i częściowe ich rozwiązania
Transkrypt
i częściowe ich rozwiązania
Rozwiązania i wskazówki do zadań. 1. Nie robię dokładnego rysunku, ale macierz ujemnie ani półujemnie określona być nie może. Półdodatnio na paraboli („idącej” w prawo a nie do góry) x = y 2 , z wyjątkiem punktu (0, 0) (gdzie trzeba rozpatrzyć wszystkie minory główne, a nie tylko minory kątowe). (czyli w nomenklaturze zespolonej — liczby 0) Dodatnio określona jest na prawo od paraboli. Wszędzie indziej (też w 0) — nieokreślona) 2. Określoność sprawdzamy b. łatwo. Odpowiedź to: ujemnie dla a ∈ (−2, 2), półujemnie dla a = −2 ∨ a = 2, nieokreślona w pozostałych przypadkach. Wartości własne niestety √ 2 „paskudne”, tj. λ1,2 = −5± 29+4a ; wektory własne wylicza się jak zwykle łatwo, choć wyniki okropne. 3. Tu najłatwiej rozwiązywać z definicji: A · va = a · va , gdzie va to wektor własny odpowiadający a. Odpowiedzi: (a) 3a, 3b, 3c; (b) a2 , b2 , c2 ; (c) a − a−1 , b − b−1 , c − c−1 . 4. (a) lim bn = e; (b) lim cn = −e−1 ; (c) lim an nie istnieje, co od razu widać z (a) i (b). 5. Przypominam, że x jest parametrem... (a) lim an = 3x; (b) dla x > 0: lim bn = +∞, dla x < 0 wyrażenie nie ma sensu rzeczywistego, a dla x = 0 lim bn = ln(10) 3 ; (c) dla x 6= 0: lim cn = 3, dla x = 0 lim cn = 2; (d) lim dn = e− x+1 2 ; (e) lim en = x; (f) lim fn = 0 dla dowolnego x. 6. (a) lim an = ( 52 , 31 ); (b) lim bn = (0, 1); (c) lim cn = (2, 1); (d) lim dn = (−∞, 48 5 ) (co jest de facto błędnym zapisem, bo granica nie istnieje). 7. (a) lim an = e2 ; (b) lim bn = 1; (c) lim cn = 2. 8. To zadanie jest dość trudne.(tj. na poziomie zadania z gwiazdką) Zwłaszcza biorąc pod uwagę, że napisany ciąg nie odpowiada ulamkowi ;-). Ale korzystając ze wskazówki: podciąg a2n jest rosnący, a podciąg a2n+1 jest malejący. Zatem obydwa mają granicę. Chcemy jeszcze by te granice były równe; w tym celu trzeba wykazać, że ciąg an+1 − an ma granicę równą 0. Dużo łatwiej napisać do czego zbiega ten ciąg. Ze wzoru wiemy 1 1 . Czyli wiedząc już, że nasz ciąg jest zbieżny, trzeba przecież, że lim an+1 = lim 1+a n tylko znaleźć pierwiastek równania (dodatni, bo przecież widać, że nasza liczba jest 1 dodatnia) x = 1+x . (co zrobi uczeń liceum) 9. Wszystkie szeregi oprócz (i), (n), (o) składają się wyłącznie z elementów dodatnich, czyli są zbieżne ⇔ są zbieżne bezwględnie, więc nie będę tego pisał poniżej. (a) zbieżny (np. z kryt. d’Alemberta); (b) zbieżny (j.w.); (c) zbieżny (np. z kryt. Cauchy’ego); (d) zbieżny (d’A lub C); (e) zbieżny (d’A); (f) zbieżny (C); (g) zbieżny (C); (h) zbieżny (C); (i) rozbieżny (nie spełniony warunek konieczny); (j) rozbieżny (kryterium porównawcze z P 1 ln(n) ); (k) zbieżny (kryt. o zagęszczaniu); (l) zbieżny (j.w.); 1 (m) rozbieżny (asymptotyczne kryterium porównawcze z n lub zwykłe kryterium porównawcze z tym samym szeregiem + świadomość, że tg(x) > x dla x ∈ [0, π/2).) P (n) zbieżny warunkowo (kryt. Leibniza), nie jest zbieżny bezwględnie (np. kryt porówP 1 nawcze z szeregiem ln(n) ); (o) zbieżny bezwzględnie (kryt. porównawcze z szeregiem P 10. (a) zb. bezwględnie dla x ∈ (−1, 1), poza tym rozbieżny; (b) zb. bezwg. dla x ∈ R; j.w. (c) zb. tylko dla x = 3; j.w. (d) zb. bezwg. dla x ∈ (−1, 1); j.w. (e) zb. bezwg. dla x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞); j.w. (f) zb. bezwg. dla x > 0; j.w. (g) suma szeregu jest równa ln(1 + x), zbieżny dla x > −1. 11. Odpowiednie granice równają się: (a) −2; (b) −1/2; √ (c) 3 2; (d) 1; (e) +∞; (f) 3/2; (g) 3; (h) 2; 2 1 n3 ). (i) 1; (j) 5/8; (k) 1/3; (l) 2/π; (m) 1; (n) 0; (o) 0; (p) 1. 12. x ∈ (−1, 0) ∪ (4, +∞). 13. y = 3π 2 ∨ y = π. 14. Wszędzie trzeba położyć wartość funkcji w zerze równą zero i wówczas funkcja jest (a) ciągła, nieróżniczkowalna w 0; (b) ciągła i różniczkowalna w 0; (c) ciągła, nieróżniczkowalna w 0. 15. (a) 4 sin3 (x2 + x + 1) cos(x2 + x + 1)(2x + 1); (b) −tg( x2 ); (c) x−1 x2 1 x ; √ (d) √3 x ; 2 1−x3 (e) e2 ln |x| ln(2)|x|ln(2)−1 . 16. (a) 3; (b) 0, 1/7 (w x = 0 obie pochodne są równe +∞ a styczne to proste pionowe). 17. ... 18. minimum = 1/3, maksimum = 1/2. (należy skorzystać z wzoru na zamianę podstawy logarytmu) 19. d = 5. 20. Składniki są równe, czyli podział na a/2 i a/2. 3