Funkcja liniowa. Wartość bezwzględna. Równania i nierówności z

Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
Automatyka i Robotyka, stacjonarne, sem. I
rok ak. 2009/2010
Lista II.
Funkcja liniowa. Wartość bezwzględna. Równania i nierówności z
wartością bezwzględną. Równanie prostej i okręgu na płaszczyźnie.
Warunek równoległości i prostopadłości prostych. Wzajemne
położenie prostych i okręgów.
2.1. Wyznacz wzór funkcji liniowej f wiedząc, że:
(a) f (−1) = 2, f (3) = −2,
(b) jej wykres przecina oś OY w punkcie o rzędnej 4, a 2 jest jej miejscem zerowym.
(c) jej wykres przechodzi przez punkt C(4, 3) i jest równoległy do wykresu funkcji g(x) =
3x + 7,
(d) jej wykres przechodzi przez punkt C(−3, 4) i jest prostopadły do prostej y = 21 x − 5,
(e) jej wykres jest nachylony do osi OX pod kątem 60o i przechodzi przez punkt D(1, 3),
(f ) f nie przyjmuje wartości dodatnich i f (22) = −3.
2.2. Dane sa wierzchołki trójkata A(1, 1), B(3, 5) i C(2, 4). Napisz równania prostych AB, AC
i BC.
2.3. Wykresy wszystkich funkcji postaci y = mx, x ∈ R, y ∈ R i m ∈ R tworzą rodzinę
prostych. Zacieniuj część płaszczyzny, w której zawierają się wykresy, gdy:
(a) 0 < m < 1,
(b) m > 10,
(c) −1 < m < 0,
(d) m < −1,
(e) m > 2,
(f ) −3 < m < − 21 .
2.4. Rozwiąż zadanie 2.3 dla funkcji postaci y = mx + 2.
2.5. Zacieniuj część płaszczyzny, w której zawierają się wykresy funkcji postaci y = 2x + m,
gdy m spełnia warunek:
(a) 1 < m < 3,
(b) −1 < m < 0,
(c) m < −3.
2.6. Naszkicuj

 wykresy funkcji:




| x+16 | dla x < −1
5
−
x
dla
x
<
−4


 3

√
g(x) = 2 − 3x dla −1 ¬ x < 2 .
f (x) = y = x + x2 dla −4 ¬ x ¬ 4 ,


−5


 x−14
dla x > 4
3
dla x ­ 4
2.7. Czy punkty (1, −3) i (0, 0) leżą po tej samej stronie prostej 2x − y + 5 = 0.
2.8. Uzupełnij podaną tabelkę:
Znaki liczb a, b Numery ćwiartek, przez które przechodzi wykres funkcji y = ax + b
a>0ib>0
a>0ib<0
a>0ib=0
a<0ib>0
a<0ib<0
a<0ib=0
a=0ib>0
a=0ib<0
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
rok ak. 2009/2010
Automatyka i Robotyka, stacjonarne, sem. I
2.9. Rozwiąż równania i nierówności:
(a) |x + 2| = 2(3 − x),
(b) |3x − 2| + x = 11,
(c) |x| − |x − 2| = 2,
(d) |5 − 2x| < 1,
(e) |3x − 2,5| ­ 2,
(f ) |x − 2| ¬ |x + 4|,
(g) |x − 3| + |x + 4| = 9,
(h) |x + 3| + |x − 1| < 5,
(i) |x + 2| − |x| > 1.
2.10. Zbadaj dla jakich wartości parametru m każdy z układów równań:
(
(a)
2x + 3y = 4
,
4x + my = 2m
(
(b)
x−y =m−1
,
2x − y = 3 − m
(
(c)
4x − 3y = 7
.
mx − y = 2
jest układem równań niezależnych, zależnych, sprzecznych.
2.11. Przedstaw ilustrację graficzną rozwiązań układu:
y − 2x < 2
(a)  2x + 3y − 6 < 0 ,

x<1



2x − 3y − 6 < 0
,
(b)  2x − y < 2

y = −x + 1



x+y−2¬0
.
(c)  2y + 5x ­ 10

5x − 2y − 10 ¬ 0



2.12. Wyznacz stałą c tak, aby prosta cx + (c + 1)y + c2 = 0 przechodziła przez punkt P :
(a) P (1, 1), (b) P (1, −1).
2.13. Dla jakich wartości parametru p funkcja f (x) = (7p + 3)x − 2p − 8 jest rosnąca?
2.14. Dla jakich wartści parametru m punkt przecięcia prostych o równaniach 2x + y − 7m + 7 = 0
i x + 3y + 5m2 − 6m + 1 = 0 należy do trzeciej ćwiartki układu współrzędnych?
2.15. Opisz za pomocą równania lub nierówności:
(a) okrąg; (b) koło; (c) wnętrze koła; (d) zewnętrze koła
o środku S(2, −1) i promieniu r = 3. Czy punkt P (5, −1) należy do wnętrza tego koła?
2.16. Podaj długość promienia i współrzędne środka okręgu o równaniu:
(a) x2 + y 2 = 5; (b) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9; (c) x2 + y 2 − 4x = 0; (d) x2 + y 2 + y = 0.
2.17. Zbadaj wzajemne położenie okręgów o równaniach:
(a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 25 i (x + 3)2 + y 2 = 1;
(b) x2 + (y − 1)2 = 5 i (x − 1)2 + y 2 = 1;
(c) (x − 1)2 + (y
− 1)2 = 16 i (x − 4)2 + y 2 = 1;
√
(d) x2 + y 2 − 4 2x − 120 = 0 i x2 + y 2 − 200 = 0.
2.18. Zbadaj wzajemne położenie:
(a) prostej x + 2y − 3 = 0 i okręgu x2 + y 2 − 2x + 5y = 0;
(b) prostej x + 4y − 1 = 0 i okręgu x2 + y 2 − 2x − 5y = 0;
(c) prostej 2x + y = 0 i okręgu x2 + x + y 2 = 0.
2.19. Wyznacz punkty przecięcia
(a) okręgu x2 + y 2 − 3x + 5y − 4 = 0 z prostą x + 2y − 4 = 0;
(b) okręgu x2 + y 2 − 3x + 5y − 4 = 0 z osiami układu współrzędnych;
(c) okręgów x2 + y 2 − 3x + 5y − 4 = 0 i x2 + y 2 + x − 7y = 0.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
4