docZajęcia 4 - prezentacja ()
download 
Reklamacja Transkrypt
Zajęcia 4 - prezentacja ()
Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Ekonometria Modele dynamiczne Paweł Cibis [email protected] 27 kwietnia 2006 Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy 1 Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma 2 Analiza wahań sezonowych Etap I – Wyodrębnienie tendencji rozwojowej Etap II – Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu Etap III – Eliminacja wahań przypadkowych Etap IV – Obliczanie czystych wskaźników wahań sezonowych 3 Wyznaczanie prognozy Ostateczna postać modelu Błąd prognozy ex post 4 Literatura Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma 1 Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma 2 Analiza wahań sezonowych Etap I – Wyodrębnienie tendencji rozwojowej Etap II – Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu Etap III – Eliminacja wahań przypadkowych Etap IV – Obliczanie czystych wskaźników wahań sezonowych 3 Wyznaczanie prognozy Ostateczna postać modelu Błąd prognozy ex post 4 Literatura Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Postać ogólna y = f (t) + ε ŷ = f (t) Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Trend liniowy ŷ = a0 + a1 t a0 – wyrównany poziom zjawiska Y w okresie zerowym, a1 – przeciętny przyrost zjawiska Y w przedziale czasu [1, n]. Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Trend wykładniczy ŷ = a0 a1t a0 – wyrównany poziom zjawiska Y w okresie zerowym, a1 – średni łańcuchowy wskaźnik dynamiki badanego zjawiska Y w przedziale czasu [1, n]. Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Trend wykładniczy ŷ = a0 a1t ln ŷ = ln a0 + t ln a1 0 ŷ = ln ŷ , a00 = ln a0 , a10 = ln a1 ŷ 0 = a00 + a10 t Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Trend logarytmiczny ŷ = a0 + a1 ln t a0 – wyrównany poziom zjawiska Y w okresie zerowym, Przyrosty zjawiska maleją w czasie. Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Trend logarytmiczny ŷ = a0 + a1 ln t t 0 = ln t ŷ 0 = a00 + a10 t Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Trend potęgowy ŷ = a0 t a1 a0 – wyrównany poziom zjawiska Y w okresie t = 1, Stosowany w modelach o liniowym związku między logarytmami zmiennych Y i t. Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Trend potęgowy ŷ = a0 t a1 ln ŷ = ln a0 + a1 ln t 0 ŷ = ln ŷ , t 0 = ln t, a00 = ln a0 ŷ 0 = a00 + a1 t 0 Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Trend logistyczny ŷ = a0 , 1 + a1 e −t a0 > 0, a1 > 1 a0 – poziom nasycenia badanego zjawiska. Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Trend logistyczny a0 , a0 > 0, a1 > 1 1 + a1 e −t a1 1 1 a00 = , a10 = , ŷ 0 = , t 0 = e −t a0 a0 ŷ 0 0 0 0 ŷ = a0 + a1 t ŷ = Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Trend hiperboliczny ŷ = a0 + a1 t 1 t ŷ = a0 + a1 t 0 t0 = Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Funkcje trendu – Trend hiperboliczny ŷ = a00 = 1 , a0 a0 t t + a1 a1 1 , t0 = , a0 t 0 0 0 0 ŷ = a0 + a1 t a10 = Paweł Cibis [email protected] Ekonometria ŷ 0 = 1 ŷ Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Trend pełzający Metoda adaptacyjna – stosowana, gdy trend w miarę upływu czasu podlega zmianom. 1 Ustalamy długość segmentu k. 2 Rozpatrujemy n − k + 1 k-elementowych ciągów kolejnych obserwacji: yt , yt+1 , . . . , yt+k−1 . 3 Dla każdego ciągu szacujemy z KMNK parametry liniowe trendów segmentowych: ŷ l = a0l + a1l t, gdzie t = l, l + 1, . . . , l + k − 1. 4 Dla każdego równania trendu odcinkowego obliczamy teoretyczne wartości zmiennej Y . 5 Obliczamy średnie arytmetyczne dla wartości teoretycznych zmiennej Y z tych samych okresów. Otrzymamy szereg czasowy wygładzony za pomocą trendu pełzającego. Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma Średnia ruchoma Metoda adaptacyjna – stosowana, gdy trend w miarę upływu czasu podlega zmianom. 1 2 Ustalamy długość okresu średniej k. Dla kolejnych okresów obliczamy średnie arytmetyczne k-okresowe: k+i−1 ȳ k−1 +i = yi +yi+1 +...+y , dla k nieparzystych oraz k 2 i ∈ 1, 2, . . . , n − k + 1; 1 y +y +...+ 1 y ȳ k +i = 2 i i+1 k 2 k+i , dla k parzystych oraz 2 i ∈ 1, 2, . . . , n − k + 1 (średnie scentrowane). 3 Otrzymane średnie przyporządkowuje się wyrazowi środkowemu. Średnią k-okresową stosujemy Do eliminacji wahań okresowych o cyklu długości k. Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Etap Etap Etap Etap I – Wyodrębnienie tendencji rozwojowej II – Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu III – Eliminacja wahań przypadkowych IV – Obliczanie czystych wskaźników wahań sezonowych 1 Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma 2 Analiza wahań sezonowych Etap I – Wyodrębnienie tendencji rozwojowej Etap II – Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu Etap III – Eliminacja wahań przypadkowych Etap IV – Obliczanie czystych wskaźników wahań sezonowych 3 Wyznaczanie prognozy Ostateczna postać modelu Błąd prognozy ex post 4 Literatura Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Etap Etap Etap Etap I – Wyodrębnienie tendencji rozwojowej II – Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu III – Eliminacja wahań przypadkowych IV – Obliczanie czystych wskaźników wahań sezonowych Etap I – Wyodrębnienie tendencji rozwojowej Wyodrębniamy tendencję rozwojową za pomocą dowolnej metody: trendu liniowego; trendu nieliniowego; trendu pełzającego; średniej ruchomej. Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Etap Etap Etap Etap I – Wyodrębnienie tendencji rozwojowej II – Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu III – Eliminacja wahań przypadkowych IV – Obliczanie czystych wskaźników wahań sezonowych Etap II – Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu Jeżeli odchylenia od trendu w tych samych okresach jednego cyklu są mniej więcej stałe (bezwzględne wahania sezonowe), obliczamy: et = yt − ŷt . Jeżeli w miarę wzrostu wartości trendu proporcjonalnie wzrastają odchylenia (bezwzględne wahania sezonowe) – ilorazy są mniej więcej stałe – obliczamy stosunki: ut = yŷtt . Wartości et i ut zawierają wahania sezonowe i przypadkowe. W praktyce łatwiej jest najpierw policzyć oba wskaźniki, a następnie, na podstawie tego, w którym z wariantów są one mniej więcej stałe dla danej fazy cyklu, zdecydować o rodzaju wahań okresowych. Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Etap Etap Etap Etap I – Wyodrębnienie tendencji rozwojowej II – Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu III – Eliminacja wahań przypadkowych IV – Obliczanie czystych wskaźników wahań sezonowych Etap III – Eliminacja wahań przypadkowych Dla każdego okresu cyklu obliczamy średnią arytmetyczną z tych wartości et lub ut , które należą do danej fazy. Otrzymamy surowe wskaźniki wahań sezonowych: ēj – bezwzględne wskaźniki sezonowości (addytywne) – o ile jednostek poziom zjawiska w danej fazie wahań jest wyższy lub niższy od poziomu, jaki osiągnęłoby zjawisko, gdyby jego rozwój następował zgodnie z tendencją rozwojwą; ūj – względne wskaźniki sezonowości (multiplikatywne) – o ile procent poziom zjawiska w danej fazie wahań jest wyższy lub niższy od poziomu, jaki osiągnęłoby zjawisko, gdyby jego rozwój następował zgodnie z tendencją rozwojwą. j – numer fazy wahań Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Etap Etap Etap Etap I – Wyodrębnienie tendencji rozwojowej II – Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu III – Eliminacja wahań przypadkowych IV – Obliczanie czystych wskaźników wahań sezonowych Etap IV – Obliczanie czystych wskaźników wahań sezonowych Obliczamy współczynniki korekcyjne: α= α= 1 p 1 p Pp i=1 ēi Pp i=1 ūi Suma wskaźników bezwzględnych jest równa zeru, a suma wskaźników względnych jest równa liczbie faz cyklu (p). Obliczamy czyste wskaźniki: sjb = ēj − sjw = 1 p 1 p Pp Pūpj i=1 i=1 ēi ūi Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Ostateczna postać modelu Błąd prognozy ex post 1 Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma 2 Analiza wahań sezonowych Etap I – Wyodrębnienie tendencji rozwojowej Etap II – Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu Etap III – Eliminacja wahań przypadkowych Etap IV – Obliczanie czystych wskaźników wahań sezonowych 3 Wyznaczanie prognozy Ostateczna postać modelu Błąd prognozy ex post 4 Literatura Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Ostateczna postać modelu Błąd prognozy ex post Wyznaczanie prognozy Prognostyczną wartość zmiennej na moment/okres t (stanowiący i-tą fazę cyklu) wyznaczamy jako: ∗(w ) + sib – model addytywny ∗(w ) ∗ siw – model addytywny yti∗ = yti yti∗ = yti ∗(w ) yti – wstępna prognoza (na okres t dla i-tej fazy cyklu) na podstawie modelu tendencji rozwojowej; sib , /siw – czyste (skorygowane) wskaźniki sezonowości dla i-tej fazy cyklu. Przy prognozowaniu na podstawie średniej ruchomej model Pt−1 prognostyczny ma postać: yt∗ = k1 i=t−k yi , gdzie yi to wartość ∗ zmiennej prognozowanej w okresie i, a yt to prognoza na okres t. Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Ostateczna postać modelu Błąd prognozy ex post Błąd prognozy ex post błąd bezwzględny: qt = yt − yt∗ ; y −y ∗ błąd względny: φt = t yt t ; średni kwadratowy błąd prognozy ex post: 0,5 T X 1 s∗ = (yt − yt∗ )2 T − n t=n+1 ; T – numer ostatniego okresu, w którym sprawdzana jest prognoza; średni kwadratowy błąd prognozy ex post dla modelu ze średnią ruchomą: 0,5 T X 1 (yt − yt∗ )2 s∗ = n − k t=k+1 ; k – stała wygładzania, n – liczba wyrazów szeregu czasowego; Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy 1 Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Funkcje trendu Trend pełzający Średnia ruchoma 2 Analiza wahań sezonowych Etap I – Wyodrębnienie tendencji rozwojowej Etap II – Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu Etap III – Eliminacja wahań przypadkowych Etap IV – Obliczanie czystych wskaźników wahań sezonowych 3 Wyznaczanie prognozy Ostateczna postać modelu Błąd prognozy ex post 4 Literatura Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Literatura Strahl D., Sobczak E., Markowska M., Bal-Domańska B. Modelowanie ekonometryczne z Excelem. Wrocław: AE 2002. Ekonometria. Metody, przykłady, zadania. Red. J. Dziechciarz. Wrocław: AE 2002. Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowanie. Red. M. Cieślak. Warszawa: PWN 2002. Paweł Cibis [email protected] Ekonometria Wyodrębnianie tendencji rozwojowej Analiza wahań sezonowych Wyznaczanie prognozy Paweł Cibis [email protected] Ekonometria
