Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (granice

Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych
(granice, granice iterowane)
1
Przydatne definicje i pojęcia
Rozważmy na początku funkcję dwóch zmiennych określoną na zbiorze D ⊂ R2 . Załóżmy ponadto, że D jest taki, że x (niezaleznie od y) może przybierać dowolną wartość w pewnym zbiorze
X, mającym punkt skupienia a ∈
/ X, analogicznie, że y (niezaleznie od x) może przybierać dowolną wartość w pewnym zbiorze Y , mającym punkt skupienia b ∈
/ Y.
Definicja 1.1.
Jesli dla dowolnie ustalonego y ∈ Y istnieje granica funkcji f (x, y) (która jest teraz funkcją tylko
zmiennej x) przy x → a, to granica ta zależy od ustalonego y:
lim f (x, y) = ϕ(y).
x→a
Możemy teraz policzyć kolejną granicę
lim ϕ(y) = lim lim f (x, y)
y→b
y→b x→a
Granica po prawej stronie nazywa się granicą iterowaną.
Łatwo zauważyć, że jeśli przejdziemy do obliczania granic w odwrotnym porządku, to otrzymamy
drugą z granic iterowanych:
lim lim f (x, y).
x→a y→b
Twierdzenie 1.1.
Jeśli
1) istnieje skończona lub nieskończona granica podwójna A = lim(x,y)→(a,b) f (x, y) i
2) dla każdego y ∈ Y istnieje skończona granica zwykła względem x, czyli ϕ(y) = limx→a f (x, y),
to istnieje także granica iterowana limy→b ϕ(y) = limy→b limx→a f (x, y) i równa się granicy podwójnej.
Uwaga 1.
Jeśli spełnione są warunki 1) i 2) i ponadto dla każdego x ∈ X istnieje skończona granica zwykła
względem y, czyli ψ(x) = limy→b f (x, y), to z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli zamienimy
role x i y, to itsnieje także i druga granica iterowana
lim lim f (x, y)
lim ψ(x) = x→a
x→a
y→b
i jest równa tej samej liczbie A.
Uwaga 2.
Analogicznie można określić granice iterowane dla funkcji trzech zmiennych (będzie ich 3!),
czterech zmiennych (będzie ich 4!) i n-zmiennnych (będzie ich n!).
Strona 13
2
Zadania
1. Uzasadnić (dowolną metodą), że podane granice nie istnieją:
x
(i) lim(x,y)→(0,0) x+y
,
(ii) lim(x,y)→(0,0) x22xy
,
+y 2
x6
,
y 2 −1
xy+12
lim(x,y)→(4,−3) x2 +y2 −25 ,
sinx
,
siny
xy
lim(x,y)→(0,0) x+y .
(iii) lim(x,y)→(0,1)
(iv) lim(x,y)→(π,0)
(v)
(vi)
2. Załóżmy, że istnieje granica iterowana lim lim f (x, y) = z oraz istnieje granica lim f (x, y) =
x→x0 y→y0
x. Wykazać istnienie granicy podwójnej
h(x) jednostajna wzgledem
y→y0
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y).
3. Zbadać istnienie granic iterowanych lim lim f (x, y), lim lim f (x, y) oraz granicy podwójnej
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) w przypadku gdy:
(i) f (x, y) =
x2 +y 2
,
x2 +y 4
x→a y→b
a = ∞, b = ∞,
(iii) f (x, y) = xsin( y1 ), a = 0, b = 0,
(v) f (x, y) = (x2 + y 2)
x2 y 2
y→b x→a
x
(ii) f (x, y) = sin( 2x+y
), a = ∞, b = ∞,
(iv) f (x, y) =
x−y+x2 +y 2
,
x+y
a = 0, b = 0,
, a = 0, b = 0.
W każdym podpunkcie określić zbiór A, jeśli f : A → R, A ⊂ R2 .
4. Zbadać istnienie granic oraz granic iterowanych, jeśli:
f (x, y) = (x + y)sin x1 sin y1 w (x0 , y0 ) = Θ,
(i) f : A → R, A = R2 \ {(x, y) ∈ R2 : xy = 0},
(ii) f : B → R, B = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, x + y > 0},
2
(iii) f : R \ {Θ} → R,
f (x, y) =
f (x, y) =
x+y
5. Zbadać istnienie granicy: lim(x,y)→(+∞,+∞) x2 −xy+y
2.
Strona 14
xsin y1 +y
w (x0 , y0) = Θ,
x+y
x2 y 2
x2 y 2 −(x−y)2
w (x0 , y0 ) = Θ.