Wykład 5

WYKLAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R3 , PROSTA I
PLASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3
Definicja 1 Przestrzenia, R3 nazywamy zbiór uporzadkowanych
trójek (x, y, z),
,
czyli
R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}
Przestrzeń R3 interpretujemy jako zbiór punktów P (x, y, z).
Definicja 2 Wektorem zaczepionym o poczatku
w punkcie P1 i końcu P2
,
−−→
(symb. P1 P2 ) nazywamy uporzadkowan
a, pare, punktów (P1 , P2 ). Każdy wek,
tor posiada cztery cechy: dlugość, kierunek, zwrot i punkt zaczepienia. Dlugość
wektora wyraźa sie, wzorem:
q
−−→
|P1 P2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
−
Przez wektor swobodny →
u rozumiemy zbiór wszystkich wektorów (zaczepionych w różnych punktach) które maja, ten sam kierunek, zwrot oraz
−
dlugość co wektor →
u.
Dzialania na wektorach
−
−
−
Niech →
u = (x, y, z); →
u1 = (x1 , y1 , z1 ); →
u2 = (x2 , y2 , z2 ); α ∈ R
Wtedy
→
−
−
u1 + →
u2 = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 );
→
−
−
u1 − →
u2 = (x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 );
→
−
α u = (αx, αy, αz)
1
Rysunek
−
−
Definicja 3 Rzutem wektora →
a na oś s nazywamy wektor →
as o poczatku
i
,
→
−
końcu bed
acymi
rzutami
na
t
e
oś
odpowiednio
pocz
atku
i
końca
wektora
a
.
,
, ,
,
2
Wlasności dzialań:
−
−
−
−
1. przemienność →
u +→
v =→
v +→
u
→
−
−
−
−
−
−
2. laczność
u + (→
v +→
w ) = (→
u +→
v)+→
w
,
−
−
−
3. istnienie elementu neutralnego dodawania →
u +→
o =→
u
→ =→
−
−
4. istnienie elementu przeciwnego wzgledem
dodawania →
u + (−
−u)
o
,
−
−
5. 1 →
u =→
u
−
−
6. (αβ)→
u = α(β →
u)
−
−
−
7. (α + β)→
u = α→
u + β→
u
−
−
−
−
8. α(→
u +→
v ) = α→
u + α→
v
Definicja 4 Kombinacja, liniowa, wektorów ui , i = 1, 2, ..., n nazywamy wektor:
n
X
−
−
−
→n
λi →
ui = λ1 →
u1 + λ2 →
u2 + ... + λn −
u
i=1
Definicja 5 Wektory ui , i = 1, 2, ..., n nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli
nie istnieje ich nietrywialna kombinacja liniowa równa zeru, czyli
n
X
−
−
λi →
ui = →
o ⇒ ∀i=1,...,n λi = 0
i=1
Wektory, które nie sa, liniowa niezależne, nazywamy liniowo zależnymi.
Definicja 6 Baza, przestrzeni wektorowej nazywamy każdy maksymalny zbiór
wektorów liniowo niezależnych.
Uwaga. Każdy wektor z danej przestrzeni wektorowej można przedstawić
w postaci kombinacji liniowej wektorów bazowych.
Przyklady:
3
→
−
−
Definicja 7 Dwa wektory →
a i b sa, wspólliniowe (równolegle, liniowo zależne),
gdy istnieje prosta w której sa, zawarte.
→
− −
−
Definicja 8 Trzy wektory →
a, b i→
c sa, wspólplaszczyznowe (liniowo zależne),
gdy istnieje plaszczyzna w której sa, zawarte.
4
Iloczyn skalarny
Definicja 9
d→
→
−
→
−
−
→
−
−
−
a ◦ b = |→
a || b | cos (→
a, b)
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
−
Jeżeli →
a 6= →
o i b =
6 →
o i→
a ◦ b = 0, to →
a ⊥ b.
Inne wlasności:
→
−
→
− −
−
1. przemienność →
a ◦ b = b ◦→
a
2. rozdz. dodawania wzg. iloczynu skalarnego:
→
− −
→
− − →
→
−
−
a ◦( b +→
c)=→
a ◦ b +→
a ◦ −c
→
−
→
−
−
−
3. laczność
(λ→
a ) ◦ b = λ(→
a ◦ b)
,
−
−
−
4. →
a ◦→
a = |→
a |2
→
−
−
Iloczyn skalarny wektorów →
a = [ax , ay , az ], b = [bx , by , bz ] obliczamy
nastepuj
aco:
,
,
→
−
→
−
a ◦ b = ax bx + ay by + az bz
Zadania.
5
Iloczyn wektorowy
→
−
→
−
−
−
Definicja 10 Iloczynem wektorowym →
a × b wektorów →
a i b nazywamy
wektor o nastepuj
acych
wlasnościach:
,
,
→
−
→
−
→
−
−
−
−
(→
a × b)⊥→
a,
(→
a × b)⊥ b
d→
→
−
→
−
−
−
−
−
|→
a × b | = |→
a || b | sin (→
a, b)
i o zwrocie zgodnym z orientacja, przestrzeni.
Wlasności:
→
− −
→
−
−
1. nieprzemienność b × →
a = −(→
a × b)
→
− −
−
−
2. rozdz. dodawania wzg. iloczynu wektorowego →
a ×(b +→
c)=→
a ×
→
− →
−
→
−
b + a × c
→
−
→
−
−
−
3. laczność
(λ→
a ) × b = λ(→
a × b)
,
→
−
→
−
−
−
−
4. →
a × b =→
o ⇐⇒ →
a k b
dla
6
→
−
→
−
−
a , b 6= →
o
→
−
−
Iloczyn wektorowy wektorów →
a = [ax , ay , az ], b = [bx , by , bz ] obliczamy
nastepuj
aco:
,
,
i j k →
−
→
−
a × b = ax ay az bx by b z Dowód:
Zadanie.
7
Iloczyn mieszany
→
−−
→
−
−
−
−c
Definicja 11 →
a b→
c = (→
a × b )◦→
Niech:
→
−
a = [ax , ay , az ],
→
−
b = [bx , by , bz ],
→
−c = [cx , cy , cz ] .
Wtedy iloczyn mieszany obliczamy ze wzoru:
ax ay az →
−
→
−
−c = bx by bz a b→
cx cy cz Interpretacja geometryczna:
Zadanie.
8
PROSTA I PLASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3
Równanie plaszczyzny
I. Równanie normalne plaszczyzny:
−
Dane: punkt: P0 (x0 , y0 , z0 ) oraz wektor normalny →
n = [A, B, C] prostopadly do szukanej plaszczyzny.
Rysunek.
Niech P (x, y, z) dowolny punkt leżacy
na szukanej plaszczyźnie. Wtedy
,
−−→
−
wektory P0 P = [x − x0 , y − y0 , z − z0 ] oraz →
n musza, być prostopadle. Stad:
,
[A, B, C] ◦ [x − x0 , y − y0 , z − z0 ] = 0.
Po rozpisaniu otrzymamy równanie normalne plaszczyzny:
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
.
Przyklad.
9
N
II.Równanieogólnepl̈aszczyzny :
Równanie postaci Ax+By +Cz +D = 0 (|A|+|B|+|C| > 0) to równanie
−
ogólne plaszczyzny o wektorze normalnym →
n = [A, B, C] oraz przecinajacej
,
D
oś Oz w punkcie z = − C , (C 6= 0).
II’. Równanie ogólne plaszczyzny wyznaczonej przez dwa nierównolegle
wektory i przechodzacej
przez punkt P0 (x0 , y0 , z0 ):
,
→
−
→
−
Niech a = [ax , ay , az ], b = [bx , by , bz ], - ustalone dwa nierównolegle
wektory (swobodne), P0 (x0 , y0 , z0 ) -dowolny punkt.
Rysunek
Równanie ogólne Ax + By + Cz + D = 0 plaszczyzny π wyznaczymy z
warunku:
x − x0 y − y0 z − z0
ax
ay
az
bx
by
bz
Zadanie.
10
=0
III. Równanie parametryczne plaszczyzny wyznaczonej przez dwa
nierównolegle wektory i przechodzacej
przez punkt P0 (x0 , y0 , z0 ):
,
→
−
→
−
Niech a = [ax , ay , az ], b = [bx , by , bz ], - ustalone dwa nierównolegle wektory (swobodne), P0 (x0 , y0 , z0 ) -dowolny punkt.
Rysunek
−−→
Wtedy wektor P0 P = [x − x0 , y − y0 , z − z0 ] jest kombinacja, liniowa,
→
−
−
wektorów →
a i b . Stad
, istnieja, takie s, t ∈ R, że:
→
−
−−→
−
P0 P = s→
a +t b .
Po rozpisaniu otrzymamy:



x = x0 + sax + tbx
y = y0 + say + tby


z = z0 + saz + tbz
Zadanie.
11
s, t ∈ R
IV. Równanie odcinkowe plaszczyzny
Równanie plaszczyzny odcinajacej
na osiach Ox, Oy, Oz ukladu wspólrzednych
,
,
odpowiednio odcinki a, b, c 6= 0:
x y z
+ + = 1.
a b c
Rysunek.
Zadanie.
Równanie prostej w przestrzeni
I. Równanie parametryczne prostej
−
Niech →
v = [vx , vy , vz ]- dowolny wektor (swobodny) w przestrzeni i P0 (x0 , y0 , z0 )
- dowolny punkt.
12
Rysunek.
Równanie parametryczne prostej l przechodzacej
przez punkt P0 i równoleglej
,
−
do wektora →
v :



x = vx t + x0
l :  y = vy t + y0

z = vz t + z0
t∈R
Zadanie.
II. Równanie kierunkowe prostej
Równanie kierunkowe prostej l przechodzacej
przez punkt P0 i równoleglej
,
→
−
do wektora v :
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
l:
vx
vy
vz
13
III. Równanie krawedziowe
prostej
,
Równanie prostej l, która jest wspólna, cześci
a, dwóch nierównoleglych
,
plaszczyzn
π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 oraz π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
ma postać:
(
l:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Rysunek.
Zadanie.
14
Wzajemne polożenie punktów, prostych i plaszczyzn
Definicja 12 a) Rzutem prostokatnym
punktu P na plaszczyzne, π nazy,
wamy punkt P 0 tej plaszczyzny spelniajacy
warunek:
,
−−→0
PP ⊥ π ,
b)Rzutem prostokatnym
punktu P na prosta, l nazywamy punkt P 0 tej prostej
,
spelniajacy
warunek:
,
−−→0
PP ⊥ l .
Rysunek.
Zadanie.
15
Theorem 13 [odleglość punktu od plaszczyzny] Odleglość punktu P0 (x0 , y0 , z0 )
od plaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża sie, wzorem:
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
√
,
A2 + B 2 + C 2
Rysunek.
Zadanie.
Theorem 14 [odleglość pomiedzy
dwoma plaszczyznami równoleglymi] Od,
leglość pomiedzy
dwoma
p
laszczyznami
równoleglymi π1 : Ax + By + Cz +
,
D1 = 0 oraz π2 : Ax + By + Cz + D2 = 0 wyraża sie, wzorem:
√
|D1 − D2 |
,
A2 + B 2 + C 2
16
Rysunek.
Zadanie.
Theorem 15 [odleglość dwóch prostych skośnych] Jeżeli proste skośne dane
sa, równaniami:
l1 :
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
a1
b1
c1
l2 :
x − x2
y − y2
z − z2
=
=
.
a2
b2
c2
to ich odleglość wyraża sie, wzorem:
−−→ →
−
|P1 P2 ◦ N |
,
→
−
|N |
→
−
gdzie N = [a1 , b1 , c1 ] × [a2 , b2 , c2 ],
P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y2 , z2 ).
17
Rysunek.
Dowód.
Zadanie.
18
Definicja 16 [kat
nachylenia pro, nachylenia prostej do plaszczyzny] Katem
,
stej l do plaszczyzny π nazywamy kat
prosta, l, a jej rzutem
, ostry α miedzy
,
0
l na plaszczyzne, π.
Rysunek.
Zadanie.
19
Definicja 17 [kat
prostymi przecinajacymi
sie]
miedzy
przeci, miedzy
,
,
,
, Katem
,
najacymi
sie, prostymi l1 i l2 nazywamy jeden z katów
ostrych ϕ utworzonych
,
,
przez te proste.
Rysunek.
Definicja 18 [kat
prostymi skośnymi] Katem
miedzy
prostymi skośnymi
, miedzy
,
,
,
l1 i l2 nazywamy jeden z katów
ostrych ϕ utworzonych przez proste l10 i
,
0
l2 równolegle do prostych l1 i l2 oraz przechodzace
przez poczatek
ukladu
,
,
wspólrzednych.
,
Rysunek.
WZÓR NA KAT
MIEDZY
PROSTYMI:
,
,
→
− →
−
| k1 ◦ k2 |
ϕ = arccos →
− →
−
| k1 | · | k2 |
→
− →
−
gdzie k1 i k2 to odpowiednio wektory kierunkowe prostych l1 i l2 .
20
Zadanie.
Definicja 19 [kat
plaszczyznami] Katem
miedzy
przecinajacyni
sie,
, miedzy
,
,
,
,
plaszczyznami π1 i π2 nazywamy kat
ostry
ϕ
mi
edzy
prostymi
zawartymi
w
,
,
tych plaszczyznach i prostopadlymi do ich wspólnej krawedzi.
,
Rysunek.
WZÓR NA KAT
MIEDZY
PLASZCZYZNAMI:
,
,
−
−
|→
n1 ◦ →
n2 |
ϕ = arccos →
−
−
| n1 | · | →
n2 |
−
−
gdzie →
n1 i →
n2 to odpowiednio wektory normalne plaszczyzn π1 i π2 .
Zadanie.
21