Dobrać optymalny profil pręta ściskanego siłą 570 kN. Długość pręta

Adam Zaborski - komentarz do zadania nr 3 - studia stacjonarne 1 stopnia
A
Dobrać optymalny profil pręta ściskanego siłą 570 kN. Długość pręta l = 6 m, E = 210 GPa,
Rh = 180 MPa, Re = 320 MPa, współczynnik bezpieczeństwa n = 2.5.
HEA 200: A = 53.8 cm2, Iy = 3692 cm4, Iz = 1336 cm4
HEA 220: A = 64.3 cm2, Iy = 5410 cm4, Iz = 1955 cm4
HEA 240: A = 76.8 cm2, Iy = 7763 cm4, Iz = 2769 cm4
HEA 260: A = 86.8 cm2, Iy = 10455 cm4, Iz = 3668 cm4
Rozwiązanie
Obliczenia wstępne
𝐸
210∙109
smukłość graniczna: 𝜆𝑔𝑟 = 𝜋√𝑅 = 𝜋√180∙106 = 107.3
𝐻
długość wyboczeniowa: 𝑙𝑤 = 6 ∙ 1 = 6 [m]
siła krytyczna (wymagana): 𝑃𝑘𝑟 = 𝑛 ∙ 𝑃𝑑𝑜𝑝 = 2.5 ∙ 570 = 1.425 [MN]
sprawdzenie profilu „ze środka” tabelki, HEA 220:
𝐼
1955
minimalny promień bezwładności: 𝑖𝑚𝑖𝑛 = √ 𝑚𝑖𝑛
= √ 64.3 = 5.514 [cm]
𝐴
smukłość: 𝜆 = 𝑖
𝑙𝑤
𝑚𝑖𝑛
600
= 5.514 = 108.8 > 𝜆𝑔𝑟 (zakres sprężysty, wzór Eulera)
siła krytyczna: 𝑃𝐸 =
𝜋 2 𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛
2
𝑙𝑤
=
𝜋 2 210∙109 ∙1955∙10−8
62
= 1.126 [MN] < 𝑃𝑘𝑟 (nie spełnia wym.)
sprawdzenie dla kolejnego profilu, HEA 240:
𝐼
2769
minimalny promień bezwładności: 𝑖𝑚𝑖𝑛 = √ 𝑚𝑖𝑛
= √ 76.8 = 6.005 [cm]
𝐴
smukłość: 𝜆 = 𝑖
siła
𝑙𝑤
𝑚𝑖𝑛
krytyczna:
600
= 6.006 = 99.92 < 𝜆𝑔𝑟 (zakres poza-liniowo-sprężysty, wzór TJ)
𝑃𝑇𝐽 = 𝐴 ∙ (𝑅𝑒 −
𝑅𝑒 −𝑅𝐻
𝜆𝑔𝑟
𝜆) = 76.8 ∙ 10−4 ∙ (320 −
76.8 ∙ 10−4 ∙ 189.6 [MN] = 1.456 [MN] > 𝑃𝑘𝑟 (OK)
Odpowiedź: Optymalnym profilem jest HEA 240.
320−180
107.3
99.92) ∙ 106 =
Adam Zaborski - komentarz do zadania nr 3 - studia stacjonarne 1 stopnia
B
Dobrać optymalny profil pręta ściskanego siłą 200 kN. Długość pręta l = 2 m, E = 210 GPa,
Rh = 180 MPa, Re = 320 MPa, współczynnik bezpieczeństwa n = 2.5.
HEM 200: A = 131.3 cm2, Iy = 10642 cm4, Iz = 3651 cm4
HEM 220: A = 149.4 cm2, Iy = 14605 cm4, Iz = 5012 cm4
HEM 240: A = 199.6 cm2, Iy = 24289 cm4, Iz = 8153 cm4
HEM 260: A = 219.6 cm2, Iy = 31307 cm4, Iz = 10449 cm4
Rozwiązanie
Obliczenia wstępne
𝐸
210∙109
smukłość graniczna: 𝜆𝑔𝑟 = 𝜋√𝑅 = 𝜋√180∙106 = 107.3
𝐻
długość wyboczeniowa: 𝑙𝑤 = 0.699 ∙ 2 = 1.398 [m]
siła krytyczna (wymagana): 𝑃𝑘𝑟 = 𝑛 ∙ 𝑃𝑑𝑜𝑝 = 2.5 ∙ 200 = 500 [kN]
sprawdzenie profilu „z początku” tabelki, HEM 200:
𝐼
3651
minimalny promień bezwładności: 𝑖𝑚𝑖𝑛 = √ 𝑚𝑖𝑛
= √131.3 = 5.273 [cm]
𝐴
smukłość: 𝜆 = 𝑖
siła
𝑙𝑤
𝑚𝑖𝑛
krytyczna:
139.8
= 5.273 = 26.5 < 𝜆𝑔𝑟 (zakres poza-liniowo sprężysty, wzór TJ)
𝑃𝑇𝐽 = 𝐴 ∙ (𝑅𝑒 −
𝑅𝑒 −𝑅𝐻
𝜆𝑔𝑟
𝜆) = 131.3 ∙ 10−4 ∙ (320 −
131.3 ∙ 10−4 ∙ 285.4 [MN] = 3.75 [MN] > 𝑃𝑘𝑟 (i to z dużym zapasem)
Odpowiedź: Optymalnym profilem (spośród podanych) jest HEM 200.
320−180
107.3
26.5) ∙ 106 =
Adam Zaborski - komentarz do zadania nr 3 - studia stacjonarne 1 stopnia
C
Określić dopuszczalne obciążenie pręta ściskanego. Długość pręta l = 2 m, E = 210 GPa, Rh =
180 MPa, Re = 320 MPa, współczynnik bezpieczeństwa n = 2.5, a = 1 cm.
Rozwiązanie
210∙109
𝐸
smukłość graniczna: 𝜆𝑔𝑟 = 𝜋√𝑅 = 𝜋√180∙106 = 107.3
𝐻
długość wyboczeniowa: 𝑙𝑤 = 2 ∙ 1 = 2 [m]
charakterystyki geometryczne przekroju
pole: 𝐴 = 2 ∙ 6 + 5 = 17 [cm2]
minimalny moment bezwładności: 𝐼𝑚𝑖𝑛 = 𝐼𝑧 = 2
1∙63
12
+
𝐼
𝑙𝑤
𝑚𝑖𝑛
12
36.42
minimalny promień bezwładności: 𝑖𝑚𝑖𝑛 = √ 𝑚𝑖𝑛
=√
𝐴
smukłość: 𝜆 = 𝑖
5∙13
17
= 36.42 [cm4]
= 1.464 [cm]
200
= 1.423 = 136.6 > 𝜆𝑔𝑟 (zakres sprężysty, wzór Eulera)
siła krytyczna: 𝑃𝐸 =
𝜋 2 𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛
2
𝑙𝑤
siła dopuszczalna: 𝑃𝑑𝑜𝑝 =
=
𝑃𝑘𝑟
𝑛
𝜋 2 210∙109 ∙36.42∙10−8
=
22
188.7
2.5
= 188.7 [kN]
= 75.48 [kN]
Odpowiedź: Siła dopuszczalna wynosi 75.48 [kN].
Adam Zaborski - komentarz do zadania nr 3 - studia stacjonarne 1 stopnia
D
Określić dopuszczalne obciążenie pręta ściskanego. Długość pręta l = 2 m, E = 210 GPa, Rh =
180 MPa, Re = 320 MPa, współczynnik bezpieczeństwa n = 2.5, a = 2 cm.
Rozwiązanie
210∙109
𝐸
smukłość graniczna: 𝜆𝑔𝑟 = 𝜋√𝑅 = 𝜋√180∙106 = 107.3
𝐻
długość wyboczeniowa: 𝑙𝑤 = 2 ∙ 2 = 4 [m]
charakterystyki geometryczne przekroju
pole: 𝐴 = 5𝑎 ∙ 7𝑎 − 3𝑎 ∙ 5𝑎 = 20𝑎2 = 80 [cm2]
minimalny moment bezwładności: 𝐼𝑚𝑖𝑛 = 𝐼𝑧 =
14∙103
12
−
𝐼
𝑙𝑤
𝑚𝑖𝑛
12
986.7
minimalny promień bezwładności: 𝑖𝑚𝑖𝑛 = √ 𝑚𝑖𝑛
=√
𝐴
smukłość: 𝜆 = 𝑖
10∙63
80
= 986.7[cm4]
= 3.512 [cm]
400
= 3.512 113.9 > 𝜆𝑔𝑟 (zakres sprężysty, wzór Eulera)
siła krytyczna: 𝑃𝐸 =
𝜋 2 𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛
2
𝑙𝑤
siła dopuszczalna: 𝑃𝑑𝑜𝑝 =
=
𝑃𝑘𝑟
𝑛
𝜋 2 210∙109 ∙986.7∙10−8
=
42
1.278
2.5
= 1.278 [MN]
= 511.3 [kN]
Odpowiedź: Siła dopuszczalna wynosi 511.3 [kN].
Adam Zaborski - komentarz do zadania nr 3 - studia stacjonarne 1 stopnia
E
Określić dopuszczalną siłę ściskanego pręta, zwracając uwagę na różnicę schematu w
płaszczyznach x-y i x-z. Długość pręta l = 2 m, E = 210 GPa, Rh = 180 MPa, Re = 320 MPa,
współczynnik bezpieczeństwa n = 2.5.
Rozwiązanie
Obliczenia wstępne
210∙109
𝐸
smukłość graniczna: 𝜆𝑔𝑟 = 𝜋√𝑅 = 𝜋√180∙106 = 107.3
𝐻
pole przekroju: 𝐴 = 40 [cm2]
płaszczyzna x-y (utrata stateczności względem osi z)
długość wyboczeniowa: 𝑙𝑤 = 1 ∙ 2 = 2 [m]
moment bezwładności: 𝐼𝑧 =
8∙53
12
𝐼
= 83.3 [cm4]
83.3
promień bezwładności: 𝑖𝑧 = √ 𝐴𝑧 = √ 40 = 1.443 [cm]
smukłość: 𝜆 =
𝑙𝑤
𝑖𝑧
200
= 1.443 = 138.6 > 𝜆𝑔𝑟
siła krytyczna: 𝑃𝐸 =
𝜋 2 𝐸𝐼𝑧
2
𝑙𝑤
=
𝜋 2 210∙109 ∙83.3∙10−8
22
= 431.8 [kN]
płaszczyzna x-z (utrata stateczności względem osi y)
długość wyboczeniowa: 𝑙𝑤 = 2 ∙ 2 = 4 [m]
moment bezwładności: 𝐼𝑦 =
5∙83
12
= 213.3 [cm4]
Adam Zaborski - komentarz do zadania nr 3 - studia stacjonarne 1 stopnia
𝐼𝑦
213.3
promień bezwładności: 𝑖𝑦 = √ 𝐴 = √
smukłość: 𝜆 =
𝑙𝑤
𝑖𝑦
40
= 2.309 [cm]
400
= 2.309 = 173.2 > 𝜆𝑔𝑟
siła krytyczna: 𝑃𝐸 =
𝜋 2 𝐸𝐼𝑦
2
𝑙𝑤
=
𝜋 2 210∙109 ∙213.3∙10−8
42
= 276.3 [kN]
minimalna siła krytyczna: 276.3 [kN]
siła dopuszczalna: 𝑃𝑑𝑜𝑝 =
𝑃𝑘𝑟
𝑛
=
276.3
2.5
= 110.5 [kN]
Odpowiedź: Siła dopuszczalna wynosi 110.5 [kN].
Adam Zaborski - komentarz do zadania nr 3 - studia stacjonarne 1 stopnia
Wykaz najczęstszych błędów i ich punktowanie
Błędy merytoryczne
brak nierówności wymiarującej
-2.0 pkt
zły wzór na siłę krytyczną -2.0 pkt
źle użyty współczynnik bezpieczeństwa
-2.0 pkt
niezrozumienie zakresu rozwiązania -2.0 pkt
niezastosowanie Imin -2.0 pkt
dwukrotne zastosowanie Imin dla dwukierunkowego zadania
-2.0 pkt
zamienione momenty bezwładności dla dwukierunkowego zadania:
-1.5 pkt
zły współczynnik wyboczeniowy -1.0 pkt
Inne błędy
błąd przeliczenia jednostek -1.0 pkt
założenie zakresu rozwiązania kiedy można go od razu określić -0.5 pkt
gruby błąd rachunkowy lub chaos wskazujący na przypadkowość wyniku
-0.5 pkt
obliczenia niedokończone -0.5 pkt
brak wyboru profilu -0.5 pkt
nieoptymalny, chaotyczny lub nieprzemyślany tok obliczeń
-0.5 pkt
drobny błąd rachunkowy
-0.2 pkt