zadania - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

1. Zasada bijekcji
Z. 1. Wypisać wszystkie podzbiory zbioru {a, b, c, d} i odpowiadające im ciągi binarne.
Z. 2. Wypisać wszystkie podzbiory 3-elementowe zbioru {1, 2, 3, 4, 5}, a przy każdym z nich wypisać
ciągi długości 3, zbudowane z wszystkich elementów danego podzbioru.
Z. 3. Ile całkowitych nieujemnych rozwiązań ma równanie x1 + x2 + x3 = 10?
Z. 4. Ile jest najkrótszych dróg w kracie 5 × 4?
Z. 5. Ile jest ciągów binarnych długości 15, w których cyfra 1 występuje dokładnie 3 razy?
Z. 6. Ile całkowitych nieujemnych rozwiązań ma równanie x1 + x2 + x3 + x4 = 12?
Narysować odpowiednią kratę.
Z. 7. Na ile sposobów można rozłożyć k identycznych kul w n różnych szufladach? Wskazać bijekcję
między takim rozmieszczeniem a odpowiednim ciągiem binarnym.
Z. 8. Wskazać bijekcję pomiędzy:
(a) rozmieszczeniami k identycznych kul w n różnych szufladach bez pozostawiania pustych szulad
a
(b) podziałami liczby k na n uporządkowanych, całkowitych i dodatnich składników
i
(c) ciągami binarnymi złożonymi z n − 1 jedynek i k − n zer
Z. 9. Ile jest par postaci (A, B), gdzie A ⊆ B ⊆ X, gdy |X| = n?
Z. 10. (∗) Wskazać bijekcję pomiędzy:
(a) zbiorem ciągów binarnych długości 2n złożonymi z n zer i n jedynek i takimi, że dla każdego k
(1 ¬ k ¬ n) na początkowych k pozycjach liczba zer jest nie mniejsza niż liczba jedynek
a
(b) zbiorem tablic o dwóch wierszach i n kolumnach, w których rozmieszczono wszystkie liczby ze zbioru
{1, 2, . . . , 2n} w taki sposób, że liczby w każdym wierszu i w każdej kolumnie tworzą ciąg rosnący.
Z. 11. Ile można wykonać różnych trójkolorowych chorągiewek używając sześciu barw? Chorągiewki
składają się z trzech poziomych pasków.
Z. 12. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których nie powtarza się żadna cyfra?
Z. 13. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 4,5,6 ?
Z. 14. Na ile sposobów możemy utworzyć 6-osobową delegację z grupy 10 studentek i 20 studentów,
aby
a) pań było tyle samo, ile panów?
b) panów było więcej niż pań?
Z. 15. Iloma sposobami można rozmieścić 5 osób na pięciu numerowanych krzesłach? A wokół okrągłego stołu, gdy krzesła nie są numerowane?
Z. 16. Cztery kule białe, cztery czarne i cztery zielone numerujemy i układamy w szereg tak, aby
każde trzy po sobie następujące kule były różnej barwy. Na ile sposobów można je ułożyć?
Z. 17. Rzucamy 10 razy kostką do gry. Ile jest możliwych wyników, w których
a) nie ma żadnej czwórki?
b) jest przynajmniej jedna czwórka?
c) są dokładnie dwie czwórki?
d) są przynajmniej dwie czwórki?
Z. 18. W przedziale wagonu są ustawione naprzeciw siebie dwie ławki mające po 5 numerowanych
miejsc. Na pierwszej ławce siedzą 3 osoby oznaczone A, B, C, a na drugiej 2 osoby: D i E. Na ile różnych
sposobów mogą usiąść pasażerowie tak, aby zawsze dwie osoby siedziały naprzeciw dwu osób?
Z. 19. Ile jest możliwych wyników przy rzucie trzema identycznymi kostkami do gry?
Z. 20. Na ile sposobów można rozmieścić 12 jednakowych przedmiotów w 4 różnych pudełkach?
Z. 21. Na ile sposobów można rozmieścić cztery identyczne pomarańcze i sześć różnych jabłek (każde
innego gatunku) w pięciu różnych skrzynkach?
1
2
Z. 22. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których suma cyfr wynosi dokładnie 9?
Z. 23. Ile liczb ośmiocyfrowych możemy utworzyć z cyfr liczby a) 21233353 b) 212333534?
Z. 24. Iloma sposobami można położyć 12 książek na trzech półkach tak, by na pierwszej półce
znajdowało się 6 książek, na drugiej 4, a na trzeciej reszta?
Z. 25. Na kurs tańca uczęszcza pięciu chłopaków i pięć dziewcząt. Większość kroków tanecznych
ćwiczy się parami. Dla urozmaicenia pary często się zmieniają. Na ile sposobów może być wykonany
jeden taniec?
Z. 26. Ile nastąpi powitań, gdy spotka się sześciu znajomych?
Z. 27. Iloma sposobami można położyć 12 książek na trzech półkach tak, by na pierwszej półce
znajdowało się 6 książek, na drugiej 4, a na trzeciej reszta?
Z. 28. Sześć osób ma do dyspozycji 5 różnokolorowych kieliszków i 2 różne gatunki win. Na ile sposobów
mogą się napić?
Z. 29. Bartek, Paweł i Piotrek wybrali się na wesele znajomych. W pewnym momencie na parkiecie
tańczyło 7 samotnych dziewcząt. Cała trójka postanowiła spróbować szczęścia. Najpierw jednak ustalili,
że każdy poprosi do tańca inną panią. Na ile sposobów mogli oni dokonać wyboru?
Z. 30. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których jedynie 0 może się powtarzać?
Z. 31. Mamy do dyspozycji cztery rodzaje owoców: jabłka, gruszki, morele i pomarańcze. Tworzymy
paczki po 5 owoców w każdej. Ile różnych paczek możemy otrzymać w ten sposób?
Z. 32. Iloma sposobami można rozdzielić 4 różne nagrody między trzech pracowników, jeżeli każdy z
nich ma otrzymać co najmniej jedną nagrodę?
Z. 33. W ilu punktach przecina się 10 prostych leżących na płaszczyźnie, jeżeli cztery z nich są
równoległe?
Z. 34. Ile jest sposobów pomalowania 8 jednakowych kul pięcioma kolorami?