Dane: Objętość V Kąt α Szukane: Pole trójkąta ABC

Dane:
Objętość V
Kąt α
Szukane:
Pole trójkąta ABC
= ?
Ostrosłup jest pokazany na rysunku. POle trójkąta ABC obliczymy znając na przykład jego podstawę
AB i wysokość CO. Najpierw znajdziemy długość boku podstawy a oraz wysokość ostrosłupa h.
Stosunek wysokości ostrosłupa do połowy przekątnej kwadratowej podstawy stanowi kotangens kąta α.
ctg α =
2h
h
= √
d/2
a 2
zatem
h=
a ctg α
√
2
(1)
Jednocześnie znamy objętość V ostrosłupa:
1
V = a2 h
3
(2)
Podstawiamy h z równania (1) do (2)
√ √
a ctg α
1
3
zatem a = 3 2 V tg α
V = a2 · √
(3)
3
2
√
Mając ’a’ znamy podstawę d = a 2 trójkąta ABC. Znajdziemy jego wysokość. Trójkąt ECO jest
prostokątny (kąt prosty to ECO) więc
CO =
d
d
tg β = ctg α
2
2
(4)
gdyż kąt β = 90◦ − α ponieważ trójkąt EOD jest prostokątny. Możemy już obliczyć szukane pole P
P =
1
1
d CO = d2 ctg α
2
4
(5)
√
Podstawiamy d = a 2 oraz ’a’ z równania (3), kwadrat ’a’ jest pod pierwiastkiem:
√
1
ctg α 3
1√
2
2
2
P = · 2a · ctg α =
18V tg α = 3 18V 2 ctg α
4
2
2
(kotangens poszedł po pierwiastek, kwadraty tangensa i kotangensa uprościły się).
Jeśli się nie pomyliłem...
Pozdrowienia - Antek
(6)