 99 ziaren i 29 z nich to ziarenka fasoli. Zatem
prawdopodobieństwo wynosi
c) Po usunięciu ziarenek, w pudełku zostanie 27 ziaren fasoli, 18 ziaren ciecierzycy i 45
ziaren grochu. Zatem prawdopodobieństwo wynosi
2. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba trzycyfrowa ma wszystkie
cyfry różne.
Rozwiązanie:
Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych? Można to policzyć na różne sposoby, np. wypisując
je
Pierwszą cyfrę możemy wybrać na 9 sposobów (bo nie może być 0), a drugą i trzecią na 10
sposobów. Jest więc
takich liczb.
Ile jest liczb z różnymi cyframi? - pierwszą cyfrę takiej liczby możemy wybrać na 9
sposobów (nie może być 0). Drugą też na 9 sposobów (bo nie może być cyfra, którą
napisaliśmy na pierwszym miejscu), a trzecią na 8 sposobów (bo mamy już dwie cyfry
zajęte). Zatem prawdopodobieństwo wynosi
1
3. Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra
jest parzysta, a pozostałe nieparzyste.
Rozwiązanie:
Pierwszą cyfrę liczby, o której mowa w treści zadania musimy wybrać ze zbioru
czyli możemy to zrobić na 4 sposoby. Każdą kolejną cyfrę wybieramy ze zbioru
, czyli możemy to zrobić na 5 sposobów. Razem daje to nam (zasada mnożenia)
,
liczb.
4. Ile liczb parzystych, trzycyfrowych, które nie mają dwóch takich samych cyfr, można
utworzyć z elementów zbioru
?
Rozwiązanie:
Cyfrę jedności można wybrać na 2 sposoby (musi to być 2 lub 4). Cyfrę dziesiątek na 4
sposoby (może to być dowolna cyfra, oprócz już wykorzystanej cyfry jedności). Cyfrę setek
można wybrać na 3 sposoby (dwie cyfry już są zajęte). Zatem wszystkich możliwości jest
5. Na ile sposobów można umieścić w 7 szufladach 3 różne bluzki tak, aby każda była w
innej szufladzie?
Rozwiązanie:
Każdej bluzce musimy przyporządkować unikalny numer szuflady. Można to zrobić na
= 210
sposobów (pierwsza trafia do dowolnej z szuflad, druga nie może znaleźć się w tej co
pierwsza, a trzecia musi być w innej niż dwie pierwsze).
6. W barze są do wyboru: 4 zupy, 5 drugich dań i 3 desery. Ile różnych dań obiadowych
złożonych z zupy, drugiego dania i deseru można zamówić w tym barze? (Za różne
uważamy zestawy, które różnią się przynajmniej jednym elementem).
Rozwiązanie:
Różnych wyborów dań jest
2
7. Oblicz ile liczb podzielnych przez 7 znajduje się w przedziale
.
Rozwiązanie:
Sprawdzamy, czy 1238 dzieli się przez 7. Nie dzieli się, ale iloraz to trochę ponad 176, zatem
pierwszą liczbą podzielną przez 7 w tym przedziale będzie
Podobnie sprawdzamy przy prawym końcu przedziału i otrzymujemy największą liczbę
podzielną przez 7, która jest w tym zbiorze:
Interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 7 i jak poprzednio ustalamy, że
pierwszym jego wyrazem jest
, a ostatnim
. Ze wzoru na -ty wyraz
ciągu arytmetycznego wyliczymy .
8. Spośród wierzchołków graniastosłupa sześciokątnego prostego losujemy jeden
wierzchołek z dolnej podstawy i jeden wierzchołek z górnej podstawy. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, że wylosowane wierzchołki są końcami krawędzi bocznej
graniastosłupa.
Rozwiązanie:
Wierzchołek górnej podstawy możemy wybrać na 6 sposobów, wierzchołek dolnej podstawy
też wybieramy na 6 sposobów. Zatem jest
możliwości wybrania tych wierzchołków. Zdarzeń sprzyjających jest tyle, ile krawędzi
bocznych, czyli 6. Prawdopodobieństwo jest więc równe
3
9. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem
PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr (cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie
może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo utworzonym kodzie PIN
żadna cyfra się nie powtórzy. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Rozwiązanie:
Najpierw policzmy ile jest wszystkich możliwych numerów PIN. Każdą z cyfr można wybrać
na 10 sposobów, czyli wszystkich możliwości wyboru 4 cyfr jest jest
.
Jeszcze trzeba odjąć 1 PIN odpowiadający 0000. W sumie mamy
zatem
możliwych pinów.
A ile jest tych z różnymi cyframi? Pierwszą cyfrę możemy wybrać dowolnie, czyli mamy 10
możliwości. Dla drugiej mamy już tylko 9 możliwości (bo nie możemy wziąć tej, którą
wybraliśmy na pierwszym miejscu), dla trzeciej 8, a dla czwartej 7. Czyli razem
jest
możliwości. Szukane prawdopodobieństwo wynosi zatem
Liczba 1111 oczywiście nie jest podzielna przez ani przez 2 ani przez 5. Można też
sprawdzić, że nie dzieli się przez 7. Oznacza to, że otrzymany ułamek jest nieskracalny.
10. Dane są zbiory liczb całkowitych:
i
. Z każdego z tych
zbiorów wybieramy losowo po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma
wylosowanych liczb będzie podzielna przez 5.
Rozwiązanie:
Wszystkich możliwości wylosowania pierwszej liczby jest a drugiej , czyli
razem
. Łatwo policzyć, że zdarzeń sprzyjających jest 7:
Szukane prawdopodobieństwo wynosi zatem
11. Ze zbioru liczb
losujemy dwa razy po jednej liczbie ze
zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia , polegającego na wylosowaniu
liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.
Każdą z liczb możemy wybrać na 8 sposobów, więc
Wypiszmy wszystkie możliwe zdarzenia sprzyjające
Prawdopodobieństwo jest więc równe
4