2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła

2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła
Zadanie 1 An investment of $10000 is made into a fund at time t=0. The fund
develops the following balances over the next 4 years: F (0) = 10000, F (1) = 10600,
F (2) = 11130, F (3) = 11575, 20, F (4) = 12153, 96. If $5000 is invested at time
t=2, under the same interest environment, find the accumulated value of the $5000
at time t=4.
Zadanie 2 Rozważmy funkcję wartości przyszłej kapitału postaci F (t) = t2 + 2t + 3,
t ­ 0.
a) Wyznaczyć odpowiednią funkcję akumulacji a(t).
b) Pokazać, że a(t) spełnia trzy własności funkcji akumulacji.
c) Wyznaczyć In odsetki za każdy z n okresów, n ∈ N.
Zadanie 3
a) Prove that F (n) − F (0) = I1 + I2 + . . . + In .
b) Verbally interpret the result obtained in a)
Zadanie 4 For the $5000 investment given in zad. 1, find the amount of interest
earned during the second year of investment, i.e. between times t = 3 and t = 4.
Zadanie 5 Rozważmy funkcję akumulacji daną wzorem at2 + b. Jeśli $100 zainwestowane w momencie t = 0 osiąga wartość $172 w momencie t = 3, to jaką wartość
osiągnie w momencie t = 10 kapitał $100 zainwestowany w momencie t = 5.
Zadanie 6 W momencie t = 0 zainwestowano kwotę F (0) = 2400 na trzy lata.
Kwota ta w kolejnych latach przyjmowała wartości F (1) = 2570, F (2) = 2934,
F (3) = 3150. Jaką kwotą dyponowałby inwestor pod koniec trzeciego roku, gdyby
dodatkowo w momencie t = 2 zainwestował kwotę 2000 przy tych samych warunkach
oprocentowania?
Zadanie 7 Rozważmy funkcję wartości przyszłej kapitału postaci F (t) = 2t2 +3t+1,
t ­ 0.
a) Wyznaczyć odpowiednią funkcję akumulacji a(t).
b) Pokazać, że a(t) spełnia trzy własności funkcji akumulacji.
Zadanie 8 Rozważmy funkcję akumulacji daną wzorem a(t) = at2 + b, t ­ 0. Wyznaczyć współczynniki a i b, jeśli wiadomo, że $124 zainwestowane w momencie
t = 0 osiąga wartość $186 w momencie t = 5.
1
3. Efektywna stopa procentowa
Zadanie 9 For the $10.000 investment given in zadanie 1 find the effective rate of
interest for each of the four years.
Zadanie 10 Assume that F (n) = 100 + 5n. Find i5 , i10 .
Zadanie 11 Assume that F (n) = 100(1, 1)n . Find i5 , i10 .
Zadanie 12 Show that F (n) = (1 + in )F (n − 1), n ∈ N.
Zadanie 13 Wyznaczyć stopę efektywną w pierwszym, drugim i czwartym roku inwestycji danej w zadaniu 2.
Zadanie 14 Wyznaczyć stopę efektywną w pierwszym, drugim i piątym roku inwestycji danej w zadaniu 5.
Zadanie 15 If F (4) = 1000 and in = .01n, where n is a positive integer, find F (7).
4. Oprocentowanie proste
Zadanie 16 Find the accumulated value of $ 2000 invested for four years if the rate
of simple interest is 8% per annum. Find the effective rate of interest for each of the
four years.
Zadanie 17 Find the accumulated value of $ 1000 invested for four years and five
months if the rate of simple interest is 10% per annum.
Zadanie 18 At what rate of simple interest will $500 accumulate to $ 615 in 2 1/2
years?
Zadanie 19 In how many years will $500 accumulate to $630 at 7.8% simple interest?
Zadanie 20 At certain rate of simple interest $ 1.000 will accumulate to $ 1.110
after a certain period time. Find the accumulated value of $ 500 at the rate of simple
interest three fourths as great over twice as long a period of time.
Zadanie 21 Simple interest of i = 4% is being credited to a fund. In which period
is this equivalent to an effective rate of 2, 5%?
Zadanie 22 A deposit of $ 1000 is invested at simple interest at time t = 0. The
rate of simple interest during year t is equal to 0.1t for t = 1, 2, 3, 4, 5. Find the total
accumulated value of this investment at time t = 5.
Zadanie 23 Przy jakiej rocznej stopie procentowej i kapitał 58 jp wygeneruje odsetki
w wysokości 5 jp w ciągu dwóch lat w modelu oprocentowania prostego?
Zadanie 24 Dysponujemy kapitałem w wysokości 1000 zł. Za rok chcemy uzyskać
1250 zł. Na jaki procent prosty (roczna stopa) musimy ulokować kapitał?
2
Zadanie 25 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 3.000 jp zainwestowanego na pięć
i pół roku na procent prosty, jeśli stopa roczna wynosi 12%. Wyznaczyć a(1), a(2, 8).
Zadanie 26 Jaką kwotę utworzy po czterech latach kapitał 400 jp w modelu oprocentowania prostego przy rocznej stopie 1, 5%?
Zadanie 27 Obliczyć roczną stopę procentową, jeśli kapitał 250 zł wygenerował zysk
30 zł w ciągu roku.
Zadanie 28 Mając stopę roczną 2, 5% oprocentowania prostego podać dwuletni czynnik akumulacji.
Zadanie 29 (PK 1.1) Odsetki od 2-letniej lokaty o stałym oprocentowaniu są naliczane po terminie. Pani X, która wpłaciła na lokatę 2300 zł, odebrałą przy jej
likwidacji 3047, 50 zł. Obliczyć roczną stopę oprocentowania lokaty.
Zadanie 30 (PK 1.2) Przy jakiej rocznej stopie oprocentowania prostego wartość
2-letniej lokaty z odsetkami naliczanymi po terminie zwiększy się:
a) o 15%,
b) 1,5-krotnie,
c) przynajmniej dwukrotnie?
Zadanie 31 (PK 1.3) Przedsiębiorca otrzymała pięcioletnią pożyczkę w kwocie 30
tys. zł, zobowiązując się spłacać pod koniec każdego roku bieżące odsetki naliczane
przy rocznej stopie 22% i zwrócić pożyczkę pod koniec piątego roku. Obliczyć wysokość
rat spłacanych na koniec kolejnych lat.
Zadanie 32 Po podwyżce o 5% cena samochodu wynosi 58 tys. jp. Jaka była cena
samochodu przed podwyżką?
Zadanie 33 (PK 1.4) Pożyczka 2700 zł otrzymana na początku roku będzie spłacana
w 3 ratach na koniec lipca, listopada i grudnia. W każdej racie będzie spłacona 1/3
początkowej kwoty pożyczki oraz bieżące odsetki proste obliczane przy miesięcznej
stopie 1, 2%. Obliczyć wysokość rat.
Zadanie 34 (PK 1.5) Po jakim czasie oprocentowania prostego przy rocznej stopie
12.5% wartość depozytu 4800 zł:
a) podwoi się,
b) zwiększy się o 25%,
c) zwiększy się o 3000 zł?
3
5. Oprocentowanie składane
Zadanie 35 (PK 3.1)
a) Jaką wartość osiągnie kapitał 1800 zł po 4 latach oprocentowania rocznego przy
stałej stopie i = 6%?
b) Jaką wartość mają odsetki naliczone za każdy rok?
c) Przy jakiej stopie łączna wartość odsetek byłaby większa o 58 zł?
Zadanie 36 Find the accumulated value of $ 2000 invested for four years if the rate
of compound interest is 8% per annum. Find the effective rate of interest for each
of the four years.
Zadanie 37 Find the accumulated value of $5000 at the end of 5 years and 4 months
invested at 9% per annum:
1) Assuming compound interest throughout.
2) Assuming simple interest during the final fractional period.
Zadanie 38 (K 13) It is known that $ 600 invested for two years will earn $264 in
interest. Find the accumulated value of $2000 invested at the same rate of compound
interest for three years.
Zadanie 39 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 300 zł po 5 latach według rocznej
stopy 7% i rocznej kapitalizacji odsetek.
Zadanie 40 (K 15) At a certain rate of compound interest, 1 will increase to 2 in
a years, 2 will increase to 3 in b years, and 3 will increase to 15 in c years. If 6 will
increase to 10 in n years, express n as a function of a,b, and c.
Zadanie 41 Przy jakiej rocznej stopie i w modelu oprocentowania składanego kapitał P podwoi swoja wartość po 5 latach? Ile wynosi a(5)?
Zadanie 42 Ile wynosi roczny czynnik akumulacji, jeżeli po dwóch latach kapitał
30.000 zł wygenerował zysk 10.000 zł przy rocznej kapitalizacji odsetek?
Zadanie 43 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 7800 zł po 15 miesiącach według
stopy rocznej 11, 4% zakładając
1) oprocetnowanie składane.
2) oprocentowanie proste w niepełnym roku inwestycji
Zadanie 44 Ile wynosi 2-letni czynnik akumulacji, jeśli kapitał 250 zł wygenerował
zysk 50 zł w ciągu dwóch lat w modelu oprocentowania składanego rocznego?
4
Zadanie 45 Ile wynosi
a) roczny
b) 2-letni
czynnik akumulacji, jeżeli po trzech latach kapitał 3000 zł wygenerował kapitał końcowy 3700 zł przy rocznej kapitalizacji odsetek?
Zadanie 46 Ile wynosi
a) 3-letni
b) 6-letni
czynnik akumulacji, jeżeli przez pierwszy rok inwestycji kapitał 20.000 zł wygenerował odsetki 2.000 zł przy składanym naliczaniu odsetek?
Zadanie 47 (K ex.1.5) An investor age 35 deposits $10, 000 in a fund earning 7%
compound interest until retirement at age 65. Find the amount of interest earned
between ages 35 and 45, between ages 45 and 55, and between ages 55 and 65.
Zadanie 48 Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który przyjął w depozyt
kwotę 10000 jp według rocznej stopy 5% i wypożyczył tę kwotę według rocznej stopy
20%.
Zadanie 49 Jaką wartość osiągnie kapitał 6000 zł po 10 latach oprocentowania rocznego składanego przy rocznej stopie 5, 5%? Jaką wartość mają odsetki naliczone w
szóstym roku inwestycji?
Zadanie 50 Po ilu latach oprocentowania rocznego składanego przy stopie 5, 52%
wartość kapitału 1600 jp przekroczy 1900 jp? Ile wyniosą odsetki należne za kolejne
2 lata?
6. Wartość bieżąca
Zadanie 51 (K 1.17) The two sets of grandparents for a newborn baby wish to invest
enough money immediately to pay $10, 000 per year for four years toward college
costs starting at age 18. Grandparents A agree to fund the first two payments, while
Grandparents B agree to fund the last two payments. If the effective rate of interest
is 6% per annum, find the difference between the contributions of Grandparents A
and B.
Zadanie 52 (K 1.18) The sum of the present value of 1 paid at the end of n periods
and 1 paid at the end of 2n periods is 1. Find (1 + i)2n .
Zadanie 53 (K 1.19) It is known that an investment of $500 will increase to $4000
at the end of 30 years. Find the sum of present values of three payments of$10.000
each which will occur at the end of 20,40, and 60 years.
5
7. Efektywna stopa dyskontowa
Zadanie 54 Dla inwestycji danej w zad.1 wyznaczyć efektywną stopę dyskontową w
każdym z czterech lat.
Zadanie 55 (K 1.20) Find d5 if the rate of simple interest is 10%.
Zadanie 56 (K 1.21) Find the effective rate of discount at which a payment $200
of immediately and $300 one year from today will accumulate to $600 two years from
today.
Zadanie 57 (K 1.22) The amount of interest earned on A for one year is $336,
while the equivalent amount of discount is $300. Find A.
Zadanie 58 Opłata za 3-miesięczną pożyczkę w wysokości 5000 zł ma postać dyskonta przy stopie dyskontowej 15%. Ile dłużnik otrzyma w momencie otrzymania
pożyczki?
Zadanie 59 Wyznaczyć wartość bieżącą kapitału $5000 płatnego pod koniec 25 miesięcy zakładając efektywną stopę dyskontową 8% oraz
1. dyskontowanie składane.
2. dyskontowanie proste w niepełnym roku inwestycji.
Zadanie 60 Dla inwestycji o następujących płatnościach F (0) = 15000, F (1) =
15800, F (2) = 16240, F (3) = 17000 wyznaczyć efektywną stopę dyskontową w każdym z trzech lat.
Zadanie 61 Wyznaczyć d4 , jeśli efektywna stopa oprocentowania składanego wynosi
8%.
Zadanie 62 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową równoważną efektywnej stopie
procentowej i = 7%.
Zadanie 63 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową, przy której kapitał początkowy
7000 zł wygenerował zysk 1500 zł w ciągu dwóch lat inwestycji.
Zadanie 64 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi odsetkami płatnymi z dołu
i z góry dla pożyczki 1 wiedząc, że odsetki płatne z dołu były naliczone przy stopie
efektywnej 7%.
Zadanie 65 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi odsetkami płatnymi z dołu
i z góry dla pożyczki 1 zł wiedząc, że odsetki płatne z góry były naliczone przy stopie
dyskontowej 7%.
Zadanie 66 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi prostymi odsetkami płatnymi z dołu (oprocentowanie proste) i z góry (dyskontowanie proste) dla t-letniej
pożyczki 1 zł wiedząc, że odsetki płatne z dołu były naliczone przy stopie efektywnej
i.
6
Zadanie 67 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową równoważną efektywnej stopie
procentowej w czasie t < 1 (stosując oprocentowanie i dyskontowanie proste).
Zadanie 68 (PK 2.7)W dniu 11.02.2015 pan Kowalski otrzymał kwotę 9300 zł, podpisując weksel o nominale 10000 zł z terminem wykupu 9.06.2015. Obliczyć stopę d.
Obliczyć stopę i oprocentowania pożyczki płatnej z dołu w wysokości 9300 zł udzielonej na ten sam czas, równoważną stopie d.
Zadanie 69 (PK 2.12) Firma, przewidując trudności ze spłatą weksla o wartości
nominalnej 22000 zł w wymaganym terminie 10.01.2003, zwraca się 22.12.2002 do
banku, który jest w posiadaniu weksla, o jego zamianę na weksel równoważny z terminem wykupu 10.04.2003. Jaka jest wartość nominalna odnowionego weksla, jeśli
22.12.2002 w banku obowiązywała roczna stopa dyskontowa 12%?
Zadanie 70 W dniu 1 marca zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 350 zł i
terminie płatności 11 maja oraz o wartości nominalnej 1000 zł i terminie płatności
30 maja, na jeden weksel równoważny płatny 1 października. Bieżąca roczna stopa
dyskontowa wynosi 4, 5%.
Zadanie 71 Obliczyć roczną stopę dyskonta i rentowności dla 13-tygodniowych bonów skarbowych sprzedawanych po 9.588, 50 zł.
Zadanie 72 (PK 2.14)Jaką cenę zakupu 26-tygodniowych bonów skarbowych powinien zgłosić bank B w swojej ofercie przetargowej, aby pożyczkodawca mógł osiągnąć
rentowność z tej inwestycji w skali roku na poziomie przynajmniej: a)10%, b) 10, 5%,
c) 11%?
Zadanie 73 (PK 2.8)Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na
zakup surowców o wartości 45600 zł. Jaka powinna być wartość nominalna weksla,
zabezpieczającego tę transakcję, jeżeli strony zgodziły się na zastosowanie rocznej
stopy dyskontowej 11%?
Zadanie 74 Weksel o wartości nominalnej 70 zł i terminie płatności za 9 miesięcy
zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6 miesięcy. Bieżąca roczna
stopa dyskontowa wynosi 7%.
Zadanie 75 W dniu 1 maja zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 40 zł i
terminie płatności 15 września oraz o wartości nominalnej 10 zł i terminie płatności
30 października, na jeden weksel równoważny płatny 1 września. Bieżąca roczna stopa
dyskontowa wynosi 6, 5%.
Zadanie 76 Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości nominalnej 100 zł zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi
2 zł.
Zadanie 77 (PK 2.5)Hurtownia przyjmuje zapłatę za towar w terminie nie przekraczającym 28 dni od daty zakupu. Jeśli klient reguluje należność w ciągu 7 dni od
daty zakupu, to przysługuje mu rabat w wysokości 3%.
7
a) Przy jakiej stopie d warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z góry, w celu
skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi 25000 zł?
b) Przy jakiej stopie i warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z dołu, w celu
skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi 25000 zł?
Zadanie 78 Obliczyć cenę sprzedaży 13-tygodniowych bonów z dyskontem wynoszącym 364, 75 zł.
8. Nominalna stopa procentowa i dyskontowa
Zadanie 79 (K 1.26)
1. Wyraź d(4) jako funkcję i(3) .
2. Wyraź i(6) jako funkcję d(2) .
Zadanie 80 (K 1.27)
1. Pokaż, że i(m) = d(m) (1 + i)1/m .
2. Zinterpretuj powyższą równość.
Zadanie 81 Wyznacz kapitał końcowy 5300 zł zainwestowanych na 6 lat według
nominalnej stopy procentowej 11, 8% i kwartalnej kapitalizacji odsetek.
Zadanie 82 Wyznacz bieżącą wartość kapitału 10.000 zł otrzymanego pod koniec 8
lat według nominalnej stopy dyskontowej 14% i dyskontowania półrocznego.
Zadanie 83 Wyznacz nominalną stopę procentową składaną kwartalnie (dla oprocentowania kwartalnego) równoważną nominalnej stopie dyskontowej 6% składanej
miesięcznie.
Zadanie 84 Ile wynosi nominalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji odsetek odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2
jp?
Zadanie 85 Ile wynosi wartość końcowa kapitału 1000 zł po 5 latach, jeśli bank
stosuje
1. model kapitalizacji rocznej przy rocznej stopie 12%?
2. model kapitalizacji półrocznej przy półrocznej stopie 6%?
3. model kapitalizacji miesięcznej przy miesięcznej stopie 1%?
Zadanie 86 Obliczyć wartość 2, 5-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli nominalna
stopa wynosi 8, 88%, odsetki kapitalizują się
1. po każdym półroczu.
2. po każdym miesiącu.
8
Zadanie 87 Wyznaczyć wartość przyszłą 430 zł po 13 miesiącach oprocentowanych
według stopy nominalnej 5, 5% i miesięcznej kapitalizacji odsetek.
Zadanie 88 Find the nominal rate of interest convertible semiannually at which
the accumulated value of $1000 at the end of 15 years is $3000
Zadanie 89 Po dwóch tygodniach oprocentowania dziennego kapitał 300 zł zwiększył swoją wartość o 3%. Wyznaczyć wartość tego kapitału po kolejnych dwóch tygodniach.
Zadanie 90 Jaki kapitał wygeneruje odsetki w wysokości 45 jp po pół roku w modelu
kapitalizacji kwartalnej przy nominalnej stopie 4%?
Zadanie 91 Find the accumulated value of $100 at the end of two years, if the
nominal annual rate of interest is 6% convertible quarterly.
Zadanie 92 Przy jakiej stopie nominalnej dyskontowej i kwartalnym naliczaniu odsetek z góry kapitał końcowy 4000 zł wygeneruje odsetki płatne z góry w wysokości
400 zł w ciągu 15 miesięcy?
Zadanie 93 Przez ile miesięcy kapitał końcowy 2500 zł wygeneruje odsetki płatne
z góry
a) 2500 zł
b) 3000 zł
przy dyskontowej stopie nominalnej 15% i miesięcznym naliczaniu odsetek.
Zadanie 94 Bank A stosuje oprocentowanie półroczne składane przy stopie nominalnej 12%, zaś bank B oprocentowanie kwartalne składane przy stopie nominalnej
12%. Czy warunki oprocentowania proponowane przez te banki są równoważne.
Zadanie 95 W banku A obowiązuje półroczna kapitalizacja odsetek przy stopie nominalnej 18%, w banku B obowiązuje kwartalna kapitalizacji odsetek przy stopie
nominalnej i(4) . Ile musi wynosić stopa i(4) , aby warunki oprocentowania w banku A
i B były równoważne?
Zadanie 96 Mając roczną stopę efektywną 11% wyznaczyć równoważną stopę nominalną, jeśli:
1. kapitalizacja jest miesięczna.
2. kapitalizacja jest tygodniowa.
3. kapitalizacja jest dzienna.
Zadanie 97 Przy użyciu rocznego czynnika akumulacji wykazać nierównoważność
stóp oprocentowania składanego i(4) = 3, 3% oraz i(12) = 1, 3%, a następnie obliczyć:
1. stopę i(12) równoważną stopie i(4) = 3, 3%.
2. stopę i(4) równoważną stopie i(12) = 1, 3%
Zadanie 98 Pewien kapitał ulokowano na procent składany. Kapitalizacja odsetek
następuje pod koniec każdego kwartału, a efektywna stopa procentowa jest równa
13%. Ile wynosi równoważna kwartalna stopa procentowa a ile nominalna?
9
9. Natężenie oprocentowania i dyskontowania
Zadanie 99 Wyznacz kapitał końcowy 1000$ zainwestowanych na 10 lat, jeśli natężenie oprocentowania wynosi 5%.
Zadanie 100 Wyznaczyć efektywną stopę procentową, jeśli δ = 10%.
Zadanie 101 Wyznaczyć natężenie oprocentowania jeśli wiadomo, że kapitał P w
ciągu roku wzrósł o 16%.
Zadanie 102 Dla efektywnej stopy procentowe 8% wyznaczyć równoważną nominalną stopę procentową: i(2) , i(4) , i(12) , i(360) , δ.
Zadanie 103 Dla efektywnej stopy dyskontowej 8% wyznaczyć równoważną nominalną stopę dyskontową: d(2) , d(4) , d(12) , d(360) , δ.
Zadanie 104 Jaka jest efektywna i nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji ciągłej, jeśli roczny czynnik akumulacji wynosi 1, 2?
Zadanie 105 Oblicz przyszłą wartość kapitału 100 jp po 3 latach w kapitalizacji
ciągłej przy stopie nominalnej 3%.
Zadanie 106 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji, jeśli kapitał 100 zł podlegał
oprocentowaniu składanemu ciągłemu przy stopie nominalnej 12%. Wyznaczyć stopę
efektywną równoważną stopie nominalnej.
Zadanie 107 Oblicz odsetki przypadające za drugi rok w kapitalizacji ciągłej przy
stopie nominalnej 9% od kapitału początkowego 100 jp.
Zadanie 108 Po jakim czasie nastąpi wzrost kapitału początkowego 480 jp do kwoty
800 jp, przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek przy nominalnej stopie procentowej 6%?
Zadanie 109 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie
12%, czy miesięczna kapitalizacja przy
1. nominalnej stopie 12%?
2. nominalnej stopie 15%?
Zadanie 110 Wyznacz kapitał końcowy 1000 zł zainwestowanych na 10 lat i 5 miesięcy, jeśli natężenie oprocentowania wynosi 7, 5%.
10
10. Oprocentowanie przy zmiennej stopie procentowej. Stopa przeciętna
Zadanie 111 (K Ex. 1.17) Find the accumulated value of $1000 at the end of 15
years if the effective rate of iterest is 5% for the first 5 years, 4, 5% for the second 5
years, and 4% for the fird 5 years.
Zadanie 112 (K Ex. 1.18) Inwestycja w akcje przynosi stopę zwrotu w skali roku: 15% w pierwszym roku, −5% w drugim roku, 8% w trzecim roku. Wyznaczyć
równoważną stopę procentową efektywną w ciągu tych trzech lat.
Zadanie 113 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła:
11%, 9%, 5%, 8%. Wyznaczyć równoważną nominalną stopę procentową, jeśli bank
stosował
1. oprocentowanie proste.
2. oprocentowanie składane z kwartalną kapitalizacją odsetek.
Zadanie 114 Wyznaczyć równoważne natężenie oprocentowania w ciągu czterech
lat, jeśli w kolejnych latach natężenie było zmienne i wynosiło: 15%, −3%, 10%,
15%.
Zadanie 115 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 4% a
przez kolejne pół roku była większa o 0, 5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną
efektywną stopę procentową, jeśli bank stosował kapitalizację
1. półroczną.
2. miesięczną.
Zadanie 116 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 10%, 11%, 10%, 9%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową, jeśli bank
stosował kapitalizację kwartalną.
Zadanie 117 Odsetki od 2-letniej lokaty 15000 zł obliczono według zmiennej stopy
procentowej. Stopa nominalna w pierwszym i drugim roku wynosiła, odpowiednio,
10% oraz 12%. W pierwszym roku odsetki były kapitalizowane co miesiąc, w drugim
na koniec roku. Obliczyć
1. dwuletni czynnik akumulacji oprocentowania lokaty.
2. przeciętną roczną efektywną stopę oprocentowania lokaty.
3. odsetki należne na koniec drugiego roku.
Zadanie 118 Bank A proponuje 3-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy
zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku natężenie oprocentowania będzie
wynosić 3% i będzie się zwiększać o 0, 3 punktu procentowego w każdym następnym
roku. Bank B proponuje lokatę 3-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym przy
stopie nominalnej 3, 5%. Która z lokat jest korzystniejsza dla klienta.
11
Zadanie 119 Bank A proponował 5-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy
zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku stopa procentowa wynosiła 4% i
była zmniejszana o 0, 1 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B
proponował lokatę 5-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym z dołu przy stopie
nominalnej 4%. Która z lokat była korzystniejsza dla klienta.
Zadanie 120 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła: 8%, 8, 2%, 8, 1%, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%. Wyznaczając
przeciętną nominalną stopę procentową w czasie 4 lat sprawdzić, który bank oferował korzystniejsze warunki oprocentowania w modelu oprocentowania miesięcznego
składanego.
Zadanie 121 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 6%
a przez kolejne pół roku była większa o 0, 2 punktu procentowego. Wyznaczyć nominalną i półroczną stopę przeciętną, jeśli bank stosował kapitalizację półroczną.
Wyznaczyć efektywną stopę procentową.
12
11. Renty podstawowe
Zadanie 122 Wyznaczyć wartość początkową renty wypłacającej 500 jp po każdym
półroczu przez 20 lat, jeśli
a) stopa okresu bazowego wynosi 10%
b) stopa okresu bazowego wynosi 5%.
Zinterpretować wynik.
Zadanie 123 (K 3.2) Cena samochodu wynosi 10.000$. Kupujący jest skłonny spłacać go ratami w wysokości 250$ każda pod koniec każdego miesiąca przez cztery lata
przy rocznej stopie 18% (nominalnej) i miesięcznemu naliczaniu odsetek oraz wpłacić
zaliczkę w wysokości X. Wyznaczyć X.
Zadanie 124 Wyznaczyć wielkość rat miesięcznych płatnych z dołu, jeśli inwestujemy 50.000 zł na 6% w skali roku przy miesięcznej kapitalizacji odsetek na 5 lat
oraz
a) po pięciu latach kwota inwestycji się zwraca.
b) kwota 50.000 jest uwzględniona w ratach.
Zadanie 125 (K 3.1) Rodzice chcąc zaoszczędzić 50.000$ na studia dziecka przez
pierwsze 10 lat wpłacają po 1000$ pod koniec każdego roku oraz przez kolejne 10 lat
wpłacają po 1000 + X pod koniec każdego roku. Wyznaczyć X, jeśli roczna stopa
procentowa wynosi 7%.
Zadanie 126 Pożyczkobiorca A pożycza kwotę 20.000$ na 8 lat i spłaca kredyt równymi rocznymi ratami. Pożyczkobiorca B pożycza również kwotę 20.000$ na 8 lat przy
czym po każdym roku spłaca wyłącznie odsetki zaś kwotę kredytu planuje spłacić pod
koniec ósmego roku. O ile więcej spłaci B pod koniec ósmego roku, jeśli efektywna
stopa procentowa wynosi 8, 5%
Zadanie 127 Udowodnić i zinterpretować:
(1)
än = an (1 + i)
(2)
s̈n = sn (1 + i)
(3)
än = an−1 + 1
(4)
s̈n = sn+1 − 1
(5)
s̈n−1 + 1 = sn
13
Zadanie 128 (K 3.7) Wyznacz ä8 , jeśli efektywna stopa dyskontowa wynosi 10%.
Zadanie 129 (K 3.8) Wyznacz wartość początkową renty płatnej z góry po 200$
przez cztery lata co pół roku od teraz oraz renty płatnej z góry po 100$ przez dziesięć
lata co pół roku od teraz, jeśli i(2) = 6%.
Zadanie 130 (K 3.9) Pracownik w wieku 40 lat chcąc zaoszczędzić na emeryturę postanawia przez 25 lat lokować 3000$ na początku każdego roku. W wieku 65 lat
chce przez 15 lat wypłacać na początku każdego roku określoną kwotę aż do wyczerpania zasobów finansowych. Wyznacz tę kwotę, jeśli efektywna stopa procentowa przez
pierwsze 25 lat wynosi 8% a następnie 7%.
Zadanie 131 Obliczyć czynnik a10 i dla i = 5%, i = 15%, i = 25%.
Zadanie 132 Pokazać
a) sn i = an i (1 + i)n .
b) s̈n i = än i (1 + i)n .
c) s̈n i = sn i (1 + i).
Zadanie 133 Jaka jest bieżąca wartość samochodu, jeżeli firma na początku zapłaciła 25% wartości samochodu i spłaca go miesięcznymi kwotami wnoszonymi z dołu
w wysokości 500 zł przez 10 lat? Stopa okresu bazowego wynosi 1, 5%.
Zadanie 134 Obliczyć wartość renty jednostkowej płatnej w dziesięciu ratach z góry
na moment t = 5. Stopa okresu bazowego 3%. Obliczenia dokonać na trzy sposoby.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Zadanie 135 Dokończyć zadania (127), (132).
Zadanie 136 Cena mieszkania wynosi 265000 zł, przy czym można je spłacać stałymi ratami miesięcznymi dokonywanymi z dołu przez 3 lata w wysokości 3.500 zł.
Jakiej wielkości musi być kapitał własny, jeśli raty są oprocentowane według stopy
miesięcznej 1%.
Odp. X = 159623, 73
Zadanie 137 Firma ma zamiar kupić samochód dostawczy. Z rachunków szacunkowych wynika, że dzięki tej inwestycji pod koniec każdego roku przez 5 lat będzie
miała zyski w wysokości 70000 zł, zaś po 5 latach samochód będzie można sprzedać za
10000 zł. Jaka jest obecna wartość samochodu, jeśli do obliczeń stosowano i = 20%?
Odp. X = 213361, 63
Zadanie 138 Wyznaczyć wartość początkową i końcową renty wypłacającej 4000 zł
na początku każdego kwartału przez 8 lat, jeśli nominalna stopa procentowa wynosi
12% i kapitalizacja jest kwartalna. Obliczeń dokonać na dwa sposoby.
14
Odp. P = 84001, 71, F V = 216311, 365.
Zadanie 139 Wyznaczyć wielkość rat rocznych płatnych z dołu, jeśli inwestujemy
75.000 zł na 4% w skali roku na 9 lat oraz
I. po 9 latach kwota inwestycji się zwraca.
II. kwota 75.000 jest uwzględniona w ratach.
Odp. Ad II. X = 10086, 97
Zadanie 140 Kupujemy samochód za 80.000 zł wpłacając zaliczkę 15.000 zł. Pozostałą kwotę mamy spłacić przez pierwsze trzy lata kwotami X wnoszonymi pod
koniec każdego miesiąca oraz kwotami 2X wnoszonymi przez kolejne dwa lata pod
koniec każdego miesiąca. Wyznaczyć X, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 1, 4%.
Odp. X = 1233, 465
Zadanie 141 Jakiej wielkości raty należy wpłacać do banku pod koniec każdego miesiąca przez 20 lat przy stopie okresu bazowego 1, 5%, żeby po tych 20 latach móc
wypłacać z dołu co miesiąc stałą kwotę 1500 zł przez kolejne 20 lat tak aby kapitał
się wyczerpał. Stopa okresu bazowego wypłat wynosi 1, 8%.
Odp. X = 35, 59
Zadania na zajęciach:
Zadanie 142 Rozważmy kapitał 100.000 zł. Osoba A czerpie zyski w wysokości 7%
rocznie przez 10 lat, osoba B przez drugie 10 lat również w wysokości 7% rocznie a
osoba C przez pozostałe lata (w nieskończoność) w wysokości 7% rocznie. Wyznacz
relatywny równoważny wkład każdej z tych osób.
Zadanie 143 (5.3 PK) Jaką kwotę należy zdeponować dziś na rachunku oprocentowanym według stopy nominalnej 6% przy kapitalizacji kwartalnej, aby po trzech
latach móc pobierać po 200 zł na koniec każdego kwartału. Rozwiązanie zapisać na
dwa sposoby.
Zadanie 144 (5.6 PK) Saldo rachunku wynosi 25 tys. zł.
a) Jeśli efektywna stopa wynosi 3%, jaka jest maksymalna kwota, którą można
pobierać w nieskończoność z rachunku na koniec kolejnych lat?
b) Przy jakiej minimalnej efektywnej stopie procentowej można z rachunku pobierać rentę wieczystą w wysokości 800 zł pod koniec każdego roku?
Zadanie 145 (5.9 PK) Dług można spłacić za pomocą 48 miesięcznych płatności po
100 zł na koniec kolejnych miesięcy lub wpłacając kwotę 4279 zł na koniec miesiąca
N . Jeśli i12 = 1%, ile wynosi N ?
15
Zadanie 146 (5.12 PK) Renta składa się z 25 rat płatnych z dołu: pierwszych osiem
po 400 zł, dziesięć następnych po 500 zł, siedem ostatnich po X zł. Obliczyć X,
wiedząc, że dla i = 3% wartość końcowa tej renty wynosi 15 tys. zł. Rozwiązanie
zapisać na dwa sposoby.
Zadanie 147 Z tytułu ubezpieczenia Pan A za 10 lat będzie otrzymywał przez 30
lat miesięczne płatności w wysokości 500 zł każda. Jaką kwotę musi zgromadzić na
ten cel dzisiaj firma ubezpieczeniowa, jeśli do obliczeń zastosuje stopę bazową 0, 8%.
Zadanie 148 5-letnie obligacje Skarbu Państwa wyemitowane w grudniu 2010 roku
są obligacjami o stałym oprocentowaniu. Zgodnie z warunkami emisji każda obligacja
daje posiadaczowi prawo do rocznych odsetek w w wysokości 6% w skali roku płatnych na koniec roku. Wartość nominalna obligacji wynosi 1000 zł. Obliczyć kwotę
jaka po 5 latach zostanie zgromadzona na rachunku, jeśli firma zakupiła 500 takich
obligacji a odsetki od nich będą przelewane na rachunek firmy oprocentowany według
efektywnej stopy 3%.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Zadanie 149 Jakiej wielkości raty należy wpłacać do banku pod koniec każdego miesiąca przez n lat, żeby po tych n latach móc wypłacać z dołu co miesiąc stałą kwotę
1000 zł przez kolejne n lat, tak aby kapitał się wyczerpał. Stopa okresu bazowego
wpłat i wypłat wynosi 0, 1%.
a) n = 10,
b) n = 20.
Wyciągnąć wnioski dotyczące zależności wielkości wpłat od ilości płatności n.
Odp. Wyniki - patrz zad. 151
Zadanie 150 Jakiej wielkości raty należy wpłacać do banku pod koniec każdego miesiąca przez n lat, żeby po tych n latach móc wypłacać z dołu co miesiąc stałą kwotę
1000 zł przez kolejne n lat, tak aby kapitał się wyczerpał. Stopa okresu bazowego
wpłat i wypłat wynosi 1%.
a) n = 10,
b) n = 20.
Wyciągnąć wnioski dotyczące zależności wielkości w wpłat od ilości płatności n.
Odp. Wyniki - patrz zad. 151
Zadanie 151 Porównać wyniki w dwóch powyższych zadaniach i wyciągnąć wnioski
ze względu na stopę okresu bazowego.
Odp. W powyższych zadaniach pojawiły się wyniki: 91, 81; 302, 99; 786, 72; 886, 97
(w kolejności od najmniejszego do największego).
16
Zadanie 152 Jaką kwotę należy zdeponować dziś na rachunku oprocentowanym według stopy nominalnej 9% przy kapitalizacji miesięcznej, aby po pięciu latach móc
pobierać po 650 zł na koniec każdego miesiąca dożywotnio.
Zadanie 153 Renta składa się z 57 rat płatnych z góry: pierwszych 13 po 700 zł,
następne 24 po 900 zł, następnych 7 po X zł i ostatnich 13 po 2X. Obliczyć X,
wiedząc, że dla i = 2% wartość początkowa tej renty wynosi 35669, 77 zł.
Odp. X = 1100.
Zadanie 154 Z tytułu ubezpieczenia Pan A za 15 lat będzie otrzymywał dożywotnio
rentę w wysokości 1250 zł pod koniec każdego miesiąca.
a) Jaką kwotę musi zgromadzić na ten cel dzisiaj firma ubezpieczeniowa, jeśli do
obliczeń zastosuje stopę bazową 1, 3%.
b) Czy regularne wpłaty miesięczne z dołu w wysokości 100 zł każda wnoszone
pod koniec każdego miesiąca przez te 15 lat wystarczą na zgromadzenie odpowiednich środków.
Odp. a) X = 9403
Zadania na zajęciach:
Zadanie 155 Pożyczamy 10000 zł na N miesięcy na 2% w skali miesiąca. Ile wynosi
N , jeśli miesięczne płatności dokonywane z dołu wynoszą 300 zł każda? Wyznaczyć
N
a) jeśli ostatnia regularna płatność będzie odpowiednio powiększona. Wyznaczyć
kwotę o jaką zostanie powiększona.
b) jeśli ostatnia płatność nastąpi jeden miesiąc po płatności 300 i będzie odpowiednio niższa od tej płatności. Wyznaczyć wielkość tej niższej ostatniej płatności
c) jeśli ostatnia płatność nastąpi po niepełnym miesiącu czasu od ostatniej regularnej płatności. Wyznaczyć wielkość tej płatności.
Zadanie 156 Wyznaczyć stopę procentową i przy której 4159, 5 jest wartością początkową renty płatnej z dołu w wysokości 300 o 15 płatnościach.
Zadanie 157 Wyznaczyć stopę procentową i przy której s3 i wynosi 3, 15.
Zadanie 158 Wyznaczyć wartość początkową renty płatnej z dołu o pięciu ratach w
wysokości 450 zł każda, jeśli przez pierwsze 3 okresy obowiązywała stopa 3% a przez
następne 2 okresy 3, 5%.
.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Zadanie 159 Kwota 3794 zł ma być spłacona stałymi ratami wysokości 125 zł naliczonymi według stopy 1, 5% wnoszonymi z dołu. Wyznaczyć ilość rat
17
a) jeśli ostatnia regularna płatność będzie odpowiednio powiększona. Wyznaczyć
kwotę o jaką zostanie powiększona.
b) jeśli ostatnia płatność nastąpi jeden okres po ostatniej regularnej płatności 125
zł i będzie odpowiednio niższa od tej płatności. Wyznaczyć wielkość tej niższej
ostatniej płatności
c) jeśli ostatnia płatność nastąpi po niepełnym okresie czasu od ostatniej regularnej płatności. Wyznaczyć wielkość tej płatności.
Odp. 40, 8; 98, 899, 100, 38; 99, 85
Zadanie 160 O jaką kwotę powinniśmy powiększyć ostatnią regularną płatność, jeśli 892 zł ma być spłacone 12 miesięcznymi płatnościami wnoszonymi z dołu w wysokości 100 przy stopie okresu bazowego 5%
Zadanie 161 Wyznaczyć stopę procentową i w przybliżeniu, przy której 766, 84 =
110ä9 .
Odp. Dokładana stopa procentowa wynosi 7%, przybliżona 7, 5%
Zadanie 162 Wyznaczyć stopę procentową i w przybliżeniu, przy której s̈19 wynosi
23, 297.
Odp. Dokładna stopa procentowa wynosi 2%, przybliżona 1, 86%
Zadanie 163 Wyznaczyć wartość końcową renty płatnej z góry o 15 ratach rocznych
w wysokości 220 zł każda, jeśli przez pierwsze 5 lat obowiązywała stopa efektywna
5%, przez kolejne 5 lat stopa efektywna 6% i przez ostatnie 5 lat stopa efektywna
3%.
Odp. 4491, 6
18
13. Renty - ogólnie
Zadanie 164 Wyznaczyć wartość początkową renty jednostkowej płatnej z dołu przez
5 lat co kwartał, jeśli nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 12%.
Obliczenia dokonać na dwa sposoby.
Zadanie 165 Wyznaczyć wartość końcową po 6 latach inwestycji, w której przez
pierwsze dwa lata płatności w wysokości 300 zł są dokonywane na początku każdego
półrocza a przez kolejne 4 lata są dokonywane płatności w wysokości 200 na początku
każdego kwartału. Nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 10%.
Zadanie 166 Kwota 3000 zł, ulokowana na rachunku oprocentowanym 5% w skali
roku przy półrocznym naliczaniu odsetek, stanowi kapitał z którego pobierane są stałe
płatności w wysokości 300 zł pod koniec każdego roku tak długo jak to możliwe,
przy możliwym powiększeniu ostatniej regularnej płatności. Wyznaczyć ilość tych
płatności oraz kwotę o jaką zostanie powiększona ostatnia regularna płatność.
Zadanie 167 Pożyczka w wysokości 6000 zł ma być spłacona w kwartalnych ratach
pod koniec każdego kwartału przez 3 lata. Jeśli nominalna stopa oprocentowania
półrocznego wynosi 12%, wyznaczyć wielkość płatności.
.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Zadanie 168 Wyznaczyć wartość początkową renty jednostkowej płatnej przez 8 lat
na początku każdego półrocza, jeśli nominalna stopa oprocentowania miesięcznego
wynosi 12%. Obliczenia dokonać na dwa sposoby.
Odp. Wartość początkowa wynosi 10, 62.
Zadanie 169 Wyznaczyć wartość końcową inwestycji po 10 latach, jeśli przez pierwsze 5 lat płatności w wysokości 150 zł były dokonywane pod koniec każdego kwartału a
przez kolejne 5 lat płatności w wysokości 300 zł były dokonywane na początku każdego półrocza. Nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 24%. Obliczenia
dokonać na dwa sposoby.
Odp. Wartość końcowa wynosi 24449, 41 (z zasady równoważności stóp procentowych
wyniesie około 24447).
Zadanie 170 Kwota 1000 zł, ulokowana na rachunku oprocentowanym 9% w skali
roku przy kwartalnym naliczaniu odsetek, stanowi kapitał z którego pobierane są stałe
płatności w wysokości 200 zł pod koniec każdego roku tak długo jak to możliwe, przy
możliwym powiększeniu ostatniej regularnej płatności. Wyznaczyć ilość tych płatności oraz kwotę o jaką zostanie powiększona ostatnia regularna płatność. Obliczenia
dokonać na dwa sposoby.
Odp. Ilość regularnych płatność po 200 wynosi 7 przy czym ostatnią regularną płatność należy powiększyć o kwotę około 7, 08.
19
Zadanie 171 Niech czas inwestycji składa się z n okresów kapitalizacji i niech każdy
okres kapitalizacji składa się z m podokresów bazowych. Pokazać, że wartość początkowa renty o n · m płatnościach wysokości R każda wynosi:
P = Rm
1 − vn
,
i(m)
gdzie v = (1 + i)−1 , i jest stopą okresu kapitalizacji, i(m) jest okresową (o okresie
zgodnym z okresem kapitalizacji) nominalną stopą procentową równoważną stopie i.
Zadanie 172 Wyznaczyć wartość początkową renty o płatnościach wysokości 50 zł
dokonywanych pod koniec każdego miesiąca przez 5 lat, jeśli renta jest oprocentowana
6% rocznie przy rocznej kapitalizacji odsetek. Obliczenia dokonać na dwa sposoby
Odp. P = 2596, 19
Zadanie 173 Wyznaczyć wartość początkową renty o płatnościach wysokości 50 zł
dokonywanych pod koniec każdego miesiąca przez 5 lat, jeśli renta jest oprocentowana
6% rocznie przy półrocznej kapitalizacji odsetek. Obliczenia dokonać na dwa sposoby.
Odp. P = 2590, 865
20
14. Spłata długów
Będziemy zakładać, że raty wnoszone są z dołu.
Zadanie 174 Dług 300 zł został spłacony sześcioma półrocznymi ratami R1 = 60
zł, R2 = 70 zł, R3 = 80 zł, R4 = 90 zł, R5 = 100 zł, R6 =? zł, przy 24% w
skali roku i półrocznej kapitalizacji odsetek oraz przy aktualizacji na moment t = 3.
Ile wynosi szósta rata. Czy ten sam ciąg rat umarza ten dług przy aktualizacji na
moment t = 6?
Zadanie 175 Pożyczkę 3500 zł spłacono równoważnymi jej ratami: 500 zł, 800 zł,
900 zł, 1000 zł, 1000 zł. Stosując retrospektywną i prospektywną zależność długu i
rat, przedstawić dług bieżący po spłaceniu trzech rat.
Zadanie 176 Plan spłaty długu S przewiduje 5 płatności rocznych wysokości 20
jp, 29 jp, 37 jp, 34 jp, 11 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 10% i kapitalizacja
jest roczna. Wyznaczyć wysokość długu oraz rozkład każdej raty na ratę kapitałową
i odsetkową.
Zadanie 177 Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 9000 jp, oprocentowany według rocznej stopy 36% i rocznej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten ma być
spłacony w trzech równych ratach rocznych.
Zadanie 178 Dług 12000 zł należy spłacić w 48 ratach annuitetowych. Wyznaczyć
dług bieżący po spłaceniu trzydziestu rat oraz część kapitałową i odsetkową trzydziestej raty. Stopa okresu bazowego wynosi 1, 2%.
Zadanie 179 Dług S należy spłacić w 5 ratach o następujących częściach kapitałowych: T1 = 12 jp, T2 = 11 jp, T3 = 10 jp, T4 = 9 jp, T5 = 8 jp. Stopa okresu
bazowego wynosi 23%. Wyznaczyć S oraz ciąg rat umarzających dług S.
Zadanie 180 Kredyt jest spłacany pięcioma miesięcznymi ratami annuitetowymi.
Obliczyć brakujące elementy spłaty długu, jeśli T1 = 145, 0695, T3 = 147, 9853, I3 =
4, 4841.
Zadanie 181 Dług 1500 zł należy spłacić 4 ratami o częściach kapitałowych stanowiących ciąg stały przy stopie okresu bazowego 1, 4%. Wyniki przedstawić w tabeli.
Co można powiedzieć o ratach łącznych?
Zadanie 182 Dług 400 zł należy spłacić 4 miesięcznymi ratami
a) malejącymi,
b) stałymi.
Ułożyć plan spłaty długu, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 10%. Obliczyć sumę
odsetek i porównać wyniki.
Zadanie 183 Dług 2000 zł ma być spłacony 24 ratami malejącymi. Wyznaczyć
21
a) wysokość szóstej raty,
b) dług bieżący po spłaceniu trzech rat,
c) trzecią ratę odsetek,
jeśli stopa okresu bazowego wynosi 7%.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 184 Zbadać czy płatności R1 = 280 jp, R2 = 300 jp, R3 = 300 jp, R4 =
150 jp umarzają dług 950 jp przy stopie okresu bazowego 2, 5%.
Zadanie 185 Dług 1800 jp należy spłacić w 6 równych ratach rocznych. Ułożyć plan
spłaty długu, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 9% i kapitalizacja jest roczna.
Zadanie 186 Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 70.000 zł, oprocentowanego według nominalnej stopy 12% i kwartalnej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten
ma być spłacony w 4 równych ratach kwartalnych.
Zadanie 187 Dług 6000 zł należy spłacić w 24 ratach annuitetowych. Wyznaczyć
1. część kapitałową dwudziestej raty,
2. dług bieżący po spłaceniu piętnastu rat za pomocą postaci retrospektywnej i
prospektywnej.
Stopa okresu bazowego wynosi 1, 5%.
Odp. T20 = 278, 06, S15 = 2504, 3479
Zadanie 188 Kredyt jest spłacany w półrocznych ratach annuitetowych, przy czym
nominalna stopa procentowa wynosi 12%. Wiedząc, że T3 = 32, 2164 zł oraz N = 6,
obliczyć
1. wartość kredytu w momencie 0,
2. wysokość raty,
3. dług bieżący po zapłaceniu II raty,
4. wartość odsetek w IV racie.
Odp. S = 200, R = 40, 6725
Zadanie 189 Pokazać, że suma odsetek, tj. I1 + I2 + . . . + IN , wynosi
a)
SsN −
s −N
R Ni
· i dla rat stałych.
b) SN − T (N −1)N
· i dla rat malejących.
2
Zadanie 190 Obliczyć sumę odsetek naliczonych od długu 40.000 zł spłaconego 60
ratami annuitetowymi przy stopie 6%. Czy odsetki byłyby większe, gdyby dług ten
zamiast ratami annuitetowymi był spłacony ratami malejącymi?
22
Zadania do rozwiązania na zajęciach
Zadanie 191 (ratalna spłata długu S i jednorazowa spłata odsetek)
Ułożyć plan spłaty długu S = 1300 zł spłaconego 4 półrocznymi ratami zawierającymi
dług S w równym stosunku, jeśli odsetki mają być uiszczone w racie
a) drugiej.
b) czwartej.
Roczna stopa nominalna wynosi 9, 24% oraz kapitalizacja jest półroczna. Porównać
wyniki.
Zadanie 192 (ratalna spłata odsetek i jednorazowa spłata długu bieżącego)
Dług 1400 zł ma być spłacony w całości w szóstej ostatniej racie, zaś odsetki od długu
mają być spłacane ratalnie według stopy okresu bazowego 3, 27%. Ułożyć plan spłaty
długu.
Zadanie 193 (spłata długu z uwzględnieniem karencji)
Dług 15380 zł należy spłacić w 4 rocznych ratach annuitetowych, ale dopiero po 3
latach karencji. Roczna stopa procentowa wynosi 8%. Ułożyć plan spłaty długu, jeżeli
a) w okresie karencji dłużnik spłaca bieżące odsetki.
b) karencja dotyczy rat łącznych.
Porównać wyniki.
Zadanie 194 (konsolidacja długów)
Dłużnik ma do spłacenia następujące płatności:
- 5 spłat rocznych o wysokości 435 jp każda, przy rocznej stopie 21, 75%,
- 7 spłat półrocznych o wysokości 123, 5 jp każda, przy stopie półrocznej 11, 2%,
- 13 spłat miesięcznych o wysokości 52 jp każda, przy stopie miesięcznej 2, 9%.
Wyznaczyć łączną obecną wartość zadłużenia oraz zamienić te trzy długi na jeden
dług skonsolidowany, spłacany przez 19 miesięcy w równych płatnościach miesięcznych, przy stopie okresu bazowego 2, 6%. Wyznaczyć wysokość rat umarzających dług
skonsolidowany.
Zadanie 195 (opłata dodatkowa w postaci marży lub prowizji)
S = 1100 jp należy spłacić w 5 równych półrocznych ratach. Nominalna stopa procentowa wynosi 10, 5% i kapitalizacja jest półroczna. Ułożyć plan spłaty długu z
uwzględnieniem opłaty dodatkowej 1, 5%
a) naliczonej według długu S i pobieranej ratalnie.
b) naliczanej według długu bieżącego i pobieranej ratalnie.
23
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 196 Wyznaczyć wysokość rat, jeśli dług 5780 zł ma być spłacony 8 ratami
zawierającymi ten dług w równym stosunku a odsetki od długu mają być spłacone w
racie ostatniej. Stopa okresu bazowego wynosi 1, 4%.
Zadanie 197 Dług 5432 zł ma być spłacony w całości w dziesiątej ostatniej racie,
zaś odsetki od długu mają być spłacane ratalnie według stopy okresu bazowego 1, 56%.
Wyznaczyć wysokość rat.
Zadanie 198 Dług 29005 zł należy spłacić w 36 miesięcznych ratach annuitetowych
według rocznej stopy nominalnej 6, 72%. Po spłaceniu 12 rat dłużnik zwraca się do
banku z prośbą o odroczenie w spłacie rat o trzy miesiące. Wyznaczyć sumę wszystkich
płatności, jeśli
a) w okresie karencji dłużnik spłaca bieżące odsetki.
b) karencja dotyczy rat łącznych.
Zadanie 199 Dłużnik ma do spłacenia następujące płatności:
- 14 rat kwartalnych o wysokości 678 zł każda, przy kwartalnej stopie procentowej
5, 6%,
- 10 rat miesięcznych o wysokości 490 zł każda, przy stopie miesięcznej 1, 2%.
Wyznaczyć łączną obecną wartość zadłużenia oraz zamienić te dwa długi na jeden
dług skonsolidowany, spłacany przez 16 miesięcy w równych płatnościach miesięcznych, przy stopie okresu bazowego 1, 6%. Wyznaczyć wysokość rat umarzających dług
skonsolidowany.
Zadanie 200 Dług 5590 zł należy spłacić w 4 równych ratach. Stopa okresu bazowego wynosi 3, 5%. Ułożyć plan spłaty długu z uwzględnieniem opłaty dodatkowej
0, 5%
a) naliczonej według długu i pobieranej ratalnie.
b) naliczanej według długu bieżącego i pobieranej ratalnie.
Zadanie 201 Która z dwóch form spłaty wygeneruje mniejszą sumę odsetek:
A: Dług 5000 zł spłacany sześcioma ratami annuitetowymi przy stopie okresu bazowego 1, 4%,
B: Dług 5000 zł spłacany sześcioma ratami malejącymi przy stopie okresu bazowego 1, 4%.
Podać tę sumę odsetek.
Zadanie 202 Dług 1800 zł ma być spłacony w czterech miesięcznych ratach malejących ale dopiero po trzech miesiącach karencji. Bank proponuje by w czasie karencji
były spłacane odsetki bieżące, zaś pożyczkobiorca w czasie karencji nic nie chce płacić. Która forma spłaty wygeneruje mniejszą sumę płatności. Wyznaczyć tę mniejszą
sumę płatności. Stopa okresu bazowego wynosi 2, 3%
24
Zadania do rozwiązania na zajęciach
Zadanie 203 (Konwersja długu) Kredyt 180000 zł należy spłacić w 120 ratach annuitetowych według stopy okresu bazowego 1, 2%. Obliczyć sumę płatności, jeśli po
36-ciu ratach stopa procentowa wzrosła o 0, 2 punktu procentowego.
(Rzeczywista stopa oprocentowania długu)
Zadanie 204 Wyznaczyć rzeczywistą stopę oprocentowania długu 6782 zł, który ma
być spłacony dwiema ratami stałymi obliczonymi według stopy okresu bazowego 2%
oraz pożyczkobiorca w chwili zaciągnięcia długu uiszcza jednorazowo opłatę dodatkową wysokości 1% długu.
Zadanie 205 Który z banków oferuje lepsze warunki oprocentowania kredytu, jeśli
pierwszy bank oferuje raty kwartalne przy stopie nominalnej 22% i kwartalnej kapitalizacji odsetek a drugi bank oferuje raty półroczne przy nominalnej stopie 22, 1%
przy półrocznym naliczaniu odsetek?
Zadanie 206 Kredyt 8903 zł ma być spłacony dwudziestoma czterema miesięcznymi ratami annuitetowymi wielkości 420 zł każda. Obliczyć roczną rzeczywistą stopę
oprocentowania tego kredytu.
Zadanie 207 Kredyt 9460 zł należy spłacić w 2 ratach z uwzględnieniem opłaty
dodatkowej. Bank oferuje dwie formy spłaty długu:
A) raty są równej wielkości, naliczone przy stopie okresu bazowego 7, 2% oraz w
chwili uruchomienia kredytu kredytobiorca musi uiścić dodatkowo opłatę jednorazową wysokości 10% długu.
B) raty są sumą dwóch kwot: pierwsza kwota stanowi wysokość raty annuitetowej
obliczonej przy stopie okresu bazowego 6, 8%, druga kwota stanowi wysokość
dodatkowej opłaty naliczonej od długu bieżącego przy stopie 5, 15%.
(Renta kapitałowa, renta arytmetyczna, renta geometryczna)
Zadanie 208 Wyznaczyć wielkość funduszu bedącego kapitałem rentowym utworzonym z wkładów oszczędnościowych wysokości 200 zł wnoszonych co miesiąc z dołu
przez 10 lat według stopy nominalnej 6% i miesięcznemu naliczaniu odsetek.
a) Jaką maksymalną rentę wieczystą miesięczną z dołu można pobierać z tego
funduszu?
b) Przez jaki czas można pobierać z tego funduszu rentę miesięczną z dołu wysokości 300 zł?
Zadanie 209 Ustalić wysokość kapitału rentowego, pozwalającego na comiesięczne
wypłaty renty arytmetycznej z dołu o pierwszym wyrazie 10 jp i różnicy 2 jp przez 10
lat w modelu oprocentowania składanego miesięcznego przy stopie nominalnej rocznej
12%.
Zadanie 210 Ustalić wysokość kapitału rentowego, pozwalającego na coroczne wypłaty renty geometrycznej z dołu o pierwszym wyrazie 30 jp i ilorazie 1, 05 jp, jeśli
stopa okresu bazowego wynosi 10%.
25
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 211 Kredyt 80000 zł należy spłacić w 60 ratach
a) annuitetowych,
b) malejących,
według stopy okresu bazowego 0, 9%. Obliczyć sumę płatności, jeśli po 30-stu ratach
stopa procentowa wzrosła o 0, 3 punktu procentowego.
Zadanie 212 Wyznaczyć RRSO długu 10200 zł, który ma być spłacony dwiema półrocznymi ratami stałymi obliczonymi według rocznej stopy nominalnej 12% (kapitalizacja półroczna) oraz pożyczkobiorca w chwili zaciągnięcia długu uiszcza jednorazowo
opłatę dodatkową wysokości 2% długu.
Zadanie 213 Który z banków oferuje lepsze warunki oprocentowania kredytu, jeśli
pierwszy bank oferuje raty miesięczne przy stopie nominalnej 15% i miesięcznej kapitalizacji odsetek a drugi bank oferuje raty kwartalne przy nominalnej stopie 16%
przy kwartalnej kapitalizacji odsetek?
Zadanie 214 Kredyt 6700 zł ma być spłacony dziesięcioma miesięcznymi ratami
annuitetowymi wielkości 700 zł każda. Obliczyć RRSO tego kredytu.
Zadanie 215 Pożyczkę 14500 zł należy spłacić w dwóch stałych ratach półrocznych
obliczonych według rocznej nominalnej stopy oprocentowania półrocznego 10%. Obliczyć RRSO, jeśli pożyczkobiorca dodatkowo z każdą ratą wnosi dodatkową opłatę
stanowiącą 2% długu bieżącego.
26