RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
LISTA 10
1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano:
201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma
rozkład normalny o średniej 0 i wariancji 9; wyznaczyć przedział ufności dla
mierzonej odległości na poziomie ufności 0.95.
Ponadto, wykonano 5 dodatkowych pomiarów i otrzymano:201, 196, 200,
195, 208. Korzystając ze wszystkich pomiarów wyznaczyć jeszcze raz przedział ufności dla mierzonej odległości oraz porównać długości przedziałów.
2.Na podstawie 100 prób oszacowano średni czas potrzebny do zamontowania elementu i uzyskano (w s): x = 5.5 oraz s = 1.7.Wyznaczyć przedział
ufności dla wartości oczekiwanej czasu montowania na poziomie:
a) 0.90 oraz b) 0.80. Który jest dłuższy?
3.Dla 10 obserwacji cechy o rozkładzie normalnym otrzymano:
7; 7.5; 8.5; 8; 6; 7.5; 6.5; 5.5; 7.5; 6. Wyznaczyć i porównać przedział
ufności dla m gdy: a) σ = 0.5, b) σ nieznane.
4.Klasa przyrządu zależy od odchylenia standardowego wykonywanych
nim pomiarów. W celu zbadania klasy przyrządu służącego do pomiaru masy wykonano nim 12 pomiarów masy tego samego ciała (w mg):
101, 105, 98, 96, 100, 106, 100, 95, 95, 101, 94, 98.
Przy założeniu, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny wyznaczyć 95%
przedział ufności dla odchylenia standardowego.
5.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów natężenia tego samego pola magnetycznego i otrzymano (w Oe):
8, 10, 15, 12, 18, 9, 10, 12, 14, 12. Przyjmując poziom ufności 0.95
wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej oraz dyspersji (odchylenia standardowego) wyników pomiaru tym magnetometrem.
6.Błąd pomiaru wysokości anteny ma rozkład normalny o wariancji 2m2 .
Ile pomiarów należy wykonać, aby na poziomie ufności 0.9 oszacować wysokość anteny w przedziale ufności długości co najwyżej :
a) 1m; b) 0.2m.
7.Aby oszacować ile procent wyborców (p%) jest zdecydowanych poprzeć
danego kandydata w najbliższych wyborach przeprowadzono ankietę wśród
1
n losowo wybranych osób (n ≥ 100) . Na pytanie: czy będziesz głosować na
danego kandydata; ankieta przewidywała 2 odpowiedzi: ”TAK” albo ”NIE”.
Wyznacz przedział ufności dla p na poziomie ufności 1 − α. Przy jakim n
długość przedziału ufności będzie mniejsza niż 0.05 (5%).
Wykonaj obliczenia dla: n = 200, 180 odpowiedzi ”TAK” , α = 0.05.
8.W celu zbadania szczelności opakowań produktów pewnej firmy, wylosowano niezależnie do próby i sprawdzono szczelność 100 opakowań, wykrywając 16 opakowań nieszczelnych. Przyjmując poziom ufności 0.99 oszacować
procent nieszczelnych opakowań firmy.
9.Niech (X1 , X2 , ..., Xn ) oraz (Y1 , Y2 , ..., Ym ) będą niezależnymi próbami
prostymi, że Xk ma rozkład N (m1 , σ), Yk ma rozkład N (m2 , σ). Sprawdzić,
że statystyka
s
X − Y − m1 + m2
qP
n
k=1 (Xk
− X)2 +
Pm
k=1 (Yk
− Y )2
nm(n + m − 2)
n+m
. ma rozkład t-Studenta z (n + m − 2) stopniami swobody.
Odpowiedzi do Listy 10
zad.1 dla n=8 mamy 199.52 ¡ m ¡ 203.7 ,
dla n=13 mamy 199.37 ¡ m ¡ 202.63
zad.2 a) 5.22 ¡ m ¡ 5.78; b) 5.28 ¡ m ¡ 5.72.
zad.4 2.8 ≤ σ ≤ 6.7
zad.5 9.84 ¡ m ¡ 14.16 oraz 2.08 ≤ σ ≤ 5.51.
zad.6 a) n ≥ 22; b) n ≥ 538
zad.8 6% < p < 25.4%
LISTA 11
1. Hipotezę,że wadliwość produktu wynosi 0.1 sprawdzano następująco: z
dużej partii towaru wybierano losowo 100 produktów. Jeśli wśród nich jest
mniej niż 17 wadliwych to całą partię towaru uznajemy za wystarczająco
dobrą, w przeciwnym przypadku partię uznajemy za złą. Obliczyć błąd I rodzaju, błąd II rodzaju, wartość funkcji mocy dla a) p = 0.2; b) p = 0.3;
c) p = 0.5.
Wskazówka: rozkład Bernoulliego przybliżyć rozkładem normalnym.
2.Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety; H: p = 0.5 przeciwko K: p 6= 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny
i zweryfikować hipotezę H gdy w 100 rzutach monetą było 59 orłów, na po2
ziomie istotności:
a) α = 0.1,
b) α = 0.05 .
Obliczyć moc testu gdy p = 0.9, p = 0.4.
3.Niech (X1 , X2 , ..., Xn ) będzie próbą prostą, że Xk ma rozkład N(m,1).
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę H: m=4, przeciwko
K: m > 4, gdy n=25 oraz zaobserwowano x = 4.3. Wyznaczyć i naszkicować
funkcję mocy testu. Podać wartość p-value.
4.Producent twierdzi,że długość życia (w dekadach) produkowanych przez
niego baterii ma rozkład normalny o średniej 48. Długość życia dla zbadanych 7 baterii wyniosła: 44, 46, 49, 42, 51, 40, 45. Czy obserwacje te przeczą
hipotezie producenta o średniej długości życia baterii ? Zweryfikować hipotezę dla α = 0.2.
5.Przyjmując, że grubość produkowanych elementów jest zmienną losową
o rozkładzie N(m, σ) zweryfikować na poziomie istotności α = 0.1 hipotezę
H: m=100 przeciwko K: m 6= 100 dla następujących obserwacji: 95, 103,
104, 97, 100.
6.Zużycie energii elektrycznej (w kWh) przez pewną firmę w 10 losowo
wybranych dniach było następujące:
104, 100, 105, 110, 106, 105, 102, 105, 107, 106. Zakładając,że zużycie
energii ma rozkład normalny , na poziomie istotności α = 0.025 zweryfikować
hipotezę H: σ 2 = 10 przeciwko K: σ 2 > 10.
7.Producent twierdzi, że produkowany przez niego przyrząd nie popełnia
błędu systematycznego oraz odchylenie standardowe wyników pomiaru wynosi σ = 0.01. W celu sprawdzenia przyrządu wykonano nim 10 niezależnych
pomiarów wzorca w=10.00 i uzyskano:
9.97, 9.96, 10.00, 10.01, 9.99, 10.01, 10.00, 10.02, 10.00, 10.03.
Zakładając, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny zweryfikować na poziomie istotności α = 0.01:
a) hipotezę producenta o błędzie systematycznym oraz
b) hipotezę σ = 0.01 przeciwko hipotezie, że rzeczywiste odchylenie jest większe.
8.Pewien eksperymentator twierdzi, że opracował nową (lepszą) metodę
odsiarczania rud miedzi. Dokonano pomiarów zawartości siarki i otrzymano
dla metody:
3
starej: 17, 11, 22, 18, 15, 13, 14, 16
nowej: 15, 12, 10, 18, 14, 15, 13.
Przyjmując, że zawartość siarki ma rozkład normalny zweryfikować odpowiednia hipotezę na poziomie istotności α = 0.05.
9.Błędy pomiarów każdego z 2 przyrządów mają rozkład normalny o takiej samej wariancji, równej 3. Badając zgodność pomiarów wykonano po 6
pomiarów każdym przyrządem i otrzymano: x1 = 66.7, x2 = 67.3;
a)zweryfikować odpowiednią hipotezę na poziomie istotności α = 0.05;
b) wyznaczyć błąd II rodzaju. gdy różnica między średnimi wynosi 2.44.
10.W wyniku 20 pomiarów temperatury otrzymano x = 4.8. Zakładając,
że utrzymywana temperatura jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
N(m,0.1) na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotezę H: m = 5
przeciwko alternatywie:
a) K: m < 5 oraz b) K: m 6= 5.
11.Pomiary napięcia prądu mają rozkład normalny. Dokonano 15 niezależnych pomiarów napięcia i otrzymano s2 = 1.4. Na poziomie istotności
α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że wariancja pomiarów wynosi 1.2.
Odpowiedzi do Listy 11
zad.1 α = 0.0038,
niech M(p) oznacza moc testu dla parametru p; M(0.2)=0.7734, M(0.3)=0.9977,
M(0.5)=1, β = 1 − M (p)
zad.2 a) Q = {0, 1, ..., 41} ∪ {59, 60, ..., 100}, odrzucamy H gdy zaobserwowano 59 orłów
b)Q = {1, 2, ..., 40} ∪ {60, 61, ...100}, nie ma podstaw do odrzucenia H gdy
zaobserwowano 59 orłów.
M(0.4)=0.5793, M(0.9)=1
zad.3 Q = (1.64; ∞); u=1.5, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy;
p-value =1-Φ(1.5) =0.0668
M(m)=Φ(−1.64 + 5(m − 4))
zad.4 t=-1.877; 6 stopni swobody; Q = (−∞, −0.906), odrzucamy hipotezę
zad.5 t=-0.17; 4 st.swobody; Q = (−∞, −2.132) ∪ (2.132, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia H
zad.6 χ2 = 6.1; 9 st.swobody; Q = (19.02, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H
zad.7 a) H: m=0 (błąd systematyczny wynosi 0 )
K: m 6= 0
t=-0.1; 9 st.swobody; Q = (−∞, −3.25) ∪ (3.35, ∞), nie ma podstaw do
4
odrzucenia hipotezy H
b) H: σ 2 = 0.0001 przeciwko K: σ 2 > 0.0001
χ2 = 34; 9 st.swobody, Q = (21.67, ∞), odrzucamy H na podanym poziomie
istotności
zad.8 H: ms = mn przeciwko K: ms > mn
t=1.48; 13 st.swobody Q = (1.771, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H
zad.9 a) H: m1 = m2 przeciwko K: m1 6= m2
u=-0.6, Q = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, ∞) , nie ma podstaw do odrzucenia H
b) β = 0.3156
zad.11 χ2 = 17.5; 14 st.swobody Q = (23.68, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia H
LISTA 12
1.W celu sprawdzenia symetryczności kostki do gry wykonano nią 120 rzutów
i otrzymano:
liczba oczek
1 2 3 4 5 6
liczba rzutów 11 30 14 10 33 22
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że kostka jest symetryczna.
2.Zmienna losowa X oznacza liczbę kolizji komunikacji miejskiej w ciągu
jednej doby.Na podstawie obserwacji próby prostej: 3,2,2,1,4,0,4,2,3 zweryfikować hipotezę ,że X ma rozkład Poissona z λ = 2. Przyjąć α = 0.025.
3.Prześwietlono 100 niezależnych próbek tego samego materiału i uzyskano następujące liczby skaz:
liczba skaz
0 1 2 3 4 5
liczba próbek 10 27 29 19 8 7
Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezę, że liczba skaz w
próbkach ma rozkład Poissona.
4.W pewnym doświadczeniu mierzy się czas (w s) występowania określonego efektu świetlnego. Dla 1000 niezależnych doświadczeń uzyskano:
czas efektu
0-2 2-4 4-6 6-8 8-10
liczba dośw. 90 140 320 300 150
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że czas występowania
efektu świetlnego ma rozkład normalny.
5.Zbadano zależność między ilością pewnej substancji dodawanej do produkcji wyrobu a jego twardością:
5
ilość substancji: 1, 2, 4, 6, 7
twardość wyrobu: 52, 53, 48, 50, 52
a) czy istnieje zależność między ilością dodawanej substancji a wytrzymałością wyrobu?
b) wyznaczyć równanie prostej regresji
c) obliczyć spodziewaną wytrzymałość wyrobu, gdy do produkcji dodamy 8
jednostek substancji
d) obliczyć współczynnik korelacji rang Spearmana.
Odpowiedzi do Listy 12
zad.1 χ2 = 24.50, Q = (11.07, ∞), odrzucamy hipotezę
zad.2 χ2 = 2.8434,4 st.swobody Q = (11.141, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
zad.3 χ2 = 4.4107, 5 st.swobody Q = (13.277, ∞) , nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy
zad.4 χ2 = 52, 43, r=5, 2 st.swobody Q = (5.991, ∞) , odrzucamy hipotezę
zad.5 a) r=-0.27, b) y = −0.23x + 51.92
c) 50.08, d) rs = −0.275
6