Aksjomatyka - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF

o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF
51-611 Wrocław, ul. Wieniawskiego 38
www.piotr-liszka.strefa.pl
+ Aksjomatyczność logicyzmu wieku XX zależna tradycji filozoficznej.
„Logicyzmem nazywa się kierunek w filozofii matematyki, którego naczelna
teza głosi, że cała matematyka jest sprowadzalna do logiki, czyli – innymi
słowy – że matematyka jest jedynie częścią logiki. Twórcą logicyzmu był
Gottlob Frege (1848-1925), czołowym zaś jego przedstawicielem Bertrand
Russell (1872-1970). Źródła historyczne logicyzmu były wielorakie. Tkwiły
one i w wielkiej tradycji filozoficznej, i w pewnych procesach rozwojowych
samej matematyki. Logicyści nawiązywali do myśli Platona, Arystotelesa i
Euklidesa – zwłaszcza jeśli chodzi o metodę aksjomatyczną. Odwoływali się też
do idei J. Locke’a i G. W. Leibniza – genezy logicyzmu szukać należy bowiem m.
in. w filozoficznej kontrowersji między racjonalizmem a empiryzmem
dotyczącej charakteru sądów matematycznych. Logicyzm nawiązał do poglądu
Locke’a i Leibniza, że sądy matematyczne mają charakter tautologiczny.
Odwoływał się też do poglądu Leibniza o możliwości zalgorytmizowania
wnioskowań matematycznych (i w ogóle wnioskowań naukowych). Rozwój
logicyzmu nie byłby jednak możliwy bez stworzenia w drugiej połowie XIX
wieku nowoczesnej logiki matematycznej, która była w jakimś stopniu
urzeczywistnieniem Leibnizowskiej idei characteristica universalis – rachunku
nadającego się do logicznej analizy pojęć i struktury systemów naukowych”
/R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe
PWN, Warszawa 1995, s. 83.
+ Aksjomatyczność
matematyki.
„Dzięki zastosowaniu metodologii
Arystotelesa stały się Elementy pierwszym w dziejach systemem dedukcyjnym
w matematyce. Szczegółowe badania wykazały co prawda istnienie w nim
wielu luk, nie umniejsza to jednak w niczym ich doniosłego znaczenia dla
rozwoju metodologii matematyki. Elementy stały się wzorcem wykładu
naukowego, ustanowiły pewien model i standard, wyznaczyły paradygmat
matematyki funkcjonujący aż do XIX wieku (por. uwagi na ten temat we
Wstępie). Zgodnie z nim, matematyka rozwijana była jako system
aksjomatyczny (w praktyce raczej quasi-aksjomatyczny). Pozostały przy tym
luki w dowodach, a lista naczelnych zasad (aksjomatów i postulatów) bywała
na ogół niekompletna. Bez skrępowania też odwoływano się przy uzasadnianiu twierdzeń do intuicji i prawd „oczywistych”. Nie przywiązywano też
szczególnej wagi do precyzowania języka teorii matematycznych. Niemniej
dzięki Euklidesowi i Elementom matematyka stała się zorganizowanym
wewnętrznie systemem. Księgi geometryczne Elementów były też aż do
początków XIX wieku (a więc w ciągu ponad dwudziestu dwóch stuleci!)
powszechnie używanym podręcznikiem. Były wielokrotnie przepisywane,
później wydawane drukiem i tłumaczone na wiele języków. Od chwili
wynalezienia druku ukazało się około tysiąca wydań Elementów (pod tym
względem ustępują one tylko Biblii)” /R. Murawski, Filozofia matematyki,
Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 33.
+ Aksjomatyczność najmniejsza osoby Jana Chrzciciela w grupie Trina
Sanctitas, w dzisiejszej świadomości, zwłaszcza w kręgu zachodniej formacji
1
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
religijnej. „Wyrażona w Deesis idea najwyższego wstawiennictwa Marii i Jana
Chrzciciela zakłada, iż wraz z Chrystusem stanowią oni triadę
najważniejszych postaci w historii zbawienia, wieńczącą w rzeczywistości
niebiańskiej hierarchię świętych i aniołów. Nawiązując do inskrypcji na
oprawie jednego z bizantyńskich ewangeliarzy z przełomu X i XI wieku, triadę
tę określać tu będziemy terminem „Trina Sanctitas”. W tekście literackim
idea Trina sanctitas występuje najczęściej w postaci hierarchicznej sekwencji
imion Chrystusa, Marii i Jana, wymienianych bez wyraźnego związku z ideą
wstawiennictwa. Natomiast za literacki ekwiwalent Deesis uważać będziemy
sformułowaną w tekście explicite ideę modlitewnego orędownictwa
Bogurodzicy i Prekursora za grzesznym rodzajem ludzkim. W przedstawieniu
Deesis obie idee wiążą się ze sobą nierozdzielnie: Trina Sanctitas stanowi
swoistą bazę teologiczno-doktrynalną dla intercesji Matki Bożej i Jana
Chrzciciela. W kulturze średniowiecznej spotykamy jednak również
niezależne od Deesis przejawy popularności Trina Sanctitas […] W
rekonstrukcji kulturowego kontekstu narodzin i rozwoju idei Trina Sanctitas
i Deesis szczególny nacisk winien być położony na świętojański aspekt
tradycji średniowiecznego chrześcijaństwa. To św. Jan Chrzciciel bowiem jest
dla dzisiejszej świadomości, zwłaszcza w kręgu zachodniej formacji religijnej,
personą w grupie Trina Sanctitas najmniej „aksjomatyczną’, a co za tym
idzie,
najbardziej
charakterystyczną
i
wymagającą
najbardziej
wszechstronnego
oświetlenia”
/R.
Mazurkiewicz,
Deesis.
Idea
wstawiennictwa Bogurodzicy i św. Jana Chrzciciela w kulturze
średniowiecznej, Kraków 1994, s. 14/. „Wystarczyło […] jedyne spotkanie
zaświadczone przez św. Łukasza, by egzegeza następnych stuleci ustawicznie
podejmowała wątek misterium nawiedzenia, w którym w sposób szczególny
wyodrębniano zawsze mistyczno-pneumatoforyczną więź między osobami
Trina Sanctitatis, związaną w chwili pozdrowienia Elżbiety przez Marię
tajemnym przepływem łaski od Chrystusa przez Bogurodzicę do Jana”
/Tamże, s. 19.
+ Aksjomatyka arytmetyki liczb naturalnych, Dedekind R. „Zasady, na
których opierał się Eudoksos, a później Euklides (wykładając teorię wielkości
niewspółmiernych Eudoksosa w księdze X Elementów), nie wystarczą do
otrzymania pełnej teorii liczb rzeczywistych jako stosunków wielkości.
Konieczna jest tu wprowadzona przez Dedekinda, a nie występująca u
matematyków greckich, zasada ciągłości. W liście do R. Lipschitza z 10
czerwca 1876 r. pisał Dedekind: „Nigdzie jednak ani u Euklidesa, ani u
żadnego późniejszego pisarza nie występuje ostateczne sformułowanie
takiego prawa uzupełniania, nigdzie nie ma pojęcia ciągłości, tj. pojęcia
dziedziny wielkości, która byłaby w najwyższym dającym się pomyśleć stopniu
zupełna, której istotna własność byłaby taka: «Jeżeli wszystkie wielkości
jakiejś dziedziny wielkości uhierarchizowanej w sposób ciągły rozpadają się na
dwie klasy tego rodzaju, że każda wielkość pierwszej klasy jest mniejsza od
każdej wielkości drugiej klasy, to albo w pierwszej klasie istnieje wielkość
największa, albo w drugiej najmniejsza»„. I dodaje: „Po tych wszystkich
uwagach dalej obstaję przy moim twierdzeniu, że same zasady Euklidesa,
bez dołączenia zasady ciągłości, która nie jest w nich zawarta, nie wystarczą
do oparcia na nich zupełnej teorii liczb rzeczywistych jako stosunków
wielkości. (...) Na odwrót jednak, poprzez moją teorię liczb niewymiernych
2
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
stworzony został doskonały wzór dziedziny ciągłej, w której każdy stosunek
wielkości może być scharakteryzowany przez pewną określoną należącą doń
liczbę” /R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke, Bd. III, Friedrich
Vieweg und Sohn, Braunschweig 1932, ss. 151-152)/. Druga z istotnych tu
dla nas prac Dedekinda, Was sind und was sollen die Zahlen?, zawiera
logiczną teorię liczb i indukcji zupełnej oraz aksjomatykę arytmetyki liczb
naturalnych. Aksjomaty te znane są dziś jako aksjomaty Peana. W związku z
tym powstaje oczywiście problem, kto naprawdę jest ich autorem, komu
należy przypisać priorytet, Dedekindowi czy Peanowi. Kwestia ta jest i
pozostanie niestety nierozstrzygnięta (por. w tej sprawie R. Murawski,
Giuseppe Peano – Pioneer and Promoter of Symbolic Logic oraz Giuseppe Peano a
rozwój logiki symbolicznej). Zaznaczmy tu jednak, że Dedekind i Peano
sformułowali swe aksjomaty w innych zupełnie językach i różne też
przyświecały im cele” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 64.
+ Aksjomatyka chrześcijańska nakreśla granice poznawcze rozumowi
ludzkiemu. „Chrześcijański absurd jest kategorią, negatywnym kryterium
relacji ku Bogu i jako taki przedstawia limity dla ludzkiego rozumu.
Paradoks jest więc granicą poznania ludzkiego, bądź wynika z nakreślenia
granic poznawczych z założeń. Dla Kierkegaarda paradoksem jest tedy
zarówno egzystencja jednostki, jak i prawda; paradoksem jest zarówno
wiara, jak Chrystus /Karol Toeplitz, Irracjonalizm przeciwko racjonalizmowi.
(Kierkegaard przeciwko Heglowi), „Studia Filozoficzne”, 1970, nr 4, s. 86/.
Dla Kierkegaarda wszelka wiedza w sprawach wiary jest niemożliwa, dlatego
też będzie próbował wykazać, że chrześcijaństwo dąży do wiedzy i
zrozumienia tego, co nie może być zrozumiane /Tamże, s. 85/. W Bojaźni i
drżeniu Kierkegaard pisze iż człowiek chce: „/…/ wyssać mądrość życiową z
paradoksu. Może to się i uda temu lub owemu; gdyż naszym czasom brakuje
wiary, brakuje jej cudów, brakuje przemiany wody w wino, wolą posunąć się
dalej i wino przemienić w wodę. Czyż nie byłoby lepiej trwać przy wierze i
czyż to nie jest oburzające, że każdy chce posunąć się dalej? Jeżeli w naszych
czasach, a to głosi się na różne sposoby, ludzie nie chcą trwać przy miłości,
dokąd więc dojdą? Do ziemskiej wiedzy, wąskiej interesowności, do rzeczy
żałosnych i martwych, do wszystkiego, co podaje w wątpliwość boskie
pochodzenie człowieka. Czy nie lepiej stanąć przy wierze? I niech ten, kto
zajął tę pozycję, uważa, aby nie upaść, gdyż wysiłek wiary musi zawsze
rodzić się z absurdu /…/.” /Søren Kierkegaard, Bojaźń i drżenie. Liryka
dialektyczna, napisał Johannes de Silentio. Choroba na śmierć,
chrześcijańsko-psychologiczne rozważania dla zbudowania i pobudzenia
napisał Anti Climacus, przeł. J. Iwaszkiewicz, Warszawa 1982, s. 35-36/.
Credo Kierkegaarda będzie tedy brzmiało: tam, gdzie jest rozum – nie ma
wiary i tam, gdzie jest wiara – nie może być jej racjonalizacji /Karol Toeplitz,
Irracjonalizm przeciwko racjonalizmowi. (Kierkegaard przeciwko Heglowi),
„Studia Filozoficzne”, 1970, nr 4, s. 87/” /J. A. Prokopski, Søren
Kierkegaard. Dialektyka Paradoksu wiary, Wrocław 2002, s. 113.
+ Aksjomatyka dominuje w projekcie grupy Bourbaki; wykluczone są
wykresy, przykłady i szczegóły. „Bourbaki to pseudonim zmieniającej się
grupy matematyków francuskich, która w ciągu ostatnich pięćdziesięciu lat
była zbiorowym autorem szeregu monografii o podstawowych „strukturach”
3
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
matematyki. Projekt ten to jakby ostatnia nadzieja formalistów: dominuje
aksjomatyka, rygoryzm i elegancja; wykluczone są wykresy, przykłady i
szczegóły” /J. D. Barrow, Teorie wszystkiego. W poszukiwaniu ostatecznego
wyjaśnienia (Theories of Everything. The Quest for Ultimate Explanation,
Oxford University Press, New York 1991), przeł. J. Czerniawski, T. Placek,
Wydawnictwo Znak, Kraków 1995, s. 248/. „Chociaż dwa tuziny albo więcej
tomów Bourbakiego nie przedstawiało jakichś nowych matematycznych
wyników, to pokazywały one znane obszary przedmiotu w sposób nowy i
abstrakcyjny. Są one najbardziej podstawowymi podręcznikami dla wtajemniczonych. Nawet w kręgach matematycznych Bourbaki ma krzykliwych
krytyków, oskarżających go o „scholastyczność” i „hiperaksjomatyczność”.
Jeden ze zwolenników projektu, Laurent Schwarz, tak próbuje uzasadnić to
podejście i sposób, w jaki odróżnia się od podejścia wynalazców nowych idei:
«Są w zasadzie dwa typy umysłów naukowych, z których żaden nie może być
uważany za lepszy od drugiego. Są tacy, którzy lubią subtelne szczegóły, i
tacy, którzy interesują się tylko wielkimi uogólnieniami (...) W rozwoju teorii
matematycznej na ogół grunt przeorany zostaje przez naukowców ze szkoły
„szczegółowej”, którzy podchodzą do problemów za pomocą nowych metod,
formułują ważne kwestie do rozstrzygnięcia i wytrwale poszukują rozwiązań,
bez względu na jakiekolwiek trudności. Gdy tylko ich zadanie zostanie
spełnione, do akcji wkraczają, wraz ze swoimi pomysłami, naukowcy z
zamiłowaniem do ogólności. Ci sortują i przesiewają, zachowując tylko
materiał istotny dla przyszłości matematyki. Ich praca jest bardziej pedagogiczna niż twórcza, a jednak jest równie istotna i trudna jak praca poprzedniej kategorii (...) Bourbaki należy do „ogólnej” szkoły myślenia». Niemniej
jednak, główny nurt matematyki zaczął się oddalać od górnych rejestrów
skrajnego formalizmu, kierując się z powrotem ku badaniom szczegółowych
problemów, szczególnie tych obejmujących chaotyczne zjawiska nieliniowe.
Zaczął również poszukiwać motywacji w świecie przyrody. Jest to powrót do
znakomitej tradycji, gdyż podobnie jak istnieją przykłady na to, że stara
matematyka okazała się odpowiednia do wprowadzenia nas w nową fizykę,
są też komplementarne przykłady na to, że nasze badanie świata fizycznego
było bodźcem do wynalezienia nowej matematyki” /Tamże, s. 249.
+ Aksjomatyka Dowód dedukcyjny pojawia się na końcu całego, często
długiego, procesu badawczego. „Matematyka interesują własności
badanych obiektów. Stara się poznać te własności w szczególności za
pomocą komputera, a nie na drodze dedukcyjnych rozumowań.
Dedukcyjny dowód w systemie aksjomatycznym pojawia się na końcu
całego, często długiego, procesu badawczego. Gdy matematyk siada
przed komputerem, nie interesuje go formalna strona zagadnienia, nie
manipuluje formułami, ale bada pewną rzeczywistość pozajęzykową. Dla
matematyka zatem istotne są przede wszystkim obiekty, a nie formalna
teoria ich dotycząca. Jaki zatem rodzaj istnienia przysługuje tym
pojęciom matematycznym? Czy są one tylko tworami matematyków, czy
za definicjami i teoriami, które są produktami działalności matematyków, kryje się obiektywna rzeczywistość przedmiotów matematycznych?
Zanim zaproponuję odpowiedź na powyższe pytania, muszę uczynić
następującą uwagę. Obiekty matematyczne są niematerialne, stąd też ich
rodzaj istnienia jest niewątpliwie inny niż sposób istnienia przedmiotów
4
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
fizycznych. W tym kontekście, rozróżnienie między stanowiskami z
pierwszej i drugiej grupy nie zasadza się na uznaniu realnego istnienia w
przypadku pierwszym i odrzucenia tego stanowiska w drugim. Różnica
między tymi koncepcjami jest związana z rodzajem relacji między
umysłem a obiektami matematycznymi. Dla stanowisk realistycznych
istotne jest przyjęcie, że umysł ludzki poznaje rzeczywistość niezależną
od niego, dla stanowisk konceptualistycznych charakterystyczne jest
uznanie, że pojęcia matematyczne pochodzą od poznającego podmiotu.
W szczególności, w ramach stanowisk realistycznych można przyjąć, że
istnienie
przedmiotów
matematycznych
jest
tylko
istnieniem
potencjalnym, aktualizować się zaś może z chwilą pomyślenia o danym
obiekcie” /A. Lemańska, Eksperyment komputerowy a istnienie obiektów
matematycznych, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E.
Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu,
Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 187-202, s. 199.
+ Aksjomatyka geometrii rzutowej „W trzecim wydaniu swej poczytnej
pracy Raum, Zeit, Materie, Weyl wprowadził tzw. teorię Weyla, która była
pierwszą próbą budowy „jednolitej teorii” wprowadzającej w jeden
schemat geometryczny zjawiska elektromagnetyczne oraz grawitacyjne.
Później matematycy francuscy C. Chevalley i A. Weil w biografii Weyla
podkreślali znaczenie jego teorii, która dążyła do „rozszerzenia ram
tradycyjnej geometrii Riemanna” i przygotowywała drogę do
„uogólnionych geometrii E. Cartana, tj. dla ogólnej teorii związków w
stosunku do dowolnych grup Lie /C. Chevalley, A. Weil, German Wejl, w:
H. Weyl, Izbrannyje trudy, Moskwa 1984, nr 5, 413-433, s. 427/. W roku
1928, w swej pracy z teorii grup (Gruppentheorie), Weyl żądał
wyraźnie powrotu w aktualnie funkcjonujących współczesnych
tendencjach matematyki do tradycji greckiej, czyli dominacji pojęć
geometrycznych nad liczbą. Nic w tym dziwnego, bowiem w tym
przypadku matematyka ściślej i wszechstronniej łączyła swoją
funkcję badawczą i uzupełniała fizykę. W tej samej pracy Weyl pisał,
iż „dzisiaj patrzymy na każdą dyscyplinę matematyki jako określoną
dziedzinę pojęć ilościowych. Współczesny algebraista rozpatruje
continuum liczb rzeczywistych lub zespolonych tylko jako jedno „pole”
wśród wielu. Współczesna aksjomatyka geometrii rzutowej może być
rozpatrywana jako odpowiedni przejaw tej właśnie tendencji w dziedzinie
geometrii /H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig 1928,
Wstęp/. Weyl mówił o „nowej matematyce”, do której włączył współczesną
teorię grup oraz to, co określał jako „algebrę abstrakcyjną”. Ta
dziedzina wiedzy nie reprezentowała „ducha matematyki klasycznej”,
a jej szczególnym przykładem była teoria funkcji zmiennej zespolonej.
Nigdy nie tracił swych zainteresowań związkami matematyki z fizyką i
dlatego też we wstępie do pracy z teorii grup z satysfakcją podkreślał,
że „continuum liczb rzeczywistych zachowało swoją starą prerogatywę w
fizyce dla wyrażania wyników pomiarów fizycznych (Weyl, 1928, Wstęp/”.
/E. Piotrowska, Między matematyką a fizyką. Badania naukowe i refleksje
filozoficzne Hermanna Weyla, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem,
red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama
5
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań
1999, 159-184, s. 172.
+ Aksjomatyka Peana dla liczb naturalnych oraz aksjomatyka Zermela dla
teorii mnogości odrzucona została przez matematyków przyjmujących
stanowisko
konceptualistyczne.
„Konsekwencją
stanowiska
konceptualistycznego jest odrzucenie metody aksjomatycznej jako metody
budowania (i ugruntowywania) matematyki. Nie można bowiem postulować
tylko istnienia obiektów, jak się to czyni w metodzie aksjomatycznej, ale
należy je uprzednio skonstruować. Podobnie rzecz się ma z własnościami
obiektów. W związku z tym należy w szczególności odrzucić na przykład
aksjomatykę Peana dla liczb naturalnych czy aksjomatykę Zermela dla teorii
mnogości. Intuicjoniści szczególnie ostro krytykowali – podobnie jak semiintuicjoniści francuscy – zwłaszcza aksjomat wyboru (por. dodatek o teorii
mnogości). Aksjomat ten jest bowiem według nich jaskrawym przykładem
postulowania istnienia zbioru, którego myśl nasza nie jest na ogół w stanie
określić. Inną konsekwencją tezy konceptualistycznej jest odrzucenie przez
intuicjonizm istnienia nieskończoności aktualnej. Umysł ludzki może
konstruować obiekty jakiegoś rodzaju, na przykład liczby, ale nie może nigdy
wykonać nieskończenie wielu konstrukcji” /R. Murawski, Filozofia
matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s.
101/. „Zatem zbiór nieskończony można rozumieć jedynie jako prawo czy
regułę tworzenia wciąż nowych jego elementów. Taki zbiór jest jednak zawsze
przeliczalny. Nie ma więc zbiorów nieprzeliczalnych, nie ma też liczb
kardynalnych pozaskończonych innych niż
0. W konsekwencji pojęcie
zbioru, do którego dochodzą intuicjoniści, jest zupełnie inne niż to, którym
operuje teoria mnogości Cantora” /Tamże, s. 103.
+ Aksjomatyka rachunku zdań Bernays Paul (1888-1977). „Urodził się w
Londynie, dzieciństwo spędził w Berlinie. W Berlinie i Getyndze studiował
matematykę, filozofię i fizykę teoretyczną. Doktoryzował się w Getyndze w
1912 r. na podstawie pracy z analitycznej teorii liczb. W tym samym też roku
habilitował się w Zurychu – jego rozprawa habilitacyjna poświęcona była
teorii funkcji. W okresie 1912-1917 był docentem prywatnym (Privatdozent)
na tamtejszym uniwersytecie. W 1917 r. przeniósł się do Getyngi, gdzie został
sekretarzem i asystentem D. Hilberta. Prowadził także wykłady” /Murawski
R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 205/. „W
1919 r. na podstawie rozprawy habilitacyjnej dotyczącej aksjomatyki
rachunku zdań w Principia Mathematica A. N. Whiteheada i B. Russella
uzyskał veniam legendi. W 1922 r. został profesorem nadzwyczajnym. W r.
1933, jako niearyjczyka, pozbawiono go prawa do wykładania na
uniwersytecie w Getyndze. Przeniósł się wtedy do Szwajcarii. Wykładał na
Politechnice w Zurychu, gdzie też w 1939 r. uzyskał veniam legendi, a w r.
1945 został profesorem. Współpracując przez wiele lat z Hilbertem, rozwijał
myśl twórcy formalizmu. Zajmował się też podstawami teorii mnogości”
/Tamże, s. 206.
+ Aksjomatyka rachunku zdań w Principia Mathematica A. N. Whiteheada i B.
Russella tematem rozprawy habilitacyjnej w roku 1919. „Bernays Paul (18881977). Urodził się w Londynie, dzieciństwo spędził w Berlinie. W Berlinie i
Getyndze studiował matematykę, filozofię i fizykę teoretyczną. Doktoryzował
się w Getyndze w 1912 r. na podstawie pracy z analitycznej teorii liczb. W
6
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
tym samym też roku habilitował się w Zurychu — jego rozprawa
habilitacyjna poświęcona była teorii funkcji. W okresie 1912-1917 był
docentem prywatnym (Privatdozent) na tamtejszym uniwersytecie. W 1917 r.
przeniósł się do Getyngi, gdzie został sekretarzem i asystentem D. Hilberta.
Prowadził także wykłady” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 205/. „W 1919 r. na
podstawie rozprawy habilitacyjnej dotyczącej aksjomatyki rachunku zdań w
Principia Mathematica A. N. Whiteheada i B. Russella uzyskał veniam legendi.
W 1922 r. został profesorem nadzwyczajnym. W r. 1933, jako niearyjczyka,
pozbawiono go prawa do wykładania na uniwersytecie w Getyndze. Przeniósł
się wtedy do Szwajcarii. Wykładał na Politechnice w Zurychu, gdzie też w
1939 r. uzyskał veniam legendi, a w r. 1945 został profesorem. Współpracując
przez wiele lat z Hilbertem, rozwijał myśl twórcy formalizmu. Zajmował się
też podstawami teorii mnogości” /Tamże, s. 206.
+ Aksjomatyka racjonalna odrzucona w myśleniu irracjonalnym.
Irracjonalizm w psychologii, „rozumiany jest w dwóch znaczeniach: jako
zróżnicowany nurt teoretyczny, podkreślający rolę pozarozumowych
motywów ludzkiego postępowania, oraz jako interpretacja zachowania lub
myślenia wewnętrznie niespójnego lub odchylającego się od normy uznanej
za racjonalną (np. odchylenia od schematu logiki, zasad rachunku
prawdopodobieństwa lub innych modeli skonstruowanych na podstawie
określonej
aksjomatyki
racjonalności
oraz
reguł
wnioskowania
dedukcyjnego). Irracjonalizm teoretyczny zakłada, że: 1) ludzkie zachowanie
sterowane jest przede wszystkim mechanizmami nieświadomymi (np.
biologicznymi popędami według psychoanalizy S. Freuda lub kulturowospołecznymi archetypami według analitycznej psychologii C. G. Junga; 2)
świadomość własnych emocji i preferencji przeżywanych w aktualnej sytuacji
jest ważniejsza od jej intelektualnej analizy (np. niektóre szkoły
psychoterapeutyczne z kręgu humanistycznej psychologii); 3) człowiek jest
źródłem wszelkich norm i zasad, które znajdują uzasadnienie w jego
wolności i samorealizacji (np. niektórzy przedstawiciele egzystencjalnej
psychologii i fenomenologicznej psychologii); 4) człowiek jest przedmiotem
zewnętrznych manipulacji ze strony środowiska społecznego, w którym żyje
(np. niektóre szkoły behawioryzmu)” /A. Biela, Irracjonalizm. III. W
psychologii, w: Encyklopedia Katolicka, T. VII, red. S. Wielgus, TN KUL,
Lublin 1997, 493-494, kol. 493.
+ Aksjomatyka sformalizowana pierwszy raz w dziejach, Frege G. „Powstanie
logiki matematycznej związane było z matematyzacją logiki, tzn. z coraz
intensywniejszym, i coraz bardziej owocnym, stosowaniem wzorowanej na
symbolice matematycznej techniki symbolicznej do zagadnień logiki.
Towarzyszyło temu znaczne rozbudowywanie i wzbogacanie tradycyjnej logiki
arystotelesowskiej, będącej przede wszystkim logiką nazw. Prace twórców
nowoczesnej logiki, do których należeli Augustus De Morgan (1806-1871),
George Boyle (1815-1864), Charles Sanders Peirce (1839-1914), Ernst
Schroder (1841-1902) doprowadziły do stworzenia algebry logiki (tak nazywano w drugiej połowie dziewiętnastego i na początku dwudziestego wieku
logikę formalną uprawianą na wzór algebry liczb). Z drugiej strony,
wspomnieć trzeba o pracach logicznych G. Fregego i B. Russella, które należą
do nurtu niealgebraicznego. Właśnie Frege uważany jest za prekursora i
7
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
jednego z głównych współtwórców nowoczesnej logiki formalnej. Jego
podstawowe dzieło logiczne Begriffsschrift, eine der arithmetischen
nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879) otworzyło nową epokę
w logice formalnej (choć przez współczesnych, zwłaszcza przez przedstawicieli
nurtu algebraicznego, np. E. Schrodera czy Johna Venna, zostało przyjęte
źle). Praca ta zawierała pierwszy w dziejach sformalizowany system
aksjomatyczny, a mianowicie implikacyjno-negacyjny rachunek zdań (w którym
dedukcja twierdzeń z przyjętych aksjomatów nie zawierała już żadnych luk i
odbywała się według precyzyjnie na początku określonych reguł
wnioskowania), oraz po raz pierwszy w sposób pełny poddawała analizie
kwantyfikatory i formułowała dla nich odpowiednie aksjomaty. Wszystkie te
prace, należące zarówno do nurtu algebraicznego jak i do niealgebraicznego,
dostarczały niezbędnego aparatu technicznego, na podstawie którego mógł
się rozwinąć logicyzm” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 84.
+ Aksjomatyka struktur geometrycznych powstałych w teorii
Einsteina. „W latach dwudziestych zainteresowania filozoficzne Weyla
nie uległy zahamowaniu, a znawcy zagadnienia podkreślają, „ich wyższą
formę matematyczną prowadzącą go [tj. Weyla – E. P.] w
poszukiwaniach do prostszej aksjomatyki geometrycznych struktur
powstałych w teorii Einsteina /C. Chevalley, A. Weil, German Wejl, w: H.
Weyl, Izbrannyje trudy, Moskwa 1984, nr 5, 413-433, s. 428/. Wtedy
Weyl dowodził nawet pewnego subiektywizmu w geometrii, występującego
zwłaszcza wtedy, gdy do subiektywnego świata współrzędnych
wprowadzamy nasze subiektywne „ja” /H. Weyl, Philosophie der Mathematik
und Naturwissenschaft, Berlin 1966, s. 159/. Naukowe pojęcia były dla
niego egzemplifikacją tego, co subiektywne. Nigdy też nie negował
możliwości skonstruowania za pomocą pojęć geometrycznych nowej
rzeczywistości fizycznej /N. A. Licis, Fiłosofskoje i naucznoje znaczenija idiej
N. I. Łobaczewskogo, Riga 1976, s. 345/. Myślał nawet o tym, by ogólnie i
całościowo pojmowany schemat geometryczny stosować do procesów
fizycznych. W istocie chodziło mu o stworzenie „jednolitej teorii pola” na
podstawie schematu geometrycznego i to niezależnie od otaczającej nas
rzeczywistości fizycznej. Łotewski matematyk Nikołaj A. Licis potwierdzał,
że chodziło mu o „wprowadzenie praw ogólnych do pola
elektromagnetycznego oraz pól grawitacyjnych na podstawie
geometrycznych schematów oraz pojęć /Tamże, s. 345/. Zamierzał
więc Weyl za pomocą uniwersalnego systemu geometrycznego
teoretycznie porządkować oraz skutecznie wyjaśniać różne procesy i
zjawiska fizyczne. Problem ten, o którym myślał Einstein, a o którym
jawnie wypowiadał się Weyl, można nazwać „geometryzacją świata”.
Owa „geometryzacja” ściślej łączyła matematykę z fizyką /H. Weyl,
Neue Losungen der Einsteinischen Graivitationsgleichungen, „Mathematische
Zeitschrift”, Bd.13,1922, s. 134-145., passim/” /E. Piotrowska, Między
matematyką a fizyką. Badania naukowe i refleksje filozoficzne Hermanna Weyla, w:
Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D.
Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo
Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 159-184, s. 173.
8
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
+ Aksjomatyka ściśliwa, logika stosuje ten termin. „Algorytmiczna ściśliwość
raz jeszcze / Mózg jest cudownym organem; rozpoczyna pracę w momencie,
gdy wstajesz rano i nie przerywa jej, dopóki nie dotrzesz do biura (Robert
Frost). W zasadzie wszystkie warunki konieczne pojmowalności świata, które
do tej pory rozważaliśmy, równoznaczne są z warunkami pozwalającymi
nadać sens czemuś, co w przeciwnym razie byłoby nieznośnym chaosem” /J.
D. Barrow, Teorie wszystkiego. W poszukiwaniu ostatecznego wyjaśnienia
(Theories of Everything. The Quest for Ultimate Explanation, Oxford University
Press, New York 1991), przeł. J. Czerniawski, T, Placek, Wydawnictwo Znak,
Kraków 1995, s. 258/. „Nadawanie sensu” rzeczom równa się obcinaniu ich
pod względem rozmiarów, porządkowaniu ich, znajdowaniu regularności i
wspólnych czynników oraz prostych powtarzalności, które mówią nam,
dlaczego rzeczy są takie, jakie są, i jakie będą w przyszłości. Obecnie możemy
w tym rozpoznać poszukiwanie algorytmicznej ściśliwości, którą
wprowadziliśmy w rozdziale pierwszym. W praktyce pojmowalność świata
sprowadza się do odkrywania, że jest on algorytmicznie ściśliwy. Możemy
zastąpić sekwencję faktów i danych obserwacyjnych przez skrócone
twierdzenia, które zawierają tę samą treść informacyjną. Takie skróty
nazywamy często „prawami przyrody”. Gdyby świat nie był algorytmicznie
ściśliwy, to nie byłoby żadnego prostego prawa przyrody. Zamiast użyć prawa
grawitacji do obliczenia orbit planet w dowolnym momencie historii, w
którym chcemy je znać, musielibyśmy prowadzić dokładną rejestrację
położeń planet we wszystkich chwilach przeszłych; to jednak ani trochę nie
pomogłoby nam w przewidywaniu, gdzie one będą w jakiejkolwiek chwili w
przyszłości. Świat jest pojmowalny, potencjalnie i aktualnie, gdyż na pewnym
poziomie jest w szerokim zakresie algorytmicznie ściśliwy. To jest najgłębszy
powód, dla którego matematyka może funkcjonować jako opis fizycznego
świata. Jest ona najdogodniejszym językiem, jaki znaleźliśmy, aby wyrazić
takie algorytmiczne kompresje danych (compression) (Nie znaleźliśmy
zgrabnego tłumaczenia terminów compression, compressible i to compress. W
logice pojawia się termin „ściśliwość” jako własność systemów
aksjomatycznych. Z drugiej strony, mamy w terminologii komputerowej
brzydkie spolszczenie „kompresja danych”. Pomiędzy tymi dwoma
technicznymi sensami terminu są jego sensy potoczne, gdy mówimy o
ściskaniu rozumianym jako zmniejszanie objętości. Barrow w istotny sposób
wykorzystuje taką potrójną wieloznaczność. Gdyby jej nie było, zapewne nie
udałoby się wysłowić treści tego rozdziału)” /Tamże, s. 259.
+ Aksjomatyka wybierana w podobszarze możliwości wyróżnionych,
„zagęszczonych” „Aksjomatyki nie wybiera się nigdy w obszarze jednakowo
dopuszczalnych możliwości, ale w podobszarze możliwości wyróżnionych,
„zagęszczonych”. Są zatem do pomyślenia dwa typy ontologii przestrzeni i
dwa typy porozumiewania się w sprawie przestrzeni. Na gruncie ontologii Ad
(A – – – AB – – – ABC – – – ABCD…) porozumiewanie się między specjalistami
różnych obszarów i faz rozwojowych przestrzenności posiada (powinno/ musi
posiadać) jedno oparcie (jeden układ odniesienia) w postaci uniwersalnej
geometrii realistycznie pojmowanej, w geometrii przestrzeni A. Na gruncie
ontologii AdR (A – – – aB – – – bC – – – cD…) podstawą porozumiewania się
specjalistów są lokalne układy odniesienia, a ewentualny uniwersalny układ
odniesienia mógłby mieć wyłącznie charakter idealnej konstrukcji
9
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
kategorialnej” /Z. Cackowski, Osobliwość przestrzeni ludzkiego świata, w:
Przestrzeń w nauce współczesnej, S. Symiotiuk, G. Nowak (red.),
Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin 1998, 31-44, s.
34-35.
+ Aksjomatyka Zermela dla teorii mnogości odrzucona została przez
matematyków przyjmujących stanowisko konceptualistyczne. „Konsekwencją
stanowiska konceptualistycznego jest odrzucenie metody aksjomatycznej jako
metody budowania (i ugruntowywania) matematyki. Nie można bowiem
postulować tylko istnienia obiektów, jak się to czyni w metodzie
aksjomatycznej, ale należy je uprzednio skonstruować. Podobnie rzecz się ma
z własnościami obiektów. W związku z tym należy w szczególności odrzucić
na przykład aksjomatykę Peana dla liczb naturalnych czy aksjomatykę
Zermela dla teorii mnogości. Intuicjoniści szczególnie ostro krytykowali –
podobnie jak semi-intuicjoniści francuscy – zwłaszcza aksjomat wyboru (por.
dodatek o teorii mnogości). Aksjomat ten jest bowiem według nich
jaskrawym przykładem postulowania istnienia zbioru, którego myśl nasza nie
jest na ogół w stanie określić. Inną konsekwencją tezy konceptualistycznej
jest odrzucenie przez intuicjonizm istnienia nieskończoności aktualnej. Umysł
ludzki może konstruować obiekty jakiegoś rodzaju, na przykład liczby, ale nie
może nigdy wykonać nieskończenie wielu konstrukcji” /R. Murawski,
Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa
1995, s. 101/. „Zatem zbiór nieskończony można rozumieć jedynie jako prawo
czy regułę tworzenia wciąż nowych jego elementów. Taki zbiór jest jednak
zawsze przeliczalny. Nie ma więc zbiorów nieprzeliczalnych, nie ma też liczb
kardynalnych pozaskończonych innych niż
0. W konsekwencji pojęcie
zbioru, do którego dochodzą intuicjoniści, jest zupełnie inne niż to, którym
operuje teoria mnogości Cantora” /Tamże, s. 103.
10