Rozwiązania I etapu konkursu

Narwik — geometra
2011/2012
etap I
Rozwiązania zadań
Zadanie 1. Na płaszczyźnie dane są trzy niewspółliniowe punkty D, E, F. Podaj opis
konstrukcji, przy użyciu cyrkla i linijki, takiego trójkąta, że punkty D, E, F są
środkami jego boków.
m
Q
Konstrukcja:
F
1 k: k || DE, F  k ;
D
2 l: l || DF , E  l;
l
P
3 m: m || EF , D  m;
4 P: P  k , P  l;
5 Q: Q  k , Q  m;
E
k
R
6 R: R  l , R  m;
Twierdzę, że trójkąt PQR spełnia warunki zadnia.
Dowód poprawności konstrukcji:
Czworokąt DEFQ jest równoległobokiem, więc DE = QF. Podobnie czworokąt
DEPF jest równoległobokiem, więc DE = FP. Stąd QF = FP. Równości RD = DQ
i RE = EP otrzymujemy w analogiczny sposób.
Liczba rozwiązań:
Istnieje dokładnie jedno rozwiązanie zadania, gdyż jeśli punkty D i E są środkami
odcinków RQ i RP, to prosta DE jest równoległa do prostej QP, itd..
Zadanie 2. Dany jest okrąg o oraz jego dwie średnice. Punkt M leżący na okręgu o
rzutujemy prostokątnie na te średnice. Wykaż, że odległość między rzutami nie zależy
od położenia punktu M na okręgu o.
Rozwiązanie
M
M
C
C
Y
D
D
Y
X
S
S
E
X
E
B
B
Rysunek 1
Rysunek 2
M=Y=C
D
S
X
E
B
Rysunek 3
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Mamy MYS  90  MXS , więc punkty S,
M, Y i X leżą na okręgu o średnicy SM. Możliwe są trzy sytuacje:
1 YMX  180  YSX  CSE (rysunek 1),
2 YMX  YSX  CSE (rysunek 2),
3 punkt M pokrywa się z którymś z końców średnic (rysunek 3).
We wszystkich tych przypadkach XY jest cięciwą w okręgu o średnicy SM
wyznaczoną przez kąt wpisany o mierze kąta ESC , wyznaczonego przez średnice
BC i DE, stąd XY ma stałą długość, niezależną od wyboru punktu M.
Zadanie 3. Dane są punkty A = (2,2) i B = (5,3). Na prostej o równaniu y = 4
wyznacz taki punkt C, aby długość łamanej ACB była najmniejsza.
Rozwiązanie
y
5
P
4
B'
y=4
C
3
B
2
A
1
x
2
4
6
8
1
Niech B’ będzie obrazem punktu B w symetrii względem prostej y = 4;
wówczas B’ = (5,5). Szukany punkt C to punkt przecięcia prostej AB’
czyli prostej y = x z prostą y = 4. Stąd C = (4,4).
Dowód poprawności rozwiązania
Wskazany punkt C jest faktycznie poszukiwanym punktem, gdyż dla dowolnego
punktu P z prostej y = 4 łamana APB ma długość:
AP  PB  AP  PB '  AB '  AC  CB '  AC  CB .
Zadanie 4. Dane są dwa prostokąty o równych obwodach i równych polach. Wykaż,
że również ich przekątne mają równe długości.
Rozwiązanie
Niech pierwszy z prostokątów ma boki
długości a i b, oraz przekątną długości c,
a drugi boki długości e i f, oraz przekątną
długości g.
c
a
Z równości pól i obwodów tych prostokątów
wynika, że:
ab  ef oraz
b
ab  e f .
g
e
Korzystając z powyższych równości
i twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:
c 2  a 2  b 2   a  b   2ab 
2
  e  f   2ef  e2  f 2  g 2
2
f
Stąd c  g .