Elementy algebry abstrakcyjnej
Transkrypt
Elementy algebry abstrakcyjnej
1 Liliana Janicka ELEMENTY ALGEBRY ABSTRAKCYJNEJ (materiaªy do wykªadu w semestrze letnim 2007) Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocªawska Spis tre±ci 1 Grupy 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. . Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna. . . . . . Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa. . . . . . . . . Homomorzmy i izomorzmy grup. . . . . . . . . . Zadania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. . . . . . . Kongruencje w pier±cieniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poj¦cie ciaªa. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. . . . . . . . . . Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª. Zadania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Pier±cienie i ciaªa 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 13 15 18 22 25 25 28 42 44 48 Rozdziaª 1 Grupy 1.1 Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. Teoria grup powstaªa na pocz¡tku wieku XIX, gdy matematycy, zm¦czeni wielusetletnimi próbami znalezienia wzorów na pierwiastki równa« stopnia wy»szego ni» czwarty, dali za wygran¡ i dopu±cili my±l, »e takie wzory po prostu nie istniej¡. Nawet najbardziej ogólny szkic konstrukcji rozumowania potwierdzaj¡cego ostatni wniosek wykracza daleko poza ramy naszego wykªadu, jednak w Rozdziale 2.4 uda nam sie pokaza¢ ciekawe zastosowanie algebry abstrakcyjnej do rozwi¡zania problemów, z którymi nie mogªy sobie poradzi¢ ju» nie - stulecia, a - tysi¡clecia prac. Twórcami podstaw teorii grup byli: Wªoch Runi (1765-1822), Norweg Niels Abel (1802-1829) i Francuz Evaryst Galois (1811-1832). Niech X b¦dzie zbiorem niepustym. Dziaªaniem (dwuargumentowym) w zbiorze X nazywamy ka»de przyporz¡dkowanie uporz¡dkowanej parze (x; y) elementów zbioru X jakiego± elementu tego zbioru, czyli dziaªaniem jest dowolna funkcja f : X X ! X: Przyj¦te jest zamiast f(x; y) pisa¢ x y; x y; x + y; itp. Mówimy, »e dziaªanie okre±lone w zbiorze X jest: ª¡czne, je»eli dla dowolnych x; y; z 2 X zachodzi równo±¢ (x y) z = x (y z) przemienne, je»eli dla dowolnych x; y 2 X zachodzi równo±¢ x y = y x. 3 4 1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. Element e 2 X nazywamy elementem neutralnym lewostronnym (prawostronnym) dziaªania , je»eli dla ka»dego x 2 X zachodzi równo±¢ e x = x (x e = x). Element speªniaj¡cy oba te warunki nazywamy elementem neutralnym. Je»eli w zbiorze X jest element neutralny dziaªania , to element xe 2 X nazywamy elementem odwrotnym lub elementem przeciwnym do elementu x 2 X, je»eli xe x = x xe = e. W dalszym ci¡gu element odwrotny do elementu x oznacza¢ b¦dziemy symbolem x 1 (lub x.) Fakt 1.1.1 Niech X b¦dzie zbiorem niepustym z okre±lonym w nim dziaªaniem dwuargumentowym. (a) Element neutralny dziaªania jest wyznaczony jednoznacznie. (b) Je»eli dziaªanie jest ª¡czne i istnieje element odwrotny do elementu x 2 X , to jest on wyznaczony jednoznacznie. D o w ó d. (a) Niech e1 ; e2 2 X speªniaj¡ warunek z denicji elementu neutralnego. Wówczas e1 = e1 e2 = e2 (b) Je»eli x xe1 = xe1 x = e oraz x xe2 = xe2 x = e, to xe2 = e xe2 = (xe1 x) xe2 = xe1 (x xe2) = xe1 e = xe1. Niepusty zbiór X z okre±lonym w nim jednym lub kilkoma dziaªaniami okre±lamy mianem struktury algebraicznej i oznaczamy hX; i, hX; ; i; itd. Przykªad 1.1.1 Dodawanie jest dziaªaniem ª¡cznym i przemiennym w ka»dym ze zbiorów liczbowych IN, ZZ, CQ, IR, CC. W ka»dym z tych zbiorów jest element neutralny dodawania. Jest nim oczywi±cie liczba 0. W zbiorze ZZ (a tak»e w CQ, IR oraz w CC) ka»dy element ma element odwrotny (nazywamy go raczej elementem przeciwnym), natomiast elementy zbioru IN nie posiadaj¡ elementów przeciwnych w IN. Podobnie ka»dy potra omówi¢ wªasno±ci mno»enia rozwa»anego w ka»dym z powy»szych zbiorów liczbowych. Przykªad 1.1.2 Niech X oznacza zbiór liczb rzeczywistych z przedziaªu [0; 1). Wówczas wzór x y = x + y [x + y]; gdzie [x] oznacza cz¦±¢ caªkowit¡ liczby x, okre±la dziaªanie w X. Oczywi±cie jest ono przemienne i ª¡czne. Elementem neutralnym jest liczba 0, a przeciwnym do a 2 [0; 1) - liczba (1 a) 2 [0; 1). 1.1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. 5 Przykªad 1.1.3 Niech X b¦dzie dowolnym zbiorem niepustym i oznaczmy symbolem X X zbiór wszystkich przeksztaªce« zbioru X na siebie. Skªadanie (superpozycja) przeksztaªce« (oznaczane w dalszym ci¡gu symbolem ) jest dziaªaniem w X X . Dziaªanie to jest ª¡czne, bo dla dowolnych funkcji f; g; h 2 X X oraz dowolnego x 2 X mamy ((f g) h)(x) = (f g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g h)(x) = (f (g h))(x): Dziaªanie to nie jest na ogóª przemienne. Elementem neutralnym jest oczywi±cie przeksztaªcenie identyczno±ciowe (idX (x) = x dla dowolnego x 2 X.) Symbolem S(X) b¦dziemy w dalszym ci¡gu oznacza¢ zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przeksztaªce« zbioru X na siebie. W tym zbiorze ka»dy element ma element odwrotny. Jest nim oczywi±cie funkcja odwrotna do danej funkcji. Dziaªanie w zbiorze sko«czonym wygodnie jest zdeniowa¢, podaj¡c tzw. tabelk¦ dziaªania. Przykªad 1.1.4 Niech ZZn = f0; 1; 2; : : :; n 1g a dziaªanie +n okre±lmy jako branie reszty z dzielenia sumy x+y przez n. Oto tabliczki dziaªa« w strukturach hZZ5 ; +5i oraz hZZ6; +6 i. +6 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 Nietrudno sprawdzi¢ bezpo±rednio, »e dziaªania +n s¡ ª¡czne i przemienne. Elementem neutralnym w ka»dym z tych zbiorów jest liczba 0, a elementem przeciwnym do liczby a 2 ZZn jest liczba (n a). +5 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 Cwiczenie 1.1.2 Sprawdzi¢, w którym ze zbiorów liczbowych (IN; ZZ; CQ; IR) nast¦puj¡ce wzory okre±la dziaªanie. a) a b = a + b + 1, b) a b = a + b + ab, c) a b = a+2 b W przypadku odpowiedzi pozytywnej sprawdzi¢ ª¡czno±¢, przemienno±¢, istnienie i posta¢ elementu neutralnego i wyznaczy¢ element odwrotny. R o z w i ¡ z a n i e. (i) atwo sprawdzi¢, »e pierwsze z dziaªa« jest ª¡czne i przemienne. Rozwa»ane w 6 1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. ka»dym ze zbiorów z wyj¡tkiem IN ma element neutralny (jest nim liczba ( 1)), a elementem odwrotnym (mówimy w tym przypadku raczej - przeciwnym) do elementu a jest element (a 2): (ii) Sprawdzenie ª¡czno±ci i przemienno±ci drugiego dzaªania nie sprawia kªopotu. Poszukajmy elementu neutralnego. Niech a b¦dzie dowolnym elementem któregokolwiek z rozwa»anych zbiorów. Szukamy e, dla którego zachodzi równo±¢ a e = a czyli a+e+ae = a: Poniewa» równo±¢ e(1+a) = 0 powinna zachodzi¢ dla ka»dego a; wi¦c e = 0: Zastanówmy si¦ jeszcze, jaki jest element odwrotny do elementu a. Powinna zachodzi¢ równo±¢ a a 1 = 0 czyli a + a 1 + aa 1: Zatem a 1 = 1+aa : c) Przemienno±¢ jest oczywista. Poniewa» b+c a+b a (b c) = a+2 2 = a2 + 4b + 4c oraz (a b) c = 2 2 +c = a4 + 4b + 2c , wi¦c dziaªanie nie jest ª¡czne, bo równo±¢ a+b+c=a+b+c 2 4 4 4 4 2 nie jest oczywi±cie prawdziwa dla wszystkich liczb a; b; c. Poszukajmy elementu neutralnego e. Dla ustalonej liczby a musiaªaby zachodzi¢ równo±¢ a+e = a; co daje e = a. 2 St¡d wynika, »e element neutralny nie istnieje, bo wy»ej wyznaczone e zale»y od wyboru a. Nie ma wi¦c sensu szukanie elementu odwrotnego. Denicja 1.1.3 Niepusty zbiór G, w którym okre±lone jest dziaªanie nazywamy grupa, je»eli: , (G1) dziaªanie jest ª¡czne; (G2) w G istnieje element neutralny dziaªania ; (G3) dla ka»dego elementu a 2 G istnieje w G element odwrotny do a. Grup¦, w której dziaªanie jest przemienne nazywamy grup¡ przemienn¡ lub abelow¡. Je»eli grupa G ma n elementów, to liczb¦ n nazywamy rz¦dem grupy. Je»eli G ma niesko«czenie wiele elementów, to nazywamy j¡ grup¡ niesko«czon¡ lub grup¡ rz¦du niesko«czonego. Piszemy: jGj = n i jGj = 1, odpowiednio. W dalszym ci¡gu, mówi¡c o dowolnej grupie, b¦dziemy jej dziaªanie oznacza¢ symbolem . W pozostaªych konkretnych przypadkach b¦dziemy u»ywa¢ standardowych oznacze«: +; +n ; ; n; itd. Symbolem b¦dziemy zawsze oznacza¢ zªo»enie, tzn. dziaªanie w grupie przeksztaªce« S(X). Wynik dziaªania w dowolnej grupie b¦dziemy cz¦sto nazywa¢ iloczynem, a o samej "czynno±ci" - mówi¢ "mno»enie" (np. "pomnó»my stronami..."). 1.1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. 7 Fakt 1.1.4 Niech hG; i b¦dzie grup¡. Wówczas: (a) Element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie. (b) Dla dowolnego elementu grupy G istnieje dokªadnie jeden element do niego odwrotny. (c) Dla dowolnego a 2 G elementem odwrotnym do a (d) Dla dowolnych a; b 2 G zachodzi równo±¢ (a b) (e) Dla dowolnych a; x; y 2 G, 1 jest a; czyli (a 1 ) 1 = a: 1 = b 1 a 1. je»eli a x = a y lub x b = y b, to x=y Mówimy, »e w ka»dej grupie zachodzi lewo- i prawostronne prawo skreslen. (f) Dla dowolnych a; b 2 G istniej¡ jednoznacznie wyznaczone x; y 2 G takie, »e a x = b oraz y a = b. Mówimy, »e w ka»dej grupie istnieja, jednoznaczne rozwia,zania rownan a x = b oraz y a = b. D o w ó d. (a) i (b) ju» udowodnili±my. (c) i (d) wynikaj¡ z faktu, »e element odwrotny do danego elementu jest wyznaczony jednoznacznie. Zarówno a jak i b 1 a 1 speªniaj¡ warunek z denicji elementu odwrotnego, bo: (c) a a 1 = a 1 a = e (d) (a b) (b 1 a 1 ) = a (b b 1) a 1 = a e a 1) = e (e) Wystarczy pomno»y¢ stronami równo±¢ a x = a y z lewej strony przez element a 1 i skorzysta¢ z ª¡czno±ci mno»enia. (f) atwo sprawdzi¢, »e x = a 1 b. a (a 1 b) = (a a 1) b = e b = b. Denicja 1.1.5 Niech hG; i b¦dzie grup¡. Podzbiór H zbioru G, który sam tworzy grup¦ z dziaªaniem nazywamy podgrupa grupy hG; i. , Fakt, »e H jest podgrup¡ grupy G b¦dziemy zapisywali krótko: H < G. Fakt 1.1.6 Podzbiór X zbioru G rozwa»any z dziaªaniem jest podgrup¡ grupy hG; i wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a; b 2 X element a b 1 nale»y do zbioru X . 8 1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. D o w ó d. ()) Je»eli podzbiór X zbioru G rozwa»any z dziaªaniem jest podgrup¡ grupy hG; i, to z denicji grupy wynika, »e dla a; b 2 X zarówno b 1 jak i a b 1 s¡ elementami zbioru X, bo pami¦tamy, »e element odwrotny do danego elementu grupy jest wyznaczony jednoznacznie. (() Je»eli dla dowolnych a; b 2 X element a b 1 nale»y do X, to w szczególno±ci e = a a 1 2 X, a co za tym idzie: a 1 = e a 1 2 X i a b = a (b 1 ) 1 2 X. Przykªad 1.1.5 Oczywi±cie grup¡ przemienn¡ jest ka»dy ze zbiorów ZZ, CQ, IR i CC rozwa»any z dodawaniem i zachodz¡ inkluzje ZZ < CQ < IR < CC . Cz¦sto w odniesieniu do tych grup b¦dziemy u»ywa¢ terminu addytywne grupy liczbowe. Zbiór ZZnf0g rozwa»any z mno»eniem nie jest grup¡. Co prawda jest w nim element neutralny mno»enia (liczba 1), ale odwrotno±¢ »adnej liczby caªkowitej oprócz 1 nie jest liczb¡ caªkowit¡. Natomiast zbiory CQ n f0g, IR n f0g i CC n f0g rozwa»ane z mno»eniem s¡ grupami. B¦dziemy je nazywa¢ multyplikatywnymi grupami liczbowymi. Przykªad 1.1.6 Grup¡ jest struktura hZZ n; +ni zdeniowana w Przykªadzie 1.1.5. Jest to tzw. addytywna grupa reszt modulo n. Przykªad 1.1.7 Zajmiemy si¦ teraz wa»n¡ klas¡ grup. Napiszmy najpierw tabliczki mno»enia modulo 6 i modulo 7 w zbiorach f1; 2; 3; 4; 5g oraz f1; 2; 3; 4; 5;6g. 7 1 2 3 4 5 6 6 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 1 3 5 2 2 4 0 3 4 3 3 6 2 5 1 4 3 3 0 3 0 3 4 4 1 5 2 6 3 4 4 2 0 4 2 5 5 3 1 6 4 2 5 5 4 3 2 1 6 6 5 4 3 2 1 Przede wszystkim od razu wida¢, »e mno»enie modulo 6 nie jest dziaªaniem w zbiorze f1; 2; 3; 4; 5g, wi¦c si¦ tym dalej nie zajmujmy. Ogólnie - je»eli n jest liczb¡ zªo»on¡, to dla pewnych 1 ¬ k; l < n jest k l = n = 0(mod n), wi¦c mno»enie modulo n nie jest dziaªaniem w zbiorze f1; 2; : : :; ng. Natomiast zbiory ZZp = f1; 2; : : :; p 1g dla p, które s¡ liczbami pierwszymi tworz¡ grup¦ z mno»eniem modulo p. Nietrudno sprawdzi¢ bezpo±rednio, »e mno»enie p jest ª¡czne i przemienne. Elementem neutralnym w ZZp jest liczba 1, a elementem odwrotnym do liczby k 2 ZZp jest liczba l 2 ZZp taka, »e k p l = 1, czyli k l = 1 (mod p). Ostatni przykªad mo»na uogólni¢. Niech n b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡ i niech ZZn oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od n, wzgl¦dnie pierwszych z n, czyli 1.1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. ZZn = fk 2 IN : k > 0; NWD(k; n) = 1g. hZZn ; ni jest grup¡ (przemienn¡). 9 Fakt 1.1.7 D o w ó d. Wiemy ju», »e mno»enie modulo n jest dziaªaniem ª¡cznym i przemiennym w 1 2 ZZn. Poniewa» 1 2 ZZn, wi¦c w hZZn ; ni jest element neutralny. Niech k b¦dzie ustalonym elementem 1 2 ZZn. Aby pokaza¢, »e k ma element odwrotny w 1 2 ZZn , wystarczy zauwa»y¢, »e 1 2 ZZn = fk n l : l 2 ZZn g. Ale: po pierwsze - zbiór fk n l : l 2 ZZn g jest podzbiorem zbioru ZZn, bo je»eli (k; n) = 1 i (l; n) = 1, to (k l; n) = 1, a w konsekwencji (k n l; n) = 1, po drugie - wszystkie elementy zbioru fk n l : l 2 ZZn g s¡ parami ró»ne, bo z równo±ci k n i = k n j wynika równo±¢ k n (i j) = 0; co oznacza, »e nj(i j) (bo (k; n) = 1). To jednak nie jest mo»liwe, bo (i j) < n. Zbiór fk n l : l 2 ZZ ng jest wi¦c podzbiorem zbioru ZZn i oba maj¡ tyle samo elementów. Zatem 2 ZZn = fk n l : l 2 ZZn g. Z powy»szej równo±ci wynika, »e w±ród elementów postaci k n l jest liczba 1, a to oznacza, »e l = k 1 w hZZ n; ni. Rz¡d tej grupy oznaczamy w dalszym ci¡gu (n) (tzw. liczba Eulera). Przykªad 1.1.8 Niech b¦dzie dany na pªaszczy¹nie trójk¡t równoboczny 4ABC. Rozwa»my zbiór D3 wszystkich przeksztaªce« pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych ten trójk¡t na siebie z dziaªaniem skªadanie przeksztaªce«. S¡ to obroty 0; 1; 2 (umówmy si¦, »e w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) o k¡ty 0; 23 ; 43 oraz symetrie A ; B ; C wzgl¦dem symetralnych boków trójk¡ta przechodz¡cych przez wierzchoªki A; B; C. Sprawdzaj¡c kolejno, na co przechodz¡ przy skªadaniu takich przeksztaªce«, poszczególne wierzchoªki, piszemy tabelk¦ dziaªania w tej grupie. Dla przykªadu: (2 A )(A) = 2(A (A)) = 2(A) = C , (2 A)(B) = 2(A (B)) = 2(C) = B , (2 A )(C) = 2(A (C)) = 2 (B) = A I wida¢, »e 2 A = B : Takie rachunki prowadz¡ do nast¦puj¡cej tabelki dziaªania w grupie hD3 ; i. 0 1 2 A B C 0 0 1 2 A B C 1 1 2 0 B C A 2 2 0 1 C A B A A C B 0 2 1 B B A C 1 0 2 C C B A 2 1 0 10 1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. Z powy»szej tabelki mo»na odczyta¢ podstawowe wªasno±ci tej grupy. Wida¢, »e nie jest ona przemienna (tabelka nie jest symetryczna wzgl¦dem gªównej przek¡tnej!), elementem neutralnym jest 0, ka»de z przeksztaªce« A , B , C jest swoj¡ odwrotno±ci¡ (A A = 0, B B = 0, C C = 0). Grupa D3 jest przykªadem grupy izometrii gur pªaskich, tzn. przeksztaªce« pªaszczyzny zachowuj¡cych odlegªo±¢ punktów, które przeprowadzaj¡ zadan¡ gur¦ pªask¡ na siebie. Podobnie mo»na napisa¢ tabelk¦ dziaªania w grupie izometrii n-k¡ta foremnego hDn ; i. Przykªad 1.1.9 W zyce i chemii du»e znaczenie maj¡ tzw. grupy symetrii. Pozwalaj¡ one w jednolity sposób opisa¢ bardzo ró»ne struktury czy zjawiska zyczne lub chemiczne. Na przykªad klasykacja poziomów energetycznych elektronu w krysztale wyznaczona jest przez symetri¦ pola wyst¦puj¡c¡ w tym krysztale i dlatego podstawow¡ spraw¡ jest wyliczenie wszystkich mo»liwych typów symetrii jakie mo»e posiada¢ dana cz¡stka czy krysztaª. Symetria ciaªa zycznego opisana jest przez podanie wszystkich przeksztaªce« zachowuj¡cych odlegªo±ci mi¦dzy punktami. Fizycy nazywaj¡ je przeksztaªceniami (transformacjami) symetrii. atwo wida¢, »e zbiór takich przeksztaªce« tworzy grup¦ ze skªadaniem przeksztaªce« jako dziaªaniem. Jest to tzw. grupa symetrii. Mo»na udowodni¢, »e wszystkie transformacje przestrzeni zachowuj¡ce odlegªo±¢ mog¡ by¢ otrzymane jako zªo»enie przeksztaªce« trzech nast¦puj¡cych typów: 1. obrót o okre±lony k¡t wokóª ustalonej osi, 2. odbicie zwierciadlane wzgl¦dem ustalonej pªaszczyzny, 3. przesuni¦cie równolegªe (translacja). Przykªad 1.1.10 W Przykªadzie 1.1.4 rozwa»ali±my grup¦ wzajemnie jednoznacznych przeksztaªce« dowolnego zbioru X na siebie. Wspomniane w poprzednim przykªadzie, stosowane w zyce czy w chemii, grupy symetrii s¡ podgrupami tzw. grup permutacji (oznaczane Sn ), czyli grup wzjemnie jednoznacznych przeksztaªce« zbiorów sko«czonych na siebie. Permutacj¦ zbioru n-elementowego f1; 2; : : :; ng zapisujemy na ogóª w postaci 1 2 ::: n = (1) (2) : : : (n) Zªo»enie permutacji 1 = 1 2 ::: n 1(1) 1(2) : : : 1 (n) ; wygl¡da nast¦puj¡co 2 = 1 2 ::: n 2(1) 2(2) : : : 2 (n) 1.1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. 2 1 = 11 1 2 ::: n 2 (1(1)) 2(1 (2)) : : : 2 (1(n)) Mówimy, »e elementy (i) i (j) s¡ w inwersji, je»eli przy i<j jest (i) > (j). Permutacj¦ posiadaj¡c¡ parzyst¡ liczb¦ inwersji nazywamy permutacj¡ parzyst¡, a permutacj¦ posiadaj¡c¡ nieparzyst¡ liczb¦ inwersji - permutacj¡ nieparzyst¡. Permutacje parzyste tworz¡ podgrup¦ grupy wszystkich permutacji Sn. Jest to tzw. grupa alternuj¡ca An . Napiszmy tabelk¦ dziaªania w grupie S3 . Oznaczaj¡c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 = 1 2 3 1 = 2 3 1 2 = 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 = 1 3 2 4 = 5 = 3 2 1 2 1 3 otrzymujemy 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 0 5 3 4 2 2 0 1 4 5 3 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 3 2 0 1 5 5 3 4 1 2 0 Permutacje 0 ; 1; 2; 3; 4; 5 maj¡ kolejno 0; 2; 2; 1; 3;1 inwersji, a podgrup¦ alternuj¡c¡ tworz¡ permutacje 0 ; 1; 2: Przykªad 1.1.11 Zbiór macierzy wymiaru m n tworzy grup¦ z dziaªaniem dodawania macierzy. Przykªad 1.1.12 Zbiór GLn macierzy kwadratowych odwracalnych stopnia n tworzy grup¦ z dziaªaniem mno»enia macierzy. Z twierdzenia Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu macierzy wynika, »e podzbiór zªo»ony z macierzy o wyznaczniku 1 jest podgrup¡ tej grupy. 12 1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. Cwiczenie 1.1.8 Niech G b¦dzie dowoln¡ grup¡. Udowodni¢, »e zbiór tych wszystkich elementów grupy G, które s¡ przemienne z ka»dym innym elementem grupy tworzy podgrup¦. Jest to tzw. centrum grupy. R o z w i ¡ nz a n i e. V a g = g ao. Rozwa»my dwa dowolne elementy Niech C = a 2 G : g 2G a; b 2 C. Zgodnie z Faktem 1.1.6 wystarczy pokaza¢, »e a b 1 2 C. Poniewa» a; b 2 C, wi¦c V a g = g a oraz V b g = g b. g 2G g 2G Z ostatniej równo±ci wynika, »e dla dowolnego g 2 G b 1 g = g 1 b 1 = b g 1 1 = b 1 g, wi¦c dla dowolnego g 2 G mo»emy napisa¢ (a b 1 ) g = a (b 1 g) = a (g b 1 ) = (a g) b 1 = (g a) b 1 = g (a b 1 , co oznacza, »e a b 1 2 C. Cwiczenie 1.1.9 Niechn G b¦dzieVdowoln¡ grup¡, a oH jej dowoln¡ podgrup¡. Udowodni¢, »e zbiór A= a2G: g a g 1 2 H tworzy podgrup¦. g 2G R o z w i ¡ z a n i e. Rozwa»my dwa dowolne elementy a; b 2 A. Zgodnie z Faktem 1.1.6 wystarczy pokaza¢, »e a b 1 2 A. Poniewa» a; b 2 A, wi¦c V g a g 1 2 H oraz V g b g 1 2 H. g 2G g 2G Z ostatniej równo±ci wynika, »e dla dowolnego g 2 G g b 1 g 1 = g b g 1 1 2 H (bo H jest podgrup¡). St¡d dla dowolnego g 2 G mo»emy napisa¢ g (a b 1) g 1 = g (a g 1 g b 1 ) g 1 = (g a g 1 ) (g b 1 g 1). To oznacza, »e a b 1 2 A. 1.2. Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna. 13 1.2 Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna. Denicja 1.2.1 Niech X b¦dzie dowolnym podzbiorem zbioru G. Podgrupa generowana przez zbior X nazywamy najmniejsz¡ podgrup¦ grupy hG; i zawieraj¡c¡ zbiór X . Oznaczamy j¡ symbolem hX i. Podgrup¦ H generowan¡ przez zbiór jednoelementowy X = fag nazywamy podgrupa cykliczna, a element a - generatorem tej podgrupy. Piszemy H = hai. Je»eli caªa grupa G jest generowana przez , , , , jeden element, to nazywamy j¡ grupa, cykliczna,. atwo sprawdzi¢, »e przekrój (cz¦±¢ wspólna) dowolnej ilo±ci podgrup grupy hG; i jest grup¡. Fakt 1.2.2 Je»eli Gi : i T2 I jest zbiorem wszystkich podgrup grupy G zawieraj¡cych zbiór X , to hX i = Gi . i2I D o w ó d. Zbiór wszystkich podgrup grupy G zawieraj¡cych zbiór X ten jest niepusty), bo jednym z jego elementów jest sama grupa G. hX i jako T podgrupa zawieraj¡ca zbiór X jest jednym z elementów zbioru Gi : i 2 I, wi¦c Gi hX i. i2I T Poniewa» Gi jest grup¡ zawieraj¡c¡ zbiór X (zawiera go ka»da z Gi; i 2 I), a i2I T hX i jest najmniejsz¡ podgrup¡ grupy hG; i zawieraj¡c¡ X, wi¦c hX i Gi: i2I Dzi¦ki ª¡czno±ci dziaªania w dowolnej grupie mo»emy okre±li¢ pot¦g¦ elementu a 2 G o wykªadniku caªkowitym w sposób nast¦puj¡cy: (i) a0 = e, (ii) dla ka»dego n 2 IN: an+1 = an a; a n = (an ) 1 : Ma ona wszystkie znane nam wªasno±ci pot¦gi. Denicja 1.2.3 Rzedem elementu a 2 G nazywamy najmniejsz¡ liczb¦ naturaln¡ n, dla której an = e: Je»eli takie n nie istnieje, to mówimy, »e a jest elementem , rz¦du niesko«czonego. Fakt 1.2.4 Rz¡d elementu równy jest rz¦dowi podgrupy cyklicznej generowanej przez ten element. D o w ó d. Je»eli rz(a) = n, to zbiór A = fa; a2; a3; : : :; an = eg tworzy podgrup¦. Zauwa»my przede wszystkim, »e wszystkie elementy tego zbioru s¡ równe. Gdyby bowiem dla pewnych 1 ¬ i < j ¬ n zachodziªa równo±¢ ai = aj ; to aj i = e dla 0 < j i < n, co przeczy denicji rz¦du elementu jako najmniejszej liczby naturalnej o tej wªasno±ci. atwo sprawdzi¢, »e (ak ) 1 = an k ; wi¦c dla dowolnych ai ; aj 2 A mamy ai an j = ai+n j : Je»eli i + n j ¬ n; to ai+n j 2 A: Je»eli za± i + n j > n; to zapiszmy i + n j w postaci i + n j = 2n + (i j n): 14 1. Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna. Poniewa» ai+n j = a2n+(i j n) = an) 2 ai j n oraz 0 < i j n < n, wi¦c i tym razem ai+n j 2 A:. Oczywi±cie w grupie rz¦du sko«czonego nie ma elementów rz¦du niesko«czonego. Je»eli a jest elementem rz¦du niesko«czonego, to fag generuje podgrup¦ cykliczn¡ rz¦du niesko«czonego. Podgrup¦ cykliczn¡ generowan¡ przez element a 2 G mo»emy wi¦c krótko przedstawi¢ w postaci hai = fan : n 2 ZZg gdy jest ona niesko«czona. Fakt 1.2.5 Niech hG; i b¦dzie grup¡. Je»eli a 2 G jest elementem rz¦du k, to dla dowolnej liczby caªkowitej m równo±¢ am = e zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy k jest dzielnikiem m. D o w ó d. a) Je»eli n = k m, to an = ak m = em = e. Z drugiej strony, je»eli zapiszmy n w postaci n = kq +r; gdzie 0 ¬ r < n. Wówczas an = akq+r = ak q ar = ar = e wtedy i tylko wtedy, gdy r = 0, bo k jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡, dla której zachodzi warunek ak = e. Podobnie dowodzi si¦ nast¦puj¡cego faktu. Fakt 1.2.6 Niech hG; i b¦dzie grup¡ cykliczn¡ rz¦du n. Wówczas rz ak = m; gdzie m= NWDn (k;n) . W szczególno±ci hai = hak i wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(k; n)=1. Fakt 1.2.7 Dowolna podgrupa H grupy cyklicznej G = hai jest te» grup¡ cykliczn¡. Podgrupa H skªada si¦ z samego elementu neutralnego (H = feg) lub H = ham i, gdzie m jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡ tak¡, »e am 2 H . Je»eli rzG = n, to dla ka»dej liczby naturalnej k dziel¡cej n istnieje dokªadnie jedna podgrupa rz¦du k. Przykªad 1.2.1 Zbiór obrotów stanowi podgrup¦ cykliczn¡ grupy D3 : Jej generatorem jest ka»de z przeksztaªce« 1 i 2. Natomiast caªa grupa D3 ma dwuelementowy zbiór generatorów. atwo bowiem sprawdzi¢, »e ka»dy jej element mo»na otrzyma¢ jako zªo»enie jednego z obrotów 1 i 2 i dowolnie ustalonej symetrii. Przykªad 1.2.2 Grupa CCn pierwiastków stopnia n z jedno±ci jest grup¡ cykliczn¡ generowan¡ przez element ei n . Jej generatorem jest te» ka»dy element eik n , gdzie k jest liczb¡ wzgl¦dnie pierwsz¡ z n. Je»eli n nie jest liczb¡ pierwsz¡, to ka»dy jej dzielnik generuje podgrup¦ grupy CCn. Przykªad 1.2.3 1 S Zbiór G = CCn rozwa»any z mno»eniem jest grup¡ rz¦du niesko«czonego, w n=1 której ka»dy element ma rz¡d sko«czony. Ponadto dla ka»dej liczby naturalnej n istnieje w G element rz¦du n. 1.3. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa. 15 1.3 Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa. Denicja 1.3.1 Niech H b¦dzie dowoln¡ podgrup¡ grupy G, a g - dowolnie ustalonym elementem G. Wartwa lewostronna (prawostronna) grupy G wzgl¦dem podgrupy H nazywamy zbiór gH = fg h : h 2 H g Hg = fh g : h 2 H g , , , Oczywi±cie w grupie przemiennej te dwa poj¦cia pokrywaj¡ si¦. Wszystko, co powiemmy o warstwach lewostronnych jest prawdziwe dla warstw prawostronnych, wi¦c skupimy si¦ na tych pierwszych. Fakt 1.3.2 Niech H b¦dzie dowoln¡ podgrup¡ grupy G. Wówczas: (a) Dla dowolnego h0 2 H zachodzi równo±¢ h0 H = H , (b) Dla dowolnych a; b 2 G: jaH j = jbH j, (c) Dla dowolnych a; b 2 G: aH \ bH = ; lub aH = bH . D o w ó d. a) h0 H H, bo H jest grup¡ z dziaªaniem . H h0H, bo h = h0 (h0 1 h) dla dowolnego h 2 H. b) Równoliczno±¢ warstw ustala odwzorowanie : aH !bH zdeniowane wzorem (ah) = bh. c) Zaªó»my, »e aH \ bH 6= ; i niech x = a h1 = b h2 2 aH \ bH. Wówczas a = (b h2 ) h1 1 i dla dowolnego h 2 H mo»emy napisa¢ a h = (b h2 ) h1 1 h = b h3, gdzie h3 = h2 h1 1 h 2 H. To oznacza, »e ka»dy element warstwy aH jest jednocze±nie elementem warstwy bH. Dowolna podgrupa H wyznacza wi¦c podziaª grupy na rozª¡czne warstwy, przy S czym G = aH, bo ka»dy element do jakiej± warstwy nale»y (a 2 aH). a2G Denicja 1.3.3 Liczb¦ warstw, na jakie podgrupa H dzieli grup¦ G nazywamy indeksem podgrupy H w grupie G i oznaczamy jG : H j. Twierdzenie 1.3.1 (Lagrange) Je»eli G jest grup¡ sko«czon¡, to rz¡d jej dowolnej podgrupy H jest dzielnikiem rz¦du grupy. Dokªadnie: jGj = jG : H j jH j. D o w ó d. Jest to natychmiastowy wniosek z ostatniego Faktu. Wniosek 1.3.1 Rz¡d dowolnego elementu grupy sko«czonej jest dzielnikiem rz¦du tej grupy. D o w ó d. Poniewa» rz¡d elementu równa si¦ rz¦dowi podgrupy generowanej przez ten element, wi¦c jest to natychmiastowy wniosek z Twierdzenia Lagrange'a. 16 1. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa. Wniosek 1.3.2 Je»eli rz¡d grupy sko«czonej G jest liczb¡ pierwsz¡, to G jest grup¡ cykliczn¡. Wniosek 1.3.3 Je»eli G jest grup¡ sko«czon¡ rz¦du n, to dla dowolnego elementu g 2 G zachodzi równo±¢ gn = e. D o w ó d. Je»eli k jest rz¦dem elementu g, to k m = n dla pewnego m, wi¦c gn = (gk ) m = em = e. Wró¢my do podziaªu grupy G na warstwy wzgl¦dem dowolnej podgrupy H. Je»eli podgrupa H ma pewne specjalne wªasno±ci, to w zbiorze tych warstw (mówimy w zbiorze ilorazowym GjH) mo»emy wprowadzi¢ struktur¦ grupy. Denicja 1.3.4 Podgrupa H grupy G nazywa si¦ jej dzielnikiem normalnym, je»eli dla dowolnego g 2 G zachodzi równo±¢ gH = Hg. Powinni±my zdawa¢ sobie spraw¦ z tego, »e równo±¢ w powy»szej denicji oznacza tylko równo±¢ pewnych zbiorów, dokªadniej - w denicji powiedzane jest tylko, »e dla dowolnego h1 2 H istnieje h2 2 H takie, »e g h1 = h2 g. Oczywi±cie ka»da podgrupa grupy przemiennej jest jej dzielnikiem normalnym. Fakt 1.3.5 Je»eli podgrupa H jest dzielnikiem normalnym grupy G, to zbiór ilorazowy GjH tworzy grup¦ z dziaªaniem okre±lonym wzorem aH bH = (a b)H D o w ó d. Przede wszystkim musimy wykaza¢, »e dziaªanie jest okre±lone poprawnie. Przecie» jedna i ta sama warstwa mo»e by¢ uwa»ana za wyznaczon¡ przez ka»dy swój element! Trzeba zatem pokaza¢, »e je»eli a0 2 aH oraz b0 2 bH, to (a0 b0)H = (a b)H. Niech a0 2 aH oraz b0 2 bH, czyli a0 = a x oraz b0 = y b dla pewnych x; y 2 H (pami¦tajmy, »e H jest dzielnikiem normalnym!). St¡d a0 b0 = (a x) (y b = a (x y) b = a z b = a b z 0 dla pewnych z; z 0 2 H. Zatem a0 b0 2 (a b)H, sk¡d (a0 b0 )H = (a b)H. ¡czno±¢ dziaªania w GjH wynika natychmiast z ª¡czno±ci dziaªania w G (aH bH) cH = (a b)H cH = ((a b) c)H = (a (b c))H = aH (b c)H = aH (bH cH) Elementem neutralnym w GjH jest warstwa eH =H i ªatwo sprawdzi¢, »e (aH) 1 = a 1 H. Grup¦ hGjH; i nazywamy grup¡ ilorazow¡. Komentarz. Zauwa»my, »e podziaª grupy G na warstwy wzgl¦dem podgrupy H jest rozbiciem zbioru G wzgl¦dem relacji równowa»no±ci 1.3. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa. 17 a b mod H () a b 1 2 H () a 1 b 2 H O elementach a; b mówimy wówczas, »e przystaj¡ wzgl¦dem moduªu H. Je»eli podgrupa H jest dzielnikiem normalnym, to post¦puj¡c, jak w dowodzie Faktu1.1 mo»na wykaza¢, »e a b mod H ^ c d mod H ()a b c d. Relacj¦ równowa»no±ci w grupie, speªniaj¡c¡ powy»szy warunek, nazywamy kongruencj¡. Cwiczenie 1.3.6 Wyznaczy¢ wszystkie wartstwy grupy G = hZZ; +i wzgl¦dem podgrupy H = 5ZZ = f5k : k 2 ZZg. R o z w i ¡ z a n i e. Poniewa» G = hZZ; +i jest grup¡ przemienn¡, wi¦c ka»da jej podgrupa jest dzielnikiem normalnym. Niech H = 5ZZ = f5k : k 2 ZZg i wyznaczmy warstwy poszczególnych elementów grupy G. 0H = f0 + 5k : k 2 ZZg; 1H = f1 + 5k : k 2 ZZg; 2H = f2 + 5k : k 2 ZZg; 3H = f3 + 5k : k 2 ZZg; 4H = f0 + 5k : k 2 ZZg; 5H = 0H; 6H = 1H , itd. Nietrudno zauwa»y¢, »e grupa ilorazowa G = hZZj5ZZ; i jest izomorczna z grup¡ hZZ5 ; +5i. Cwiczenie 1.3.7 Wyznaczy¢ grup¦ ilorazow¡ D3 jH; gdzie H = f0; 1; 2; g. R o z w i ¡ z a n i e. Warstwy poszczególnych elementów s¡ nast¦puj¡ce: 0 H = 1H = 2H = H; AH = fA ; B ; C g = B H = C H Poniewa», co ªatwo sprawdzi¢ bezpo±rednio, AH AH = H; wi¦c oznaczaj¡c elementy zbioru ilorazowego krótko g0 = H; g1 = A H otrzymujemy nast¦puj¡c¡ tabelk¦ dziaªania w grupie ilorazowej g0 g1 g0 g0 g1 g1 g1 g0 18 1. Homomorzmy i izomorzmy grup. 1.4 Homomorzmy i izomorzmy grup. Zauwa»yli±my w przykªadach 1.1 i 1.1 »e dwie, z pozoru caªkiem ró»ne struktury maj¡ takie same tabelki dziaªania. Denicja 1.4.1 Niech hG1; 1i i hG2; 2i b¦d¡ dwiema grupami. Odwzorowanie : G1 !G2 nazywamy homomorzmem, je»eli dla dowolnych a; b 2 G1 speªniony jest warunek (a 1 b) = (a) 2 (b): Homomorzm, który jest odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym grupy G1 na grup¦ G2 nazywamy izomorzmem. Fakt 1.4.2 Je»eli : G1 !G2 jest izomorzmem grupy hG1 ; 1i na grup¦ hG2 ; 2i, to: (a) (e1 ) = e2 , (b) dla dowolnego a 2 G1, (a 1) = (a) 1 , (c) dla dowolnego a 2 G1 i dowolnego n 2 IN z równo±ci an = e1 wynika równo±¢ n (a) = e2 . D o w ó d. (a) Niech y b¦dzie dowolnym elementem grupy G2. Poniewa» przeksztaªca grup¦ G1 na caª¡ grup¦ G2, wi¦c istnieje x 2 G1 takie, »e y = (x). Z denicji homomorzmu mo»emy napisa¢ nast¦puj¡cy ci¡g równo±ci: (e1 ) 2 y = (e1 ) 2 (x) = (e1 1 x) = (x) = y Podobnie sprawdzamy, »e y 2 (e1 ) = y i teza wynika z jednoznaczno±ci elementu neutralnego. (b) Z denicji homomorzmu wynika, »e (a) 2 (a 1 ) = (a 1 a 1 ) = (e1 ) = e2 i podobnie (a 1) 2 (a) = (a 1 1 a) = (e1 ) = e2 . (c) Prosty dowód indukcyjny. Fakt 1.4.3 Wszystkie grupy cykliczne rz¦du n s¡ izomorczne z grup¡ hZZn; +n i. Wszystkie niesko«czone grupy cykliczne s¡ izomorczne z hZZ; +i. D o w ó d. Niech a b¦dzie generatorem grupy sko«czonej G, czyli G = fa; a2; a3; : : :; an = eg. Z wªasno±ci pot¦gi wynika, »e ak 1 = an k a odwzorowanie : ZZn ! G zadane wzorem (k) = ak dla k = 1; 2; : : :; n jest izomorzmem. 1.4. Homomorzmy i izomorzmy grup. 19 Przykªad 1.4.1 Widzieli±my, »e tabelki dziaªa« dla grup D3 i S3 s¡ identyczne. Przyporz¡dkowanie (k ) = k ; gdzie k = 0; 1; 2; 3; 4;5 jest oczywi±cie izomorzmem. Przykªad 1.4.2 Przyporz¡dkowanie : ZZn !CCn zadane wzorem (k) = eik 2n ; gdzie k = 0; 1; : : :n 1 ustala izomorzm addytywnej grupy reszt modulo n i grupy pierwiastków stopnia n a jedno±ci, bo (k +n l) = ei(k+n l) 2n = eik 2n eil 2n = (k) (l): Przykªad 1.4.3 Dla dowolnego a > 0; a 6= 1 funkcja fa (x) = ax ustala izomorzm addytywnej grupy liczb rzeczywistych z multyplikatywn¡ grup¡ liczb rzeczywistych dodatnich. Fakt 1.4.4 Dla dowolnego elementu a 2 G funkcja a : G !G okre±lona wzorem a (x) = a x jest wzajemnie jednoznacznym przeksztaªceniem grupy G na siebie (tzn. jest elementem grupy S(G)). D o w ó d. Ró»nowarto±ciowo±¢ funkcji a wynika z prawa skre±le«. Ponadto dla dowolnego x 2 G zachodzi równo±¢ x = a (a 1 x); co oznacza, »e odwzorowuje G na caªe G. Twierdzenie 1.4.1 (Cayley) Ka»da grupa hG; i jest izomorczna z pewn¡ podgrup¡ grupy S(G). W szczególno±ci grupa sko«czona rz¦du n jest izomorczna z pewn¡ podgrup¡ grupy Sn . D o w ó d. Niech H = fa : a2 Gg. Przede wszystkim zauwa»my, »e dla dowolnego a 2 G zachodzi równo±¢ a 1 = a 1 , poniewa» (a 1 a )(x) = a 1 (a )(x)) = a 1 (a x) = a 1 (a x) = (a 1 a) x = x dla dowolnego x 2 G. St¡d wynika, »e H jest podgrup¡ grupy G, bo dla dowolnych a ; b 2 H i dowolnego x 2 G zachodzi równo±¢ a (b ) 1 (x) = a b 1 (x) = a (b 1 (x)) = a b 1 x = ab 1 (x), co oznacza, »e a (b) 1 2 H. Zatem H jest podgrup¡ grupy S(G). Sprawdzimy, »e odwzorowanie : G !H zadane jest wzorem (a) = a jest izomorzmem. 1) jest odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym. Gdyby bowiem dla pewnych a; b 2 G byªo (a) = (b), czyli 20 1. Homomorzmy i izomorzmy grup. a (x) = b(x) dla ka»dego x 2 G, to bior¡c x = e otrzymaliby±my a = b. 2) jest odwzorowaniem na caª¡ podgrup¦ H, co wynika wprost z jej denicji. 3) (a b) = (a) (b); bo (a b)(x) = ab (x) = (a b) x = a (b x) = a (b x) = (a)(b (x)) = ((a) (b))(x) dla wszystkich x 2 G, co oznacza równo±¢ przeksztaªce« (a b) = ((a) (b)). Przykªad 1.4.4 Niech hG; i b¦dzie grup¡ obrotów trójk¡ta równobocznego. Wówczas G = f0; 1; 2g jest zbiorem trzyelementowym z dziaªaniem zadanym tabelk¡ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 Przyporz¡dkowanie (i ) = i ; gdzie i zdeniowane jest wzorem i (k ) = i k ustala szukany izomorzm. Wyznaczmy funkcje i dla i = 0; 1; 2. 0 (0 ) = 0 0 = 0; 0 (1) = 0 1 = 1 ; 0 (2 ) = 0 2 = 2 1 (0 ) = 1 0 = 1; 1 (1) = 1 1 = 2 ; 1 (2 ) = 1 2 = 0 2 (0) = 2 0 = 2; 2 (1) = 2 1 = 0; 2 (2 ) = 2 2 = 1 Patrz¡c na nie, jak na zbiór par uporz¡dkowanych otrzymujemy: 0 = f(0; 0); (1; 1); (2; 2)g 1 = f(0; 1); (1; 2); (2; 0)g 0 = f(0; 2); (1; 0); (2; 1)g. Zmieniaj¡c oznaczenia: 0 ! 1, 1 ! 2, 2 ! 3 i zapisuj¡c pary uporz¡dkowane, jak permutacje, dostajemy: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 = 1 2 3 ; 1 = 2 3 1 ; 2 = 3 1 2 Poniewa» tabelka dziaªania w grupie G jest identyczna z tabelk¡ dziaªania w grupie alternuj¡cej A3 , wi¦c grupa obrotów trójk¡ta równobocznego jest izomorczna z grup¡ alternuj¡c¡ A3 , która jest podprup¡ grupy symetrycznej S3 . 1.4. Homomorzmy i izomorzmy grup. 21 Niech hG1 ; 1i i hG2; 2i b¦d¡ dwiema grupami. Denicja 1.4.5 J¡drem homomorzmu : G1 !G2 nazywamy zbiór Ker = fa 2 G1 : (a) = e2 g. Fakt 1.4.6 Je»eli jest homomorzmem grupy hG1 ; 1i w grup¦ hG2; 2i, to Ker jest dzielnikiem normalnym grupy hG1; 1i. D o w ó d. Niech a; b 2 Ker , czyli (a) = (b) = e2 . Wówczas (a 1 b 1) = (a) 2 (b) 1 = e2 2 e2 1 = e2 , czyli (a 1 b 1) 2 Ker , co oznacza, »e Ker jest podgrup¡ grupy G. Poka»emy teraz, »e dla dowolnego a 2 G1 zachodzi równo±¢ a(Ker ) = (Ker)a. Przede wszystkim zauwa»my, »e je»eli (a) = (b), to elementy a i b nale»¡ do tej samej warstwy lewostronnej wzgl¦dem podgrupy Ker i do tej samej warstwy prawostronnej wzgl¦dem Ker . Z równo±ci (a) = (b) wynika bowiem, »e ((b)) 1 2 (a) = e2 . St¡d (b 1 1 a) = (b 1) 2 (a) = e2 = ((b)) 1 2 (a) = e2 , co oznacza, »e b 1a 2 Ker . Zatem a i b nale»¡ do tej samej warstwy lewostronnej. Podobnie pokazuje si¦, »e nale»¡ do tej samej warstwy prawostronnej. Je»eli b 2 a(Ker ), to dla pewnego h 2 Ker mamy b = a h. St¡d (b) = (a)(h) = (a) 2 e2 = (a). Zatem b 2 Ker a, bo a 2 Ker a, czyli a(Ker ) (Ker )a. Podobnie pokazuje si¦ zawieranie w drug¡ stron¦. Nast¦pny fakt mówi, »e tak naprawd¦ wszystkie dzielniki normalne dowolnej grupy G s¡ powy»szej postaci. Fakt 1.4.7 Je»eli H jest dzielnikiem normalnym grupy G, to odwzorowanie : G ! GjH przyporz¡dkowuj¡ce ka»demu elementowi warstw¦ tego elementu wzgl¦dem H jest homomorzmem grupy G na grup¦ ilorazow¡ GjH . J¡drem tego homomorzmu jest podgrupa H . 22 1. Homomorzmy i izomorzmy grup. 1.5 Zadania. 1. Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce wzory okre±laj¡ dziaªanie w zadanym zbiorze. Je»eli tak, to zbada¢ ª¡czno±¢, przemienno±¢, istnienie elementu neutralnego i ewentualnie wyznaczy¢ element odwrotny do zadanego elementu. a) m}n = mn w zbiorze IN, b) a b = a 2 b w zbiorze CQ, c) x _ y = maxfx; yg; x ^ y = minfx; yg w zbiorze IR, d) f _ g = maxff; gg; f ^ g = minff; gg w zbiorze C[0; 1], e) f _ g = maxff; gg; f ^ g = minff; gg w zbiorze funkcji ró»niczkowalnych na przedziale [0; 1], f) m n = NW W(m; n); m n = NWD(m; n) w zbiorze IN, g) Skªadanie funkcji IR ! IR, h) ~u ~v = ~u ~v (iloczyn skalarny wektorów na pªaszczy¹nie) i) ~u ~v = ~u ~v (iloczyn wektorowy wektorów na pªaszczy¹nie) j) ~u ~v = ~u ~v (iloczyn wektorowy wektorów w przestrzeni trójwymiarowej. 2. Które z poni»szych zbiorów tworz¡ grup¦ wzgl¦dem podanego dziaªania: a) f7n : n 2 ZZg z dodawaniem, b) f7n : n 2 ZZ g z mno»eniem, c) fx 2 IR : x 6= 0; jxj ¬ 1g z mno»eniem, d) zbiór 2X wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z dziaªaniem A [ B, e) zbiór 2X wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z dziaªaniem A \ B, f) zbiór 2X wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z dziaªaniem A B = (A n B) [ (B n A); (tzw. ró»nica symetryczn¡ zbiorów A i B). 3. Pokaza¢, »e je»eli A jest macierz¡ kwadratow¡ tak¡, »e A3 = 0; to elementem odwrotnym do macierzy (1 A) wzgl¦dem mno»enia macierzy jest macierz (1 + A + A2 ). 4. Sporz¡dzi¢ tabelki dziaªania dla: a) grupy przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych dany kwadrat na siebie z dziaªaniem "" - skªadanie przeksztaªce«, b) grupy przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych dany prostok¡t nie b¦d¡cy kwadratem na siebie z dziaªaniem "". c) grupy przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych dany trójk¡t równoramienny prostok¡tny na siebie z dziaªaniem "". Dla ka»dego z rozwa»anych przypadków wskaza¢ podgrup¦ odpowiedniej grupy permutacji izomorczn¡ z dan¡ grup¡ izometrii. 1.4. Homomorzmy i izomorzmy grup. 23 5. W grupie przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych dany pi¦ciok¡t foremny na siebie (z dziaªaniem "") wskaza¢ elementy rz¦du 2 i elementy rz¦du 3. 6. Dane s¡ grupy hG1 ; 1i; hG2; 2i: Rozwa»amy zbiór G1 G2 = f(a1 ; a2): a1 2 G1; a2 2 G2g z dziaªaniem (a1 ; a2) (b1 ; b2) = (a1 1 b1; a1 2 b2. Udowodni¢, »e hG1 G2; i jest grup¡ (przemienn¡, je»eli obie grupy s¡ przemienne). Jest to tzw. produkt prosty grup lub iloczyn prosty. W przypadku, gdy grupy G1; G2 s¡ przemienne, ich produkt prosty nazywamy sum¡ prost¡ i oznaczamy G1 G2. 7. Napisa¢ tabelk¦ dziaªania dla grup hZZ5; +5 i oraz hZZ6 ; +6i. 8. Napisa¢ tabliczk¦ dziaªania w sumie prostej grup hZZ2; +2 i i hZZ3 ; +3i. 9. Napisa¢ tabelk¦ mno»enia modulo 5 w zbiorze f1; 2; 3; 4g oraz mno»enia modulo 6 w zbiorze f1; 2; 3; 4; 5g. 10. Niech Bn oznacza zbiór wszystkich ci¡gów n-elementowych o elementach 0; 1. Pokaza¢, »e Bn jest grup¡ przemienn¡ z dziaªaniem (a1 ; a2; : : :; an)}(b1; b2; : : :; bn)=(a1 +2 b1; a2 +2 b2; : : :; an +2 bn ). Jaki jest rz¡d tej grupy? Poda¢ kilka przykªadów podgrup tej grupy. 11. Wykaza¢, »e cz¦±¢ wspólna (przekrój, iloczyn) dowolnej rodziny podgrup grupy G jest podgrup¡ grupy G. 12. Pokaza¢, »e je»eli H jest podgrup¡ grupy G, to dla dowolnego g 2 G zbiór gHg 1 = fghg 1 : h 2 H g jest podgrup¡ grupy G. 13. Udowodni¢, »e zbiór tych wszystkich elementów grupy, które s¡ przemienne z ka»dym innym elementem grupy tworzy podgrup¦ tej grupy. Jest to tzw. centrum grupy. 14. Wyznaczy¢ rz¦dy elementów 3,5,11 w grupie multyplikatywnej hZZ16; 16i. 15. Pokaza¢, »e je»eli ka»dy element grupy (G; ) jest rz¦du dwa, to grupa G jest przemienna. 16. Pokaza¢, »e w grupie przemiennej iloczyn elementów rz¦du sko«czonego jest elementem rz¦du sko«czonego. Jaki jest rz¡d iloczynu? 17. Pokaza¢, »e w dowolnej grupie przemiennej elementy rz¦du sko«czonego tworz¡ podgrup¦. 18. Pokaza¢, »e je»eli rz¡d grupy jest liczb¡ pierwsz¡, to jest to grupa cykliczna. 19. Wykaza¢, »e podgrupa grupy cyklicznej jest grup¡ cykliczn¡. 20. Wyznaczy¢ wszystkie podgrupy grupy hZZ 12; +12i. 24 1. Homomorzmy i izomorzmy grup. 21. Wyznaczy¢ wszystkie warstwy w grupie ZZ12 wzgl¦dem podgrup: a) H1 = f0; 3; 6; 9g; b) H2 = f0; 4; 8g; c) H3 = f0; 6g: 22. Napisa¢ tabelk¦ dziaªania w grupie S3 . Sprawdzi¢, czy permutacje parzyste tworz¡ podgrup¦. Je»eli tak, to wyznaczy¢ warstwy lewostronne i warstwy prawostronne grupy S3 wzgl¦dem tej podgrupy. 23. W grupach S3 i S4 poda¢ przykªady elementów rz¦dów: 2,3,4,5,6. Odpowied¹ uzasadni¢. 24. Wyznaczy¢ warstwy lewostronne i warstwy prawostronne grupy S3 wzgl¦dem podgrupy, której elementy przeprowadzaj¡ zbiór f1g na siebie. 25. Które z podgrup grupy S3 s¡ dzielnikami normalnymi? Opisa¢ odpowiednie grupy ilorazowe. a b 26. Dowie±¢, »e zbiór macierzy postaci 0 1 , gdzie a; b 2 IR; a 6= 0 jest grup¡ wzgl¦dem mno»enia macierzy. Pokaza¢, »e podzbiór tej grupy skªadaj¡cy si¦ z macierzy, dla których a = 1 jest dzielnikiem normalnym tej grupy, natomiast podzbiór skªadaj¡cy si¦ z macierzy, dla których b = 0 jest podgrup¡, lecz nie jest dzielnikiem normalnym. 27. Wykaza¢, »e grupa hIR; +i jest izomorczna z grup¡ h(0; 1); i. 28. Wskaza¢ homomorzm grupy hZZ8; +8 i na ka»d¡ z grup hZZ 4; +4 i i hZZ2; +2 i. Wyznaczy¢ zbiory, które s¡ przeciwobrazami zbioru feg i sprawdzi¢, »e tworz¡ one podgrupy grupy hZZ8 ; +8i. Czy ten fakt mo»na uogólni¢? 29. Wykaza¢, »e je»eli podgrupa H jest dzielnikiem normalnym, to relacja przystawania wzgl¦dem moduªu H jest kongruencj¡. 30. Wykaza¢, »e je»eli relacja jest kongruencj¡ w grupie G, to ta klasa H zbioru ilorazowego Gj , która zawiera element neutralny grupy G jest dzielnikiem normalnym oraz Gj = GjH. Rozdziaª 2 Pier±cienie i ciaªa 2.1 Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. W znanych nam zbiorach liczbowych ZZ, CQ, IR, CC mamy dwa podstawowe dziaªania +; , które na dodatek s¡ powi¡zane podstawow¡ zale»no±ci¡ | mno»enie jest rozdzielne wzgl¦dem dodawania. Podobnie zachowuj¡ si¦ ró»ne zbiory funkcji (np. IRn [x], C([0; 1])), zbiór macierzy kwadratowych stopnia n. Denicja 2.1.1 Struktur¦ algebraiczn¡ hR; ; i nazywamy pierscieniem, je»eli: (R1) hR; i jest grup¡ przemienn¡, (R2) dziaªanie jest ª¡czne, tzn. dla dowolnych a; b; c 2 R. zachodz¡ równo±ci (a (b c)) = (a b) c), (R3) dziaªanie jest jest rozdzielne wzgl¦dem dziaªania , tzn. dla dowolnych a; b; c 2 R. zachodz¡ równo±ci a (b c) = (a b) (a c) oraz (b c) a = (b a) (c a) Pier±cie« nazywamy przemiennym, je»eli dziaªanie jest przemienne. W dalszym ci¡gu dziaªania ; b¦dziemy nazywali odpowiednio dodawaniem i mno»eniem, a wyniki dziaªa« - sum¡ i iloczynem. Element neutralny dodawania b¦dziemy oznacza¢ symbolem 0 i nazywa¢ zerem pier±cienia, a element odwrotny do elementu x 2 R wzgl¦dem dziaªania { elementem przeciwnym. Je»eli w R jest element neutralny dziaªania , to b¦dziemy oznacza¢ symbolem 1 i nazywa¢ jedno±ci¡ pier±cienia, a element odwrotny do elementu x 2 R wzgl¦dem dziaªania { elementem odwrotnym. Elementy pier±cienia, które posiadaj¡ element odwrotny nazywamy elementami odwracalnymi. 25 26 2. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. Denicja 2.1.2 Elementy x; y 2 R nazywamy dzielnikami zera, je»eli x 6= 0; y 6= 0 ale x y = 0: Denicja 2.1.3 Pier±cie« przemienny z jedno±ci¡, nie posiadaj¡cy dzielników zera nazywamy pierscieniem calkowitym. 6 6 6 6 Przykªad 2.1.1 Zbiór ZZ liczb caªkowitych z dodawaniem i mno»eniem jest pier±cieniem caªkowitym. Przykªad 2.1.2 Zbiór IRn [x] wielomianów stopnia co najwy»ej n o wspóªczynnikach rzeczywistych z dodawaniem i mno»eniem wielomianów jest pier±cieniem caªkowitym. Przykªad 2.1.3 Niech C([0; 1]) oznacza zbiór funkcji ci¡gªych na przedziale [0; 1] z dziaªaniami (f + g)(x) = f(x) + g(x) oraz (f g)(x) = f(x) g(x) Z odpowiednich twierdze« analizy wynika, »e jest to równie» pier±cie« caªkowity. Przykªad 2.1.4 Rozwa»amy zbiór ZZ6 = f0; 1; 2; 3;4; 5g z dziaªaniami +6 oraz 6. Tabelki tych dziaªa« s¡ nast¦puj¡ce: +6 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 6 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 0 2 4 0 2 4 0 3 0 3 0 3 0 4 2 0 4 2 0 5 4 3 2 1 Struktur¦ hZZ6; +6 ; 6i nazywamy pier±cieniem reszt modulo n. Wida¢, »e jest to pier±cie« przemienny z jedno±ci¡ posiadaj¡cy dzielniki zera (np. 2 6 3 = 0). Jedynymi elementami odwracalnymi s¡ w tym pier±cieniu 1 i 5 (1 6 1 = 1 oraz 5 6 5 = 1, co oznacza, »e 1 1 = 1 oraz 5 1 = 5). Przykªad 2.1.5 Rozwa»amy zbiór ZZ6 = f0; 1; 2; 3; 4g z dziaªaniami +5 oraz 5. Tabelki tych dziaªa« s¡ nast¦puj¡ce: 2.1. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. +5 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 27 5 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1 Struktura hZZ5; +5 ; 5i jest pier±cieniem reszt modulo 5. atwo zauwa»y¢, »e jest to pier±cie« przemienny z jedno±ci¡ nie posiadaj¡cy dzielników zera . Ka»dy element tego pier±cienia jest odwracalny. Przykªad 2.1.6 Zbiór IR[x] wielomianów o wspóªczynnikach rzeczywistych z dodawaniem i mno»eniem wielomianów jest pier±cieniem caªkowitym. Zerem tego pier±cienia jest wielomian to»samo±ciowo równy 0, za± jedno±ci¡ - wielomian przyjmuj¡cy w ka»dym punkcie warto±¢ 1. Denicja 2.1.4 Niech hR; ; i b¦dzie pier±cieniem. Podzbiór P zbioru R, który sam tworzy pier±cie« z dziaªaniami i nazywamy podpierscieniem pier±cienia hR; ; i. Przykªad 2.1.7 Zbiór nZZ = fk n : k 2 ZZg jest podpier±cieniem pier±cienia liczb caªkowitych. Cwiczenie 2.1.5 Pokaza¢, »e zbiór macierzy trójk¡tnych dolnych jest podpier±cieniem pier±cienia macierzy kwadratowych stopnia n. R o z w i ¡ z a n i e. Poniewa» mno»enie macierzy jest dziaªaniem ª¡cznym i rozdzielnym wzgl¦dem dodawania macierzy, wi¦c wystarczy pokaza¢, »e zbiór macierzy trójk¡tnych dolnych jest podgrup¡ addytywnej grupy pier±cienia i jest zamkni¦ty wzgl¦dem mno»enia macierzy. Rozwa»my dwie dowolne macierze trójk¡tne dolne 0a 0 01 0k 0 01 A = @ b c 0 A oraz B = @ l m 0 A ; d e f n p s gdzie a; b; c; d; e; f;k; l;m; n; p; s 2 IR . Wówczas 0a k 0 1 0 A B=@b l c m 0 A d n e p f s oraz 1 0 ak 0 0 cm 0A A B = @ bk + cl dk + el + fn em + fp fs s¡ macierzami trójk¡tnymi dolnymi, co zgodnie z Faktem 1.1.6 nale»aªo wykaza¢. 28 2. Kongruencje w pier±cieniu. 2.2 Kongruencje w pier±cieniu Ideaªy w pier±cieniu i pier±cie« ilorazowy Denicja 2.2.1 Niech hR; ; i b¦dzie pier±cieniem przemiennym. Podzbiór I zbioru R nazywamy idealem pier±cienia, je»eli speªnione s¡ warunki: 6 6 6 6 (I1) I jest podgrup¡ rupy addytywnej pier±cienia R, (I2) je»eli a 2 I oraz x 2 R, to a x 2 I . Przykªad 2.2.1 Oczywi±cie ideaªami w ka»dym pier±cieniu R s¡ f0g oraz sam R. Nazywamy je ideaªami niewªa±ciwymi. Przykªad 2.2.2 Zbiór nZZ = fk n : k 2 ZZg jest ideaªem pier±cienia liczb caªkowitych, bo dla dowolnej liczby caªkowitej m i dowolnej liczby k n 2 nZZ mamy m (k n) = (m k) n 2 nZZ. Przykªad 2.2.3 W pier±cieniu C([0; 1]) funkcji ci¡gªych na przedziale [0; 1] ideaªem jest zbiór Ix0 = ff 2 C([0; 1]) : f(x0 ) = 0g; gdzie x0 jest dowolnie ustalonym punktem przedziaªu [0; 1]. Dla dowolnej funkcji g 2 C([0; 1]) i dowolnej funkcji f 2 Ix0 mamy bowiem (f g)(x0 ) = f(x0 ) g(x0 ) = 0 g(x0 ) = 0: Przykªad 2.2.4 W pier±cieniu c wszystkich ci¡gów zbie»nych o wyrazach rzeczywistych ideaª tworzy zbiór c0 ci¡gów zbie»nych do zera, co wynika z twierdzenia o granicy iloczynu ci¡gów. Poniewa» hR; i jest grup¡ przemienn¡, wi¦c ka»dy ideaª I pier±cienia R jest jego dzielnikiem normalnym.Okazuje si¦, »e w grupie ilorazowej RjI mo»na wprowadzi¢ struktur¦ pier±cienia deniuj¡c mno»enie wzorem aI bI = (a b)I. Otrzymany pier±cie« nazywamy pier±cieniem ilorazowym pier±cienia R wzgl¦dem ideaªu I lub pier±cieniem reszt modulo I. Przykªad 2.2.5 2.2. Kongruencje w pier±cieniu. 29 Pier±cie« ilorazowy ZZjnZZ skªada si¦ z elementów ZZ; 1 + ZZ; 2 + ZZ; : : :; (n 1) + ZZ. Dodawanie i mno»enie takich warstw wygl¡da nast¦puj¡co (k+ ZZ) (l + ZZ) = (k + l) + ZZ = (k +n l) + ZZ oraz (k + ZZ) (l + ZZ) = (k l) + ZZ = (k n l) + ZZ Komentarz. Ostatnie okre±lenie powinno zasugerowa¢ nam zwi¡zek poj¦cia pier±cienia ilorazowego z poj¦ciem kongruencji w zbiorze liczb caªkowitych. Rzeczywi±cie, analogicznie do sytuacji dzielnika normalnego w grupie podziaª pier±cienia R na warstwy wzgl¦dem ideaªu I jest rozbiciem zbioru R wzgl¦dem relacji równowa»no±ci a b (mod I) () a ( b) 2 I () ( a) b 2 I O elementach a; b mówimy wówczas, »e przystaj¡ wzgl¦dem ideaªu I. atwo wykaza¢, »e je»eli a b (mod I) oraz c d (mod I), to a b c d (mod I) ^ a b c d (mod I). Relacj¦ równowa»no±ci w pier±cieniu, speªniaj¡c¡ powy»sze warunki, nazywamy kongruencj¡. W dalszym ci¡gu wykªadu zajmiemy si¦ dokªadniej pier±cieniem liczb caªkowitych. Algorytm Euklidesa Je±li n nie dzieli si¦ przez k, to mo»emy wykona¢ dzielenie z reszt¡. Dla dowolnych ró»nych od 0 liczb n i k istniej¡ takie liczby d i r, »e n = kd + r, przy czym r < k, d i r s¡ wyznaczone jednoznacznie. d nazywamy ilorazem, a r - reszt¡ z dzielenia n przez k (je±li n < k, to d = 0) Do znalezienia d mo»na si¦ posªu»y¢ zasad¡ maksimum: d jest najwi¦kszym elementem zbioru fl 2 N : kl ¬ ng. Z tego ju» wynika, »e reszta r jest mniejsza ni» k. Geometrycznie operacja ta polega nan znalezieniu na prostej przedziaªu o ko«cach naturalnych, w ktorym le»y uªamek k , jest to przedziaª [d; d+1) . Jeszcze inaczej mo»na powiedzie¢, »e d jest cz¦±ci¡ caªkowit¡ liczby wymiernej nk , a kr - jej cz¦±ci¡ uªamkow¡. Denicja 2.2.2 Najwiekszym wspolnym dzielnikiem liczb n i k, ró»nych od zera, nazywamy liczb¦: , NW D(n; k) = maxfl 2 IN : ljn i ljkg: Jej istnienie wynika z zasady maksimum: zbiór wszystkich wspólnych dzielników liczb n i k jest niepusty (nale»y do niego 1) i ograniczony, np. przez n. Przy szukaniu najwi¦kszego wspólnego dzielnika nie b¦dziemy si¦ posªugiwa¢, jak w szkole, rozkªadem na czynniki pierwsze, zreszt¡ ten sposób wymaga posiadania tablic liczb pierwszych i dla du»ych liczb jest to trudne. Wykorzystamy znany od staro»ytno±ci sposób. 30 2. Kongruencje w pier±cieniu. Algorytm Euklidesa: Niech 0 < k < n i wykonajmy dzielenie z reszt¡ n przez k: n = kd + r: Wtedy, je±li ljn i ljk , to równie» ljr , bo r = n kd . Podobnie, je±li ljr i ljk, to ljn. Tak wi¦c wspólne dzielniki liczb n i k s¡ dokªadnie te same, co wspólne dzielniki liczb k i r. W szczególno±ci NWD(n; k) = NWD(k; r). Wykonuj¡c wi¦c operacj¦ dzielenia z reszt¡ uzyskali±my par¦ mniejszych liczb o tym samym NWD. Je±li liczby s¡ jeszcze za du»e, by zgadywa¢, mo»emy t¦ operacj¦ zastosowa¢ ponownie, tym razem dziel¡c k przez r, itd: n = kd1 + r1 ; r1 < k; k = r1 d2 + r2; r2 < r1; r1 = r2 d3 + r3; r3 < r2; .. . To post¦powanie musi si¦ sko«czy¢, bo kolejne reszty tworz¡ malej¡cy ci¡g liczb naturalnych. Przypu±¢my, »e sko«czy si¦ na s-tym kroku, tzn. rs+1 =0 . Ostatnie dwa wiersze naszych oblicze« wygladaj¡ tak: rs 2 = rs 1ds + rs; rs 1 < rs 2 rs 1 = rsds+1 + 0; 0 < rs 1 Mamy: NW D(n; k) = NW D(k; r1) = NWD(r1 ; r2) = = NWD(rs 1 ; rs) = rs : A wi¦c ostatnia niezerowa reszta w tym ci¡gu dziele« z reszt¡ jest najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem liczb n i k. Wyliczmy teraz z pierwszej równo±ci r1 w zale»no±ci od n i k, podstawmy do drugiej równo±ci i wyliczmy r2 (te» w zale»no±ci od n i k) itd. Otrzymamy w ko«cu wyra»enie na rs . Mianowicie rs = pn + qk, gdzie p i q s¡ liczbami caªkowitymi. Udowodnili±my tym sposobem wa»ne twierdzenie. Twierdzenie 2.2.1 Najwi¦kszy wspólny dzielnik liczb n i k wyra»a si¦ jako ich kombinacja o wspóªczynnikach caªkowitych; Przykªad. 8 n; k > 0 9 p; q 2 ZZ (NWD(n; k) = pn + qk) Niech n = 1001 oraz k = 357: Wówczas 1001 = 2 357 + 287; wi¦c 287 = 1001 2 357; 357 = 1 287 + 70; wi¦c 70 = 357 (1001 2 357) = 3 357 1001; 287 = 4 70 + 7; wi¦c 7 = 287 4 70 = 2 1001 5 357; 70 = 10 7 + 0; 2.2. Kongruencje w pier±cieniu. 31 Zatem, zgodnie z algorytmem Euklidesa, 7 jest najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem liczb 1001 i 357 i przedstawili±my go w postaci 7 = 2 1001 5 357: Za pomoc¡ ostatniego twierdzenia mo»emy udowodni¢ wiele wa»nych wªasno±ci, mi¦dzy innymi (udowodnion¡ wcze±niej) jednoznaczno±¢ rozkªadu na czynniki pierwsze. Twierdzenie 2.2.2 (ZASADNICZE TWIERDZENIE ARYTMETYKI) Je»eli iloczyn m n dzieli si¦ przez k i liczba k jest wzgl¦dnie pierwsza z m, to k dzieli n. D o w ó d. Dla dowodu posªu»ymy si¦ przedstawieniem jedynki - najwi¦kszego wspólnego dzielnika liczb m i k jako ich kombinacji o wspóªczynnikach caªkowitych: 1=pm+qk, a st¡d n =pmn+qkn. Oba skªadniki sumy po prawej stronie dziel¡ si¦ przez k, wi¦c suma tak»e, czyli kjn. Poniewa» ka»da liczba pierwsza jest wzgl¦dnie pierwsza z dowoln¡ liczb¡ naturaln¡, wi¦c otrzymujemy natychmiast: Wniosek 2.2.1 Je»eli p jest liczb¡ pierwsz¡ i dzieli iloczyn mn, to p dzieli co najmniej jeden z czynników: pjmn ! pjm _ pjn: Wniosek 2.2.2 Je»eli NW D(m; n) = 1 oraz kjm, to NWD(k; n) = 1. Wniosek 2.2.3 Je»eli NW D(m; n) = 1 oraz kjn, to NWD(m; k) = 1. Wniosek 2.2.4 Je»eli liczby m, n podzielimy przez ich najwi¦kszy wspólny dzielnik, to otrzymamy liczby wzgl¦dnie pierwsze. Liniowe równania diofantyczne W±ród zada« szkolnych spotykamy takie, które prowadz¡ do jednego równania o dwóch niewiadomych. Informacj¡ dodatkow¡, umo»liwiaj¡c¡ rozwi¡zanie, jest na ogóª ukryty w tre±ci zadania fakt, »e rozwi¡zania maj¡ by¢ liczbami caªkowitymi. Mamy wtedy do czynienia z równaniem diofantycznym. Jest to równanie algebraiczne, w którym i wspóªczynniki i niewiadome s¡ liczbami caªkowitymi. Nazwa pochodzi od nazwiska greckiego matematyka Diofantosa1, który takie równania rozwa»aª w ksi¦dze Arytmetyka, napisanej w III wieku n.e. W przypadku, gdy jest to równanie liniowe, najcz¦±ciej rozwi¡zujemy je analizuj¡c podzielno±¢ wyst¦puj¡cych w nim liczb. Czasami jednak nie wida¢ jak tym sposobem mo»na otrzyma¢ rozwi¡zanie. Oto przykªad takiego zadania: Zadanie. Na sezonowej wyprzeda»y zegarmistrz sprzedaª wszystkie, jakie miaª, zegarki po 123 zªote. Ucieszony tym faktem, zostawiª sobie na szcz¦±cie jeden 1 Diofantos, (2 poªowa III wieku), matematyk grecki. 32 2. Kongruencje w pier±cieniu. zªoty, a za reszt¦ zakupiª w hurtowni nowocze±niejsze zegarki z pozytywk¡ po 377 zª. Ile byªo jednych i drugich zegarków? Wida¢, »e zadanie sprowadza si¦ do rozwi¡zania w liczbach naturalnych równania: 123x 377y = 1 Okazuje si¦, »e równanie diofantyczne mo»e nie mie¢ rozwi¡za«, mo»e ich mie¢ sko«czenie wiele lub niesko«czenie wiele. Równanie, które otrzymali±my w powy»szym zadaniu, jest najprostszym przykªadem równania diofantycznego. Jest to tzw liniowe równanie diofantyczne. Twierdzenie 2.2.3 Liniowe równanie diofantyczne ax + by = c ma rozwi¡zanie w zbiorze liczb caªkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a; b) jest dzielnikiem c. D o w ó d. Je±li istniej¡ x; y 2 Z takie, »e ax + by = c to oczywi±cie NWD(a; b) dzieli c, gdy» dzieli a i dzieli b. Zaªó»my teraz, »e dla pewnej liczby caªkowitej m mamy c = m NWD(a; b). Jak pami¦tamy, z algorytmu Euklidesa wynika, »e NWD(a; b) = ak + bl dla pewnych caªkowitych k i l. Otrzymujemy zatem m NWD(a; b) = a km + b lm Oczywi±cie km i lm s¡ szukanymi caªkowitymi rozwi¡zaniami naszego równania. Mo»emy teraz rozwi¡za¢ nasze równanie. Znajd¹my wi¦c najwi¦kszy wspólny dzielnik wspóªczynników: 123 i 377. Zastosujemy tu algorytm Euklidesa: 377 = 3 123 + 8 123 = 15 8 + 3 8= 23+2 3= 12+1 Widzimy, »e w ci¡gu kolejnych dziele« z reszt¡ ostatni¡ wi¦ksz¡ od zera reszt¡ jest 1, a wi¦c to jest najwi¦kszy wspólny dzielnik naszych wspóªczynników. Przeksztaª¢my teraz otrzymany ci¡g równo±ci, wyliczaj¡c kolejne reszty, przy czym dla odró»nienia wyst¦puj¡cych w dzieleniu wyj±ciowych liczb i reszt od wspóªczynników dzielenia, te pierwsze b¦dziemy podkre±la¢. 8 = 377 3 123 3 = 123 15 8 2 = 8 23 1=3 2 Teraz dokonujemy podstawie« kolejno z pierwszej do drugiej równo±ci, z drugiej do trzeciej, z trzeciej do czwartej, przy czym redukujemy wyrazy podobne, traktuj¡c 2.2. Kongruencje w pier±cieniu. 33 podkre±lone liczby jak zmienne w wyra»eniach algebraicznych: 3 = 123 15 (377 3 123) = 15 377 + 46 123 2 = 377 3 123 2 ( 15 377 + 46 123) = 31 377 95 123 1 = 15 377 + 46 123 (31 377 95 123) = 46 377 + 141 123 Otrzymali±my w ko«cu rozwi¡zanie wyj±ciowego równania: x = 141; y = 46 i odpowied¹ do zadania: zegarmistrz sprzedaª 141 zegarków po 123 zª.i kupiª 46 zegarków po 377 zª. Wida¢ te», »e gdyby zostawiª sobie nie 1 zª. lecz 2 zª. to otrzymane liczby nale»aªoby pomno»y¢ przez 2 itd. Mo»emy zatem ukªada¢ podobne zadania, maj¡c pewno±¢, »e równanie ax+by = c ma rozwi¡zanie w liczbach caªkowitych, je±li tylko c jest najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem liczb a i b, lub jego wielokrotno±ci¡. Oczywi±cie je±li c nie speªnia tego warunku, to rozwi¡zania nie ma: lewa strona dzieli si¦ przez NWD(a; b), prawa nie. Wracaj¡c do zadania rozwi¡zywanego na pocz¡tku, mo»na pyta¢ jak znale¹¢ wszystkie rozwi¡zania caªkowite liniowego równania diofantycznego o 2 niewiadomych. Rozwa»my równanie ax +by = c i zaªó»my, »e a i b s¡ wzgl¦dnie pierwsze (je±li nie s¡, to obie strony równania dzielimy przez d = NWD(a; b)) i rozwi¡»my równanie ax + by = 1 Niech x0 ; y0 b¦dzie rozwi¡zaniem otrzymanym w ostatnio udowodnionym twierdzeniu, a x1; y1 niech oznacza jakiekolwiek inne rozwi¡zanie. Wtedy oczywi±cie a(x1 x0) + b(y1 y0 ) = 0 i para: x1 x0 ; y1 y0 stanowi rozwi¡zanie równania jednorodnego: ax by = 0 Tak wi¦c ka»de rozwi¡zanie równania ax+by = 1 jest sum¡ rozwi¡zania szczególnego (x0 ; y0) tego równania i pewnego rozwi¡zania równania jednorodnego. Pozostaje nam rozwi¡za¢ równanie jednorodne. Oczywistym rozwi¡zaniem jest x = b; y = a a wraz z nim wszystkie jego wielokrotno±ci. Okazuje si¦, »e s¡ to wszystkie rozwi¡zania wyj±ciowego równania. Je»eli bowiem ax = by, to a dzieli iloczyn by, a poniewa» a i b s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c a dzieli y. Podobnie b dzieli x. Ostatecznie wi¦c ka»de rozwi¡zanie naszego równania jest postaci: x = x0 + tb; y = y0 ta; gdzie t jest dowoln¡ liczb¡ caªkowit¡. Powy»sze rozwa»ania mo»na uogólni¢, co zrobili ju» Chi«czycy ponad 2 tysi¡ce la temu. Twierdzenie 2.2.4 (TWIERDZENIE CHISKIE O RESZTACH) Niech m 2 b¦dzie liczb¡ naturaln¡. Dla dowolnych liczb naturalnych a1; a2; : : :; am , z których ka»de 34 2. Kongruencje w pier±cieniu. dwie s¡ wzgl¦dnie pierwsze i dowolnych liczb caªkowitych r1 ; r2; : : :; rm istniej¡ liczby caªkowite x1 ; x2; : : :; xm takie, »e a1 x1 + r1 = a2x2 + r2 = : : : = am xm + rm : D o w ó d. Dla m = 2 teza pokrywa si¦ z tez¡ Twierdzenia2.2.3, bo liczby a1; a2 s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c równanie a1x1 a2 x2 = r2 r1 ma rozwi¡zanie w liczbach caªkowitych. Niech m 2 b¦dzie dowolnie ustalon¡ liczb¡ naturaln¡ i zaªó»my, »e »¡dana równo±¢ zachodzi dla ka»dych m liczb. Rozwa»my dowolne liczby naturalne a1; a2; : : :; am ; am+1 , z których ka»de dwie s¡ wzgl¦dnie pierwsze i dowolne liczb caªkowite r1; r2; : : :; rm ; rm+1 . Niech x1; x2; : : :; xm b¦d¡ liczbami caªkowitymi speªniaj¡cymi warunki a1 x1 + r1 = a2x2 + r2 = : : : = am xm + rm : Poniewa» ka»da z liczb a1 ; a2; : : :; am jest wzgl¦dnie pierwsza z am+1 , wi¦c NW D(a1 a2 : : : am ; am+1 ) = 1: Zatem istniej¡ liczby t i u speªniaj¡ce równanie a1 a2 : : : am t am+1 u = rm+1 a1x1 r1 : Niech 0 x0i = a1 a2 a: : : am t + xi dla i = 1; 2; : : :; m oraz xm+1 = u: i atwo sprawdzi¢, »e liczby x01; x02; : : :; x0m+1 speªniaj¡ »¡dany warunek. Dla i = 1; 2; : : :; m mamy bowiem aix0i + ri = ai a1 a2 a: : : am t + xi + ri = a1a2 : : : am t + ai xi + ri i 0 = am+1 xm+1 + rm+1 a1 x1 r1 + ai xi + ri = am+1 x0m+1 : Zgodnie z zasad¡ indukcji matematycznej,twierdzenie zostaªo udowodnione. Natychmiastowy jest nast¦puj¡cy wniosek z powy»szego twierdzenia. Wniosek 2.2.5 Je»eli ka»de dwie spo±ród m 2 liczb naturalnych a1 ; a2; : : :; am s¡ wzgl¦dnie pierwsze, to istnieje liczba caªkowita N , która przy dzieleniu przez te liczby daje odpowiednio dowolne dane reszty r1; r2; : : :; rm . Dalej, poniewa» liczba N+a1 a2 : : :am k; gdzie k jest dowoln¡ liczb¡ caªkowit¡, daje przy dzieleniu przez ka»d¡ z liczb a1; a2; : : :; am t¦ sam¡ reszt¦, co liczba N; wi¦c istnieje niesko«czenie wiele liczb caªkowitych (równie» { niesko«czenie wiele liczb naturalnych), które przy dzieleniu przez a1; a2; : : :; am daj¡ odpowiednio reszty r1; r2; : : :; rm . 2.2. Kongruencje w pier±cieniu. 35 Przykªad 2.2.6 Znale¹¢ liczb¦ n, która przy dzieleniu przez 5 i przez 7 daj¡ reszty r1 i r2. R o z w i ¡ z a n i e. Poniewa» (5; 7) = 1; wi¦c równania diofantyczne 7x + 5y = 1 oraz 5x + 7y = 1 maj¡ rozwi¡zania. Szukamy ich, posªuguj¡c si¦ algorytmem Euklidesa, albo wr¦cz - zgaduj¡c: 7 ( 2) + 5 3 = 1 oraz 5 3 + 7 ( 2) = 1. Zauwa»my, »e liczba n = r1 t1 7 + r2 t2 5; gdzie t1 = 2; u1 = 3: t2 = 3; u2 = 2 daje przy dzieleniu przez 5 reszt¦ r1, a przy dzieleniu przez 7 - reszt¦ r2 , bo n = r1(1 5 u1) + r2 t2 5 = r1 t1 7 + r2 (1 7 u2 ) I ogólnie - je»eli m1 ; m2; : : :; mk s¡ dowolnymiliczbami caªkowitymiparami wzgl¦dnie pierwszymi i M = m1 m2 : : : mk , to rozwi¡zanie równa« diofantycznych M M M m1 t1 + m1 u1 = 1; m2 t2 + m2 u2 = 1; : : : mk tk + mk uk = 1 daje liczb¦ n = mM1 t1 + mM2 t2 + : : : + mMk tk , która przy dzieleniu przez m1 ; m2; : : :; mk daje odpowiednio reszty r1 ; r2; : : :; rk . T¦ sam¡ wªasno±¢ ma oczywi±cie ka»da inna liczba ró»ni¡ca si¦ od n o caªkowit¡ wielokrotno±¢ liczby r1 r2 : : : rk . Kongruencje w pier±cieniu liczb caªkowitych Denicja 2.2.3 O liczbach naturalnych a i b mówimy, »e przystaja modulo m, je±li ich ró»nica jest liczb¡ podzieln¡ przez m: , a b (mod m) () mj(a b) Dla dowolnego moduªu m 2 IN relacja przystawania modulo m, zwana kongruencj¡, jest relacj¡ typu równowa»no±ci, tzn. jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Pod wieloma wzgl¦dami kongruencje zachowuj¡ si¦ podobnie jak równo±ci, mo»na je dodawa¢ i mno»y¢ (ale nie dzieli¢!) stronami. Przypu±¢my bowiem, »e a b (mod m) i c d (mod m). Oznacza to, »e liczby (a b) i (c d) dziel¡ si¦ przez m, ale wtedy równie» ich suma dzieli si¦ przez m: mj(a + b) (c + d); czyli a + b c + d (mod m): 36 2. Kongruencje w pier±cieniu. Zamiast o sumie mo»emy mowi¢ oczywi±cie tak»e o ró»nicy. Natomiast dla iloczynu korzystamy z faktu, »e wielokrotno±¢ liczby podzielnej przez m jest podzielna przez m, wi¦c z naszych zaªo»e« wynika, »e mjac bc i mjbc bd; a st¡d mjac bd. Co do dzielenia, to zauwa»my, »e z kongruencji: 6 2(mod 4) wcale nie wynika przystawanie 3 do 1 przy module 4. Przystawanie liczb a i b modulo m oznacza, »e daj¡ one t¦ sam¡ reszt¦ przy dzieleniu przez m. Liczba a przystaje do zera modulo m wtedy i tylko wtedy, gdy mja. Mno»¡c dan¡ kongruencj¦ przez siebie dochodzimy do wniosku, »e kongruencje mo»na rownie» pot¦gowa¢ stronami (±cisªy dowód prowadzimy przez indukcj¦ wzgl¦dem wykªadnika pot¦gi). Kombinuj¡c te wyniki razem otrzymujemy twierdzenie: Twierdzenie 2.2.5 Je±li f(x) jest wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych oraz a b(mod m), to równie» f(a) f(b)(mod m). Sformuªujemy jeszcze i udowodnimy kilka po»ytecznych wªsno±ci kongruencji. Wªasno±¢ 1. Je»eli d jest wspólnym dzielnikiemliczb a; bi m, to z kongruencji a b (mod m) wynika kongruencja da db mod md . Do w ó d. Je»eli istnieje liczba caªkowita k taka, »e a b = k m; to da db = k md ; co oznacza, »e da db mod md . Wªasno±¢ 2. Je»eli d jest dzielnikiem liczby m to z kongruencji a b (mod m) wynika kongruencja a b (mod d). Do w ó d. Je»eli istnieje liczba caªkowita k taka, »e a b = k m oraz m = d l dla pewnej liczby caªkowitej l, to a b = kl d; co oznacza, »e a b (mod d). Wªasno±¢ 3. Je»eli d jest dzielnikiem liczb a i b a liczby d i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze, to z kongruencji a b (mod m) wynika kongruencja a b mod m: d d Do w ó d. Dziel¡c równo±¢ a b = k m stronami przez d otrzymujemy ad db = km d: Poniewa» lewa strona równo±ci jest liczb¡ caªkowit¡ a d im s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c kd musi by¢ liczb¡ caªkowit¡ co oznacza, »e ad db mod m . 2.2. Kongruencje w pier±cieniu. 37 Wªasno±¢ 4. Je»eli a b (mod mi ) dla i = 1; 2; : : :; r; to a b(mod NWW(m1 ; m2; : : :; mr ): Do w ó d. Równo±¢ a b = ki mi prawdziwa dla i = 1; 2; : : :; r; oznacza, »e a b jest wspóln¡ wielokrotno±ci¡ liczb m1 ; m2; : : :; mr , wi¦c dzieli si¦ przez ich najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±¢, co oznacza, »e a b (mod NWW(m1 ; m2 ; : : :; mr ): Wªasno±¢ 5. Je»eli a b(mod m), to NWD(a; m) = NWD(b; m) Do w ó d. Po prostu zbiory wspólnych dzielników liczb a i m oraz b i m s¡ takie same. Wªasno±¢ 6. Je»eli c jest dzielnikiem liczby a, d jest dzielnikiem liczby b, c i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze, d i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze, a b (mod m) oraz c d(mod m), to ac db (mod m). Do w ó d. Zaªó»my, »e a = k c oraz b = l d. Poniewa» c d (mod m), wi¦c kc kd (mod m). St¡d kd kc = a b = ld (mod m); a poniewa» d i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c k l (mod m) co oznacza, »e a b (mod m): c d Przykªad 2.2.7 Wykaza¢, »e liczba 22225555 + 55552222 jest podzielna przez 7. R o z w i ¡ z a n i e. Poniewa» 2222 3 (mod 7); wi¦c 22225 35 (mod 7) oraz 22226 36 1 (mod 7): St¡d 22226925 1 (mod 7): Mno»¡c kongruencje stronami otrzymujemy 22225550 22225 35 5 (mod 7): Podobnie licz¡c mamy kolejno 5555 4 (mod 7); 55552 2 (mod 7) oraz 55556 1 (mod 7): Podnosz¡c t¦ kongruencj¦ do pot¦gi 370 otrzymujemy 55552220 1 (mod 7); wi¦c 55552222 2 (mod 7); co po dodaniu stronami daje 22225555 + 55552222 5 + 2 0 (mod 7); czyli liczba 22225555 + 55552222 jest podzielna przez 7. 38 2. Kongruencje w pier±cieniu. Przykªad 2.2.8 Dowie±¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 3(6n) 2(6n) jest podzielna przez 35. R o z w i ¡ z a n i e. Poniewa» 33 23 (mod 35); wi¦c podnosz¡c obie strony do parzystej pot¦gi 3n 1 2n otrzymujemy 333n 1 2n 233n 1 2n (mod 35) czyli 33n 2n 23n2n (mod 35); co daje 3(6n ) 2(6n ) (mod 35): Przykªad 2.2.9 Pokaza¢, »e dla ka»dej nieparzystej liczby pierwszej p istniej¡ liczby caªkowite x i y; takie, »e pj1 + x2 + y2 : R o z w i ¡ z a n i e. Rozpatrzmy reszty z dzielenia przez p liczb n2 dla n = 0; 1; 2; : : :; 21 (p 1): S¡ one wszystkie ró»ne, gdy» w przeciwnym przypadku p byªoby dzielnikiem liczby r2 s2 ; gdzie r i s s¡ pewnymi ró»nymi liczbami ze zbioru A = f0; 1; 2; : : :; 21 (p 1)g: Niech np. r > s: Poniewa» pjr2 s2 = (r s)(r +s); wi¦c p; jako liczba pierwsza dzieli (r s) lub (r + s): Ka»dy z tych przypadków jest niemo»liwy, gdy» 0 < r s ¬ 21 (p 1) i 0 < r + s ¬ 2 12 (p 1) = p 1: Liczby 1 + m2 ; gdzie m 2 A daj¡ wi¦c 12 (p 1) + 1 = 21 (p + 1) ró»nych reszt z dzielenia przez p: Podobnie jest z liczbami n2 gdzie n 2 A. Obydwa te zbiory daj¡ wi¦c p + 1 reszt, co jest niemo»liwe. Zatem pewne liczby 1 + x2 oraz y2 daj¡ t¦ sam¡ reszt¦, czyli pj1 + x2 + y2 : Funkcja Gaussa i Maªe Twierdzenie Fermata W j¦zyku kongruencji wygodnie jest formuªowa¢ i dowodzi¢ klasyczne twierdzenia teorii liczb. Zajmiemy si¦ teraz niektórymi z nich. Przypomnijmy, »e dla dowolnej liczby naturalnej n > 0 przez ZZn oznaczali±my zbiór dodatnich liczb mniejszych od n i wzgl¦dnie pierwszych z n: Pm = f0 < k < m : NWD(k; m) = 1g: Dla liczby pierwszej p mamy wi¦c ZZp = f1; 2; : : :; p 1g. Niech (n) oznacza liczb¦ elementów zbioru ZZn. Funkcja (m) nazywa si¦ funkcj¡ Gaussa2. Oznaczmy przez r1; r2; : : :; r(n) wszystkie elementy zbioru ZZn , czyli ZZn = fr1; r2; : : :; r(n)g: 2 Karl Friedrich Gauss, (1777{1855), zwany "ksi¦ciem matematyków", matematyk niemiecki, uwa»any za jednego z trzech, obok Archimedesa i Newtona, najwi¦kszych matematyków ±wiata. Jego prace dotycz¡ teorii liczb, algebry, rachunku ró»niczkowego i caªkowego, teorii szeregów, statystyki matematycznej, geometrii sferycznej i geometrii nieeuklidesowej. Gauss stworzyª tak»e zupeªnie nowe gaª¦zie matematyki, w tym teori¦ funkcji zespolonych i geometri¦ ró»niczkow¡. Zajmowaª si¦ te» zyk¡, geodezj¡, astronomi¡. 2.2. Kongruencje w pier±cieniu. 39 Niech a b¦dzie liczb¡ dodatni¡ tak¡, »e NWD(a; n) = 1. Wówczas reszty [ari](n) z dzielenia iloczynów ari dla i = 1; 2 : : :; (n) przez n wypeªniaj¡ caªy zbiór ZZn. Aby to uzasadni¢, zauwa»my, »e te reszty s¡ mniejsze ni» n oraz wzgl¦dnie pierwsze z n, bo ka»dy z iloczynów ari jest liczb¡ wzgl¦dnie pierwsz¡ z m. Wszystkie te reszty s¡ wi¦c elementami zbioru ZZn. Równocze±nie stwierdzamy, »e s¡ one ró»ne mi¦dzy sob¡, bo dla i 6= j liczba ari nie przystaje do arj modulo n. Mamy wi¦c (n) elementów zbioru ZZn, czyli wszystkie jego elementy. Dla ka»dego 1 ¬ i ¬ (m) istnieje wi¦c 1 ¬ j ¬ (m) takie, »e ari rj (mod n) Mno»¡c te kongruencje stronami otrzymujemy: a(n) Y (n) i=1 ri Y (n) j =1 rj (mod n): Oznaczaj¡c przez r iloczyn wszystkich ri mo»emy to zapisa¢: r ra(n) (mod n); czyli njr a(n) 1 Poniewa» liczby n i r s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c nj a(n) 1 . Udowodnili±my w ten sposób tzw. Twierdzenie Eulera3. Twierdzenie 2.2.6 (TWIERDZENIE EULERA): Dla ka»dej liczby caªkowitej a pierwszej wzgl¦dem liczby naturalnej n zachodzi kongruencja a(n) 1 (mod n): Wnioskiem z niego jest tzw. Maªe Twierdzenie Fermata: Twierdzenie 2.2.7 (MAE TWIERDZENIE FERMATA): Je»eli p jest liczb¡ pierwsz¡ i p nie dzieli a; to ap 1 1 (mod p). St¡d ap a (mod p), czyli pj(ap a). Komentarz. Powinni±my sobie przypomnie¢ w tym miejscu Wniosek 1.3.3, z którego natychmiast wynika Twierdzenie Eulera (i MTF) dla liczb a 2 ZZn. Przykªad 2.2.10 Pokaza¢, »e dla ka»dej liczby naturalnej k liczba 2(26k+2 ) +3 jest podzielna przez 19: 3 Leonard Euler, (1707{1783), szwajcarski matematyk, zyk i astronom, studiowaª w Bazylei u Johannesa Bernoulli'ego, byª profesorem na uniwersytetach w Petersburgu i Berlinie. Euler jest autorem ok. 500 prac prac z dziedziny matematyki, w których zajmowaª si¦ m.in. rachunkiem ró»niczkowym i caªkowym, równaniami ró»niczkowymi, szeregami niesko«czonymi i funkcjami zespolonymi. Jest twórc¡ znacznej cz¦±ci wspóªczesnej notacji matematycznej | wprowadziª symbole e; ; i, podaª obecnie u»ywane denicje funkcji trygonometrycznych, stosuj¡c oznaczenia "sin", "cos". Euler pracowaª równie» nad zastosowaniami matematyki w zyce, mechanice, teorii spr¦»ysto±ci. 40 2. Kongruencje w pier±cieniu. Poniewa» 26 1 (mod 9); wi¦c dla ka»dej liczby naturalnej k 26k 1 (mod 9) i 26k+2 22 (mod 9): Poniewa» obie strony ostatniej kongruencji s¡ parzyste, wi¦c 26k+26k+2 22 (mod 18): Zatem 26k+2 = 18t+22 dla pewnej liczby naturalnej t; a st¡d 22 = 218t+22 = 16 218t: Z MTF wynika, »e 218 1 (mod 19); wi¦c 218t 1 (mod 19): Poniewa» 16 3 (mod 19); wi¦c ostatecznie 16 218t 3 (mod 19): Niech f(x) = anxn + an 1 xn 1 + : : : + a1x + a0 b¦dzie wielomianem stopnia n o wspóªczynnikach caªkowitych. Pierwiastkiem kongruencji f(x) 0 (mod m) nazywamy ka»d¡ liczb¦ caªkowit¡ tak¡, »e f() 0 (mod m): Je»eli jest pierwiastkiem i (mod m) , to równie» jest pierwiastkiem, gdy» z twierdzenia o mno»eniu i dodawaniu kongruencji wynika wówczas, »e f() f() (mod m): Takie dwa pierwiastki b¦dziemy uwa»ali za jedno rozwi¡zanie. Rozwi¡zaniem kongruencji jest wi¦c caªy ci¡g liczb + lm; gdzie k = 1; 2; 3; : : :: Poszukiwanie rozwi¡za« sprowadza si¦ do poszukiwania pierwiastków w zbiorze f0; 1; :::; m 1g . Mówi¡c o liczbie rozwi¡za« kongruencji, mamy na my±li liczb¦ jej pierwiastków zawartych mi¦dzy 0 a m 1. Rozwa»amy wielomian stopnia n = 1 i kongruencj¦ () ax b (mod m) Oznacza to, »e mj(ax b), a wi¦c istnieje takie y, »e ax b = my: Kongruencja sprowadza si¦ wi¦c do równania diofantycznego: ax my = b: Wiemy,»e takie równanie ma rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy d = NWD(a; m) jest dzielnikiem b. Jedno rozwi¡zanie (x0 ; y0) tego równania znajdujemy wówczas posªuguj¡c si¦ algorytmem Euklidesa do wyra»enia liczby d, a za ni¡ tak»e b, jako kombinacji liniowej liczb a i m. Wszystkie inne rozwi¡zania mo»na wi¦c zapisa¢ w postaci: x = x0 + t m1 ; y = y0 + t a1 gdzie m1 d = m oraz a1 d = a: Je»eli t 2 f0; 1; :::d 1g; to rozwi¡zania te nie przystaj¡ modulo m. Gdyby bowiem dla pewnych 0 ¬ i < j ¬ d 1 prawdziwa byªa zale»no±¢ x0 + i m1 x0 + j m1 ; (mod m); to m1 d = mj(j i)m1 ; czyli dj(j i); co oczywi±cie nie jest mo»liwe. Zatem t 2 f0; 1; :::d 1g wyznaczaj¡ ró»ne rozwi¡zania wyj±ciowej kongruencji. Bior¡c t d nie dostaniemy nowych rozwi¡za« kongruencji. Dlaczego? Przedstawmy t w postaci t = kd+r dla pewnego r 2 f0; 1; :::d 1g: Wówczas x = x0 + t m1 x0 + r m1 (mod m); bo (t r)m1 = ldm1 = lm: Udowodnili±my zatem nast¦puj¡ce twierdzenie. 2.2. Kongruencje w pier±cieniu. 41 Twierdzenie 2.2.8 Kongruencja liniowa ax b (mod m) ma d rozwi¡za« postaci x = x0 + t m1 ; gdzie d = NWD(a; m); m = dm1 oraz t 2 f0; 1; :::d 1g: St¡d wniosek. Wniosek 2.2.6 Je»eli d = NWD(a; m) = 1; to kongruencja liniowa ax b (mod m) ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. W szczególno±ci, je»eli moduª kongruencji jest liczb¡ pierwsz¡, która nie dzieli a, to d = 1 i kongruencja: () ax b (mod p) ma jedno rozwi¡zanie. Znajdujemy je korzystaj¡c z twierdzenia Fermata. Niech bowiem p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡, która nie dzieli a. Mamy wi¦c ap 1 1(mod p). Mno»¡c t¦ ostatni¡ kongruencj¦ stronami przez b, otrzymujemy bap 1 b (mod p) Przyjmuj¡c teraz x0 = bap 2 mamy ax0 b(mod p) i reszta z dzielenia x0 przez p wyznacza jedyne rozwi¡zanie kongruencji (). Przykªad 2.2.11 Kongruencja liniowa 3x 5 (mod 4) ma jedno rozwi¡zanie, bo d = NWD(3; 4) = 1: Wyznaczamy je rozwi¡zuj¡c równanie diofantyczne 3x 4y = 5: Poniewa» 3 ( 1) + 4 1 = 1; wi¦c 3 ( 5) + 4 5 = 5 i jako jedyne rozwi¡zanie tej kongruencji otrzymujemy x = 5 + 4l: Przykªad 2.2.12 Wyznaczy¢ wszystkie rozwi¡zania kongruencji liniowej 2x 6 (mod 4): Poniewa» d = NWD(2; 4) = 2; wi¦c, zgodnie z udowodnionym wy»ej twierdzeniem, oczekujemy dwu rozwi¡za« | dla t = 0 oraz t = 1: Rozwi¡zuj¡c równanie diofantyczne 2x 4y = 6; otrzymujemy 2 ( 1) 4 ( 1) = 2; wi¦c 2 ( 3) 4 ( 3) = 6: Zatem jako rozwi¡zania tej kongruencji otrzymujemy: x1 = 3 + 0 2 + 4l = 3 + 4l oraz x2 = 3 + 1 2 + 4l = 1 + 4l: Przykªad 2.2.13 Wyznaczy¢ wszystkie rozwi¡zania kongruencji liniowej 8x 4 (mod 3): Poniewa» 3 jest liczb¡ pierwsz¡, która nie jest dzielnikiem liczby 8; wi¦c na mocy Maªego Twierdzenia Fermata 3j82 1; czyli 82 1 (mod 3:) 42 2. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. St¡d 82 4 4 (mod 3:); wi¦c 8 (4 8) 4 (mod 3:) Rozwi¡zaniem tej kongruencji jest zatem x = 32 i bior¡c x0 = 2; czyli reszt¦ z dzielenia 32 przez 3 wyznaczamy rozwi¡zanie ogólne x = 2 + 3l: Dla kongruencji o module b¦d¡cym liczb¡ pierwsz¡ prawdziwe jest twierdzenie o liczbie rozwi¡za«, analogiczne (i podobnie dowodzone !) do twierdzenia o liczbie pierwiastków wielomianu w zbiorze liczb rzeczywistych. Twierdzenie 2.2.9 (LAGRANGE4 ): Je»eli f jest wielomianem stopnia n o wspóªczynnikach caªkowitych, a p - liczb¡ pierwsz¡ nie dziel¡c¡ wspóªczynnika przy xn , to kongruencja f(x) 0 (mod p) ma nie wi¦cej ni» n rozwi¡z«. 2.3 Poj¦cie ciaªa. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. Denicja 2.3.1 Pier±cie« hK; ; i nazywamy cialem, je»eli: (F1) K zawiera przynajmniej dwa elementy, (F2) hK n f0g; i jest grup¡. hK; i nazywamy addytywna grupa ciala, a hK n f0g; i - multyplikatywna 6 6 6 6 grupa ciala. 6 6 6 6 , , , 6 6 6 6 , W ciele nie ma oczywi±cie dzielników zera, bo z warunku a; b 2 K n f0g wynika, »e a b 2 K n f0g. Denicja 2.3.2 Niepusty podzbiór L ciaªa K , b¦d¡cy ciaªem wzgl¦dem dziaªa« w K nazywamy podciaªem ciaªa K . Przykªad 2.3.1 Ciaªami s¡ zbiory CQ; IR; CC z dodawaniem i mno»eniem. W dalszym ci¡gu te trzy ciaªa oraz wszystkie ciaªa w nich zawarte b¦dziemy nazywa¢ ciaªami liczbowymi. Przykªad 2.3.2 p p Zbiór CQ( 2) = fa + b 2 : a; b 2 CQg tworzy ciaªo ze zwyczajnymi dziaªaniami: dodawaniem i mno»eniem. Przede wszystkim zauwa»my, »e dla a; b 2 CQ p a + b 2 = 0 () a = 0 ^ b = 0. Ponadto 4 Joseph Louis Lagrange, (1736{1813), matematyk francuski, zajmowaª si¦ teori¡ liczb, algebr¡ i mechanik¡teoretyczn¡, której podstawy zawarª w opublikowanymw roku 1788 dziele Mecanique analitique 2.3. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. p p p 43 p (a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 2 CQ( 2) p p p p (a + b 2) (c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 2 CQ( 2) p Element odwrotny do a + b 2 6= 0 znajdujemy, p usuwaj¡c niewymierno±¢ z mianownika. Pami¦tajmy, »e a2 2b2 6= 0, bo 2 jest liczb¡ niewymiern¡. p p p 1 a b p 2 p = a2 a 2b2 a2 b 2b2 2. (a + b 2) = (a + b 2)(a b 2) Przykªad 2.3.3 W Przykªadzie 1.1 sprawdzili±my, »e zbiory CQ i IR tworz¡ ciaªo z dziaªaniami a b = a + b + 1 oraz a b = a + b + ab. Przykªad 2.3.4 Pier±cie« hZZp ; +p ; p i jest ciaªem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczb¡ pierwsz¡. D o w ó d. (=)) Je»eli p nie jest liczb¡ pierwsz¡, to dla pewnych n; m 2 ZZp n f0g jest n p m = p 0 26 ZZp nf0g; czyli mno»enie nie jest dziaªaniem w zbiorze ZZp nf0g. ((=) Je»eli p nie jest liczb¡ pierwsz¡, to pozostaje nam wykaza¢, »e ka»dy element zbioru ZZp nf0g ma element odwrotny. Niech m0 b¦dzie dowolnym elementem zbioru ZZp n f0g i rozwa»my zbiór A = f1 p m0 ; 1 p m0 ; : : :; (p 1) p m0 g. Zauwa»my, »e A ZZp n f0g. Je»eli wyka»emy, »e wszystkie elementy zbioru A s¡ ró»ne, to (poniewa» jest ich (p 1)) zachodzi równo±¢ A = ZZp n f0g: To oznacza, »e w±ród liczb postaci k p m0 jest liczba 1, czyli dla pewnego k0 2 ZZp nf0g jest k0 p m0 = 1; tzn. k0 = m0 1 : Zaªó»my wi¦c, »e dla pewnych 0 ¬ i < j < p jest i p m0 = j p m0 . St¡d (j i) p m0 = 0, co jest niemo»liwe, bo liczba (j i), jako mniejsza od p nie mo»e by¢ podzielna przez p. W ciaªach liczbowych wielokrotno±¢ jedno±ci nigdy nie jest zerem. Nietrudno zauwa»y¢, »e w wy»ej rozpatrywanym ciele hZZp ; +p ; pi zachodzi równo±¢ p 1 = 1 + 1 + : : : + 1 = 0: Denicja 2.3.3 Charakterystyka ciala K nazywamy najmniejsz¡ liczb¦ naturaln¡ p tak¡, »e p 1 = 0. Je»eli taka liczba nie istnieje, to mówimy, »e cialo ma 6 6 6 6 , charakterystyke zero. 6 6 6 6 , Charakterystyk¦ ciaªa K b¦dziemy oznacza¢ symbolem (K). Zatem (ZZp ) = p. W ciele sko«czonym wielokrotno±ci jedno±ci 11; 21; 31;: ::nie mog¡ by¢ wszystkie ró»ne, wi¦c dla pewnych i < j jest i 1 = j 1; co daje (j i) 1 = 0 i otrzymujemy Fakt 2.3.4 Je»eli K jest ciaªem sko«czonym, to (k) 6= 0: Poniewa» w ciele nie ma dzielników zera, wi¦c Fakt 2.3.5 Charakterystyka ciaªa jest liczb¡ pierwsz¡. 44 2. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª. 2.4 Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª. Denicja 2.4.1 Niech hR1 ; 1; 1i i hR2; 2 ; 2i b¦d¡ dwoma pier±cieniami. Odwzorowanie : R1 !R2 nazywamy homomorzmem, je»eli dla dowolnych a; b 2 R1 speªnione s¡ warunki (a 1 b) = (a) 2 (b) oraz (a 1 b) = (a) 2 (b): Homomorzm, który jest odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym pier±cienia R1 na pier±cie« R2 nazywamy izomorzmem. Denicja 2.4.2 Zbiór Ker = fa 2 R1 : (a) = 0g nazywamy jadrem homomorzmu . , Peªn¡ analogi¦ mi¦dzy poj¦ciem dzielnika normalnego i homomorzmu grup a poj¦ciem ideaªu i homomorzmu pier±cieni wida¢ w nast¦puj¡cych faktach. Tak, jak dzielniki normalne danej grupy s¡ jedynymi j¡drami homomorzmów tej grupy, tak ideaªy pier±cienia przemiennego (i tylko one) s¡ jedynymi j¡drami homomorzmów tego pier±cienia. Fakt 2.4.3 Je»eli : R1 !R2 jest homomorzmem pier±cienia hR1; 1; 1 i w pier±cie« hR2; 2; 2 i, to zbiór Ker jest ideaªem pier±cienia R1. Fakt 2.4.4 Je»eli I jest ideaªem pier±cienia R, to odwzorowanie : R !RjI przyporz¡dkowuj¡ce ka»demu elementowi warstw¦ tego elementu wzgl¦dem ideaªu I jest homomorzmem pier±cienia R na pier±cie« ilorazowy RjI . J¡drem tego homomorzmu jest ideaª I . Poniewa» ciaªo ma tylko ideaªy niewªa±ciwe, wi¦c ka»dy homomorzm ciaªa na ciaªo jest izomorzmem. Przykªad 2.4.1 p Ciaªa CQ, CQ( 2) s¡ podciaªami ciaªa IR. Fakt 2.4.5 Ciaªo liczb wymiernych jest podciaªem ka»dego ciaªa liczbowego. Denicja 2.4.6 Ciaªo K nazywamy rozszerzeniem ciaªa K 0 , je»eli ciaªo K 0 jest izomorczne z pewnym podciaªem ciaªa K . Przykªad 2.4.2 p Ciaªo CQ( 2) jest rozszerzeniem ciaªa CQ. 2.4. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª. 45 Przykªad 2.4.3 (Liczby konstruowalne) Ostatni przykªad jest szczególnym przypadkiem du»o ogólniejszej sytuacji, która pokazuje, jak daleko algebra abstrakcyjna pozwoliªa u±ci±li¢, a w konsekwencji rozwi¡za¢ pewne problemy geometrii klasycznej. Denicja 2.4.7 Liczb¦ a > 0 nazywamy konstruowalna, je»eli, maj¡c dany od, cinek jednostkowy mo»na za pomoc¡ cyrkla i linijki skonstruowa¢ odcinek o dªugo±ci a. Liczb¦ a < 0 nazywamy konstruowaln¡, je»eli a jest liczb¡ konstruowaln¡. Liczb¦ 0 uznajemy za konstruowaln¡ na mocy denicji. Zbiór liczb konstruowalnych oznaczmy przez IK. Wykonuj¡c podstawowe konstruk- cje geometryczne oparte gªównie na twierdzeniu Talesa przekonujemy si¦, »e zbiór ten jest ciaªem zawieraj¡cym wszystkie liczby wymierne. Jak, maj¡c dany odcinek jednostkowy, otrzyma¢ odcinek o dªugo±ci mn , gdzie m; n 2 IN pokazuje poni»szy rysunek. Odkªadamy na jednym z ramion k¡ta odcinek o dªugo±ci 3 1 i otrzymujemy punkt A. Na drugim ramieniu od@x@ kªadamy pi¦ciokrotno±¢ jakiegokolwiek @ odcinka i otrzymujemy punkt B. ¡@ @ cz¡c punkt A z punktem B i prowadz¡c @@ @ proste równolegªe przez ko«ce poszczeb @ @ gólnych odcinków dzi¦ki @@ twierdzeniu Talesa,otrzymujemy, 1 @@ odcinek OC o dªua go±ci 53 . 3 Rys.1. Konstrukcja odcinka o dªugo±ci 5 . Kolejne dwa rysunki podaj¡ konstrukcje iloczynu i ilorazu dwu dowolnych odcinków o dªugo±ciach a i b. @@ @ x @@ @@ @@ b @ @@ @@ a 1 Rys.2. Konstrukcja odcinka o dªugo±ci a b. Z Twierdzenia Talesa wynika, »e 1b = ax , czyli x = a b @@ @ a @ @@ @@ b @ @ @@ 1 @@ x Rys.3. Konstrukcja odcinka o dªugo±ci ab . Z Twierdzenia Talesa wynika, »e 1b = xa , czyli x = ab . Na ostatnim rysunku mamy konstrukcj¦ odcinka o dªugo±ci pa, gdzie a > 0 jest 46 2. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª. dowolnym elementem zbioru IK. Otrzymali±my wi¦c ciaªo liczbowe zawieraj¡ce ciaªo liczb wymiernych i zamkni¦te wzgl¦dem operacji wyci¡gania pierwiastka kwadratowego z elementów nieujemnych. Pozostaje pytanie o opis algebraiczny tych liczb i o mo»liwo±¢ wykonywania w tym zbiorze innych jeszcze operacji (np. pierwiastkowa« wy»szych stopni). atwo zauwa»y¢, »e w zbiorze tym mo»na wyci¡ga¢ pierwiastki stopnia 2n. Spróbujmy wyrazi¢ konstruowalno±¢ w j¦zyku algebry. Poszczególne kroki klasycznej konstrukcji geometrycznej to prowadzenie prostych i okr¦gów i znajdowanie punktów przeci¦cia tych linii. Algebraicznie odpowiada to rozwi¡zywaniu równa« liniowych i kwadratowych oraz ukªadów takich równa«. Ka»dy z tych ukªadów sprowadza si¦ do ukªadu dwóch równa«, z których jedno jest liniowe, a drugie stopnia nie wy»szego ni» dwa (wynika to st¡d, »e w równaniu okr¦gu wspóªczynnik zarówno przy x2 jak i przy y2 równy jest 1, wi¦c odejmuj¡c stronami dwa takie równania otrzymamy równanie stopnia pierwszego). Ostatecznie wi¦c wykonanie poszczególnego kroku konstrukcji oznacza rozwi¡zanie równania kwadratowego, którego wspóªczynniki s¡ liczbami znalezionymi w taki sam sposób we wcze±niejszych krokach konstrukcji. Rozwi¡zaniem takiego równania jest liczba postaci u + vpw, gdzie u; v i w s¡ liczbami zbudowanymi we wcze±niejszych krokach. Poniewa» ka»da konstrukcja skªada si¦ ze sko«czenie wielu kroków mo»na powiedzie¢, »e do ka»dej liczby konstruowalnej dochodzimy poprzez sko«czony ci¡g kolejnych rozszerze« ciaªa liczb wymiernych, z których ka»de jest rozszerzeniem poprzedniego o pewien pierwiastek kwadratowy. Otrzymali±my zatem nast¦puj¡c¡ charakteryzacj¦: Liczba x jest konstruowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba naturalna n i ci¡g ciaª liczbowych F0 = CQ F1 F2 : : : Fn taki, »e x 2 Fn oraz dlapka»dego i < n istnieje element wi 2 Fi , dla którego pwi 26 Fi oraz Fi+1 = Fi( wi). Przykªady 1) Dla dowolnej liczby naturalnej n liczba pn jest konstruowalna. Je»eli liczba n jest peªnym kwadratem, to oczywi±cie pn 2 CQ. Je»eli liczba n jest peªnym kwadratem, to: geometrycznie - liczba pn jest równa dªugo±ci wysoko±ci trójk¡ta prostok¡tnego opuszczonej na przeciwprostok¡tn¡, której dªugo±¢ równa jest n + 1: algebraicznie - pn jest elementem ciaªa F1 = CQ(pn): p p p 2) Liczba 4 2 jest elementem ciaªa F2 = F1( 2); gdzie F1 = CQ( 2): p p Zauwa»my, »e 4 2 nie jest elementem ciaªa F1 = CQ( 2): Gdyby bowiem dla pewnych wymiernych a; b; zachodziªa równo±¢ p4 p 2= a+b 2 , p p p to 2 = a2 + 2b2 + 2ab 2; co nie jest mo»liwe, bo 2 nie jest liczb¡ wymiern¡. 3) Konstruowalne s¡ liczby: cos 12 ; tg 8 ; tg 16 ; bo wystarczy zauwa»y¢, »e 2.4. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª. q p p p 47 p 2 p1+ 3) : cos 12 = 12 + 43 ; tg 8 = 1 + 2; tg 16 = 1+ 1+( 1+ 3 Maj¡c p sprecyzowan¡ denicj¦ liczby konstruowalnej mo»emy np. sprawdzi¢, »e liczba 3 2 nie jest konstruowalna. Jest to jeden ze sªawnych staro»ytnych problemów dotycz¡cych konstrukcji geometrycznych, tzw. problem podwojenia sze±cianu - czy mo»na zbudowa¢ konstrukcyjnie sze±cian, którego obj¦to±¢ jest dwukrotnie wi¦ksza od obj¦to±ci zadanego sze±cianu? Poniewa» mo»emy przyj¡¢, »e zadany sze±cian ma kraw¦d» p dªugo±ci 1, szukamy wi¦c sze±cianu o obj¦to±ci 2. Jego kraw¦d» ma dªugo±¢ 3 2 i taki odcinek nale»aªoby skonstruowa¢. Wyka»emy algebraicznie, »e nie jest to mo»liwe. p Przypu±¢my, »e liczba 3 2 jest konstruowalna i utwórzmy dla niej opisany wy»ej ci¡g ciaª pliczbowych F0 = CQ F1 F2 : : : Fn o najmniejszej mo»liwej dªugo±ci taki, »e 3 2 2 Fn . Oznacza to, »e równanie x3 2 = 0 ma rozwi¡zanie w ciele Fn . pwn 1, gdzie q 6= 0 a Jako element tego ciaªa, rozwi¡zanie to jest postaci p + q pwn 1 26 Fn 1 . Jest wi¦c p 3 (p + q wn 1) 2 = 0 czyli p3 + 3p2qpwn 1 + 3pq2 wn 1 + q3 wn 1pwn 1 2 = 0 Poniewa» w przypadku, gdy ps 26 Fn 1 mamy p a + b s = 0 jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy a = b = 0; wi¦c p3 + 3pq2w n 1 3p2 q + q3 wn 1 2 = 0; = 0: () p3 + 3pq2w n 1 3p2q q3 wn 1 2 = 0; = 0: Zatem równie» p3 3p2qpwn 1 + 3pq2 wn 1 q3 wn 1pwn 1 = 0; co oznacza, »e (p qpwn 1)3 2 = 0: Okazaªo si¦ wi¦c, »e równanie trzeciego stopnia x3 2 = 0 ma dwa ró»ne pierwiastki rzeczywiste (pami¦tamy, »e q 6= 0), co - jak wiemy -pnie jest prawd¡. Otrzymana sprzeczno±¢ dowodzi, »e zaªo»enie konstruowalno±ci 3 2 nie jest prawdziwe. Podobnie mo»na pokaza¢, »e nie jest wykonalny konstrukcyjny podziaª dowolnego k¡ta na trzy równe cz¦±ci (klasyczny problem trysekcji k¡ta). Nierozwi¡zalno±ci trzeciego klasycznego greckiego problemu, kwadratury koªa, nie mo»na pokaza¢ t¡ metod¡, poniewa» liczba nie jest pierwiastkiem »adnego wielomianu o wspóªczynnikach wymiernych. 48 2.5 Zadania. 2. Zadania. 1. W zbiorze IN rozwa»amy dwa dziaªania: mno»enie oraz okre±lone wzorem a b = ab . Sprawdzi¢, czy dziaªanie jest rozdzielne wzgl¦dem mno»enia. 2. Rozwa»amy zbiór IR liczb rzeczywistych z dziaªaniami x _ y=maxfx; yg; x ^ y=minfx; yg: Udowodni¢, »e ka»de z tych dziaªa« jest rozdzielne wzgl¦dem drugiego. Wykorzysta¢ ten fakt do dowodu, »e dziaªania okre±lone w zadaniu 1.1(f) maj¡ t¦ sam¡ wªasno±¢. 3. Czy zbiór liczb rzeczywistych z dziaªaniami a b = a+b+1; a b = ab a b jest ciaªem? Odpowiedzie¢ na to samo pytanie w przypadku a b = a + b + 5; a b = ab a b + 2. 4. Niech w b¦dzie liczb¡ naturaln¡ tak¡, »e pw nie jest liczb¡ wymiern¡. Pokap p za¢, »e zbiór CQ( w)p = fa +pb w : a; b 2 CQg tworzy ciaªo. Znale¹¢ elementy odwrotne do: 1 + 2 w; 3 w: p 5. Czy zbiór fa + b 3 2 : a; b 2 CQg jest pier±cieniem? Opisa¢ najmniejszy pier±cie« zawieraj¡cy ten zbiór. a b 6. Sprawdzi¢, »e zbiór macierzy postaci b a , gdzie a; b 2 IR; a 6= 0 jest ciaªem z dodawaniem i mno»eniem macierzy. 7. Czy zbiór wszystkich liczb wymiernych postaci 2 1 k; gdzie k jest dowoln¡ liczb¡ caªkowit¡ jest pier±cieniem ze zwyczajnym dodawaniem i mno»eniem? 8. Wykaza¢, »e zbiór 2X tworzy pier±cie« z dziaªaniami ; \. 9. Wyznaczy¢ wszystkie podpier±cienie pier±cienia ZZ12. 10. Pokaza¢, »e zbiór wszystkich ci¡gów niesko«czonych o wyrazach rzeczywistych jest pier±cieniem z dziaªaniami (an) + (bn ) = (an + bn) oraz (an) (bn) = (an + bn) Opisa¢ posta¢ dzielników zera w tym pier±cieniu. 11. Pokaza¢, »e w dowolnym pier±cieniu z jedno±ci¡ zachodz¡ zale»no±ci: (a) 0 x = x 0 = 0, (b) ( 1) x = x ( 1) = x, (c) ( x) = x, (d) ( x) y = (x y) = x ( y), (e) x (y z) = x y x z. 2.5. Zadania. 49 12. Wykaza¢, »e w dowolnympier±cieniuWR z jedynk¡ zbiór odwracalnych ele x y = y x = 1 tworzy grup¦ z mentów pier±cienia, tzn. x 2 R : y 2R mno»eniem. 13. Rozwa»amy iloczyn kartezja«ski IN IN = f(m; n) : m; n 2 INg i relacje równowa»no±ci (m; n) (k; l) () m + l = k + n: Uto»samiaj¡c elementy równowa»ne w powy»szym sensie otrzymujemy zbiór klas równowa»no±ci (IN IN)j . W zbiorze (IN IN)j wprowadzamy dziaªania: 1) dodawanie okre±lone wzorem [(m; n)] + [(k; l)] = [(m + k; n + l)] 2) mno»enie okre±lone wzorem [(m; n)] [(k; l)] = [(m k+n l; m l+n k)]. a) Sprawdzi¢, »e tak okre±lone dziaªania s¡ poprawnie zdeniowane na zbiorze ilorazowym (IN IN)j , tzn. wynik dziaªania nie zale»y od wyboru reprezentantów z klas. b) Sprawdzi¢, »e okre±lone wy»ej dziaªania maj¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci: - dodawanie jest ª¡czne i przemienne, - element 0 = [(0; 0)] jest elementem neutralnym dodawania, - dla dowolnego a 2 ZZ istnieje element przeciwny a0 2 ZZ. c) Pokaza¢, »e skonstruowany wy»ej zbiór jest pier±cieniem izomorcznym z pier±cieniem liczb caªkowitych. 14. Wykaza¢, »e zbiór I = f6x+ 16y : x; y 2 ZZg jest ideaªem w ZZ . Znale¹¢ takie a 2 ZZ , »e I = hai = fka : k 2 ZZg. 15. Wykaza¢, »e ciaªo ma tylko ideaªy niewªa±ciwe. 16. Rozwa»amy iloczyn kartezja«ski ZZ(INnf0g)= f(m; n) : m 2 ZZ; n 2 IN; n 6= 0g i relacje równowa»no±ci (m; n) (k; l) () m l = k n: Uto»samiaj¡c elementy równowa»ne w powy»szym sensie otrzymujemy zbiór klas równowa»no±ci (ZZ (IN n f0g)j . W zbiorze (ZZ (IN n f0g)j wprowadzamy dziaªania: 1) dodawanie okre±lone wzorem [(m; n)] + [(k; l)] = [(ml + nk; nl)] 2) mno»enie okre±lone wzorem [(m; n)] [(k; l)] = [(mk; nl)] . a) Sprawdzi¢, »e tak okre±lone dziaªania s¡ poprawnie zdeniowane na zbiorze ilorazowym (ZZ IN n f0g)j , tzn. wynik dziaªania nie zale»y od wyboru reprezentantów z klas. b) Sprawdzi¢, »e okre±lone wy»ej dziaªania maj¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci: - dodawanie jest ª¡czne i przemienne, - element 0 = [(0; 1)] jest elementem neutralnym dodawania, - dla dowolnego a 2 ZZ (IN n f0g) istnieje element przeciwny a0 2 ZZ (IN n f0g). - mno»enie jest ª¡czne i przemienne, - element 0 = [(1; 1)] jest elementem neutralnym mno»enia, - dla dowolnego a 2 ZZ (IN n f0g) istnieje element 50 2. Zadania. odwrotny a0 2 ZZ (IN n f0g). c) Pokaza¢, »e skonstruowany wy»ej zbiór jest ciaªem izomorcznym z ciaªem liczb wymiernych. 17. Pokaza¢, »e je»eli (K) = p; to dla dowolnego a 2 K zachodzi równo±¢ p a = 0: Ponadto, je»eli a 6= 0; to p jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡ o powy»szej wªasno±ci. 18. Udowodni¢, »e w ciele K o charakterystyce p 6= 0 dla dowolnych a; b 2 K i dowolnego m 2 IN zachodz¡ równo±ci (a + b)p = ap + bp ; (a b)p = ap bp ; (a + b)pm = apm + bpm ; (a b)pm = apm bpm . p p p 19. Czy zbiory fa + b 4 2 : a; b 2 CQg oraz fa + b 2 + c 3 : a; b; c 2 CQg s¡ podciaªami ciaªa liczb rzeczywistych? Je»eli nie, to wyznaczy¢ najmniejsze podciaªa ciaªa liczb rzeczywistych zawieraj¡ce te zbiory. 20. W zbiorze CC CC wprowadzamy dziaªania (a; b) (c; d) = (a + c; b + d) oraz (a; b) (c; d) = (ac bd; ad + bc): Pokaza¢, »e zbiór CC CC z tak okre±lonymi dziaªaniami jest ciaªem przemiennym. (Jest to tzw. ciaªo kwaternionów). 21. Znale¹¢ a i b wiedz¡c, »e: a) NW D(a; b)=12 i NW W(a; b)=168; b) NWD(a; b)=20 i NWW(a; b)=385, Ile jest rozwi¡za«? 22. Pokaza¢, »e je»eli d=NWD(a; b), to liczby da i db s¡ wzgl¦dnie pierwsze, je±li tylko »adna z nich nie jest zerem. 23. Pokaza¢, »e je»eli NW D(a; b) = 1, to dla dowolnej liczby naturalnej c zachodzi równo±¢ NW D(ac; bc)=c. 24. Pokaza¢, »e dla dowolnych liczb caªkowitych a; b; c zachodz¡ wzory a) NW W(a; NW D(b; c)) = NWD(NWW(a; b); NWW (a; c)) b) NW D(a; NW W (b; c)) = NWW(NWD(a; b); NWD(a; c)). 25. Poda¢ rozwi¡zania ogólne nast¦puj¡cych liniowych równa« diofantycznych: a) 2x+3y = 5; b) 2x+3y = 4; c) 3x+9y = 33. 26. Wyznaczy¢ liczb¦ trzycyfrow¡, która jest dwana±cie razy wi¦ksza od sumy swoich cyfr. 27. Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce kongruencje: a) 3x = 2 (mod 5); b) 6x+3 = 4 (mod 10); c) 7x = 4 (mod 10); d) 6x+3 = 1 (mod 10). 2.5. Zadania. 51 28. Znale»¢ dwie ostatnie cyfry liczby 2999: 29. Dowie±¢, »e kwadrat dowolnej liczby caªkowitej daje przy dzieleniu przez 8 reszt¦ 0,1 lub 4. 30. Wykaza¢, »e kwadrat dowolnej liczby nieparzystej i niepodzielnej przez 3 daje przy dzieleniu przez 24 reszt¦ 1. 31. Korzystaj¡c z Maªego Twierdzenia Fermata znale¹¢ wszystkie liczby pierwsze p takie, »e: a) 2p+1 jest podzielne przez p; b) 12p+5 jest podzielne przez p. 32. Udowodni¢, »e w±ród liczb postaci 2p + 1, gdzie p jest liczb¡ pierwsz¡, jest dokªadnie jeden sze±cian liczby naturalnej.