Kilka faktów o trójkątach - anaisy

Kilka faktów o trójkątach
Twierdzenie 1. Trójkąty T1 i T2 są przystające wtedy i tylko
wtedy gdy zachodzi jeden z poniższych warunków:
1) Każdy z trzech boków trójkąta T1 jest równy odpowiedniemu
boku trójkąta T2 .
2) Dwa boki i kąt pomiędzy nimi w trójkącie T1 są równe odpowiednim bokom i kątowi między nimi w trójkącie T2 .
3) Dwa kąty wewnętrzne trójkąta T1 i bok pomiędzy ich wierzchołkami są równe odpowiednim dwóm kątom i boku pomiędzy
ich wierzchołkami w trójkącie T2 .
Lemat: W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do
prostej BC, przecinającą odcinki AB i AC odpowiednio w punktach E i F . Niech k będzie prostą przechodzącą przez punkt A i
przecinającą odcinki EF i BC odpowiednio w punktach G i H.
BH
Wtedy EG
GF = HC .
Zadanka:
1. Niech P będzie dowolnym punktem na przekątnej AC kwadratu ABCD, a punkty R i Q rzutami prostokątnymi punktu P
odpowiednio na odcinki AD i DC. Udowodnij, że RQ = BP .
2. Punkty P i Q leżą odpowiednio na bokach BC i CD kwadratu
ABCD, przy czym ^QAP = 45◦ . Udowodnij, że BP + DQ =
P Q.
3. Na bokach AC i BC trójkąta ABC budujemy kwadraty
ACGF i BCDE rozłączne z wnętrzem tego trójkąta. Prosta
prostopadła do odcinka GD, przechodząca przez punkt C przecina odcinek AB w punkcie M . Udowodnij, że AM = M B.
4. Punkty M i N są środkami odpowiednio boków AB i BC
kwadratu ABCD. Odcinki BD i AN przecinają się w punkcie
P . Udowodnij, że ^AM D = ^P M B.
5. Niech H będzie ortocentrum trójkata ABC. Załóżmy, że
AB = CH. Udowodnij, że ACB = 45◦ .
6. Na bokach BC i AB trójkąta równobocznego ABC wybieramy odpowiednio takie punkty
D i E, że CD = BE. Niech M będzie środkiem odcinka DE. Udowodnij, że AD = 2BM .
7. Okrąg ω jest wpisany w trapez równoramienny ABCD w którym AB = 3CD. Niech M
i N będą punktami styczności tego okręgu odpowiednio z odcinkami AB i AD, a P punktem
przecięcia odcinków M N i AC. Udowodnij, że P M = 2M P .
8. Punkty M i N są odpowiednio środkami boków BC i CD równoległoboku ABCD. Odcinki
AM i AN przecinają przekątną BD odpowiednio w punktach P i Q. Udowodnij, że BP =
P Q = QD.
9. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Niech punty P i Q będą rzutami prostokątnymi punktu C odpowiednio na proste AI i BI. Odcinki AB, BC, CA mają
odpowiednio długości c, a, b. Znaleźć długość odcinka P Q.
10. Na bokach AD i DC kwadratu ABCD budujemy trójkąty równoboczne ADK i DCL,
rozłączne z wnętrzem tego kwadratu. Udowodnij, że trójkąt KLB jest równoboczny.
http://anaisy.blog.pl/?p=35