Algebra abstrakcyjna i liniowa lista 8

Algebra abstrakcyjna i liniowa
lista 8 - 4 marca 2007
Temat: układy równań liniowych, przekształcenia liniowe, macierz przekształcenia liniowego,
obraz i jądro przekształcenia liniowego, wielomian charakterystyczny, wartości i wektory własne.
1. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań liniowych niejednorodnych
2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6,
3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4, 9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2.
Jaki jest rząd macierzy tego układu?
2. Zbadać istnienie i jednoznaczność rozwiązania następującego układu równań liniowych
w zależności od wartości parametrów a, b, c:
ax + y + z = 1,
x + by + z + 1,
x + y + cz = 1.
3. Wyznaczyć fundamantalny układ rozwiązań układu jednorodnego, czyli bazę podprzestrzeni rozwiązań układu Ax = 0 dla


2 −1 5 7


A =  4 −2 7 5  .
2 −1 1 −5
4. Niech f : R3 ⇒ R3 . Zbadać czy następujące przekształcenia są liniowe (x = [x1 , x2 , x3 ]T ):
(a)
(b)
(c)
(d)
f (x) = [x3 , x2 , x1 ]T ,
f (x) = [x3 , x2 , x1 − 1]T ,
f (x) = [x1 , x2 x23 ]T ,
f (x) = [x1 + 2x2 + 3x3 , 3x1 − x2 + 3x3 , 2x1 + 3x2 + 2x3 ]T .
5. Niech V będzie przestrzenią liniową wielomianów rzeczywistych w(t) stopnia ¬ n. Zbadać, czy poniższe odwzorowania są liniowe (w(t) ∈ V):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
f (w(t)) = w(−t),
f (w(t)) = w(t + 1),
f (w(t)) = tw(t),
f (w(t)) = w(at + b), gdzie a, b ∈ R ustalone parametry,
f (w(t)) = w0 (t) (pochodna),
f (w(t)) = w(t2 ),
f (w(t)) = w(t + 1) − w(t).
6. Niech f (x) = [x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + x3 ]T ), gdzie x = [x1 , x2 , x3 ]T ∈ R3 .
Opisać obraz i jądro tego przekształcenia liniowego. Podać macierz tego przekształcenia
w bazie standardowej.
1
7. Niech V będzie przestrzenią wielomianów rzeczywistych stopnia ¬ 3. Niech
w(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 .
Rozważamy dwa przekształcenia liniowe f i g przestrzeni V w przestrzeń V:
f (w(t)) = a0 + a1 t + a2 t2 ,
natomiast przekształcenie g przeprowadza wektory
t3 + t2 ,
t3 + t,
t3 + 1,
t 3 + t2 + t + 1
na wektory
t3 + t,
t3 + 1,
t3 + t2 + t + 1,
0.
Podać macierze przekształceń f i g w bazie standardowej t3 , t2 , t, 1 oraz wyznaczyć
ich wielomiany charakterystyczne. Jakie są macierze superpozycji (złożenia) tych przekształceń: f g i gf ?
8. Udowodnić, że macierz kwadratowa jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy gdy nie ma
zerowej wartości własnej.
9. Udowodnić, że jeśli det(A) 6= 0 i λ jest wartością własną macierzy A, to 1/λ jest wartością własną macierzy A−1 .
10. Czy prawdą jest, że jeśli λ jest wartością własną macierzy A, to λ2 jest wartością własną
macierzy A2 ? A co można powiedzić o wektorach własnych macierzy A i A2 ?
11. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne następujących macierzy:
"
3 + i −1
2i
1−i


#
,



4 −1 −2


 2 1 −2  ,
1 −1 1

4 −4 2


 2 −2 1  .
−4 4 −2
4 1 1


 2 4 1 ,
0 1 4
12. Niech A i B będą macierzami stopnia n. Mówimy, że macierz B jest podobna do macierzy
A jeśli istnieje macierz nieosobliwa S taka, że B = SAS −1 . Udowodnić, że macierze A i
B mają takie same wartości własne. Skorzystać z wielomianów charakterystycznych. A
jaki jest związek między wektorami własnymi macierzy A i B? Skorzystać z definicji.
2
Zadania z podręcznika Antona i Rooresa
13. Wyrazić wektor Ax jako liniową kombinację kolumn macierzy A:



A=

−3
6
2
5 −4
0
2
3 −1
1
8
3



,



−1


x =  2 .
5
14. Zbadaj, czy wektor b należy do podprzestrzeni liniowej rozpiętej na kolumnach macierzy
A. Jeśli należy, to przedstaw wektor b jako liniową kombinacje kolumn macierzy A:
"
(a) A =
1
3
4 −6
#
"
,
b=


1 1 2


(b) A =  1 0 1  ,
2 1 3


1 −1 1


3 1 ,
(c) A =  9
1
1 1
−2
10

#
.

−1


b =  0 .
2


5


b =  1 .
−1
15. Na przykładzie macierzy A sprawdź, że rank(A) = rank(AT ):


1 2 4 0


A =  −3 1 5 2  .
−2 3 9 2
16. Jakie warunki muszą spełniać b1 , b2 , b3 , b4 , b5 żeby układ równań liniowych miał rozwiązanie:
x1 − 3x2 = b1 ,
x1 − 2x2 = b2 ,
x1 + x2 = b3 ,
x1 − 4x2 = b4 ,
x1 + 5x2 = b5 ?
17. Zbadaj, czy następujące przekształcenia są liniowe:
(a) f : M22 → R, gdzie
"
i. f
"
ii. f
a b
c d
#!
a b
c d
#!
= 3a − 4b + c − d,
= a2 + b2 ,
(b) f : P2 → P2 , gdzie P2 jest przestrzenią wielomianow stopnia ¬ 2:
i. f (a0 + aa x + a2 x2 ) = a0 + a1 (x + 1) + a2 (x + 1)2 .
ii. f (a0 + aa x + a2 x2 ) = (a0 + 1) + (a1 + 1)x + (a2 + 1)x2 .
3
18. Jako bazę przestrzeni R2 wybieramy wektory: u1 = [−2, 1]T ,
przekształcenie liniowe f : R2 → R3 będzie takie, że
f (u1 ) = [−1, 2, 0]T ,
u2 = [1, 3]T i niech
f (u2 ) = [0, −3, 5]T .
Obliczyć f ([2, −3]T ).
19. Niech f : P2 → P3 będzie przekształceniem liniowym określonym wzorem:
f (w(x)) = xw(x), gdzie w(x) jest wielomianem stopnia ¬ 2. Które z następujących
wielomianów należą do jądra tego przekształcenia:
x2 ,
1 + x?
0,
Które wielomiany należą do obrazu:
x + x2 ,
1 + x,
3 − x2 ?
20. Niech przekształcenie liniowe f → M22 → M22 będzie zdefiniowane przez następujący
wzór:
"
f (X) =
1 1
0 0
#
"
X +X
0 0
1 1
#
.
Wyznacz rząd obrazu i rząd jądra przekształcenia f .
21. Niech przekształcenie liniowe f : R2 → R2 będzie określone wzorem:
f ([x1 , x2 ]T ) = [x1 − x2 , x2 + x2 ]T .
Wyznaczyć macierz tego przekształecenia w:
(a) w bazie jednostkowej e= [1, 0]T , e2 = [0, 1]T
(b) w bazie u1 [= 1, 1, ]T , u2 = [−1, 0]T .
22. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy


−2 2 3


A =  −2 3 2  .
−4 2 5
Na tej podstawie wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy: A−1 ,
2I?
A − 3I,
Literatura pomocnicza:
1. J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 2005.
2. T. Jurlewicz, Zb. Skoczylas, Algebra Liniowa 2, GIS, Wrocław.
3. H. Anton, Ch. Rorres, Elementary linear algebra. Applications version, Wiley 1995.
Krystyna Ziętak
4
A+