grupa 1 - ZSOIE Lubsko

Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Uniwersytet Zielonogórski
VI REGIONALNE MISTRZOSTWA MATEMATYCZNE
LUBSKO 2014
GRUPA 1
Zad. 1 Liczbę 5797 rozłóż na sumę dwóch składników tak, aby jeden ze składników miał na końcu
zero i aby po skreśleniu tego zera otrzymać drugi składnik.
Zad. 2 Na statku jest 31 marynarzy o średniej wieku 23 lata. Średnia wieku wzrośnie do 24 lat,
jeśli doliczy się wiek kapitana tego statku. Oblicz wiek kapitana.
Zad. 3 W trójkącie prostokątnym ze środka przeciwprostokątnej wykreślono proste prostopadłe
do obu przyprostokątnych. Oblicz pole otrzymanego prostokąta, jeżeli wiadomo, że pole trójkąta
jest równe 4028.
Zad. 4 Dany jest prostokąt ABCD o polu 12 cm2 . Na przekątnej AC tego prostokąta obrano
punkt E tak, że pole trójkąta BEC wynosi 1 cm2 . Oblicz pola trójkątów ABE, AED i DEC.
Zad. 5 Oblicz objętość sześcianu wiedząc, że zwiększenie jego krawędzi o 1 cm spowoduje zwiększenie powierzchni całkowitej o 66 cm2 .
Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Uniwersytet Zielonogórski
VI REGIONALNE MISTRZOSTWA MATEMATYCZNE
LUBSKO 2014
GRUPA 2
Zad. 1 Przy dzieleniu liczby x przez y otrzymano wynik 5 oraz resztę 4. Gdy dodamy dzielną,
dzielnik, iloraz i resztę, wówczas otrzymamy liczbę 2425. Znajdź dzielną i dzielnik.
Zad. 2 Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe mniejsze od 400 o następujących własnościach:
- cyfra dziesiątek tej liczby jest o 1 większa od cyfry setek;
- cyfra jedności jest dwukrotnie większa od cyfry setek;
- połowa tej liczby jest liczbą pierwszą.
Zad. 3 Krótsza przekątna równoległoboku o długości 12 cm dzieli równoległobok o kącie miary
45◦ na dwa trójkąty prostokątne. Oblicz obwód i pole tego równoległoboku.
Zad. 4 Z przeciwległych wierzchołków prostokąta prowadzimy odcinki prostopadłe do przekątnej.
Odcinki te dzielą przekątną na trzy równe części o długości p każda. Oblicz pole tego prostokąta.
Zad. 5 Mamy trzy ostrosłupy, w których podstawy są wielokątami foremnymi: trójkątnym, czwo√
rokątnym i sześciokątnym. Wszystkie mają tę samą objętość równą 64 3 i wszystkie mają wysokość
tej samej długości równą 3. Porównaj długości krawędzi ich podstaw.
Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Uniwersytet Zielonogórski
VI REGIONALNE MISTRZOSTWA MATEMATYCZNE
LUBSKO 2014
GRUPA 3
Zad. 1 Dana jest funkcja f (x) = x2 −x. Wyznacz wszystkie rozwiązania równania f (x) = f (x)2014 .
Zad. 2 Pewna liczba dwucyfrowa jest równa kwadratowi sumy jej cyfr jedności i dziesiątek. Znajdź
wszystkie liczby o tej własności.
Zad. 3 Dwa okręgi o promieniach 10 są styczne zewnętrznie. Ze środka lewego okręgu poprowadzono styczną do prawego okręgu. Wyznacz pole obszaru między styczną a okręgami.
Zad. 4 Dwa trójkąty równoboczne mają wspólny środek i boki równoległe. Pole jednego trójkąta
jest dwa razy większe od pola drugiego trójkąta, a bok mniejszego trójkąta ma długość równą 1.
Wyznacz odległość między równoległymi bokami tych trójkątów.
Zad. 5 Oblicz objętość wielościanu, którego krawędziami są odcinki łączące środki sąsiednich ścian
sześcianu o krawędzi równej 5 cm.