Grupy permutacji, grupy symetrii

Grupy permutacji, grupy symetrii
1
Rozkład permutacji na cykle rozłączne
Zadanie 1 Każdą z poniższych permutacji przedstaw w postaci iloczynu cykli rozłącznych:
12345
53421
12345678
23451786
!
,
!
,
123456
345621
!
123456
146235
,
12345678
32587614
!
,
!
,
12345678
13254768
!
.
Zadanie 2 Wyznacz σ 2 , σ 3 , σ 4 , σ 5 , σ 6 oraz σ −1 , jeśli σ jest permutacją:
(1 2 3) ∈ S3 ,
(1 2)(3 4) ∈ S4 ,
(1 2 3 4) ∈ S5 ,
(1 2)(3 4 5) ∈ S5 .
Podaj rząd każdej z tych permutacji jako elementu odpowiedniej grupy.
Zadanie 3 Wyznacz wszystkie potęgi (o wykładnikach całkowitych) permutacji z zadania 1.
Określ rzędy tych permutacji.
Zadanie 4 Udowodnij, że rząd permutacji
(1, 2, . . . , k)(k + 1, k + 2, . . . , k + l) ∈ Sk+l
jest równy NWW(k, l).
Zadanie 5 Udowodnij, że rząd dowolnej permutacji jest równy NWW długości jej cykli rozłącznych.
Zadanie 6 Znajdź w grupie S4 wszystkie elementy rzędu: 1, 2, 3, 4.
Zadanie 7 Ile elementów grupy S6 :
a) ma rząd równy 6,
b) spełnia równanie σ 6 = id?
2
Znak permutacji
Zadanie 8 Dla każdej permutacji z zadania 1:
– wypisz wszystkie nieporządki i określ ich liczbę,
– podaj długości cykli występujących w rozkładzie tej permutacji i określ znak każdego z nich,
– sprawdź, że znak permutacji wyznaczony za pomocą liczby nieporządków jest taki sam jak
iloczyn znaków cykli.
Zadanie 9 Sprawdź, że zbiór wszystkich permutacji parzystych w Sn jest podgrupą.
Zadanie 10 a) Ile elementów rzędu 2 jest w grupie A4 , a ile w grupie A5 ?
b) Ile elementów rzędu 4 jest w grupie A5 , a ile w grupie A6 ?
Zadanie 11 Opisz wszystkie elementy rzędu 6 w grupach A5 , A6 i A7 .
Zadanie 12 Wykaż, że rząd permutacji nieparzystej jest liczbą parzystą.
Zadanie 13 Przedstawmy dowolną permutację w postaci iloczynu cykli (niekoniecznie rozłącznych). Udowodnij, że ta permutacja jest parzysta dokładnie wtedy, gdy w danym iloczynie występuje parzysta liczba cykli o długości parzystej. Zatem liczba cykli o długości nieparzystej nie
ma wpływu na parzystość permutacji.
1
3
Podgrupy grup Dn , Sn i An
Zadanie 14 Wyznacz wszystkie podgrupy grup S3 , A4 , D3 , D4 , D5 i D6 .
Zadanie 15 Opisz wszystkie podgrupy grupy Dn .
Zadanie 16 Sprawdź, że:
a) grupa S3 jest generowana przez transpozycje (1 2) i (1 3),
b) grupa A4 jest generowana przez cykle (1 2 3) i (1 2 4),
c) grupa S4 jest generowana przez transpozycje (1 2), (1 3) i (1 4).
Zadanie 17 Udowodnij, że grupa Sn jest generowana przez transpozycje, a grupa An jest generowana przez cykle długości 3.
4
Klasy elementów sprzężonych w grupach Dn , Sn i An
Zadanie 18 Dla każdego σ ∈ S3 oblicz iloczyn σ(1 2 3)σ −1 .
Zadanie 19 Sprawdź, że relacja sprzężenia w danej grupie jest relacją typu równoważności.
Zadanie 20 a) Niech
σ=
12345
ab cde
!
będzie dowolnym elementem grupy S5 . Oblicz iloczyny:
σ −1 (1 2)σ,
σ −1 (1 2)(3 4)σ,
σ −1 (1 2 3)(4 5)σ.
b) Opisz wszystkie elementy sprzężone (w grupie S5 ) do każdej z następujących permutacji:
(1 2),
(1 2)(3 4),
(1 2 3)(4 5).
Zadanie 21 Udowodnij, że dwa elementy grupy Sn są sprzężone dokładnie wtedy, gdy mają tę
samą strukturę cykli rozłącznych.
Zadanie 22 Dla n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, opisz podział na klasy elementów sprzężonych w grupie Sn
i wyznacz liczbę elementów każdej klasy.
Zadanie 23 Wyznacz podział na klasy elementów sprzężonych:
a) w grupach D3 , D4 , D5 i D6 ,
b) w grupie Dn dla dowolnego n.
Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi
1 Odpowiedź. Na przykład
12345
53421
!
= (1 5)(2 3 4).
2 Odpowiedź. Na przykład dla σ = (1 2 3 4) ∈ S5 mamy:
2
σ 2 = (1 3)(2 4), σ 3 = (1 4 3 2), σ 4 = id, σ 5 = (1 2 3 4), σ 6 = (1 3)(2 4), σ −1 = (1 4 3 2).
3 Odpowiedź. Na przykład
n ≡ 0(mod6),
n ≡ 1(mod6),
n ≡ 2(mod6),
n ≡ 3(mod6),
n ≡ 4(mod6),
(1 5)(2 4 3), n ≡ 5(mod6).

id,





(1 5)(2 3 4),


 (2 4 3),
((1 5)(2 3 4))n =

(1 5),




(2 3 4),



4 Wskazówka. Niech σ = (1, 2, . . . , k), τ = (k + 1, k + 2, . . . , k + l). Zauważ, że στ = τ σ, więc
(στ )n = σ n τ n . Wyznacz σ n (i) dla i ∈ {1, 2, . . . , k} oraz τ n (k + j) dla j ∈ {1, 2, . . . , l}.
5 Wskazówka. Metodę z zadania 4 można zastosować w sytuacji ogólnej.
6 Wskazówka. Element grupy S4 jest jednej z następujących postaci: id, (a b), (a b c), (a b c d),
(a b)(c d), gdzie a, b, c, d to różne elementy.
7 Wskazówka. a) Elementy rzędu 6 w grupie S6 to permutacje postaci: (a b c)(d e) i (a b c d e f ),
gdzie a, b, c, d, e, f to różne elementy.
b) Elementy grupy S6 spełniające równanie σ 6 = id, to permutacje postaci: id, (a b), (a b)(c d),
(a b)(c d)(e f ), (a b c), (a b c)(d e), (a b c)(d e f ), (a b c d e f ), gdzie a, b, c, d, e, f to różne elementy. Łatwiej je policzyć, jeśli zauważymy, że są to permutacje, które nie mają postaci: (a b c d),
(a b c d)(d e), ani (a b c d e).
10 Wskazówka. a) Permutacja rzędu 2 to iloczyn rozłącznych transpozycji. Kiedy taki iloczyn
jest permutacją parzystą?
11 Odpowiedź. Na przykład w grupie A7 elementy rzędu 6 to permutacje postaci (a b c d e f )
i (a b c)(d e)(f g), gdzie a, b, c, d, e, f, g to różne elementy.
12 Wskazówka. Można się powołać na zadanie 5, ale prościej to wywnioskować bezpośrednio
z równości σ n = id.
13 Wskazówka. Tu wystarczy skorzystać z tego, że znak iloczynu permutacji jest równy
iloczynowi znaków tych permutacji.
14 Rozwiązanie. Znajdziemy wszystkie podgrupy w grupie D4 = {ak bl ; k = 0, 1, 3, 4, l = 0, 1},
gdzie a4 = e, b2 = e i ba = ab3 . Najpierw wyznaczmy podgrupy generowne przez poszczególne
elementy:
hei = {e}, hai = ha3 i = {e, a, a2 , a3 }, ha2 i = {e, a2 },
hbi = {e, b}, habi = {e, ab}, ha2 bi = {e, a2 b}, ha3 bi = {e, a3 b}.
Uwaga. To nie są wszystkie podgrupy grupy D4 , gdyż w D4 są jeszcze podgrupy generowane
przez dwa elementy.
Niech H będzie dowolną podgrupą grupy D4 . Jeśli do H należy a lub a3 , to {e, a, a2 , a3 } ⊂ H.
Jeśli ponadto do H należy co najmniej jeden z elementów b, ab, a2 b, a3 b, to b ∈ H (np. jeśli
a3 b ∈ h, to b = (a3 )−1 a3 b ∈ H), wówczas H = D4 .
Niech teraz a, a3 6∈H. Ponadto załóżmy, że a2 ∈ H. Wówczas, jeśli b ∈ H, to a2 b ∈ H (i na
odwrót) oraz ab, a3 b6∈H (gdyż a, a3 6∈H). Podobnie, jeśli ab ∈ H, a3 b ∈ H (i na odwrót) oraz
b, a2 b6∈H. Mamy zatem trzy możliwości: H = {e, a2 }, H = {e, a2 , b, a2 b}, H = {e, a2 , ab, a3 b}.
Pozostał przypadek a, a2 , a3 6∈H. (cdn)
Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia z algebry, III rok informatyki, wiosna 2003.
Grupy permutacji, grupy symetrii, wersja druga, 2 VI 2003.
3