Zestaw 6 1. Wymnożyć permutacje: (a) ( 1 2 3 4 5 5 3 4 2 1

Zestaw 6
1. Wymnożyć
1 2 3
(a)
5 3 4
1 2 3
(b)
6 3 4
1 2 3
(c)
1 3 4
permutacje:
!
4 5
1
2 1
2
!
4 5 6
1 5 2
!
4
1 2
2
2 1
2
1
1
5
3
3
3
5
2
1
4
4
4
4
3
6
!
5
3
!
4 5 6
4 3 2
!
2. Przedstawić poniższe permutacje
w postaci iloczynu cykli rozłącznych
!
1 2 3 4 5 6 7
(a)
1 3 4 7 6 2 5
!
1 2 3 4 5 6 7
(b)
1 7 3 5 2 4 6
!
1 2 3 4 5 6 7 8
(c)
2 3 5 8 4 6 7 1
!
1 2 3 4 5 6
(d)
2 3 1 5 6 4
!
1 2 3 4 5 6 7
(e)
2 5 4 3 1 7 6
3. Zapisać permutacje w postaci blokowej.
(a) (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7),
(b) (2, 3, 5, 6)(1, 7),
(c) (2, 5, 7)(1, 3, 4)(6, 8).
4. Wymnożyć permutacje.
(a) (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7)(1, 4, 6, 7)(2, 3, 4),
(b) (2, 3, 5, 6)(1, 7)(1, 5, 3, 2),
(c) (2, 5, 7)(1, 3, 4)(6, 8)(3, 5, 8)(2, 4, 5, 6)(1, 3).
5. Wyznaczyć permutacje odwrotne do permutacji z zadania 2.
6. Wyznaczyć rzędy poniższych permutacji:
(a) (1, 2, 4, 5, 6, 8, 7, 9),
(b) (1, 2, 6, 7)(5, 6),
(c) (2, 5, 7)(2, 4),
(d) (1, 2, 3, 4, 5, 6)(7, 8, 9, 10)(11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18),
(e) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7),
1
(f) (1, 2, 3, 4, 5, 6)(3, 2, 6, 5),
(g) (3, 4, 5, 6, 7)(2, 4, 5, 7)(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
7. Rozwiązać równania permutacyjne.
(a) α124 β 298 xα377 β 845 = α753 β 366 , α = (1, 3, 4)(5, 6), β = (1, 2, 3, 4, 5),
(b) α124 β 298 xα377 β 845 = α753 β 366 , α = (1, 3, 4, 5, 6), β = (1, 2, 3)(4, 5),
(c) α124 β 298 xα377 β 845 = β 753 α366 , α = (1, 3, 4)(5, 6), β = (1, 2, 3, 4, 5),
(d) α739 β 477 xα368 β 145 = β 153 α367 , α = (1, 2)(3, 5, 6), β = (1, 2, 3, 4),
(e) α333 β 222 xα777 β 111 = β 555 α444 β 999 , α = (1, 3, 4, 5)(2, 6), β = (1, 2)(3, 4, 5).
8. Udowodnić, że każdą permutację parzystą da się zapisać jako iloczyn cykli
długości trzy.
9. Udowodnić, że każdą transpozycję można zapisać jako iloczyn transpozycji
(1, 2), (1, 3), (1, 4), . . . , (1, n).
10. Wyznaczyć grupę (A4 , ◦).
11. Wyznaczyć ilość inwersji dla permutacji z zadania 2.
2