Wartości i wektory własne, formy kwadratowe, macierze symetryczne
Transkrypt
Wartości i wektory własne, formy kwadratowe, macierze symetryczne
Algebra - zestaw 10 - 4-10 I 2017 Wartości i wektory własne, formy kwadratowe i macierze symetryczne Zadanie 1. Wyznaczyć wartości dla macierzy:⎤ ⎡ ⎤ ⎡ własne⎤i wektory własne ⎡ [ ] [ ] 1 −1 1 2 0 1 3 4 −5 3 5 −3 2 a) ⎣−1 −1 2⎦, b) , c) ⎣0 3 1⎦, d) , e) ⎣8 7 −2⎦, 4 2 2 0 3 0 1 0 6 2 2 −1 8 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ [ ] [ ] 0 1 0 1 −1 −1 1 −3 1 −7 1 0 −1 0 ⎦, i) f) ⎣0 0 1⎦, g) , h) ⎣1 1 , j) ⎣−3 1 −1⎦, 2 −5 5 4 0 −1 0 3 0 1 1 −1 5 Zadanie 2. Za pomocą równania Cayley’a-Hamiltona wyznaczyć macierze odwrotne do macierzy z zadania 1. Zadanie 3. Pokazać, że wartości własne macierzy mogą się zmienić jeśli od jednego wiersza odejmiemy wielokrotność innego. Uzasadnić, że jeśli 𝜆 = 0 jest wartością własną wyjściowej macierzy, to jest też wartością własną macierzy dowolnej tak powstałej macierzy. Zadanie 4. Wiemy, że wartości własne macierzy 𝐴𝑇 są tożsame z wartościami własnymi macierzy 𝐴. Pokazać (podać przykład), [ że]odpowiadające im wektory własne się różnią. 0 1 Zadanie 5. Uzupełnić macierz 𝐴 = , jeśli wartości własne macierzy 𝐴 to 4 i 7. ⋅ ⋅ ⎡ ⎤ 0 1 0 Zadanie 6. Uzupełnić macierz ⎣0 0 1⎦ wiedząc, że jej wielomian charakterystyczny ⋅ ⋅ ⋅ ma postać −𝜆3 + 4𝜆2 + 5𝜆 + 6. Zadanie 7. Niech 𝐴 ∈ 𝑀 (3, 3) ma wartości własne 1, 2, 4. Jaki jest wyznacznik (𝐴−1 )𝑇 ? Zadanie 8. Bez obliczania wartości własnych wyznaczyć sumę wartości własnych i iloczyn wartości własnych dla macierzy: ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 2 1 1 3 1 3 1 2 3 0 ⎢−1 2 1 1 ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ a)𝐴 = −1 2 1 , b)𝐵 = 0 −2 1⎦, c)𝐶 = ⎢ ⎣ 0 3 4 −5⎦. −1 5 2 2 3 −2 −2 4 6 1 Zadanie 9. Korzystając z wzorów Viete’a wskazać wymiar, wyznacznik, rząd i ślad macierzy, której wielomian charakterystyczny ma postać: 2 𝜑(𝜆) = −𝜆9 + 3𝜆8 + 𝜆5 + 2𝜆4 − 𝜆 + . 3 Zadanie 10. Pokazać, że jeśli 𝐴 jest macierzą Markowa, to 𝜆 = 1 jest wartością własną tej macierzy. Zadanie 11. Dana jest macierz formy kwadratowej. Podać wzór odwzorowania, określającego ⎡ tę formę: ⎤ ⎡ ⎤ [ ] 0 −3 2 4 1 0 2 1 a) ⎣−3 −1 1 ⎦, b) , c) ⎣1 −2 2 ⎦. 1 −1 2 1 −4 0 2 −1 Zadanie 12. Wyznaczyć macierz i zbadać określoność formy kwadratowej zadanej wzorem: a) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦; b) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦 2 + 4𝑥𝑦; c) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥2 + 𝑦 2 + 4𝑧 2 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥𝑧; d) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑥2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 + 32 𝑥𝑦 + 32 𝑥𝑧; e) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣) = −2𝑥2 − 2𝑦 2 − 3𝑧 2 − 4𝑣 2 + 2𝑥𝑧 + 4𝑥𝑣 − 6𝑧𝑣; f) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣) = 𝑥2 + 2𝑦 2 + 𝑧 2 + 4𝑣 2 + 2𝑥𝑦 + 8𝑦𝑣; g) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 + 2𝑥𝑦; h) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 9𝑦 2 + 3𝑧 2 − 6𝑥𝑦; i) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑥𝑧 − 6𝑦𝑧; j) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −2𝑥2 − 5𝑦 2 − 3𝑧 2 − 4𝑥𝑦 + 6𝑦𝑧. 1 2 Dobrej zabawy! Grzesiek Kosiorowski