Kliknij tutaj - Wydawnictwa PTM - Polskie Towarzystwo Matematyczne

Wiad. Mat. 46 (2) 2010, 141–161
c 2010 Polskie Towarzystwo Matematyczne
Krzysztof Stempak (Wrocław, Opole)
Analiza harmoniczna
oscylatora kwantowego
1. Wstęp
Celem niniejszego artykułu jest przedstawienie pewnych aspektów
analizy harmonicznej oscylatora kwantowego
H = −∆ + kxk2,
a także jego modyfikacji związanych z intensywnie ostatnio rozwijającą
się teorią operatorów Dunkla. Symbol ∆ oznacza operator Laplace’a, ∆ =
Pd
2
∂2
i=1 /∂xi , działający na odpowiednio gładkich funkcjach określonych
d
na R , d ­ 1, natomiast kxk jest normą euklidesową wektora x ∈ Rd.
Oscylator kwantowy jest ważnym operatorem fizyki matematycznej
(zwanym tam kwantowym oscylatorem harmonicznym). Jest on jednym
z niewielu systemów kwantowo-mechanicznych, dla których znane jest
jawne rozwiązanie.
Z punktu widzenia analizy harmonicznej, H jest modelowym przykładem operatora nieograniczonego, którego teoria spektralna ma bardzo
przejrzysty wygląd. Zacznijmy od dobrze znanych faktów, których uzasadnienie można znaleźć na przykład w monografii Reeda i Simona
[13]. Przede wszystkim, H jest szczególnym przypadkiem operatora
Schrödingera, tzn. operatora postaci −∆+V (x), gdzie V jest potencjałem,
a więc funkcją na Rd o wartościach rzeczywistych, zwykle spełniającą
pewne dodatkowe założenia (jak na przykład V ­ 0, V ∈ L1loc (Rd )).
W związku z tym, część podstawowych własności operatora H jest
konsekwencją ogólniejszej teorii operatorów Schrödingera. Na przykład,
traktując H jako operator określony na dziedzinie S(Rd ) (przestrzeń
funkcji Schwartza), natychmiast widać, że H jest symetryczny,
hHf, gi = hf, Hgi,
f, g ∈ S(Rd ),
142
K. Stempak
a więc domykalny (h·, ·i oznacza tu kanoniczny iloczyn skalarny w L2 (Rd ))
oraz nieujemny, tzn. hHf, f i ­ 0 dla f ∈ S(Rd ). W tym miejscu ogólna
teoria mówi, że H jest istotnie samosprzężony na S(Rd ), czyli jego
domknięcie H jest operatorem samosprzężonym w L2 (Rd ).
Operator Schrödingera jest podstawowym obiektem matematycznym
mechaniki kwantowej. W teorii tej funkcja f ∈ L2 (Rd ) o normie kf k = 1
jest nazywana stanem, a |f |2 jest rozkładem prawdopodobieństwa konfiguracji rozpatrywanego układu (elektronów, cząstek, molekuł). Operator
H jest wówczas nazywany hamiltonianem, gdyż mechanika kwantowa jest
niekomutatywną wersją klasycznej mechaniki hamiltonowskiej. Ewolucja
rozpatrywanego układu w czasie opisana jest równaniem Schrödingera
∂t f = iHf , z rozwiązaniem zadanym wzorem f (t, x) = eitH f0 (x), gdzie
f0 jest stanem początkowym. Wielkość hHf, f i jest energią całkowitą
układu i rozdziela się na energię kinetyczną h−∆f, f i i energię potencjalną hVf, f i.
Wracając do samosprzężonego rozszerzenia operatora H, to okazuje
się, że można je zrealizować w łatwy sposób wiedząc, że układ wielowymiarowych funkcji Hermite’a jest układem ortonormalnym i zupełnym
w L2 (Rd ), złożonym z funkcji własnych operatora H.
Zacznijmy więc od wielomianów Hermite’a. Są to wielomiany określone na R wzorem
2
dn −x2
, n ∈ N = {0, 1, . . .}.
Hn (x) = (−1)n ex dx
ne
R
√
2
Jest to układ ortogonalny, R Hn (x)Hm (x)e−x dx = δnm π 2n n!, i zu2
pełny w L2 (R, e−x dx). Ponadto
d2
d
− dx
2 + 2x dx Hn = 2nHn .
(d-wymiarowy odpowiednik powyższego operatora, czyli −∆ + 2x · ∇,
nazywany jest operatorem Ornsteina–Uhlenbecka.) Wobec tego układ
funkcji Hermite’a
√
2
1
hn (x) = ( π 2n n!)− /2 Hn (x) exp − x2
jest układem ortonormalnym w L2 (R, dx) oraz zachodzi równość
2
d2
− dx
hn = (2n + 1)hn .
(1)
2 + x
2
Ponadto jest to układ zupełny w L (R, dx).
Jest jasne, że tensorowanie jednowymiarowych funkcji Hermite’a
doprowadzi do układu ortonormalnego i zupełnego w L2 (Rd ); myślimy
w tym miejscu o układzie wielowymiarowych funkcji Hermite’a {hk },
k ∈ Nd , zadanych wzorem
hk (x) =
d
Y
i=1
hki (xi ),
x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd , k = (k1 , . . . , kd ).
Analiza harmoniczna oscylatora kwantowego
143
Na dodatek, równość (1) prowadzi do wzoru
−∆ + kxk2 hk = λk hk , λk = 2|k| + d,
gdzie |k| = k1 + · · · + kd oznacza długość wielowskaźnika k ∈ Nd. Mając
bazę ortonormalną złożoną z funkcji własnych symetrycznego operatora H, jego samosprzężone rozszerzenie H (równe H) buduje się według
dobrze znanego schematu (patrz [2, Lemma 1.2.2]). Najpierw definiujemy
dziedzinę
n
o
X
λk hf, hk i2 < ∞ ,
Dom(H) = f ∈ L2 (Rd ) :
k∈Nd
a następnie operator
X
Hf =
λk hf, hk ihk , f ∈ Dom(H).
k∈Nd
Oczywiście H jest także operatorem nieujemnym, a na dodatek jego
spektrum to dyskretny zbiór {2n + d : n ∈ N}. Rozkład spektralny H
ma bardzo czytelny opis:
Hf =
∞
X
(2n + d)Pn f,
f ∈ Dom(H),
n=0
gdzie Pn jest rzutem ortogonalnym odpowiadającym wartości własnej
P
2n + d, zadanym wzorem Pn g = |k|=n hg, hk ihk dla g ∈ L2 (Rd ).
2. Półgrupa ciepła i funkcja maksymalna
Niezwykle istotnym obiektem z punktu widzenia analizy harmonicznej operatora H jest stowarzyszona z nim półgrupa ciepła {e−tH }, t > 0,
zdefiniowana przy pomocy twierdzenia spektralnego wzorem
−tH
e
f=
∞
X
n=0
f ∈ L2 (Rd ).
e−(2n+d)t Pn f,
Jest to mocno ciągła półgrupa kontrakcji na L2 (Rd ), dla której H jest
generatorem infinitezymalnym. Okazuje się, że operatory półgrupy mają
reprezentację całkową Z
e−tH f (x) =
x ∈ Rd , t > 0,
Gt (x, y)f (y) dy,
Rd
gdzie jądro ciepła {Gt }t>0 zadane jest formułą
Gt (x, y) =
∞
X
n=0
e
−(2n+d)t
∞
X
hk (x)hk (y).
|k|=n
Zwartą postać jądra ciepła wyprowadza się z poniższego wzoru Mehlera
dla wielomianów Hermite’a:
∞
X
1
Hn (x)Hn (y) n
2
2
r2
2r
r = (1 − r2 )− /2 exp − 1−r
2 (x + y ) + 1−r 2 xy ,
2n n!
n=0
|r| < 1
144
K. Stempak
(patrz [6, (4.9.5)]), dla funkcji Hermite’a otrzymując
∞
X
hn (x)hn (y)rn = (π(1 − r2 ))− /2
1
n=0
2
2
2
· exp − 12 1+r
1−r2 (x + y ) +
2r
1−r2 xy
,
x, y ∈ R.
Po łatwych przekształceniach, w przypadku d-wymiarowym, dla t > 0
dostaje się formułę:
−d/2
Gt (x, y) = 2π sinh(2t)
· exp − 12 ctgh(2t)kx − yk2 − tgh(t)xy ,
P
x, y ∈ Rd ,
(2)
gdzie xy = d1 xi yi jest iloczynem skalarnym w Rd. W takiej właśnie
postaci (lub równoważnej, patrz na przykład [4, (1.87)] lub [21, (4.12),
(4.13)]), jądro {Gt }t>0 było używane przez długi czas do analizy obiektów
związanych z oscylatorem kwantowym. Okazało się jednak, że dzięki
następującej, zadziwiająco symetrycznej formie jądra ciepła,
−d/2
Gt (x, y) = 2π sinh(2t)
· exp − 14 tgh(t)kx + yk2 + ctgh(t)kx − yk2 ,
(3)
mógł być dokonany znaczący postęp w badaniach powiązanych z analizą
harmoniczną oscylatora kwantowego. Formuła (3) pojawiła się po raz
pierwszy w artykule [19], choć w odrobinę innej (mniej jawnej) formie
wystąpiła już w pracy [17], i była inspirowana podobną formułą, która
pojawiła się przy okazji analizy operatora Ornsteina–Uhlenbecka, patrz
[5, (3) i (7)]. Przejście od (2) do (3) nie jest trudne: trzeba tylko chcieć
wyobrazić sobie symetryczną formę wzoru (2) w kształcie zbliżonym
do (3), a następnie wyliczyć współczynniki, które powinny stać przy
kx ± yk2 .
Zobaczmy teraz, jakie korzyści daje stosowanie wzoru (3) przy pierwszej próbie dokładniejszej analizy jądra ciepła {Gt }t>0 . Otóż, dzięki
oczywistym nierównościom sinh 2t > 2t, ctgh t > 1t (dla t > 0), otrzymujemy
Gt (x, y) ¬ Wt (x − y), x, y ∈ Rd ,
(4)
gdzie {Wt }t>0 jest klasycznym jądrem Gaussa–Weierstrassa na Rd,
2
Wt (x) = (4πt)− /2 exp − kxk
4t ,
d
x ∈ Rd.
Co więcej, zastosowanie wzoru sinh 2t = 2 sinh t cosh t prowadzi do jeszcze dokładniejszego (dla małych t) oszacowania
Gt (x, y) ¬ (cosh t)−d Wtgh t (x − y),
x, y ∈ Rd.
(5)
145
Analiza harmoniczna oscylatora kwantowego
Jeżeli teraz działanie półgrupy {e−tH }t>0 na L2 (Rd ) rozszerzymy wzorem
Tt f (x) =
Z
Gt (x, y)f (y) dy,
Rd
x ∈ Rd, t > 0,
(6)
na dowolną funkcję z przestrzeni Lp (Rd ), 1 ¬ p ¬ ∞, to oszacowanie (4)
implikuje kontraktywność Tt na każdym Lp (Rd ), 1 ¬ p ¬ ∞ (szybkie
malenie Gt (x, y) przy kyk → ∞, dla dowolnie ustalonych x ∈ Rd i t > 0,
wraz z nierównością Höldera gwarantują zbieżność całki we wzorze
(6) dla wszystkich f ∈ Lp (Rd ), 1 ¬ p ¬ ∞, i x ∈ Rd ). Nawet więcej,
oszacowanie (5) daje dokładniejszą informację: kTt kLp →Lp ¬ (cosh t)−d
dla t > 0. Ponadto, funkcja maksymalna T∗ zbudowana w oparciu o półgrupę {Tt }t>0 jest, dzięki oszacowaniu (4), majoryzowana operatorem
maksymalnym Hardy’ego–Littlewooda M , czyli
T∗ f (x) = sup |Tt f (x)| ¬ Mf (x),
t>0
x ∈ Rd.
To pozwala natychmiast napisać oszacowanie
kT∗ f kp . kf kp ,
f ∈ Lp (Rd ), 1 < p ¬ ∞,
i stosowny odpowiednik dla p = 1, tak zwany słaby typ (1, 1),
{x ∈ Rd : |T∗ f (x)| > λ} . 1 kf k1 ,
λ
f ∈ L1 (Rd ), λ > 0,
gdzie |A| oznacza miarę Lebesgue’a zbioru A ⊂ Rd (tu i dalej piszemy
X . Y zamiast X ¬ CY ze stałą C > 0 niezależną od istotnych składników wyrażeń X i Y ). Powyższe oszacowania mają istotne znaczenie przy
badaniu punktowego zachowania się całki ciepła g(t, x) = Tt f (x) przy
brzegu określoności: dla f ∈ Lp (Rd ), 1 ¬ p < ∞, mamy g(t, x) → f (x)
x-prawie wszędzie, gdy t → 0+. Warto w tym miejscu zaznaczyć, że
{Tt }t>0 nie jest markowską półgrupą kontrakcji (jest to tylko półgrupa
podmarkowska), ponieważ obraz funkcji tożsamościowo równej 1 jest
różny od niej samej; dokładniej, zachodzi równość (patrz [19])
Tt 1(x) = (cosh 2t)− /2 exp − 21 tgh(2t)kxk2 .
d
3. Transformaty Riesza
Innym miejscem, gdzie symetria wzoru (3) pomogła w uzyskaniu
nietrywialnych wyników, jest teoria transformat Riesza dla operatora H.
Teoria ta została zainicjowana przez Thangavelu w książce [21]. Wypada
przypomnieć, że klasyczne transformaty Riesza (związane z laplasjanem
w Rd ) zdefiniowane są (formalnymi) wzorami Rj = ∂j (−∆)−1/2, j =
1, . . . , d. Ścisłą definicję Rj , jako ograniczonego operatora na L2 (Rd ),
xj ˆ
d
podaje się przy pomocy transformaty Fouriera, R
j f = i kxk f , gdzie
146
K. Stempak
f ∈ L2 (Rd ). Okazuje się, że Rj jest stowarzyszony z jądrem splotowym
xj
cd kxkd+1
, a teoria całek singularnych pozwala wówczas wywnioskować
ograniczoność Rj na Lp , 1 < p < ∞, oraz słaby typ (1, 1) (patrz
książki [16] lub [3]).
Pojęcie transformat Riesza definiowane było następnie w kontekstach
wielu operatorów różniczkowych drugiego rzędu zastępujących klasyczny
laplasjan, przy czym role pochodnych cząstkowych ∂j brały na siebie
pewne operatory różniczkowe pierwszego rzędu, będące integralnymi
„cegiełkami” rozważanego operatora. W przypadku operatora H sprawa
ma się tak: oznaczając przez δj i δj∗ operatory kreacji i anihilacji,
δj =
∂
∂xj
δj∗ = − ∂x∂ j + xj
+ xj ,
(zauważmy, że δj∗ jest operatorem formalnie sprzężonym do δj ), otrzymujemy wzór
d
X
δj δj∗ + δj∗ δj .
H = 12
j=1
Powyższy rozkład daje podstawę do formalnej definicji transformat
Riesza stowarzyszonych z H. Określamy zatem
1
Wobec równości
Rj = δj H− /2,
j = 1, . . . , d.
1
δj hk = (2kj ) /2 hk−ej ,
(7)
gdzie ej jest wersorem j-tej osi (z 1 na j-tym miejscu; jeśli kj = 0, to
kładziemy hk−ej ≡ 0), przyjmuje się następującą ścisłą definicję Rj na
L2 (Rd ) przy użyciu rozwinięć względem {hk }:
Rj f =
X 2k 1/2
j
2|k|+d
k∈Nd
(8)
hf, hk ihk−ej .
Mając na uwadze formalną tożsamość
H
−1/2
=
1
Γ(1/2)
Z∞
1
e−tH t− /2 dt,
0
należałoby się spodziewać, że tak określony operator Rj , ograniczony na
L2 (Rd ), powinien być w jakiś sposób stowarzyszony z jądrem całkowym
Rj (x, y) =
1
Γ(1/2)
Z∞
0
∂
∂xj
1
+ xj Gt (x, y)t− /2 dt.
Tak rzeczywiście jest, ale ze względu na niecałkowalną osobliwość jądra
Rj (x, y) wzdłuż przekątnej {(x, x) : x ∈ Rd }, stowarzyszenie ma nastę-
Analiza harmoniczna oscylatora kwantowego
147
pujący słaby charakter: dla dowolnych f, g ∈ Cc∞ (Rd ) o rozłącznych
nośnikach, jeśli Rj f jest zadana wzorem (8), to zachodzi równość
hRj f, gi =
Z Z
Rj (x, y)f (y)g(x) dy dx.
(9)
Rd Rd
Całka po prawej stronie ma sens ze względu na rozłączność nośników
i oszacowanie
C
x, y ∈ Rd,
(10)
|Rj (x, y)| ¬ kx−yk
d,
zwane warunkiem wzrostu. Obok (10), jądro Rj (x, y) spełnia także warunek gładkości
C
k∇x,y Rj (x, y)k ¬ kx−yk
x, y ∈ Rd,
(11)
d+1 ,
gdzie ∇x,y oznacza pełny gradient w R2d, a norma po lewej stronie
wzoru (11) jest normą wektora w R2d (oszacowania postaci (10) i (11)
nazywa się standardowymi ). W ten sposób znaleźliśmy się w centrum
teorii operatorów Calderóna–Zygmunda (w dalszej części używać będziemy skrótu „C–Z”). Na mocy definicji, operator C–Z (niesplotowy) to
operator ograniczony na L2 (Rd ), stowarzyszony w sensie równości (9)
z jądrem dwóch zmiennych x i y, które to jądro spełnia warunki wzrostu
i gładkości. Tak naprawdę, warunek gładkości jest tylko środkiem do
uzasadnienia, że jądro spełnia pewną nierówność całkową nazywaną
warunkiem Hörmandera.
Stwierdzenie, że operator jest operatorem C–Z ma zasadniczo dwie
konsekwencje: przede wszystkim ograniczoność na Lp, 1 < p < ∞, i słaby typ (1, 1). Ponadto, operator C–Z jest ograniczony na wagowych
przestrzeniach Lp z wagami spełniającymi warunek Ap Muckenhoupta.
Przystępny opis teorii operatorów C–Z znaleźć można w książce [3].
Aby poznać smak uzasadnienia standardowych oszacowań przy użyciu
wzoru (3), ograniczymy się do pokazania oszacowania wzrostu (10), a tak
naprawdę – traktując Rj (x, y) jako sumę dwóch całek po (0, ∞) – skupimy uwagę na tej pochodzącej od mnożenia przez xj (drobna modyfikacja
daje analogiczną konkluzję dla całki z uwzględnieniem ∂x∂ j ). Piszemy
Z∞
0
|xj |Gt (x, y)t
−1/2
dt =
Z1
0
+
Z∞
1
≡ I0 + I∞
i szacujemy osobno każdą z całek I0 , I∞ . Szacowanie opiera się na
następującej elementarnej nierówności: przy oznaczeniu
Ea (T ) =
Z1
0
ζ −a exp(−T ζ −1 ) dζ,
T > 0,
148
K. Stempak
gdzie a ∈ R jest ustalone, mamy
Ea (T ) . exp − T2 ,
a dla 0 < T < 1,



1,
log T2 ,


T −a+1 ,
Ea (T ) '
T ­ 1,
(12)
a < 1,
a = 1,
a > 1.
(13)
Wykorzystując (3) oraz elementarne nierówności dla funkcji hiperbolicznych sinh(2t) > 2t, coth(t) > 1/t, tanh(t) > t/2, ostatnia nierówność
przy ograniczeniu 0 < t < 1 , otrzymujemy wówczas
I0 .
Z1
t−
(d+1)/2
0
2
kxk exp − 41 kx−yk
t
exp − 18 tkx + yk2 dt.
Jeśli teraz xy ¬ 0, to wówczas kxk ¬ kx − yk i zaniedbując czynnik
exp − 18 tkx + yk2 szacujemy dalej:
I0 .
Z1
t− /2
.
Z1
t− /2 exp − 18 kx−yk
t
¬
Z1
t−
d
0
0
kx−yk2
t
d
+1
2
2
exp − 18 kx−yk
t
d
0
1/2
2
2
exp − 18 kx−yk
t
dt .
dt ¬
2
exp − 18 kx−yk
t
dt .
. kx − yk−d ;
po drodze skorzystaliśmy z faktu, że supu>0 u1/2 exp(− 18 u) = C < ∞,
a ostatnia nierówność jest oczywiście konsekwencją wzorów (12) i (13).
Jeśli natomiast xy ­ 0, to kxk ¬ kx + yk i tym razem szacowanie
przebiega następująco:
I0 .
Z1
t−
.
Z1
t−
(d+2)/2
exp − 14 kx−yk
t
(d+2)/2
exp − 14 kx−yk
t
0
0
. kx − yk−d.
2
2
tkx + yk2
dt .
1/2
exp − 18 tkx + yk2 dt .
149
Analiza harmoniczna oscylatora kwantowego
Szacowanie I∞ jest prostsze. Wykorzystując wzór (3) oraz nierówności
sinh(2t) > 14 e2t, coth(t) > 1, tanh(t) > 41 (przy ograniczeniu t > 1),
otrzymujemy
Z∞
1
I∞ . kxk exp − 16
kx + yk2 exp − 14 kx − yk2
. exp − 18 kx − yk
. kx − yk .
−d
2
.
e−dt dt .
1
Powyżej, tak jak poprzednio, czynnik kxk zastępujemy – w zależności od
sytuacji – bądź przez kx + yk, bądź przez kx − yk i łączymy ze stosownym
czynnikiem wykładniczym.
W pracy [20] zbadano również transformaty Riesza wyższych rzędów
przy użyciu metod zbliżonych do tych opisanych wyżej, wykazując, że
są one także operatorami Calderóna–Zygmunda.
4. Funkcje kwadratowe
Idee stosowane przy badaniu transformat Riesza znalazły również
zastosowanie w analizie funkcji kwadratowych (zwanych także g-funkcjami ) związanych z rozwinięciami Hermite’a (patrz [18]). Najbardziej
klasyczną ze wspomnianych funkcji jest funkcja kwadratowa g zbudowana
w oparciu o półgrupę Tt = e−tH,
1/2
Z∞
∂ Tt f (x)2 tdt .
g(f )(x) =
∂t
0
Jest to obiekt nieliniowy, ale dobrze znany zabieg linearyzacji (patrz [16])
pozwala badanie oszacowań Lp nieliniowego operatora g zamienić na
badanie nierówności Lp odpowiednio zlinearyzowanego obiektu. Idea
polega na rozpatrzeniu operatora liniowego o wartościach wektorowych,
danego wzorem
∂
G(f )(x) = ∂t
Tt f (x) t>0 .
Jak widać, funkcji f na Rd przyporządkowujemy funkcję G(f ) na Rd,
której wartościami są funkcje zmiennej t na (0, ∞). Zauważmy, że
g(f )(x) = {∂t Tt f (x)}t>0 L2 (tdt) .
(14)
Łatwy rachunek bazujący na tożsamości Parsevala pokazuje, że G jest
ograniczonym operatorem z L2 (Rd ) do L2 (Rd, L2 (tdt)) (a nawet izometrią
z dokładnością do czynnika 1/2). Mamy bowiem
Z
Rd
{∂t Tt f (x)}t>0 2 2
L (tdt)
dx =
Z∞ Z
0 Rd
|∂t Tt f (x)|2 dx tdt
150
K. Stempak
=
Z∞ X
∞
0
=
1
4
(2n + d)2 e−2t(2n+d)
n=0
∞
X
X
X
hf, hk i2 tdt
|k|=n
|hf, hk i|2 = 14 kf k22 .
n=0 |k|=n
Do zbadania operatora G używa się techniki operatorów C–Z o wartościach wektorowych. Definiujemy jądro o wartościach wektorowych
Rd × Rd 3 (x, y) 7→ ∂t Gt (x, y)
t>0
∈ L2 (tdt).
(15)
Okazuje się, że jest ono stowarzyszone z operatorem G (w sensie analogicznym do wcześniej opisanego). Następnie pokazujemy, że jądro spełnia
oszacowania standardowe
C
{∂t Gt (x, y)}t>0 2
¬
L (tdt)
kx − ykd
(zatem rzeczywiście odwzorowanie w (15) jest do L2 (tdt)), oraz
kx − x0 k
{∂t Gt (x, y)}t>0 − {∂t Gt (x0 , y)}t>0 2
¬
C
,
L (tdt)
kx − ykd+1
dla kx − yk ­ 2kx − x0 k, a także analogiczną nierówność z zamianą
(po lewej stronie) pary (x0 , y) na (x, y 0 ) i zamianą (po prawej stronie
nierówności) kx − x0 k na ky − y 0 k, tym razem przy założeniu kx − yk ­
2ky − y 0 k.
Wobec tego G jest operatorem C–Z o wartościach wektorowych,
a korzyści płynące z tego stwierdzenia są analogiczne do tych z sytuacji
skalarnej: mamy wagowe oszacowanie Lp,
kG(f )kLpw (Rd, L2 (tdt)) ¬ Cp kf kLpw (Rd ) ,
1 < p < ∞,
dla wag w z klasy Muckenhoupta Ap (Rd ), oraz stosowne wagowe oszacowanie słabego typu (1, 1), gdy p = 1. Tożsamość (14) pozwala natychmiast przetłumaczyć nierówność znajdującą się powyżej na tę, która
była od początku celem, czyli
kg(f )kLpw (Rd ) ¬ Cp kf kLpw (Rd ) ,
1 < p < ∞,
i analogicznie w przypadku, gdy p = 1.
Oszacowania Lp dla funkcji kwadratowych są istotne ze względu na
zastosowania, na przykład w dowodach twierdzeń mnożnikowych. Taka
właśnie metoda użyta była przez Thangavelu do dowodu twierdzenia
mnożnikowego dla rozwinięć względem funkcji Hermite’a (patrz [21]).
Analiza harmoniczna oscylatora kwantowego
151
5. Operator całkowania ułamkowego
W klasycznej sytuacji euklidesowej operator całkowania ułamkowego
(zwany także potencjałem Riesza) jest dla 0 < σ < d zadany formułą
I σ f (x) =
Z
Rd
1
f (y) dy,
kx−ykd−σ
x ∈ Rd,
przy czym za naturalną dziedzinę tego operatora przyjmuje się przestrzeń
tych wszystkich funkcji f , dla których powyższa całka jest zbieżna x-prawie wszędzie. Łatwo zauważyć, że np. przestrzenie Lp (Rd ), 1 ¬ p < d/σ
zawierają się w tak określonej dziedzinie. Znaczenie operatora I σ bierze
się stąd, że
σ
(−∆)− /2 f = cσ,d I σ f, f ∈ S(Rd ),
z odpowiednio dobraną stałą cσ , gdzie ujemna potęga (−∆)−σ/2 zdefiniowana jest na L2 (Rd ) przy pomocy transformaty Fouriera. Ma miejsce następujące istotne oszacowanie, zwane nierównością Hardy’ego–
–Littlewooda–Sobolewa: jeżeli 0 < σ < d, 1 ¬ p < d/σ oraz 1/q = 1/p − σ/d,
to dla p > 1 mamy oszacowanie mocnego typu (p, q)
kI σ f kq . kf kp ,
f ∈ Lp (Rd ),
natomiast dla p = 1 zachodzi oszacowanie słabego typu (1, q)
{x ∈ Rd : |I σ f (x)| > λ}1/q . 1 kf k1 ,
λ
λ > 0, f ∈ L1 (Rd ).
Ujemne potęgi oscylatora kwantowego, H−σ dla σ > 0, definiuje się
przy pomocy twierdzenia spektralnego, jako operatory na L2 (Rd ) zadane
wzorem
X
H−σ f =
(2|k| + d)−σ hf, hk i hk .
(16)
k∈Nd
Zauważmy, że są to kontrakcje na L2 (Rd ). Formalna równość
H−σ =
1
Γ(σ)
Z∞
e−tH tσ−1 dt
0
jest motywacją do zdefiniowania jądra potencjału
1
K (x, y) =
Γ(σ)
σ
Z∞
Gt (x, y)tσ−1 dt.
(17)
0
Stosowne malenie Gt (x, y) przy t → ∞ lub t → 0+ pokazuje, że dla
σ > d/2 całka we wzorze (17) jest zbieżna dla dowolnych x, y ∈ Rd,
podczas gdy dla 0 < σ ¬ d/2 całka jest zbieżna, o ile x 6= y.
152
K. Stempak
Okazuje się, że jądro potencjału jest dominowane przez splotowe
jądro całkowalne. Dokładniej (patrz [1] lub [12]),
gdzie
0 < Kσ (x, y) . K σ (x − y),
2
K σ (x) = exp − kxk
,
8
a dla kxk < 1,
K σ (x) =



1,



4
log kxk
,
kxk2σ−d ,
(18)
kxk ­ 1,
σ > d2 ,
σ = d2 ,
σ < d2 .
Widać natychmiast, że K σ ∈ L1 (Rd ) dla σ > 0. Ponadto, jeśli σ > d/2,
to K σ ∈ Lr (Rd ) dla każdego 1 ¬ r ¬ ∞, jeśli σ = d/2, to K σ ∈ Lr (Rd )
dla 1 ¬ r < ∞, jeśli natomiast σ < d/2, to K σ ∈ Lr (Rd ) wtedy i tylko
wtedy, gdy r < d/(d − 2σ).
Następnie definiujemy operator potencjału I σ,
σ
I f (x) =
Z
Kσ (x, y)f (y) dy,
Rd
Dom(I σ )
na naturalnej dziedzinie
składającej się z tych funkcji f , dla
których powyższa całka jest x-prawie wszędzie zbieżna (heurystycznie,
1 R ∞ −tH
I σ f = Γ(σ)
f tσ−1 dt). Wcześniejsza uwaga, że K σ ∈ L1 (Rd )
0 e
oraz nierówność (18) implikują zawieranie Lp (Rd ) ⊂ Dom(I σ ), gdzie
1 ¬ p ¬ ∞.
Zachowanie operatora I σ ze względu na oszacowania Lp − Lq jest całkowicie różne od tego dla I σ (patrz [1, Theorem 8] lub [12, Theorem 2.3]).
Jeśli bowiem σ ­ d/2, to
kI σ f kq . kf kp ,
f ∈ Lp (Rd ),
(19)
dla dowolnych 1 ¬ p ¬ ∞, 1 ¬ q ¬ ∞ z wyłączeniem przypadków,
gdy σ = d/2 oraz p = 1 i q = ∞ lub p = ∞ i q = 1. Jeśli natomiast
0 < σ < d/2, to oszacowanie (19) zachodzi w ograniczonym zakresie
1/p − 2σ/d ¬ 1/q ¬ 1/p + 2σ/d z wyłączeniem przypadku, gdy p = 1
i q = d/d−2σ (mamy wówczas oszacowanie słabego typu (1, q)). Ponadto,
w każdym z przypadków, kiedy mamy do czynienia z oszacowaniem
mocnego typu (p, q), p < ∞, dla dowolnego k ∈ Nd zachodzi równość
hI σ f, hk i = λ−σ
k hf, hk i,
f ∈ Lp (Rd ).
W konsekwencji, ponieważ dla σ > 0 i przy założeniach na 1 ¬ p < ∞
i 1 ¬ q ¬ ∞ jak wyżej, dla których zachodzi oszacowanie (19), opera-
Analiza harmoniczna oscylatora kwantowego
153
tor H−σ oryginalnie zdefiniowany na L2 (Rd ) pokrywa się na kombinacjach liniowych funkcji Hermite’a z operatorem I σ, więc rozszerza się do
ograniczonego operatora z Lp (Rd ) do Lq (Rd ). Oznaczając to rozszerzenie
−σ, dla każdego k ∈ Nd mamy
przez Hpq
−σ
hHpq
f, hk i = λ−σ
k hf, hk i,
f ∈ Lp (Rd ).
6. Operatory Dunkla
Interesującym uogólnieniem oscylatora kwantowego jest oscylator
(kwantowy) Dunkla, którego własności spektralne były ostatnio badane w cyklu prac [10–12]. Teoria operatorów Dunkla jest stosunkowo
młoda i ma swoje dobrze ugruntowane korzenie w fizyce teoretycznej
związanej z tzw. modelem Calogero–Mosera–Sutherlanda. Znakomitym
wprowadzeniem do tej teorii jest artykuł Margit Rösler i Michaela
Voita w książce [15] (wraz z innymi artykułami w cytowanym tomie
omawiającymi aspekty probabilistyczne wspomnianej teorii), w którym
można znaleźć dokładniejszy opis powiązań operatorów Dunkla z fizyką
matematyczną.
W całej ogólności operatory Dunkla, to różniczkowo-różnicowe operatory działające na funkcjach na Rd, powiązane z zadaną skończoną
grupą odbić (zwaną również grupą Coxetera). Bardzo piękna i głęboko
nietrywialna teoria takich operatorów ma tę cechę, że niezwykle trudno
jest uzyskać dokładny (czytaj: jawny) opis uczestniczących w teorii
obiektów przy rozważaniu ogólnej grupy odbić. Co więcej, nawet dla
konkretnie zadanej, stosunkowo prostej grupy, jawny opis jest dalece
niebanalny.
W pracach [10–12] rozważana jest bardzo prosta skończona grupa
odbić generowana przez σj , j = 1, . . . , d, gdzie
σj (x1 , . . . , xj , . . . , xd ) = (x1 , . . . , −xj , . . . , xd ),
która to grupa jest izomorficzna z Zd2 = {0, 1}d. Odbicie σj dokonuje się
względem hiperpłaszczyzny
prostopadłej do ej , co odpowiada układowi
√
pierwiastków R = {± 2 ej : j =√1, . . . , d}, z wyróżnionym podukładem
pierwiastków dodatnich R+ = { 2 ej : j = 1, . . . , d}. Tak zwana funkcja krotnościowa jest określona na R+ i identyfikowana z układem d
parametrów α = (α1 , . . . , αd ), αj ­ −1/2. W zarysowanym kontekście,
różniczkowo-różnicowe operatory Dunkla Tjα, j = 1, . . . , d, są zadane
wzorami
Tjα f (x) = ∂j f (x) + αj +
1 f (x)−f (σj x)
,
2
xj
f ∈ C 1 (Rd ),
154
K. Stempak
a operator Laplace’a–Dunkla zdefiniowany równością ∆α =
wówczas w jawnej postaci
∆α f (x) =
d X
∂2f
j=1
∂x2j
(x) +
2αj +1 ∂f
xj ∂xj (x)
− αj +
α 2
j=1 (Tj ) ;
1 f (x)−f (σj x)
2
x2j
Zauważmy, że operator ∆α , zawężony do przestrzeni
Pd
.
f ∈ C 2 (Rd ) : ∀j = 1, . . . , d, f (x) = f (σj x) ,
pokrywa się z wielowymiarowym operatorem różniczkowym Bessla
Pd
2αj +1 2
2
j=1 ∂j + xj ∂j , a −∆α + kxk redukuje się do
−∆ + kxk2 −
d
X
2αj +1 ∂
xj ∂xj ,
j=1
operatora rozważanego w pracy [9] (dokładniej, działanie obydwu operatorów jest ograniczone do funkcji określonych na Rd+ = (0, ∞)d ).
Układ {Tjα }d1 jest układem przemiennych (to jego niezwykle ważna
i nietrywialna cecha) operatorów różniczkowo-różnicowych pierwszego
rzędu, jednorodnych stopnia −1 na przestrzeni P wszystkich wielomianów na Rd. Stąd wynika, że Tjα Pm ⊂ Pm−1 , gdzie m ∈ N, a Pm oznacza podprzestrzeń P złożoną z wielomianów jednorodnych stopnia m
(przyjmujemy, że P−1 składa się tylko z funkcji zerowej). Operator
Laplace’a–Dunkla ∆α jest zatem jednorodny stopnia −2 na P i – jako
operator określony na S(Rd ) – jest symetryczny w L2 (Rd, wα ), gdzie
wα (x) =
d
Y
j=1
|xj |2αj +1,
x ∈ Rd.
Tutaj i poniżej, w zależności od kontekstu, wα oznacza gęstość albo
miarę o takiej właśnie gęstości względem miary Lebesgue’a.
Zauważmy, że dla αo = (−1/2, . . . , −1/2), operatory Dunkla stają się
zwykłymi pochodnymi cząstkowymi, laplasjan Dunkla staje się zwykłym
laplasjanem, a wαo ≡ 1; zatem mamy wówczas do czynienia z miarą
Lebesgue’a. Innymi słowy, sytuacja klasycznego oscylatora kwantowego
d
odnajduje się na dole skali indeksowanej parametrem α ∈ −1/2, ∞ .
7. Oscylator Dunkla
Badanie oscylatora Dunkla Hα = −∆α + kxk2 zostało zainicjowane
przez Rösler w artykule [14] w pełnej ogólności grupy odbić. Okazuje
się, że z Hα stowarzyszony jest układ uogólnionych funkcji Hermite’a
Analiza harmoniczna oscylatora kwantowego
155
{hαk }k∈Nd , będący układem ortonormalnym i zupełnym w L2 (Rd, wα ),
złożonym z funkcji własnych Hα ,
Hα hαk = λαk hαk , λαk = (2|k| + 2|α| + 2d),
gdzie |α| = α1 + · · · + αd jest długością wielowskaźnika (może to być
liczba ujemna!). Dokładniej,
hαk (x) = hαk11 (x1 ) . . . hαkdd (xd ), x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd,
gdzie hαkii są funkcjami jednej zmiennej
2
hα2ki i (xi ) = d2ki ,αi e−xi /2 Lαkii (x2i ),
2
hα2ki i +1 (xi ) = d2ki +1,αi e−xi /2 xi Lαkii +1 (x2i ),
a Lαkii oznacza tu wielomian Laguerre’a stopnia ki i rzędu αi (patrz
[4, str. 76]) oraz
d2ni ,αi = (−1)ni
d2ni +1,αi = (−1)ni
Γ(ni +1)
Γ(ni +αi +1)
Γ(ni +1)
Γ(ni +αi +2)
1/2
,
1/2
.
Uwaga analogiczna do tej, którą zrobiliśmy wcześniej, pozwala zauważyć,
że hαk o są zwykłymi funkcjami Hermite’a (jest tak, gdyż H2k (x) =
1/2
−1/2
(−1)k 22k k!Lk (x2 ), H2k+1 (x) = (−1)k 22k+1 k!Lk (x2 ), k ∈ N, x ∈
R (patrz [4, (4.19.15)]). Jeżeli przez Hα oznaczymy samosprzężone
rozszerzenie Hα , zdefiniowane w sposób analogiczny do H (z zamianą
hk , λk i L2 (Rd ) na hαk , λαk i L2 (Rd, wα ) odpowiednio), a przez e−tHα
oznaczymy półgrupę (kontrakcji) w L2 (Rd, wα ) z Hα jako generatorem
infinitezymalnym, czyli
e−tHα f =
∞
X
n=0
gdzie
Pnα f =
e−t(2n+2|α|+2d) Pnα f,
X
hf, hαk iα hαk ,
|k|=n
f ∈ L2 (Rd, wα ),
f ∈ L2 (Rd, wα ),
(h·, ·iα oznacza tu kanoniczny iloczyn skalarny w L2 (Rd, wα )), to okazuje
się, że ponownie mamy do czynienia z reprezentacją całkową
e
−tHα
f (x) =
Z
Gαt (x, y)f (y) dwα (y),
Rd
x ∈ Rd,
gdzie jądro ciepła jest zadane wzorem
Gαt (x, y)
=
∞
X
n=0
e−t(2n+2|α|+2d)
X
|k|=n
hαk (x)hαk (y).
(20)
156
K. Stempak
I tym razem jawna postać Gαt jest znana. Dla d = 1 i α ­ −1/2 mamy
(patrz [13, Theorem 3.12] lub [13, str. 523]):
Gαt (x, y) =
1
(2 sinh 2t)d
·
"
Iα
exp − 12 coth(2t)(x2 + y 2 )
xy sinh 2t
(xy)α
xy
Iα+1 sinh
2t
+ xy
(xy)α+1
#
,
(21)
gdzie Iν jest zmodyfikowaną funkcją Bessla pierwszego rodzaju i rzędu ν,
to znaczy
∞
X
(z/2)ν+2k
Iν (z) =
,
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
k=0
a dla dowolnego d ­ 1 zachodzi równość
Gαt (x, y) =
X
Gα,ε
t (x, y),
(22)
ε∈{0,1}d
gdzie
Gα,ε
t (x, y) =
1
(2 sinh 2t)d
·
d
Y
exp − 12 coth(2t)(kxk2 + kyk2 )
εi Iαi +εi
(xi yi )
i=1
(xi yi
xi yi sinh 2t
.
)αi +εi
W powyższym wzorze funkcja z 7→ z ν, a zatem także Iν (z), jest
rozumiana jako funkcja holomorficzna określona na C \ {ix : x ¬ 0}
(zwykle Iν jest rozważana jako funkcja na C z wyciętą półprostą (−∞, 0]).
Zauważmy, że Iν , jako funkcja na R+ , przyjmuje wartości rzeczywiste,
jest dodatnia i gładka dla każdego ν > −1 (patrz [6, rozdział 5]). Co
więcej, Iν (z)/z ν jest funkcją parzystą na R. Na marginesie, ciekawym
−1/2
ćwiczeniem jest sprawdzenie, że dla α = −1/2, funkcja Gt (x, y) zadana wzorem (21) pokrywa się z funkcją Gt (x, y) określoną wzorem (3)
przy d = 1. Istotną informacją są tu wzory I−1/2 (z) = (2π/z)1/2 cosh z,
I1/2 (z) = (2π/z)1/2 sinh z. Dzięki znanym asymptotykom funkcji Bessla
Iν (z) przy z → 0+ i z → ∞, całka w prawej części równości (20) jest
zbieżna dla każdej funkcji f ∈ Lp (Rd, wα ), 1 ¬ p ¬ ∞, i każdego x ∈ Rd,
zatem może służyć do określenia półgrupy {Ttα }t>0 działającej na tych
przestrzeniach w analogii do {Tt }t>0 zadanej wzorem (6).
Okazuje się, że opis jądra ciepła Gαt (x, y) przy pomocy równości (22)
daje możliwość zaadaptowania wielu oszacowań uzyskanych wcześniej
w pracach [9] i [12], dotyczących wielowymiarowych rozwinięć w funkcje
Laguerre’a typu splotowego do sytuacji opisanej wyżej. Dokładniej,
Analiza harmoniczna oscylatora kwantowego
157
chodzi tu o rozwinięcia względem układu funkcji {`αk }k∈Nd określonych
wzorem
`αk (x) = `αk11 (x1 ) . . . `αkdd (xd ), x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd+ ,
gdzie `αkii są jednowymiarowymi funkcjami Laguerre’a, to znaczy
`αkii (xi ) =
2Γ(ki +1)
Γ(ki +αi +1)
1/2
Lαkii (x2i )e−
x2/2
i
,
xi > 0, i = 1, . . . , d.
Układ {`αk } jest ortonormalny i zupełny w L2 (Rd+ , dµα ), dµα (x) =
1 +1
d +1
x2α
. . . x2α
dx, i jest złożony z funkcji własnych operatora
1
d
Lα = −∆ + kxk2 +
d
X
2αj +1 ∂
xj ∂xj .
j=1
Zasadnicza idea wspomnianej wyżej adaptacji oparta jest na trzech
czynnikach: rozkładzie (22), obserwacji, że dla εo = (0, . . . , 0) jądro cząsto
kowe Gα,ε
(x, y) jest, z dokładnością do czynnika 2−d, równe na Rd+× Rd+
t
jądru ciepła Gtα (x, y) stowarzyszonemu ze wspomnianymi rozwinięciami
Laguerre’a, czyli
Gtα (x, y)
=
∞
X
e−(4n+2|α|+2d)t
n=0
X
`αk (x)`αk (y) =
|k|=n
1
=
exp − 21 coth(2t)(kxk2 + kyk2 )
(sinh 2t)d
xi yi d
Y
Iαi sinh
2t
,
·
α
i=1
(xi yi )
i
x, y ∈ Rd+ ,
oraz następującej nierówności spełnionej przez funkcje Bessla
Iν+1 (z) < Iν (z), z > 0, ν ­ −1/2.
Wynika stąd, że dla dowolnego α ∈ [−1/2, ∞)d i dowolnego ε ∈ {0, 1}d
mamy
α,εo
0 < Gα,ε
(x, y), t > 0, x, y ∈ Rd,
t (x, y) ¬ Gt
a co za tym idzie, również
o
0 < Gαt (x, y) ¬ 2d Gα,ε
(x, y) ¬ Cα Gtα (|x|, |y|), t > 0, x, y ∈ Rd,
t
gdzie |x| = (|x1 |, . . . , |xd |) dla x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd. Zauważmy, że
Gαt (|x|, |y|) jest dobrze określona także w przypadku, gdy xi = 0 lub
yi = 0 dla pewnego i = 1, . . . , d.
Omówimy teraz bardziej szczegółowo zastosowania oszacowań uzyskanych w pracach [9] i [12] w sytuacji „laguerre’owskiej” do sytuacji „dunklowskiej” na przykładzie trzech obiektów: funkcji maksymalnej, transformat Riesza i operatora całkowania ułamkowego. Poniżej, α ∈ [−1/2, ∞)d
jest dowolnie ustalonym parametrem.
158
K. Stempak
Funkcja maksymalna
T∗α f (x) = sup |Ttα f (x)|,
x ∈ Rd,
t>0
spełnia oszacowanie mocnego typu (p, p), to znaczy
kT∗α f kLp (wα ) . kf kLp (wα ) ,
i oszacowanie słabego typu (1, 1), czyli
1 < p ¬ ∞,
wα {x ∈ Rd : |T∗α f (x)| > λ} . λ1 kf kL1 (wα ) ,
λ > 0.
Powyższe nierówności zawarte są w pracy [11, Theorem 3.1], ale tak
naprawdę są one bezpośrednią konsekwencją oszacowań zawartych w artykule [9, Theorem 2.1] (można także prześledzić stosowne rozumowanie
w pracy [10]).
Analogicznie do sytuacji „klasycznej” (odpowiadającej przypadkowi
α = αo ) formalna definicja transformat Riesza stowarzyszonych z operatorem Hα jest następująca:
1
Rjα = δj (Hα )− /2,
j = 1, . . . , d,
(23)
δjα,
gdzie δj =
j = 1, . . . , d, są odpowiednio dobranymi operatorami
różniczkowo-różnicowymi pierwszego rzędu,
δj = Tjα + xj .
Uwzględniając fakt, że wα jest Zd2 -niezmiennicza, łatwo sprawdzić, że
formalnie sprzężonym do δj w L2 (Rd, wα ) jest operator
δj∗ = −Tjα + xj ,
a także, co stanowi motywację definicji (23),
Hα =
1
2
d
X
j=1
Ponieważ
δj δj∗ + δj∗ δj .
δj hαk = m(kj , αj )hαk−ej ,
(24)
(powyższa równość jest konsekwencją pewnych klasycznych tożsamości
różniczkowych dla wielomianów Laguerre’a), gdzie
( p
2k ,
m(kj , αj ) = p j
jeśli kj jest parzyste,
2kj + 4αj + 2, jeśli kj jest nieparzyste,
więc ścisła definicja Rjα jako ograniczonego operatora na L2 (Rd, wα )
wygląda tak:
X
m(kj , αj )
p
Rjα f =
hf, hαk iα hαk−ej .
(25)
2|k|
+
2|α|
+
2d
d
k∈N
Analiza harmoniczna oscylatora kwantowego
159
Oszacowania
oraz
kRjα f kLp (wα ) . kf kLp (wα ) ,
j = 1, . . . , d, 1 < p < ∞,
wα {x ∈ Rd : |Rjα f (x)| > λ} . λ1 kf kL1 (wα ) ,
j = 1, . . . , d, λ > 0,
zawarte są w twierdzeniu 4.3 w pracy [11], a kluczowym punktem dowodu
są oszacowania stowarzyszonych jąder będące treścią lematu 5.1 w tym
samym artykule.
W pracy [12], oprócz przypadku „klasycznego”, rozważano także
ujemne potęgi oscylatora Dunkla
(Hα )−σ f =
X
k∈Nd
oraz jądro potencjału
K
α,σ
(x, y) =
(2|k| + 2|α| + 2d)−σ hf, hαk iα hαk
1
Γ(σ)
Z∞
Gαt (x, y)tσ−1 dt,
Z
Kα,σ (x, y)f (y) dwα (y)
0
i operator potencjału
I α,σ f (x) =
Rd
x, y ∈ Rd,
na naturalnej dziedzinie Dom(I α,σ ) tych wszystkich funkcji f , dla których ostatnia całka jest zbieżna x-prawie wszędzie. W tej sytuacji adaptacja uzyskanych wcześniej rezultatów dla rozwinięć względem {`αk } pozwoliła na następujący opis zachowania operatora I α,σ : dla α ∈ [−1/2, ∞)d,
1 ¬ p < ∞ i 1 ¬ q < ∞, jeśli σ ­ |α| + d, to
kI α,σ f kLq (dwα ) . kf kLp (dwα ) ,
f ∈ Lp (Rd, dwα ).
(26)
Jeśli natomiast 0 < σ < |α| + d, to oszacowanie (26) zachodzi przy
dodatkowym założeniu
1
p
−
σ
|α|+d
¬
1
q
<
1
p
+
σ
|α|+d ,
|α|+d
z wykluczeniem przypadku, gdy p = 1 i q = |α|+d−σ
. Ponadto, przy
założeniach, dla których zachodzi nierówność (26), mamy
−σ
hI α,σ f, hαk idwα = 2|k| + 2|α| + 2d
hf, hαk idwα ,
f ∈ Lp (Rd, dwα ).
Zwróćmy uwagę na fakt, że teraz rolę wymiaru gra wielkość 2|α| + 2d.
Bibliografia
[1] B. Bongioanni, J. L. Torrea, Sobolev spaces associated to the harmonic
oscillator, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 116 (2006), no. 3, 337–360.
160
K. Stempak
[2] E. B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Studies
in Advanced Mathematics, vol. 42, Cambridge University Press, Cambridge
1995.
[3] J. Duoandikoetxea, Fourier analysis, Graduate Studies in Mathematics,
vol. 29, American Mathematical Society, Providence, RI 2001.
[4] G. B. Folland, Harmonic analysis in phase space, Annals of Mathematics
Studies, vol. 122, Princeton University Press, Princeton, NJ 1989.
[5] J. Garcı́a-Cuerva, G. Mauceri, S. Meda, P. Sjögren, J. L. Torrea, Functional
calculus for the Ornstein-Uhlenbeck operator, J. Funct. Anal. 183 (2001),
no. 2, 413–450.
[6] N. N. Lebedev, Special functions and their applications, Dover Publications
Inc., New York 1972.
[7] B. Muckenhoupt, E. M. Stein, Classical expansions and their relation to
conjugate harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc. 118 (1965), 17–92.
[8] A. Nowak, K. Stempak, Riesz transforms and conjugacy for Laguerre
function expansions of Hermite type, J. Funct. Anal. 244 (2007), no. 2,
399–443.
[9] A. Nowak, K. Stempak, Riesz transforms for multi-dimensional Laguerre
function expansions, Adv. Math. 215 (2007), no. 2, 642–678.
[10] A. Nowak, K. Stempak, Imaginary powers of the Dunkl harmonic oscillator,
SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 5 (2009), Paper
016, 12.
[11] A. Nowak, K. Stempak, Riesz transforms for the Dunkl harmonic oscillator,
Math. Z. 262 (2009), no. 3, 539–556.
[12] A. Nowak, K. Stempak, Fractional integrals for Laguerre expansions,
arXiv:0912.0038v1 (2009), preprint.
[13] M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics. II. Fourier
analysis, self-adjointness, Academic Press, New York 1975.
[14] M. Rösler, Generalized Hermite polynomials and the heat equation for
Dunkl operators, Comm. Math. Phys. 192 (1998), no. 3, 519–542.
[15] M. Rösler, M. Voit, Dunkl theory, convolution algebras, and related Markov
processes, [w:] Harmonic and stochastic analysis of Dunkl processes (P.
Graczyk, M. Rösler, M. Yor, eds.), Hermann, Paris 2008.
[16] E. M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton Mathematical Series, No. 30, Princeton University Press,
Princeton, N.J. 1970.
[17] K. Stempak, J. L. Torrea, Poisson integrals and Riesz transforms for
Hermite function expansions with weights, J. Funct. Anal. 202 (2003),
no. 2, 443–472.
[18] K. Stempak, J. L. Torrea, On g-functions for Hermite function expansions,
Acta Math. Hungar. 109 (2005), no. 1–2, 99–125.
[19] K. Stempak, J. L. Torrea, BMO results for operators associated to Hermite
expansions, Illinois J. Math. 49 (2005), no. 4, 1111–1131.
Analiza harmoniczna oscylatora kwantowego
161
[20] K. Stempak, J. L. Torrea, Higher Riesz transforms and imaginary powers
associated to the harmonic oscillator, Acta Math. Hungar. 111 (2006),
no. 1–2, 43–64.
[21] S. Thangavelu, Lectures on Hermite and Laguerre expansions, Mathematical Notes, vol. 42, Princeton University Press, Princeton, NJ 1993.
Krzysztof Stempak
Instytut Matematyki i Informatyki
Politechniki Wrocławskiej
oraz Katedra Matematyki i Zastosowań Informatyki
Politechniki Opolskiej
[email protected]