Przykłady do listy 11.

Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 11
Szeregi liczbowe
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Przykłady do zadania 11.1:
Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów
(a)
∞
X
1
n=1 3n + 1
1
1
, n0 = 1, więc f (x) =
,x­1
3n + 1
3x + 1
3
0
• f (x) ­ 0 i nierosnąca (f (x) = −
¬ 0) dla x ­ 1
(3x + 1)2
• an =
•
Z∞
1
i
f (x)dx =
Z∞
1
Z∞
1
dx
f (x)
1
rozbieżna do ∞ z kryterium ilorazowego, bo x→∞
lim 1 = = k > 0
3x + 1
3
x
dx
jest rozbieżna do ∞ (p = 1)
x
• Z kryterium całkowego badany szereg jest rozbieżny do ∞
(b)
∞
X
n
n2
n=1 e
n
−x2
,x­1
2 , n0 = 1, więc f (x) = xe
n
e
0
2
• f (x) ­ 0 i nierosnąca (f (x) = −(2x2 − 1)e−x ¬ 0) dla x ­ 1
• an =
•
Z∞
f (x)dx =
1
Z∞
−x2
xe
dx = lim
1
ZT
T →∞
2
−x2
xe
dx = lim
T →∞
1
e−1
e−T
+
−
2
2
!
=
e−1
- całka zbieżna
2
• Z kryterium całkowego badany szereg jest zbieżny
Przykłady do zadania 11.2:
Korzystając z kryterium porównawczego lub ilorazowego zbadać zbieżność podanych szeregów
(a)
∞
X
n+1
2
n=2 n − n
• an =
n+1
, n0 = 2
n2 − n
• hipoteza: szereg rozbieżny do ∞, bo an jest bliskie
1
n
1
n
n+1
= 2 ¬ 2
= an dla n ­ 2
n
n
n −n
∞
∞
X
X
1
• szereg
bn =
jest rozbieżny do ∞ (p = 1)
n=2
n=2 n
• 0 ¬ bn =
• Wniosek: Z kryterium porównawczego badany szereg jest także rozbieżny do ∞.
2
(b)
∞
X
3n
− 2n
n
n
n=1 4 − 3
3n − 2n
, n0 = 1
4n − 3n
• an ­ 0 dla n ­ 1
• an =
an
= n→∞
lim
• n→∞
lim
bn
• szereg
∞
X
bn =
n=1
n
3
4
1−(2/3)n
1−(3/4)n
n
3
4
∞ n
X
3
n=1
4
=1=k>0
jest zbieżny (szereg geometryczny z ilorazem x = 34 , |x| < 1)
• Wniosek: Z kryterium ilorazowego badany szereg jest także zbieżny.
Przykłady do zadania 11.3:
Korzystając z kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego zbadać zbieżność podanych szeregów
(a)
∞
X
2n
n=1
n2
• an =
2n
, n0 = 1
n2 2n+1
an+1 2 2 · 2n · n2
2
2
= (n+1)
• =
=
−→
=2=q
2n 2
an
2n (n + 1)2
(1 + 0)2
n2 1 + n1
• q = 2 > 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest rozbieżny
(wiemy, że rozbieżny do ∞, bo an > 0)
(b)
∞
X
(n!)3
n=1 (2n)!
• an =
•
(n!)3
, n0 = 1
(2n)!
an+1 an
=
((n+1)!)3 (2(n+1))! (n!)3 (2n)!
3
=
2
2
1
n
+ n1
n 1+
(n!(n + 1)) · (2n)!
(n + 1)
=
= 3
(2n)!(2n + 1)(2n + 2)(n!)
2(2n + 1)
2 2
−→
∞ · (1 + 0)2
=∞=q
2(2 + 0)
• q = ∞ > 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest rozbieżny
(wiemy, że rozbieżny do ∞, bo an > 0)
−→
(c)
∞
X
ln n
n
n=2 π
ln n
, n0 = 2
πn ln(n + 1) 

1
1
1
ln
n
1
+
ln
n
+
ln
1
+
ln
1
+
an+1 1
n+1
n
n
n
= π
 −→
• =
=
= 1 +
an ln n π ln n
π ln n
π
ln n
πn
1
0
1
−→
1+
= =q
π
∞
π
1
• q = < 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest zbieżny
π
• an =
3
(d)
∞
X
n
n
3
5
n=1
• an = n
•
q
n
3
5
, n0 = 1
s 3 n n n
|an | =
• q=
(e)
n
5
2
n+3
n=1
n+2
• an =
n+3
•
q
n
|an | =
n2
• q=
n=2
n
ln
, n0 = 1
v
u
2
u
n + 2 n n t
n+3
−→ e−1 · 1−3 =
(f)
3 √
3
3
· n n −→ · 1 = = q
5
5
5
3
< 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest zbieżny
5
∞ X
n+2 n
∞
X
=
=
n+2
n+3
n
= 1−
1
n+3
n+3 · 1−
1
n+3
−3
−→
1
=q
e
1
< 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest zbieżny
e
1
10 +
n
1
, n0 = 2
n
s
q
n
1
1 n n
= ln 10 +
• |an | = ln 10 +
−→ ln 10 = q
n n
• q = ln 10 > 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest rozbieżny
(wiemy, że rozbieżny do ∞, bo an > 0)
• an = lnn 10 +
4
Przykłady do zadania 11.4:
Korzystając z kryterium Leibniza uzasadnić zbieżność podanych szeregów
(a)
∞
X
(−1)n
n=1
1
- jest to tzw. szereg anharmoniczny
n
• jest to szereg naprzemienny postaci
∞
X
(−1)n bn , gdzie bn =
n=1
1
, n0 = 1
n
• bn to ciąg malejący
• n→∞
lim bn = 0
• Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny
(b)
∞
X
(−1)n
n=1
n+2
n2 + 3
• jest to szereg naprzemienny postaci
∞
X
(−1)n bn , gdzie bn =
n=1
n+2
, n0 = 1
n2 + 3
• bn to ciąg malejący, bo:
n+3
n+2
(n + 3)(n2 + 3) − (n + 2)(n2 + 2n + 4)
bn+1 − bn =
−
=
=
(n + 1)2 + 3 n2 + 3
(n2 + 3)((n + 1)2 + 3)
−n2 − 5n + 1
(n3 + 3n2 + 3n + 9) − (n3 + 4n2 + 8n + 8)
=
<0
=
(n2 + 3)((n + 1)2 + 3)
(n2 + 3)((n + 1)2 + 3)
(licznik jest mniejszy od −1 − 5 + 1 < 0, a mianownik zawsze dodatni)
1
+ n22
n+2
0+0
n
=
lim
=0
=
3
n→∞ n2 + 3
n→∞ 1 +
1+0
n2
• lim bn = lim
n→∞
• Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny
(c)
∞
X
(−1)n+1
n=3
ln n
n
• jest to szereg naprzemienny postaci
∞
X
(−1)n+1 bn , gdzie bn =
n=3
ln n
, n0 = 3
n
• bn to ciąg malejący, bo:
ln x
bn = f (n) dla f (x) =
,
x
1 − ln x
0
a dla takiej funkcji f (x) =
< 0 dla x > e,
x2
więc f (x) jest malejąca na półprostej [3, ∞), zawierające wszystkie n ­ 3;
• lim bn = 0, bo:
n→∞
1
ln x
∞ H
x
lim
f
(x)
=
lim
=
=
lim
=0
x→∞
x→∞ x
x→∞ 1
∞
• Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny
5