pobierz - pzme.zarz.agh.edu.pl

NIELINIOWE MODELE EKONOMETRYCZNE, FUNKCJA PRODUKCJI
ZESTAW VI
Przykład:
Weźmy pod uwagę dwa modele jednorównaniowe:
Y = a + bX + cX 2 + ε ,
2
(2) Y = f + gX + g Z + ξ ,
(1)
Gdzie X,Y,Z oznaczają zmienne, a,b,c,f,g parametry strukturalne modelu,
natomiast ε , ξ są składnikami losowymi. Oba modele są nieliniowe. Model (1)
jest nieliniowy względem zmiennych, a model (2) jest nieliniowy względem
parametrów.
UWAGA: Podział na modele liniowe i nieliniowe względem parametrów jest w
ekonometrii waŜniejszy!
MODELE LINIOWE WZGLĘDEM PARAMETRÓW:
Postać ogólna:
g (Y ) = α 1 f 1 ( x) + α 2 f 2 ( x) + ...α k f k ( x) + ε
Przykłady:
1. model ściśle liniowy
Y = α 0 + α 1 X 1 + α 2 X 2 + ...α k X k + ε
2. model wielomianowy
Y = α 0 + α 1 X + α 2 X 2 + ...α k X k + ε
3. model logarytmiczny
Y = α 0 + α 1 ln X + α 2 ln Z + ε
4. model hiperboliczny
Y = α 0 + α1
1
+ α 2Z + ε
X
5. model z interakcjami
Y = α 0 + α1 X + α 2 Z + α 3 ( X ⋅ Z ) + ε
MODELE LINEARYZOWALNE
To takie, które mają postać g (Y )
po odpowiedniej transformacji.
Przykłady
1. model potęgowy
Y = αX β Z δ e ε
= α 1 f 1 ( x) + α 2 f 2 ( x) + ...α k f k ( x) + ε
⇒ ln Y = ln α + β ln X + δ ln Z + ε
2. model wykładniczy
Y = e a +bX +ε
⇒ ln Y = a + bX + ε
3. model S-krzywej
Y =e
a+b
1
+ε
X
⇒ ln Y = a + b
1
+ε
X
ELASTYCZNOŚĆ CZĄSTKOWA
Jest miarą wraŜliwości zmiennej objaśnianej na zmianę wartości zmiennej
objaśniającej, chodzi tu o zmiany względne a nie bezwzględne. Elastyczność
Y względem Xj oznacza, ceteris paribus, przyrost względny (procentowy)
wartości Y w efekcie jednostkowego (procentowego) przyrostu wartości Xj.
EY / X j =
∂Y X j
∆Y X j
∆Y / Y
⋅
≈
⋅
=
∂X j Y
∆X j Y
∆X j / X j
,
1
moŜna korzystać teŜ ze wzoru:
EY / X j =
∂ ln Y
∂ ln X j
FUNKCJA PRODUKCJI
Teoria produkcji jest jedna z dziedzin ekonomii, w której korzysta się z
narzędzi matematycznych. Ekonometria zajmuje się tu przede wszystkim
metodologią szacowania i weryfikacji tzw. funkcji produkcji.
Funkcja produkcji – zaleŜność między nakładami czynników produkcyjnych w
pewnym procesie a wielkością (wartością) wytworzonego produktu.
Tradycyjnie: L – nakłady pracy, K – nakłady kapitału, Y – produkcja.
Dwuczynnikową funkcje produkcji zapisać moŜemy jako
Y = f ( K , L) , przy czym zakładamy Y , K , L > 0 .
ZałoŜenia:
1. produkcyjność krańcowa czynnika produkcji jest dodatnia
f K > 0,
fL > 0
2. produkcyjność krańcowa czynnika jest malejąca względem nakładów tego
czynnika
f KK < 0,
f LL < 0
3. krańcowa produkcyjność jednego czynnika rośnie w miarę zwiększania
nakładów drugiego czynnika
f KL > 0,
f KL > 0
4. funkcja f jest jednorodna
Przypomnienie: f – jest jednorodna stopnia r, jeŜeli
f ( λK , λL ) = λ r f ( K , L )
Interpretacja: np. dla r=1 mamy: przyrost nakładów kaŜdego z czynników o p%
oznacza przyrost produkcji o p%.
Dla r=1, mówimy o stałych przychodach (korzyściach) skali.
Dla r<1, mówimy o malejących przychodach (korzyściach) skali.
Dla r>1, mówimy o rosnących przychodach (korzyściach) skali.
5. czynniki produkcji są wzajemnie zastępowalne
Substytucja czynników produkcji jest dopuszczalna w określonych granicach.
MoŜna przyjąć, Ŝe typową substytucją w procesie produkcji jest zastępowanie
nakładów pracy przez kapitał.
Miarą stopnia substytucji jest krańcowa stopa substytucji (KSS). Jest to
wielkość przyrostu jednego czynnika jaki powinien nastąpić, aby utrzymać tę
samą wielkość produkcji, gdy nakład drugiego czynnika maleje o pewną małą
jednostkę.
KSS = −
fL
.
fK
Przykład:
KSS=-0,2 oznacza
(1) wzrostowi (spadkowi) L o jednostkę powinien towarzyszyć spadek
(wzrost) K o 0,2 jednostki,
(2) wzrostowi (spadkowi) K o jednostkę powinien towarzyszyć spadek
(wzrost) L o 1/0,2=5 jednostek.
Przykładowe funkcje produkcji:
(1) funkcja Cobba-Douglasa:
Y = aK b Lc ε po transformacji ln Y = ln a + b ln K + c ln L + ln ε
(2) funkcja CES
2
ELASTYCZNOŚĆ PRODUKCJI I ELASTYCZNOŚĆ SUBSTYTUCJI
Elastyczność produkcji względem danego czynnika definiujemy jako
elastyczność funkcji f względem tego czynnika (patrz wyŜej).
Wartość współczynnika elastyczności obliczonego dla danej kombinacji
nakładów oznacza, ceteris paribus, względny (procentowy) przyrost wartości
Y wywołany jednostkowym (jednoprocentowym) przyrostem danego czynnika
produkcji.
Elastyczność substytucji mierz szybkość zmian współczynnika KSS. Jest
definiowana jako
σ=
∂ ( K / L) KSS
⋅
∂KSS ( K / L)
Iloraz K/L nazywamy technicznym uzbrojeniem pracy.
FUNKCJA PRODUKCJI COBBA-DOUGLASA W WERSJI DYNAMICZNEJ
Gdy model funkcji jest szacowany na podstawie szeregów czasowych, wówczas
do czynników produkcji moŜna włączyć zmienną czasową. Czynnik czasowy jest
traktowany jako reprezentant tzw. postepu technicznego, to znaczy takich
zmian autonomicznych procesu produkcji, które przynoszą wzrost produkcji
bez zwiększania nakładów czynników podstawowych.
Postać dynamiczna funkcji Comba-Douglasa moŜe być nastepująca:
Yt = aK tb Lct e dt ε t ,
Dla racjonalnych procesów produkcyjnych parametr d jest dodatni. Przyrost
względny wartości produkcji z okresu na okres wynosi (przy załoŜeniu
niezmienności K i L):
Yt − Yt −1
= ed −1
Yt −1
Zadanie 1
Postuluje się, Ŝe krańcowa skłonność do konsumpcji dla pojedynczego
konsumenta jest liniową funkcją jego majątku. UŜywając trzech zmiennych
A – konsumpcja,
B – dochód,
C – majątek,
Zaproponuj model jednorównaniowy, za pomocą którego moŜna zweryfikować tę
hipotezę.
Zadanie 2
Oblicz EY/X dla
a) Y = a + bX + ε
b) Y = a + b ln X + ε
c) ln Y = a + b ln X + ε
Zadanie 3
Funkcja opisująca zaleŜność popytu na pomidory Y od ceny P ma postać:
1
Yˆ = 4 + 70
P
a) Oblicz i zinterpretuj cenową elastyczność popytu na pomidory przy
cenie wynoszącej 35 jp,
b) Na jakim poziomie naleŜy ustalić cenę, by ze względu na zgromadzony
zapas, który moŜe ulec zepsuciu, doprowadzić do wzrostu popytu o 12%?
Przyjąć, Ŝe obecna cena wynosi 35jp.
3
Zadanie 4
Oszacowano następującą funkcje popytu na odbiorniki radiowe turystyczne:
 1
ORTt = 1007,61 + 336.562,77
 PRt

 + 1,31(LM t ),

Gdzie ORT i PR oznaczają odpowiednio, poziom sprzedaŜy i produkcji
odbiorników (w tys.) natomiast LM jest liczbą zawieranych małŜeństw (w
tys.). Obliczyć i skomentować kierunek zmian elastyczności popytu zmiennej
ORT względem poziomu produkcji oraz liczby małŜeństw, wiedząc, Ŝe dla t=1 i
t=2 wartości zmiennych były następujące:
ORT1=1420; PR1=1350; LM1=141;
ORT2=1445; PR2=1330; LM2=156.
Zadanie 5
Oszacowano model trendu, w którym Y oznacza wartość nakładów inwestycyjnych
w mld złotych rocznie:
Y = e 0, 045t ,
gdzie t oznacza zmienną czasową(numer roku).
a)
który z następujących wniosków jest prawidłowy i dlaczego?
1) Nakłady inwestycyjne wzrastały rocznie średnio o 4,5%,
2) Nakłady inwestycyjne wzrastały rocznie średnio o 0,045 mld zł.
3) Oba zdania błędne. Powinno być:…
b)
Podać postać modeli trendu, dla których słuszne są wnioski z punktów
1,2.
Zadanie 6
Dany jest model:
Y = 51,5e 0, 06t ,
gdzie t oznacza zmienną czasową(numer roku). Uzupełnić brakujące
informacje:
a) wzrost t o jedną jednostkę (1 rok) wiąŜe się ze wzrostem Y o …%
b) Jeśli zatem w pewnym roku Y=1000, to po roku będzie Y=…
c) Jeśli w pewnym roku Y=5000, to po dwóch latach, w przybliŜeniu będzie
Y=…
Zadanie 7
W poszczególnych latach 1985-1994 liczba abonentów telefonicznych w dniu
31.12 w Polsce była następująca (w tys.):
2480, 2625, 2774, 2953, 3121, 3292, 3565, 3938, 4416, 5006.
Oszacowano następujące modele trendu, wyraŜające relację między liczbą
abonentów w danym roku (Yt) oraz numerem roku (t=1,2,…,10):
(I)
ln Yt = 7,7011 + 0,0747 t, R2=0,972
(II)
Yt = 2579,1 – 33,6 t + 26,8 t2, R2=0,993
(III)
ln Yt = 7,8045 + 0,0230 t + 0,0047 t2, R2=0,972
a) Zinterpretuj ocenę parametru przy zmiennej t w modelu (I).
b) Dla t=5 oblicz i zinterpretuj wartość pochodnej Y względem t w kaŜdym
z modeli. Dlaczego wartości te są róŜne?
c) Które współczynniki determinacji moŜna bezpośrednio porównywać, a
których nie moŜna i dlaczego? Zaproponuj sposób porównywania stopnia
dopasowania modelu dla tej drugiej sytuacji.
d) Który z modeli wybrałbyś jako najlepszy do prognozowania, nie znając
wartości Y11?
Zadanie 8
Oszacowano następujący nieliniowy model funkcji konsumpcji dla gospodarki
USA korzystając z kwartalnych danych z okresu 1946:1-1974:1
Cˆ t = −10,3507 + 1,2409Yt 0,9539 ,
Gdzie C oznacza realną globalna konsumpcję, natomiast Y realny globalny
dochód do dyspozycji.
4
a) Czy otrzymane wyniki świadczą o prawdziwości hipotezy o malejącej (w
miarę wzrostu dochodu) krańcowej skłonności do konsumpcji (KSK)?
[wskazówka: KSK – pochodna konsumpcji względem dochodu.]
b) Oblicz i zinterpretuj KSK dla średniej wartości Y równej 417 mld USD
(w warunkach roku 1958) i porównaj ją z KSK otrzymaną dla modelu
liniowego oszacowanego dla tych samych danych:
Cˆ t = 7,9852 + 0,8905Yt .
c) Zarówno model liniowy, jak i nieliniowy dobrze pasują do danych i
mają parametry istotnie róŜne od zera. Na jakiej podstawie moŜna
dokonać wyboru jednego z tych modeli?
Zadanie 9
Dana jest funkcja produkcji:
P ( K , L) =
2K
1 + 0,5 L
a) PokaŜ, Ŝe P(K,L) opisuje malejące korzyści skali.
[wskazówka: udowodnij, Ŝe dla λ > 1 jest P (λK , λL ) < λP ( K , L) ]
b) Jaka jest elastyczność funkcji P(K,L) względem K? Podaj interpretację
otrzymanego wyniku.
Zadanie 10
Dane są dwa oszacowane modele funkcji produkcji:
(1) PROD = aZAT + bMAJ
(2) PROD = ZAT MAJ , c + d = 1 ,
Gdzie PROD, ZAT, MAJ oznaczają odpowiednio: wartość produkcji, wielkość
zatrudnienia produkcyjnego, majątek trwały.
PokaŜ, Ŝe oba modele opisują procesy produkcji z przychodami
proporcjonalnymi do nakładów.
c
d
Zadanie 11
Na podstawie danych kwartalnych oszacowany został model:
PRODt = 2,5MAJ t0,7 ZATt 0,9
Gdzie PROD, MAJ, ZAT jak w poprzednim zadaniu.
a) Ocen zasadność wyników estymacji wykorzystując pojecia:
- krańcowej produkcyjności czynników,
- elastyczności produkcji względem kaŜdego z czynników,
- efektów skali produkcji.
b) Oblicz i zinterpretuj krańcową stopę substytucji dla MAJ=15 oraz ZAT=6.
Zadanie 12
Produkcja P określona jest modelem Pˆt = aZ t M t , gdzie Z oznacza
zatrudnienie, a M majątek trwały. Wybierz prawidłową odpowiedź:
a) jeśli wartość majątku trwałego wzrasta o 1%, a zatrudnienie nie
zmienia się, koprodukcja wzrasta o około:
b
•
•
•
•
c
M tc %
c%
(1 − b) %
b
⋅ 100 %
c
b) Jeśli zatrudnienie zwiększa się o jednostkę, to produkcja nie ulegnie
zmianie, gdy majątek:
•
zmaleje o około
bM t
jednostek,
cZ t
5
•
•
•
bM t
jednostek,
cZ t
cZ t
zmaleje o około
jednostek,
bM t
cZ t
wzrośnie o około
jednostek
bM t
wzrośnie o około
Zadanie 13
Produkcję globalną pewnego układu gospodarczego opisuje dwuczynnikowa
funkcja produkcji Comba-Douglasa, przy czym: Y – wartość produkcji w mln
jp, X1 – liczba zatrudnionych osób w mln, X2 – kapitał trwały w mld jp.
Elastyczność produkcji względem zatrudnienia i majatku wynosi odpowiednio
0,2 i 0,5. Tempo wzrostu produkcji z okresu na okres przy niezmienionych
nakładach czynników wytwórczych wynosi e0,2. Krzywa stałego produktu dla
roku t=0 odpowiadająca produkcji 600 mln jp przechodzi przez punkt o
współrzędnych X1=3,2 mln osób oraz X2=900mld jp.
a) podaj postać tej funkcji produkcji,
b) oblicz i zinterpretuj krańcową produkcyjność kapitału w roku t=0 (tj.
dla X1 =3,2 oraz X2=900).
c) Na początku roku τ na 1 zatrudnionego przypada kapitał trwały o
wartości 2,5 tys. jp. W ciągu roku τ przewiduje się spadek
zatrudnienia o ok. 20 tys. osób. Jaka zmiana majątku jest potrzebna,
aby zapobiec spadkowi produkcji w ciągu tego roku?
Zadanie 14
M
Z
) ⋅ (1 − ), gdzie M oznacza majątek
10
3
trwały, Z oznacza zatrudnienie. Wiadomo, Ŝe M > 0, Z > 3 .
a) Naszkicuj izokwantę tej funkcji dla Y = 10,
Oszacowano funkcję produkcji Yˆ = 20 ⋅ (1 −
b) Zbadaj monotoniczność krańcowej produkcyjności majątku i dokonaj
interpretacji uzyskanego rezultatu. Oblicz i zinterpretuj krańcową
produkcyjność majątku dla M = 15, Y = 10.
c) Oblicz krańcową stopę substytucji dla M = 15, Y = 10.
6